대수적 수체

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1. 개요

대수적 수체는 유리수체의 유한 확대이며, 대수적 수의 개념을 확장한 것이다. 이들은 체의 개념을 기반으로 하며, 덧셈과 곱셈 연산을 통해 아벨 군을 형성한다. 대수적 수체는 가산 무한 집합이며, 유리수체의 대수적 확대이자 분해 가능 확대이다. 대수적 수체의 원소는 대수적 수라고도 불리며, 모닉 다항식의 정수 계수를 갖는 경우 대수적 정수라고 한다.

대수적 수체의 주요 특징은 다음과 같다. 대수적 정수환은 데데킨트 정역이며, 정수 기저를 가지며, 정칙 표현을 통해 행렬로 나타낼 수 있다. 또한, 판별식은 대수적 정수의 밀도를 측정하며, 디리클레 가역원 정리와 가역원 기준을 통해 곱셈 구조를 연구한다. 유일 인수 분해가 실패할 경우 아이디얼 유군과 유수를 정의하며, 분기화 현상이 나타날 수 있다.

대수적 수체는 오스트롭스키 정리에 의해 실수 무한 자리, 복소수 무한 자리, 유한 자리로 분류되며, 곱 공식을 만족한다. 주요 불변량으로는 종수체, 힐베르트 유체, 데데킨트 제타 함수, 아델 환 등이 있다. 예시로는 유리수체, 이차 수체, 원분체 등이 있으며, 유리수체는 차수가 1인 가장 기본적인 수체이다. 이차 수체는 유리수체의 2차 확대이며, 원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근을 추가하여 정의된다.

대수적 수체

개요

정의	유리수체 Q의 유한 확대체
성질	모든 대수적 수체는 어떤 대수적 수의 유리수체에 대한 첨가로 표현 가능

예시

예시	유리수체 Q 가우스 정수체 Q(i) 이차 수체 원분체

대수적 정수

정의	대수적 수체 K 안의 대수적 정수는 정수환 Z 위의 모닉 다항식의 근이 되는 K의 원소
성질	대수적 수체 K 안의 대수적 정수들은 환을 이루며, 이를 정수환이라고 함

정수환

정의	대수적 수체 K 안의 대수적 정수들이 이루는 환
성질	데데킨트 정역 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있음 유클리드 정역이 아닐 수 있음

분해 정리

설명	대수적 수체의 정수환에서는 유일한 소 아이디얼 분해가 성립함

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 전제 조건
3. 대수적 성질
- 3.1. 대수적 정수환
- 3.2. 곱셈 구조
4. 자리
5. 수체의 기타 불변량
6. 예시

2. 정의

대수적 수체 $K$ 는 유리수체 $\mathbb Q$ 의 유한 확대이며, 대역체의 한 종류이다. 가장 작고 기본적인 수체는 유리수의 체 $\mathbb{Q}$ 이다. 일반적인 수체의 많은 성질들은 $\mathbb{Q}$ 의 성질을 본따 만들어졌다. 하지만 대수적 수체의 다른 많은 성질들은 유리수의 성질과는 상당히 다르다. 한 가지 주목할 만한 예는 수체의 환인 대수적 정수가 일반적으로 주 아이디얼 정역이 아니라는 것이다.

가우스 유리수는 수체의 첫 번째 비자명한 예이다. 가우스 유리수는 $\mathbb{Q}(i)$ 로 표시된다. 그 원소들은 $a + bi$ 형태이며, 여기서 a와 b는 모두 유리수이고 i는 허수 단위이다. 이러한 식은 산술의 일반적인 규칙에 따라 더하고, 빼고, 곱한 다음 항등식 $i^2 = -1$ 을 사용하여 단순화할 수 있다. 0이 아닌 가우스 유리수는 가역원이며, 이는 다음 항등식에서 확인할 수 있다.

$(a+bi) \left(\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2+b^2} i\right) = \frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2 + b^2}=1.$

그 결과 가우스 유리수는 $\mathbb{Q}$ 에 대한 벡터 공간으로 2차원인 수체를 형성한다.

더 일반적으로, 임의의 제곱 인수가 없는 정수 $d$ 에 대해, 이차 체 $\mathbb{Q} (\sqrt{d})$ 는 유리수의 체에 $d$ 의 제곱근을 더하여 얻은 수체이다. 이 체에서의 산술 연산은 가우스 유리수 $d = -1$ 의 경우와 유사하게 정의된다.

원분체 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ (여기서 $\zeta_n = \exp{(2\pi i /n)}$ )는 원시 $n$ 번째 단위근 $\zeta_n$ 을 $\mathbb{Q}$ 에 결합하여 얻은 수체이다. 이 체는 모든 복소수 n번째 단위근을 포함하며, $\mathbb{Q}$ 에 대한 차원은 $\varphi(n)$ 과 같다. 여기서 $\varphi$ 는 오일러 피 함수이다.

2.1. 전제 조건

대수적 수체의 개념은 체의 개념에 의존한다. 체는 집합과 두 가지 연산, 즉 덧셈과 곱셈, 그리고 몇 가지 분배 법칙 가정을 포함한다. 이러한 연산은 체를 덧셈에 대해 아벨 군으로 만들고, 체의 영이 아닌 원소를 곱셈에 대해 또 다른 아벨 군으로 만든다. 체의 두드러진 예는 일반적으로 Q^영어로 표시되는 유리수 체와 덧셈 및 곱셈의 일반적인 연산이다.

