발산 (벡터)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 수학적 정의
- 2.2. 물리적 해석
3. 좌표계에서의 표현
4. 텐서장의 발산
- 4.1. 2차 텐서장의 발산 (직교좌표계)
5. 일반 좌표계에서의 발산
6. 성질
7. 분해 정리 (헬름홀츠 분해)
8. 외미분과의 관계
9. 일반화
참조

1. 개요

발산 (벡터)은 벡터장이 주어진 점에서 소스 또는 싱크처럼 얼마나 행동하는지를 나타내는 척도이다. 밖으로 나가는 플럭스가 있는 지점은 양의 발산을 가지며, 플럭스가 안쪽으로 향하는 지점은 음의 발산을 갖는다. 발산은 부피에 비해 작은 영역의 표면을 지나는 벡터장의 순흐름으로 정의되며, 수학적으로는 닫힌 표면을 통과하는 플럭스의 극한으로 표현된다. 발산은 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 좌표계에서 표현될 수 있으며, 텐서장으로도 일반화된다. 발산은 선형 연산자이며, 스칼라 함수와 벡터장의 곱, 두 벡터장의 외적, 스칼라장의 경사, 벡터장의 회전에 대한 성질을 갖는다. 또한 헬름홀츠 분해를 통해 비회전 성분과 비발산 성분으로 분해될 수 있으며, 외미분, 일반 좌표계, 텐서로 일반화될 수 있다.

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발산 (벡터)
개요
분야	벡터 미적분학
정의	어떤 점에서의 벡터장의 "source"의 양
기호	div F, ∇ ⋅ F
정의	∑i1 ∂F / ∂x}}
성질	발산은 스칼라장이다.
발산 정리	∬(S) F ⋅ dS}}
발산 (벡터)
수학 분야	벡터 해석
정의	벡터장의 한 점에서 "source"의 양
기호	div F, ∇ ⋅ F
공식	⋅ = ∑i1 ∂F / ∂x
노트	발산은 스칼라장이다.
정리	∬(S) F ⋅ dS}}

2. 정의

발산은 벡터장의 미소 부피에서의 순 흐름을 측정하는 값으로 정의된다. 3차원 벡터장의 발산은 각 지점에서 해당 벡터장이 유입 또는 유출과 같은 유동적 행위를 하는 정도를 나타낸다. 이는 공간의 무한소 영역에서 들어오는 것보다 나가는 것이 얼마나 많은지를 나타내는 "바깥 방향 정도"를 국소적으로 측정하는 것이다. 발산이 그 점에서 0이 아니라면, 그 위치는 솟아나는 지점이나 배출 지점이어야 한다.^[6]

어디에서나 발산이 0인 벡터장은 ''솔레노이드''라고 하며, 이 경우 모든 닫힌 표면은 그 위에 순 플럭스가 없다.

2. 1. 수학적 정의

3차원 벡터장 '''F'''의 발산은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \lim_{V \rightarrow 0} \iint_{S(V)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \over V } \; dS

여기서

V

는 점 p를 포함하는 임의의 부피,

S(V)

는 주어진 부피의 표면적, '''n'''은 표면적에 수직인 단위 법선 벡터이다.^[6]

좀 더 직관적으로 설명하자면, 점

\mathbf{x_0}

에서의 벡터장

\mathbf{F}(\mathbf{x})

의 발산은

\mathbf{x_0}

를 포함하는 부피

V

의 닫힌 표면 밖으로의

\mathbf{F}

의 표면 적분과

V

의 부피의 비율의 극한으로 정의되며,

V

가 0으로 수렴할 때 다음과 같다.