대수적 수체를 정의하는 데 필요한 또 다른 개념은 벡터 공간이다. 여기서 필요한 범위 내에서 벡터 공간은 시퀀스(또는 튜플) ((^영어x₁,x₂,…)^영어})로 구성되는 것으로 생각할 수 있다. 그 항목은 Q^영어 체와 같은 고정된 체의 원소이다. 이러한 두 시퀀스는 해당 항목을 추가하여 더할 수 있다. 또한 모든 시퀀스의 모든 구성원은 고정된 체의 단일 원소 c를 곱할 수 있다. 벡터 덧셈 및 스칼라 곱으로 알려진 이 두 연산은 벡터 공간을 추상적으로 정의하는 데 사용되는 여러 속성을 만족한다. 벡터 공간은 "무한 차원"일 수 있으며, 즉 벡터 공간을 구성하는 시퀀스는 무한 길이를 가질 수 있다. 그러나 벡터 공간이 유한 시퀀스 ((^영어x₁, …, x_n)^영어})로 구성된 경우, 벡터 공간은 유한 차원, n^영어을 갖는다고 한다.

3. 대수적 성질

대수적 수체는 유리수체의 유한 차수 확대이므로, 가산 무한 집합이다. 유리수체의 표수는 0이므로, 분해 가능 확대이지만, 정규 확대(갈루아 확대)가 아닌 경우가 존재한다.

대수적 수체 $K$ 에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 $\hat K$ 는 아델 환의 몫으로 나타낼 수 있다.
: $\hat K\cong\mathbb A_K/K$

일반적으로 추상대수학에서 체의 확대에서, 더 큰 체의 모든 원소는 작은 체의 계수를 갖는 다항식의 근이 된다.
: $p(f) = e_mf^m + e_{m-1}f^{m-1} + \cdots + e_1f + e_0 = 0$
유한 차수의 모든 체의 확장은 대수적이다. 특히 이는 대수적 수체에 적용되므로 대수적 수체 $K$ 의 임의의 원소 $f$ 는 유리수 계수를 갖는 다항식의 근으로 쓸 수 있다. 따라서 $K$ 의 원소는 대수적 수라고도 불린다.

$p(f)=0$ 인 다항식 $p$ 가 주어지면 최고차항의 계수 $e_m$ 이 1이 되도록 배열할 수 있다. 이 속성을 가진 다항식은 모닉 다항식이라고 하며 일반적으로 유리수 계수를 갖는다.

$K=\mathbb{Q}(\theta)$ 라고 하고, $\theta$ 의 공액수 $\theta^{(1)},\ldots,\ \theta^{(n)}$ 에 대해,
$K^{(i)} = \mathbb{Q}(\theta^{(i)})$ ( $i=1,\ldots,\ n$ )를, K의 공액체 (conjugate field)라고 한다. 만약 K의 공액체가 모두 K와 같을 때, K를 갈루아 체 또는 유리수체상의 갈루아 확대체라고 한다.

공액체 $K^{(i)}$ 가 실수의 부분체이면, 즉 $\theta^{(i)}$ 가 실수일 때, $K^{(i)}$ 를 실공액체라고 한다. 그렇지 않은 경우, 허공액체라고 한다.

K의 공액체 중, 실공액체의 개수를 $r_1$ , 허공액체의 개수를 $r_2$ 라고 하면, $n = r_1 + r_2$ 이며, $r_2$ 는 짝수이다.

K의 모든 공액체가 실공액체일 때, K를 총실체 또는 총실대수체라고 한다. 또한, 모든 공액체가 허공액체일 때, K를 총허체 또는 총허대수체라고 한다.

3.1. 대수적 정수환

대수적 수체 $K$ 의 대수적 정수환(代數的整數環, ring of algebraic integers^영어) $\mathcal O_K$ 는 $\mathbb Z$ 를 포함하며 $K$ 에 속하는 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
: $\mathcal O_K=\{a\in K\colon\exists p(x)\in\mathbb Z[x] \colon p \mbox{ is monic; }p(a)=0\}$
이는 $K$ 의 부분환을 이룬다.

대수적 수체 $K$ 의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.

모든 대수적 수체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.
* $\mathcal O_K$ 는 정수적으로 닫힌 정역이다.
* $\mathcal O_K$ 는 뇌터 환이다.
* 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.
대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.

모든 대수적 수체 $K$ 에서, 다음이 성립한다.
: $\mathcal O_K\cap\mathbb Q=\mathbb Z$
: $K=\operatorname{Frac}\mathcal O_K$
여기서 $\operatorname{Frac}$ 은 분수체를 뜻한다.

유리수 체와 덧셈 및 곱셈의 일반적인 연산에서, 대수적 수체를 정의하기 위해서는 벡터 공간의 개념이 필요하다. 벡터 공간은 튜플로 구성되며, 체와 같은 고정된 체의 원소를 사용하여 벡터 덧셈 및 스칼라 곱을 할 수 있다.

추상대수학에서, 체의 확대 $K / L$ 는 더 큰 체 $K$ 의 모든 원소 $f$ 가 $L$ 의 계수를 갖는 다항식의 근일 경우 대수적 체 확대이다.
: $p(f) = e_mf^m + e_{m-1}f^{m-1} + \cdots + e_1f + e_0 = 0$
유한 차수의 모든 체의 확장은 대수적이다. 특히 이는 대수적 수체에 적용되므로 대수적 수체 $K$ 의 임의의 원소 $f$ 는 유리수 계수를 갖는 다항식의 근으로 쓸 수 있다. 따라서 $K$ 의 원소는 대수적 수라고도 불린다.

모닉 다항식의 계수가 실제로 모두 정수인 경우, $f$ 는 대수적 정수라고 불린다. 임의의 정수 $z \in \mathbb{Z}$ 는 선형 모닉 다항식의 근이므로 대수적 정수이다.
: $p(t) = t - z$ .
또한 유리수인 대수적 정수는 실제로 정수여야 한다.

두 대수적 정수의 합과 곱은 여전히 대수적 정수이다. 따라서 $K$ 의 대수적 정수는 $\mathcal{O}_K$ 로 표시되는 환을 형성하며, 이는 $K$ 의 정수환이라고 불린다. 체 $K$ 는 정역 $\mathcal{O}_K$ 의 분수체이다.

일반적인 데데킨트 환의 경우, 특히 정수환의 경우, 아이디얼은 소 아이디얼의 곱으로 유일하게 소인수분해된다. 예를 들어, 이차 정수의 환인 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 아이디얼 $(6)$ 은 다음과 같이 소 아이디얼로 인수분해된다.
: $(6) = (2, 1 + \sqrt{-5})(2,1 - \sqrt{-5})(3, 1 + \sqrt{-5})(3, 1 - \sqrt{-5})$
그러나 $\mathbf{Q}$ 의 정수환인 $\mathbf{Z}$ 과는 달리, $\mathbf{Q}$ 의 고유한 확대체의 정수환은 숫자를 유일 인수 분해 정역으로 유일하게 인수분해하는 것을 허용하지 않아도 된다. 예를 들어 $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5})} = \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 인수분해의 유일성이 실패한다.
: $6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5}) \cdot (1 - \sqrt{-5})$
유클리드 정역은 유일 인수 분해 정역이다. 예를 들어, 가우스 정수의 환인 $\mathbf{Z}[i]$ 와 아이젠슈타인 정수의 환은 이러한 속성을 가진다.

$\mathcal{O}_K$ 의 부분 집합에서, 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 는 소 아이디얼이다.

반대로, $\mathcal{O}_K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ 가 주어지면, 아이디얼의 n차 거듭제곱인 가장 큰 정수 n을 $v_\mathfrak{p}(x) = n$ 으로 설정하여 이산 값 매김을 정의할 수 있다. 이 값 매김은 극대 자리를 만들 수 있다. 이 대응 관계에서, $K$ 의 극대 자리 (동치류)는 $\mathcal{O}_K$ 의 소 아이디얼에 해당한다. $K = \mathbb{Q}$ 에 대해, 이것은 오스트로프스키 정리를 되돌려준다.

극대 자리를 설명하는 또 다른 동등한 방법은 $\mathcal{O}_K$ 의 국소화를 사용하는 것이다. 수체 $K$ 에 극대 자리 $v$ 가 주어지면, 해당 국소화는 $K$ 의 부분환 $T$ 이다. $T$ 는 $\mathcal{O}_K$ 를 포함한다. $K$ 의 모든 원소 x에 대해, x 또는 x⁻¹ 중 적어도 하나가 $T$ 에 포함된다. $T$ 는 이산 값 매김 환이고, 특히 국소 환이다.

전반적으로, 수체에서 극대 절대값, 소 아이디얼 및 국소화 간에는 세 가지 방식의 동치 관계가 있다.

n차 대수체 K에 포함된 대수적 정수 전체의 집합 $\mathcal{O}_K$ 는 다음을 만족한다.

# $\mathcal{O}_K$ 는 정역이다.
# $\mathcal{O}_K$ 는 유리 정수환 상의 랭크 n의 자유 가군이다.
# $\mathcal{O}_K$ 는 정폐포이다.
# $\mathcal{O}_K$ 는 데데킨트 정역이다.
# 일반적으로 $\mathcal{O}_K$ 는 유일 인수 분해 정역이 아니다.

특별한 대수체의 정수환에 대해서는 그 수론적 성질이 자세히 연구되어 있으며, 특별한 명칭이 붙어 있다.

; 가우스 정수
: $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 의 정수환, $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ 을 말한다.
; 아이젠슈타인 정수
: $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 의 정수환, $\mathbb{Z}[(-1+\sqrt{-3})/2]$ 를 말한다.

3.1.1. 정수 기저

integral basis^영어는 대수적 정수환의 (자유 아벨 군으로서의) 기저이다.

차수 n의 수체 $K$ 의 정수 기저는 $\mathcal O_K$ 의 기저 $\{b_1,\dots,b_n\}$ 이다. 따라서 $K$ 의 모든 대수적 정수는
: $\sum_{i=1}^nk_ib_i$ ( $k_i\in\mathbb Z$ )
로 유일하게 나타낼 수 있다. 또한, $K$ 의 모든 원소는
: $\sum_{i=1}^nr_ib_i$ ( $r_i\in\mathbb Q$ )
의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.

일부 수체의 경우, 정수 기저가
: $b_i=b_1^i, \forall i=1,\dots,r_1+2r_2$
가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 power integral basis^영어라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 monogenic field^영어라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.

3.1.2. 정칙 표현

$n$ 차 수체 $K$ 의 정수 기저 $v_1,\dots,v_n\subset\mathcal O_K$ 가 주어졌을 때, K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $x v_i = \sum a_{ij} v_j.$

x를 곱하는 연산은 유리수 계수 정사각 행렬

: $X = (a_{ij})_{i,j=1,\dots,n}$

으로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v₁, ..., v_n에 대한 정칙 표현(regular representation^영어)이라고 한다. 이때, 행렬의 대각합, 행렬식, 고유 다항식 등의 불변량은 $x$ 에 의해 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.