:

\left. \operatorname{div} \mathbf{F} \right|_\mathbf{x_0} = \lim_{V \to 0} \frac{1}

\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS

여기서

는

V

의 부피이고,

S(V)

는

V

의 경계이며,

\mathbf{\hat n}

는 해당 표면에 대한 바깥쪽 단위 법선이다. 위의 극한은

\mathbf{x_0}

를 포함하고 0의 부피에 접근하는 모든 부피의 수열에 대해 항상 동일한 값으로 수렴하는 것으로 나타낼 수 있다. 그 결과

\operatorname{div} \mathbf{F}

는

\mathbf{x}

의 스칼라 함수이다.

이 정의는 좌표에 의존하지 않으므로 발산은 모든 좌표계에서 동일하다.

2. 2. 물리적 해석

벡터장의 발산은 주어진 점에서 벡터장 플럭스가 소스 또는 싱크처럼 얼마나 행동하는지를 나타내는 척도이다. 플럭스가 나가는 지점은 양의 발산을 가지며, "소스"라고 불린다. 플럭스가 안쪽으로 향하는 지점은 음의 발산을 가지며, "싱크"라고 불린다. 주어진 점을 둘러싼 작은 표면을 통과하는 장의 플럭스가 클수록 해당 지점에서의 발산 값도 커진다. 둘러싸는 표면을 통해 플럭스가 0인 지점은 발산이 0이다.^[6]

예를 들어, 움직이는 기체의 속도장을 생각해보자. 기체가 가열되면 팽창하여 모든 방향으로 기체 입자가 바깥으로 운동한다. 따라서 속도장은 모든 곳에서 양의 발산을 갖는다. 반대로 기체가 냉각되면 수축하여 모든 곳에서 음의 발산을 갖는다. 일정한 온도와 압력의 기체에서는 모든 닫힌 표면에서 기체의 순수한 유출 플럭스가 0이므로, 기체 속도는 모든 곳에서 0의 발산을 갖는다. 이처럼 모든 곳에서 0의 발산을 갖는 장을 솔레노이드라고 한다.

어떤 지점에서만 기체가 가열되거나, 기체의 소스가 공급되면, 그곳의 기체는 팽창하여 주변의 유체 입자를 모든 방향으로 밀어낸다. 이 가열된 지점에는 양의 발산이 존재하지만, 해당 지점을 둘러싸지 ''않는'' 모든 닫힌 표면은 내부의 기체 밀도가 일정하므로, 부피로 들어오는 유체 입자만큼 나가는 유체 입자도 있어서 부피에서 순수한 유출 플럭스는 0이 된다. 따라서 다른 모든 지점에서의 발산은 0이다.

3차원 벡터장의 발산은 각 지점에서 해당 벡터장이 유입 또는 유출과 같은 유동적 행위를 하는 정도를 국소적으로 측정하는 것이다. 만약 발산이 그 점에서 0이 아니라면, 그 위치는 솟아나는 지점이나 배출 지점이어야 한다.^[6]

점 에서의 벡터장 의 발산은, 영역 의 매끄러운 경계 와 교차하는 의 순 흐름을 영역 의 부피 로 나눈 값에, 영역 를 한 점 로 수렴시킬 때의 극한으로 정의된다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

(\operatorname{div}\boldsymbol{F})_p :=\lim_{\Omega \to \{p\}} \frac{1}{\operatorname{vol}(\Omega)} \oint_{\operatorname{bd}(\Omega)} (\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n})\, dS

여기서 적분은 경계면에 직교하는 바깥 방향의 단위 법선 벡터장 을 갖는 면적분이다. 는 의 유속의 '''유출 밀도'''('''발산 밀도''')라고 할 수 있다.

모든 점에서 발산이 0이 되는 벡터장은 '''비압축성''' 또는 '''관상''' 이라고 하며, 이 경우 임의의 폐곡면에 대해 교차하는 순 흐름은 존재하지 않는다.

발산 정리는 영역에서 흘러나가는 순 흐름을, 모든 솟아나는 양의 합에서 모든 배출량의 합을 빼는 방식으로 계산할 수 있다는 직관을 정교하게 다듬은 것이다.