$X$ 의 고유 다항식

: $\det(\lambda-X)=\lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+\cdots+c_n$

은 $x$ 를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, $X$ 의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.

: $\operatorname{tr}X=-c_1$
: $\det X=(-1)^nc_n$

$X$ 의 대각합은 $\operatorname T_{K/\mathbb Q}(x)$ 로 쓰고, $x$ 의 대각합이라고 한다. $X$ 의 행렬식은 $\operatorname N_{K/\mathbb Q}(x)$ 로 쓰고, $x$ 의 노름이라 한다.

대각합과 노름은 다음 성질들을 만족시킨다.

* (대각합의 선형성) $\operatorname T_{K/\mathbb Q}(ax+by)=a\operatorname T_{K/\mathbb Q}(x)+b\operatorname T_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a,b\in\mathbb Q$
* (노름의 승법성) $\operatorname N_{K/\mathbb Q}(axy)=a^n\operatorname N_{K/\mathbb Q}(x)\operatorname N_{K/\mathbb Q}(y)\qquad\forall x,y\in K,\;a\in\mathbb Q$

3.1.3. 판별식

수체의 판별식(判別式, discriminant^영어)은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽하게 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다.

수체 $K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 정수 기저 $\{b_1,\dots,b_r\}\subset O_K$ 를 고른다 ( $r=r_1+2r_2$ ). $K$ 의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
: $\sigma_1^{\mathbb R},\dots,\sigma_{r_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R$
: $\sigma_1^{\mathbb C},\dots,\sigma_{r_2}^{\mathbb C}\colon K\hookrightarrow\mathbb C$
그렇다면 다음과 같은 $r\times r$ 정사각 행렬을 정의할 수 있다.
: $M=\begin{pmatrix}\sigma_1^{\mathbb R}(b_1)&\cdots\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(b_1)&\sigma_1^{\mathbb C}(b_1)&\cdots\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(b_1)&\bar\sigma_1(b_1)&\cdots&\bar\sigma_{r_2}(b_1)\\\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\\sigma_1^{\mathbb R}(b_r)&\cdots\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(b_r)&\sigma_1^{\mathbb C}(b_r)&\cdots\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(b_r)&\bar\sigma_1(b_r)&\cdots&\bar\sigma_{r_2}(b_r)\\\end{pmatrix}$
이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 $K$ 의 판별식 $\Delta_K$ 라고 한다.
: $\Delta_K=(\det M)^2$

수체의 판별식 $\Delta_K$ 는 다음과 같은 성질을 가진다.
* 브릴 정리(Brill’s theorem^영어): 수체의 판별식의 부호는 $\operatorname{sgn}\Delta_K=(-1)^{r_2(K)}$ 이다. (판별식은 항상 0이 아니다.)
* 슈티켈베르거 정리(Stickelberger’s theorem^영어): 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.
*: $\Delta_K\equiv 0,1\pmod 4$
* 민코프스키 하한(Minkowski’s bound^영어): 다음과 같은 부등식이 성립한다. 여기서 $r=r_1+2r_2=[K:\mathbb Q]$ 이다.
*: $\sqrt$

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\ge\frac{r^r}{r!}\left(\frac\pi4\right)^{r_2}
* 민코프스키 정리(Minkowski’s theorem^영어): 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다. (유리수체의 판별식은 1이다.) 이는 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.
*:

|\Delta_K|\ge2\qquad(K\ne\mathbb Q)

* 에르미트-민코프스키 정리(Hermite–Minkowski theorem^영어): 주어진 판별식을 가진 수체(의 동형류)의 수는 유한하다. 이 역시 민코프스키 하한으로부터 바로 유도된다.

K

의 정수 기저

\{\omega_1,\ldots,\ \omega_n\}

에 대해, 다음 형태의 행렬식을 생각한다.

:

\Delta(\omega_1,\ldots,\omega_n) = \begin{vmatrix}\omega_1^{(1)} & \omega_2^{(1)} & \cdots & \omega_n^{(1)} \\ \omega_1^{(2)} & \omega_2^{(2)} & \cdots & \omega_n^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \omega_1^{(n)} & \omega_2^{(n)} & \cdots & \omega_n^{(n)}\end{vmatrix}

그러면,

\Delta(\omega_1,\ldots,\omega_n)^2

는 정수 기저의 선택에 관계없이 일정한 값이다.

\Delta(\omega_1,\ldots,\omega_n)^2

을 K의 판별식(

D_K

)이라고 한다.

; 판별식의 성질
:# 임의의 대수적 수체 K에 대해, 판별식은 0이 아닌 유리 정수이다.
:# 민코프스키 정리: 유리수체와 다른 대수적 수체의 판별식은

\pm 1

과 다르다. (즉,

|D_K| > 1

이 된다.)
:# 에르미트 정리: 임의의 양수 N에 대해, 판별식의 절대값이 N 이하인 대수적 수체는 유한 개만 존재한다.
:# 슈티켈베르거 정리: 대수적 수체 K의 판별식

D_K

에 대해,

D_K\equiv 0,\ 1

(mod 4)이다.
:# n차 대수적 수체 K의 판별식

D_K

에 대해,

|D_K|^{1/2} \ge \frac{n^n}{n!}\left(\frac{n}{4}\right)^{n/2}

이다.

3.2. 곱셈 구조

대수적 정수환의 곱셈 구조는 디리클레 가역원 정리, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등을 통해 연구된다.

일반적으로 데데킨트 환인 대수적 정수환에서는 아이디얼은 소 아이디얼의 곱으로 유일하게 소인수분해된다. 그러나, 이차 정수환인 $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 아이디얼 $(6)$ 은 다음과 같이 소 아이디얼로 인수분해되는데, 이는 유일 인수 분해가 성립하지 않는 예시이다.

: $(6) = (2, 1 + \sqrt{-5})(2,1 - \sqrt{-5})(3, 1 + \sqrt{-5})(3, 1 - \sqrt{-5})$

$\mathbb{Q}$ 의 정수환인 $\mathbb{Z}$ 와는 달리, $\mathbb{Q}$ 의 고유한 확대체의 정수환은 숫자를 유일 인수 분해 정역으로 인수분해하는 것을 허용하지 않아도 된다. 예를 들어 $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5})} = \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$ 에서 다음과 같이 인수분해의 유일성이 실패한다.

: $6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5}) \cdot (1 - \sqrt{-5})$

체 노름을 사용하면 이 두 인수분해가 실제로 $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5})}$ 의 단위에 의해 인수들이 달라지는 의미에서 동등하지 않다는 것을 보일 수 있다. 유클리드 정역은 유일 인수 분해 정역이다. 예를 들어 가우스 정수의 환인 $\mathbf{Z}[i]$ 와 $\omega$ 가 1과 같지 않은 3차 1의 거듭제곱근인 아이젠슈타인 정수의 환인 $\mathbf{Z}[\omega]$ 는 이러한 속성을 가진다.

대수적 수체 K의 아이디얼 군을 $J_K$ 라고 하고, $J_K$ 에 포함된 단항 아이디얼 전체를 $P_K$ 라고 하면, $P_K$ 는 $J_K$ 의 부분군이 된다. 잉여군 $J_K/P_K$ 를 K의 아이디얼 유군(ideal class group)이라고 한다.

아이디얼 유군은 임의의 대수적 수체에 대해 유한군이다.

3.2.1. 디리클레 가역원 정리

$K$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 가역원군 $\mathcal O_K^\times$ 은 유한 생성 아벨 군이며, 디리클레 가역원 정리(Dirichlet unit theorem^영어)에 따르면 다음과 같은 꼴이다.

: $\mathcal O_K^\times\cong\operatorname{Cyc}(w_k)\oplus\mathbb Z^{\oplus(r_1+r_2-1)}$

여기서 $\operatorname{Cyc}(w_K)$ 는 $K$ 에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 유한 순환군이며, $w_K$ 는 $K$ 에 속한 1의 거듭제곱근들의 수이다. $r_1$ 은 실수 자리 수, $r_2$ 는 복소수 자리 수이다. 즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 $r_1+r_2-1$ 이다.

예를 들어, 다음과 같다.

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수체	가역원군	실수 자리 수 $r_1$	복소수 자리 수 $r_2$	가역원군의 크기	차수
$\mathbb Q$	$\{\pm1\}$	1	0	0	1
$\mathbb Q(\sqrt d)$ ( $d$ 는 양의 무제곱 정수)		2	0	1	2
$\mathbb Q(\sqrt{-d})$ ( $d$ 는 양의 무제곱 정수)		0	1	0	2
$\mathbb Q(i)$ (가우스 정수)	$\{\pm1,\pm i\}$	0	1	0	2
$\mathbb Q(\omega)/(\omega^2+\omega+1)$ (아이젠슈타인 정수)	$\{\pm1,\pm \omega,\pm\omega^2\}$	0	1	0	2

디리클레 단수 정리에서 주어지는

\eta_1,\ldots,\ \eta_{r_1+r_2-1}

을 기본 단수계라고 하며, 각각을 기본 단수라고 한다. 기본 단수계는 K에 대해 한 세트만 존재하는 것은 아니며, 일반적으로 무한히 존재한다.

3.2.2. 가역원 기준

수체의 가역원 기준은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽하게 존재하는지를 나타내는 불변량이다. 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다.

대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 가역원군 $\mathcal O_K^\times$ 이 주어졌다고 하자. $K$ 에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 $\operatorname{Cyc}(m)=\{1,\zeta_m,\zeta_m^2,\dots\}$ 에 대한 몫군
: $\mathcal O_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)$
을 생각하자. 이 군의 생성원
: $\mathcal O_K^\times/\operatorname{Cyc}(r)=\langle u_1,\dots,u_r\rangle$
을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, $r=r_1(K)+r_2(K)-1$ 이다 ( $r_1(K)$ 은 실수 자리의 수, $r_2(K)$ 는 복소수 자리의 수).