3. 좌표계에서의 표현

발산은 직교좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다.

3. 1. 직교좌표계 (데카르트 좌표계)

''x'', ''y'', ''z''가 3차원 유클리드 공간을 나타내는 직교좌표계이고, '''i''', '''j''', '''k'''를 각각에 해당하는 단위벡터라고 할 때, 연속이고 미분가능한 벡터장 '''F''' = ''F_x'' '''i''' + ''F_y'' '''j''' + ''F_z'' '''k'''의 발산은 각 지점에서 다음과 같은 스칼라 값을 갖는 스칼라 함수가 된다.

:

\operatorname{div}\,\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}

발산은

\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{F}

으로도 많이 쓰이며, 나블라 연산자(델 연산자,

\boldsymbol{\nabla}

)와 벡터장 사이의 도트는 벡터 간의 내적을 연상시키기 때문에

\boldsymbol{\nabla}

를 하나의 벡터로 보고 각 성분을 좌표의 편미분으로 생각하면 정의와 부합한다.

3. 2. 원통 좌표계

국소 단위 원통 좌표계로 표현된 벡터의 경우,

:

\mathbf{F}= \mathbf{e}_r F_r + \mathbf{e}_\theta F_\theta + \mathbf{e}_z F_z,

여기서 '''e'''_''a''^영어는 ''a''^영어 방향의 단위 벡터이고, 발산은^[7] 다음과 같다.

:

\operatorname{div} \mathbf F  = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r F_r\right) + \frac1r \frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.

위 식의 유효성을 위해서는 국소 좌표의 사용이 필수적이다. 만약 위치 벡터를 '''x'''^영어로, 벡터에 해당하는 전역 원통 좌표를 할당하는 함수를 ''r''('''x''')^영어, ''θ''('''x''')^영어, ''z''('''x''')^영어라고 할 때, 일반적으로

r(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_r(\mathbf{x})

,

\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_{\theta}(\mathbf{x})

, 그리고

z(\mathbf{F}(\mathbf{x}))\neq F_z(\mathbf{x})

이다. 특히, 항등 함수 1='''F'''('''x''') = '''x'''^영어를 고려하면 다음과 같다.

:

\theta(\mathbf{F}(\mathbf{x})) = \theta \neq F_{\theta}(\mathbf{x}) = 0

.

3. 3. 구면 좌표계

구면 좌표계에서, θ^영어는 z^영어 축과의 각도, φ^영어는 z^영어 축 주위의 회전각이며, '''F'''를 다시 국소 단위 좌표로 쓰면 발산은 다음과 같다.^[8]

:

\operatorname{div}\mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 F_r\right) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, F_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}.

천정각을 θ^영어, z^영어-축 주위의 회전각을 ϕ^영어라고 할때도, 발산은 위와 같이 쓸 수 있다.^[8]

4. 텐서장의 발산

발산은 벡터장뿐만 아니라 텐서장으로도 확장될 수 있다. 2차 텐서장의 발산은 두 가지 방식으로 정의할 수 있으며, 텐서가 대칭이면 두 정의는 같다. 이 때문에 문헌에서는 (특히 텐서 대칭이 가정되는 역학 방정식에서) 두 정의 및 기호가 서로 바꿔서 사용되는 경우가 많다.^[1]^[2]^[3]^[4] 원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자 문서에서 원통 좌표 및 구면 좌표에서 $\nabla\cdot\mathbf A$ 의 표현을 확인할 수 있다.

4. 1. 2차 텐서장의 발산 (직교좌표계)

continuously differentiable^영어인 2차 텐서장 '''A'''를 다음과 같이 정의한다.

:

\mathbf{A} = \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\A_{21} & A_{22} & A_{23} \\A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{bmatrix}

직교좌표계에서의 발산은 1차 텐서장이며 다음 두 가지 방식으로 정의할 수 있다.^[1]

:

\operatorname{div} (\mathbf{A})= \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i= \begin{bmatrix}\dfrac{\partial A_{11}}{\partial x_1} +\dfrac{\partial A_{12}}{\partial x_2} +\dfrac{\partial A_{13}}{\partial x_3} \\\dfrac{\partial A_{21}}{\partial x_1} +\dfrac{\partial A_{22}}{\partial x_2} +\dfrac{\partial A_{23}}{\partial x_3} \\\dfrac{\partial A_{31}}{\partial x_1} +\dfrac{\partial A_{32}}{\partial x_2} +\dfrac{\partial A_{33}}{\partial x_3}\end{bmatrix}

그리고^[2]^[3]^[4]

:

\nabla\cdot \mathbf A = \cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ki,k}~\mathbf{e}_i =\begin{bmatrix}\dfrac{\partial A_{11}}{\partial x_1} + \dfrac{\partial A_{21}}{\partial x_2} + \dfrac{\partial A_{31}}{\partial x_3} \\\dfrac{\partial A_{12}}{\partial x_1} + \dfrac{\partial A_{22}}{\partial x_2} + \dfrac{\partial A_{32}}{\partial x_3} \\\dfrac{\partial A_{13}}{\partial x_1} + \dfrac{\partial A_{23}}{\partial x_2} + \dfrac{\partial A_{33}}{\partial x_3} \\\end{bmatrix}

다음이 성립한다.

:

\operatorname{div} (\mathbf{A^T}) = \nabla\cdot\mathbf A

텐서가 대칭이면

\operatorname{div} (\mathbf{A}) = \nabla\cdot\mathbf A

이다. 이 때문에 문헌에서는 두 정의 및 기호가 서로 바꿔서 사용되는 경우가 많다(특히 텐서 대칭이 가정되는 역학 방정식에서).

원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자 문서에서 원통 좌표 및 구면 좌표에서

\nabla\cdot\mathbf A

의 표현을 확인할 수 있다.

5. 일반 좌표계에서의 발산

아인슈타인 표기법을 사용하여, $x^1, \cdots, x^i, \cdots, x^n$ 로 표기되는 곡선 좌표계에서의 발산을 고려할 수 있다. 여기서 $n$ 은 영역의 차원 수이다. 이때 발산은 바일 공식을 통해 다음과 같이 쓸 수 있다.^[5]

: $\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial \left(\rho\, F^i\right)}{\partial x^i},$

여기서 $\rho$ 는 부피 요소의 국소 계수이고, $F^i$ 는 국소 '''정규화되지 않은''' 공변 기저에 대한 $\mathbf{F}$ 의 성분이다(때로는 $\mathbf{e}_i = \partial\mathbf{x} / \partial x^i$ 로 쓰여진다). 아인슈타인 표기법은 $i$ 가 상첨자와 하첨자로 모두 나타나므로 $i$ 에 대한 합을 의미한다.

부피 계수 $\rho$ 는 좌표계에 따라 달라지는 위치의 함수이다. 데카르트 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계에서 이전과 동일한 규칙을 사용하면 각각 $\rho = 1$ , $\rho = r$ , $\rho = r^2 \sin \theta$ 를 갖는다. 부피는 $\rho = \sqrt{\left|\det g_{ab}\right|}$ 로도 표현될 수 있으며, 여기서 $g_{ab}$ 는 계량 텐서이다.

일부 규칙은 모든 로컬 기저 요소를 단위 길이로 정규화할 것을 예상한다. 정규화된 기저에 $\hat{\mathbf{e}}_i$ 를 쓰고, 이에 대한 $\mathbf{F}$ 의 성분에 대해 $\hat{F}^i$ 를 쓰면, 다음을 갖는다.