$K$ 의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
: $\sigma^{\mathbb R}_1,\dots,\sigma_{r_1}^{\mathbb R}\colon K\hookrightarrow\mathbb R$
: $\sigma_1^{\mathbb C},\dots,\sigma^{\mathbb C}_{r_2}\colon K\hookrightarrow\mathbb C$

다음과 같은 $r\times(r+1)$ 행렬을 생각하자.
: $M=\begin{pmatrix}\ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_1)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_1)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_1)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_1)|\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\\ln|\sigma_1^{\mathbb R}(u_r)|&\cdots&\ln|\sigma_{r_1}^{\mathbb R}(u_r)|&2\ln|\sigma_1^{\mathbb C}(u_r)|&\cdots&2\ln|\sigma_{r_2}^{\mathbb C}(u_r)|\\\end{pmatrix}$

$M$ 의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.
: $\sum_jM_{i,j}=\ln\left|f_1(u_i)\cdots f_{r_1}(u_i)g_1(u_i)^2\cdots g_{r_2}(u_i)^2\right|=\ln|\operatorname N_{K/\mathbb Q}(u_i)|=0\quad\forall i=1,\dots,r$

$M$ 에서 임의의 한 열 $M_{-,j}$ 을 제거한 $r\times r$ 정사각 행렬을 $M_{-,\hat j}$ 라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 $\det M_{-,\hat j}$ 는 $j$ 에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 $u_i$ 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 $K$ 의 가역원 기준 $\operatorname{Reg}_K$ 라고 한다.
: $\operatorname{Reg}_K=\det M_{-,\hat j}\quad\forall j=1,\dots,r+1$

대수적 수체 K의 기본 단수를 $\eta_1,\ldots,\ \eta_{r}$ 라고 하고,

: $l^{(i)}_j = \begin{cases}\log|\eta^{(i)}_j| & (\eta_i\in\mathbb{R}) \\ 2\log|\eta^{(i)}_j| & (\eta_i\not\in\mathbb{R})\end{cases}$

라고 할 때

: $R[\eta_1,\ldots,\eta_r] = \begin{vmatrix}l^{(1)}_1 & \cdots & l^{(1)}_r \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ l^{(r)}_1 & \cdots & l^{(r)}_r\end{vmatrix}$

라고 두면, 앞서 언급한 기본 단수계가 되는 조건으로부터, $|R[\eta_1,\ldots,\eta_r]|$ 는 기본 단수계에 의존하지 않고 일정한 값을 가진다. 이 값을 K의 단수 기준 또는 레귤레이터라고 한다.

3.2.3. 유일 인수 분해의 실패와 아이디얼 유군

대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 데데킨트 정역인 대수적 수체는 유일 인수 분해 정역이면 항상 주 아이디얼 정역이다.

유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 $H_K$ 및 그 크기인 유수(類數) $h_K=|H_K|$ 를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수를 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.

대수체 K의 아이디얼 군을 $J_K$ 라고 하고, $J_K$ 에 포함된 단항 아이디얼 전체를 $P_K$ 라고 하면, $P_K$ 는 $J_K$ 의 부분군이 된다. 잉여군 $J_K/P_K$ 를 K의 아이디얼 유군(ideal class group)이라고 한다.

; 아이디얼 유군의 성질
# 임의의 대수적 수체에 대해, 아이디얼 유군은 유한군이다.
대수적 수체 K의 아이디얼류군 $C_K$ 는 유한군이지만, 아이디얼류군의 크기를 류수(class number)라고 한다.
일반적인 대수체에 대해, 유수를 구하는 공식이 있으며, 이를 일반적으로 유수 공식 (class number formula)이라고 한다.

;유수 공식
: K 를 대수체로 하고, K 의 실 공역체, 허 공역체의 수를 각각 $r_1,\ 2r_2$ 로 하고, w 를, K 에 포함되는 1의 멱근의 수로 한다. R , $D_K$ 를, 각각 K 의 단수 기준, 판별식으로 하고, $\zeta_K(s)$ 를 데데킨트의 제타 함수로 했을 때, K 의 유수 $h_K$ 는, 다음 식으로 구할 수 있다.
: $h_K = \frac{w|D_K|^{1/2}}{2^{r_1}(2\pi)^{r_2}R}\mbox{Res}_{s=1}\zeta_K(s)$

하지만, 주어진 대수체의 유수를 구하는 것은 매우 어렵다. 이차체의 유수 공식이나 원분체의 유수 공식을 보면, 유수를 구하는 것이 얼마나 어려운지 알 수 있을 것이다.

3.2.4. 분기화

대수기하학적으로, 포함 관계 $\mathbb Z\hookrightarrow\mathcal O_K$ 는 반대로 스킴 사상 $\operatorname{Spec}\mathcal O_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화(ramification^영어)가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.

수체 $K/\mathbb Q$ 및 소수 $p\in\mathbb Z^+$ 가 주어졌을 때, $p$ 로 생성되는 주 아이디얼은 $\mathcal O_K$ 에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.
: $(p)=\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\dotsb\mathfrak p_k^{e_k}$
여기서 $e_i$ 를 $K$ 의 $\mathfrak p_i$ 에서의 분기 지표(ramification index^영어)라고 한다.

이 경우, $p$ 는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
* 만약 $e_i>1$ 인 $\mathfrak p_i$ 가 존재한다면, $p$ 는 분기화된다(ramified^영어).
* 만약 모든 $e_i=1$ 이라면, $p$ 는 분기화되지 않는다(unramified^영어).
만약 $k=1$ 이라면, $p$ 는 분해되지 않는다(unsplit^영어).
만약 $k>1$ 이지만 $e_1=e_2=\dots=e_k=1$ 이라면, $p$ 는 (다른 소수들의 곱으로) 분해된다(split^영어).

수체 $K/\mathbb Q$ 에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
* 소수 $p$ 는 분기화된다.
* $\mathcal O_K/(p)=\prod_i\mathcal O_K/\mathfrak p_i^{e_i}$ 는 0이 아닌 멱영원을 갖는다. (중국인의 나머지 정리)
* $p\mid\Delta_K$ . 여기서 $\Delta_K$ 는 $K$ 의 판별식이다.
판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.

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일반적으로, 분기는 유한 대 일 맵(즉, 모든 점 y의 역상이 유한한 수의 점으로만 구성된 맵 $f:X\to Y$ )에서 발생할 수 있는 기하학적 현상을 설명한다. 섬유 f⁻¹(y)의 기수는 일반적으로 동일한 수의 점을 갖지만, 특별한 점 y에서는 이 수가 감소하는 경우가 발생한다. 예를 들어, 맵
: $\mathbb C \to \mathbb C , z \mapsto z^n$
는 각 섬유에 n개의 점, 즉 t의 n개의 (복소수) 근을 갖지만, t = 0에서는 섬유가 단 하나의 요소, z = 0으로 구성된다. 이 맵은 0에서 "분기된다"고 한다. 이것은 리만 곡면의 분기 피복의 예이다. 이 직관은 또한 대수적 수론에서 분기를 정의하는 데에도 사용된다. 수체 $K/L$ 의 (필연적으로 유한한) 확장이 주어지면, $\mathcal{O}_L$ 의 소 아이디얼 p는 $\mathcal{O}_K$ 의 아이디얼 $p\mathcal{O}_K$ 를 생성한다. 이 아이디얼은 소 아이디얼일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있지만, 라스커-뇌터 정리에 따르면 항상 다음을 통해 주어집니다.
:pO_$K$ = q₁^e₁ q₂^e₂ ⋯ q_m^e_m
여기서 $\mathcal{O}_K$ 의 고유하게 결정된 소 아이디얼 q_i와 숫자(분기 지수라고 함) e_i가 있다. 분기 지수가 1보다 클 때마다 소 p는 $K$ 에서 분기된다고 한다.

이 정의와 기하학적 상황 간의 연결은 링의 스펙트럼 맵 $\mathrm{Spec}\mathcal{O}_K \to \mathrm{Spec}\mathcal{O}_L$ 에 의해 제공된다. 실제로 스키마의 비분기 사상은 대수 기하학에서 수체의 비분기 확장의 직접적인 일반화이다.

분기는 순전히 국소적인 속성이며, 즉, 소수 p와 q_i 주변의 완전에만 의존한다. 관성군은 어떤 위치에서의 국소 갈루아 군과 관련된 유한 잔여체의 갈루아 군 사이의 차이를 측정한다.

4. 자리

오스트롭스키 정리(Ostrowski’s theorem^영어)에 따르면, 수체 $K$ 위의 자명하지 않은 자리는 다음과 같이 분류된다.

* 실수 매장 $\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb R$ 에 대해 $|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb R}\circ\iota$ 로 정의되는 실수 무한 자리가 있다. 여기서 $|\cdot|_{\mathbb R}$ 는 실수 위의 표준 절댓값이다.
* 복소수 매장 $\iota\colon K\hookrightarrow\mathbb C$ ( $\iota(K)\not\subset\mathbb R$ )에 대해 $|\cdot|_\iota=|\cdot|_{\mathbb C}\circ\iota$ 로 정의되는 복소수 무한 자리가 있다. 여기서 $|\cdot|_{\mathbb C}$ 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이때, $\iota$ 와 켤레 복소수 매장 $\bar\iota$ 는 같은 절댓값을 정의한다.
* 대수적 정수환 $\mathcal O_K$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대해 정의되는 $\mathfrak p$ 진 절댓값의 자리인 유한 자리가 있다.

무한 자리와 유한 자리는 p진수체의 대수적 폐포 $\bar{\mathbb Q}_p$ 로의 매장과 대응된다. 즉, $\mathfrak p\mid(p)$ 라면, $\mathfrak p$ 진 자리는 매장 $K\hookrightarrow\bar{\mathbb Q}_p$ 을 정의하며, 절대 갈루아 군 $\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb Q}_p/\mathbb Q_p)$ 의 작용에 의해 관련되는 매장들은 같은 위치를 정의한다.

수체 $K$ 는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식이 성립한다.

: $\prod_v|a|_v=1, \forall a\in K^\times$

여기서 $\textstyle\prod_v$ 는 $K$ 의 모든 자리에 대한 곱이며, $|-|_v$ 는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

* 자명 자리 $|\cdot|_0$
* 소수 $p$ 에 대하여, $p$ 진 자리 $|\cdot|_p$
* 하나의 실 무한 자리 $|\cdot|_\infty$

5. 수체의 기타 불변량

종수체(genus field), 힐베르트 유체(Hilbert class field), 데데킨트 제타 함수(Dedekind zeta function), 아델 환(adele ring), 이델 군(idele group) 등은 수체의 중요한 불변량이다.

* 종수체(genus field^영어) $G/K$ : $K$ 의 아벨 확대이다. 갈루아 군은 종수군(genus group^영어)이라고 하며, 종수체의 차수는 종수(genus^영어) $g(K)=[G:K]$ 이다. 대수 곡선의 종수와 유사한 성질을 보이는 양의 정수이다.
* 힐베르트 유체(Hilbert class field^영어) $E/K$ : $K$ 의 아벨 확대이다. $E/K$ 의 갈루아 군은 $K$ 의 아이디얼 유군과 같다.
* 데데킨트 제타 함수(Dedekind zeta function^영어) $\zeta_K(s)$ : 유리형 함수이며, 다른 불변량들에 대한 다양한 정보를 담고 있다.
* 아델 환(adele ring^영어) $\mathbb A_K$ : 위상환을 이룬다. 가역원군은 이델 군(idele group^영어)이라고 한다. 이들은 유체론에 자주 등장한다.

6. 예시

다음은 대수적 수체의 몇 가지 예이다.

* 유리수체: 가장 기본적인 수체로, 모든 대수적 수체의 부분체이다. 차수가 1인 유일한 수체이다.
* 이차 수체: 유리수체에 제곱근 $\sqrt{d}$를 추가하여 얻어진다. 여기서 $d$는 제곱 인수가 없는 정수이다. $d$가 양수이면 실수 이차 수체, 음수이면 허수 이차 수체라고 한다.
* 원분체: 유리수체에 1의 거듭제곱근 $\zeta_n$을 추가하여 얻어진다.
* $\mathbb Q(\sqrt[3]2)$: 정규 확대가 아닌 수체의 예시이다. $x^3-2$의 세 근 가운데 하나만 포함하기 때문이다.
* $x^3-x^2-2x-8$의 한 근으로 생성되는 수체는 단일생성체가 아닌 3차 수체이다.

6.1. 유리수체

유리수체 $\mathbb Q$ 는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.

오스트롭스키 정리(Ostrowski’s theorem^영어)에 따르면, 유리수체 $\mathbb Q$ 는 다음과 같은 자리들을 가진다.

* 자명한 자리
*: $|x|=\begin{cases}0&x=0\\1&x\ne0\end{cases}$
* 표준 자리 (통상적인 절댓값)
* 소수 p에 대하여, p진 자리
*: $\begin{cases}|0|&=0\\|p^na/b|_p=p^{-n}\end{cases}$
*: ( $a,b,p$ 는 서로소)

특히, $\mathbb Q$ 는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.

: $r_1(\mathbb Q)=1$
: $r_2(\mathbb Q)=0$

유리수체의 대수적 정수환은 정수환 $\mathbb Z$ 이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.

유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.

: $\operatorname T_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=\operatorname N_{\mathbb Q/\mathbb Q}(x)=x$

유리수체의 대수적 정수환 $\mathbb Z$ 의 정수 기저는 $\{1\}$ 을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.

: $\Delta_{\mathbb Q}=\left(\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\right)^2=1$

유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 $\{\pm1\}$ 이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.

: $\operatorname{Reg}_{\mathbb Q}=1$

유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 $\zeta(s)$ 이다. 리만 제타 함수의 $s=1$ 에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다.

: $1=\frac{2^{r_1(\mathbb Q)}(2\pi)^{r_2(\mathbb Q)}h_{\mathbb Q}\operatorname{Reg}_{\mathbb Q}}{|\operatorname{Tors}(\mathcal O_{\mathbb Q}^\times)|\sqrt$

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}=\frac{2^1\cdot(2\pi)^0\cdot1\cdot1}{2\cdot\sqrt

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}=1

6.2. 이차 수체

제곱 인수가 없는 정수 $d$ 에 대하여, 이차 수체는 다음과 같이 정의된다.
: $\mathbb Q(\sqrt d)=\mathbb Q+\sqrt d\mathbb Q=\mathbb Q[x]/(x^2-d)$
이는 유리수체의 2차 확대이다. $d$ 가 양수일 경우 실수 이차 수체, 음수일 경우 허수 이차 수체라고 한다. 예를 들어 가우스 유리수체 $\mathbb Q(i)$ 는 이차 수체의 특수한 예이다. 또 다른 예로, $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ 는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다.

기저를 $\{1,\sqrt d\}$ 로 잡으면, 이차 수체의 각 원소
: $a+b\sqrt d\in\mathbb Q(\sqrt d)$
는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 표현할 수 있다.
: $a+b\sqrt d\mapsto\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}$
이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.
: $T(a+b\sqrt d)=2a$
: $N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2$

이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 $d$ 에 대하여,
: $\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d\equiv1\pmod4\\4d&d\equiv 2,3\pmod4\end{cases}$
이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식(fundamental discriminant^영어)이라고 한다. 양의 기본 판별식과 음의 기본 판별식은 다음과 같다.

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양의 기본 판별식	음의 기본 판별식
1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, …	−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, …

6.3. 원분체

원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 $\zeta_n$ 을 추가하여 정의한다.
: $\mathbb Q(\zeta_n)=\mathbb Q[x]/(x^n-1)$
아이젠슈타인 유리수 $\mathbb Q(\zeta_3)$ 는 특수한 예시이다.

$n>2$ 일 때, 원분체 $\mathbb Q(\zeta_n)$ 의 판별식은 다음과 같다.
: $\Delta_{\mathbb Q(\zeta_n)} = (-1)^{\varphi(n)/2}n^{\varphi(n)}\prod_{p|n} p^{-\varphi(n)/(p-1)}$
여기서
* $\varphi(n)$ 은 오일러 피 함수이다.
* $\prod_{p|n}$ 은 $n$ 의 소인수들에 대한 곱이다.

원분체 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ ( $\zeta_n = \exp{(2\pi i /n)}$ )는 원시 $n$ 번째 단위근 $\zeta_n$ 을 $\mathbb{Q}$ 에 결합하여 얻은 수체이다. 이 체는 모든 복소수 n번째 단위근을 포함하며, $\mathbb{Q}$ 에 대한 차원은 오일러 피 함수 $\varphi(n)$ 과 같다.