: $\mathbf{F}=F^i \mathbf{e}_i =F^i \|{\mathbf{e}_i }\| \frac{\mathbf{e}_i}{\| \mathbf{e}_i \|} =F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i =\hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,$

계량 텐서의 속성 중 하나를 사용한다. 마지막 등식의 양변에 반변 요소 $\hat{\mathbf{e}}^i$ 를 곱하면 $F^i = \hat{F}^i / \sqrt{g_{ii}}$ 임을 알 수 있다. 대입 후 공식은 다음과 같다.

: $\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} =\frac 1{\sqrt{\det g}} \frac{\partial \left(\sqrt{\frac{\det g}{g_{ii}}}\,\hat{F}^i\right)}{\partial x^i}.$

6. 성질

발산은 선형 연산자이다. 즉, 임의의 두 벡터장 '''F''', '''G'''와 임의의 실수 ''a'', ''b''에 대해 다음이 성립한다.

: $\operatorname{div}(a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a \operatorname{div} \mathbf{F} + b \operatorname{div} \mathbf{G}$

스칼라 함수와 벡터장의 곱의 발산은 곱의 미분 법칙과 유사한 형태로 표현된다. $\varphi$ 가 스칼라 값 함수이고 $\mathbf{F}$ 가 벡터장인 경우 다음이 성립한다.

: $\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad} \varphi \cdot \mathbf{F} + \varphi \operatorname{div} \mathbf{F},$

또는

: $\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F}).$

두 벡터장의 외적의 발산은 회전(curl)을 이용하여 표현할 수 있다. 3차원에서 두 벡터장 $\mathbf{F}$ 와 $\mathbf{G}$ 의 외적에 대한 곱 규칙은 다음과 같다.

: $\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot\mathbf{G} - \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl} \mathbf{G},$

또는

: $\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).$

스칼라 함수의 경사(gradient)의 발산은 라플라시안과 같다.

: $\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi) = \Delta\varphi.$

벡터장의 회전(curl)의 발산은 항상 0이다.

: $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.$

7. 분해 정리 (헬름홀츠 분해)

충분히 빠르게 감소하는 벡터장은 비회전 성분(irrotational part)과 비발산 성분(source-free part)으로 유일하게 분해될 수 있다. 비회전 성분은 스칼라 포텐셜의 기울기로, 비발산 성분은 벡터 포텐셜의 회전으로 표현된다.^[1]

: $\mathbf{E} = -\nabla\Phi(\mathbf{r})$

여기서

: $\Phi(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^3} d^3 \mathbf{r}' \frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|}$

비발산 성분은 스칼라 포텐셜을 벡터 포텐셜로 대체하고, 항을로, 소스 밀도를 순환 밀도로 대체하여 표현할 수 있다.^[1]

: $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}(\mathbf{r})$

여기서

: $\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \int_{\mathbb{R}^3} d^3 \mathbf{r}' \frac{\nabla \times \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|}$

이 분해 정리는 전자기학의 정지 상태의 부산물이며, 3차원보다 큰 차원에서도 작동하는 보다 일반적인 헬름홀츠 분해의 특별한 경우이다.^[1]

8. 외미분과의 관계

발산은 외미분을 사용하여 표현할 수 있다. flat|플랫^영어 동형은 두 개의 음악적 동형사상 중 하나이며, $\star$ 는 호지 쌍대 연산자이다.

R|'''R'''³^영어에서 2-형식을 3-형식으로 변환하는 과정은 다음과 같다. 먼저, 전류 2-형식을 다음과 같이 정의한다.

: $j = F_1 \, dy \wedge dz + F_2 \, dz \wedge dx + F_3 \, dx \wedge dy .$

이는 밀도가 $\rho = 1 dx \wedge dy \wedge dz$ 인 "물질 유체" 내에서 시간당 표면을 통과하는 "물질"의 양을 국소 속도 $\mathbf{F}$ 로 측정한 값이다. 이 2-형식의 외미분 $dj$ 는 다음과 같다.

: $dj = \left(\frac{\partial F_1}{\partial x} +\frac{\partial F_2}{\partial y} +\frac{\partial F_3}{\partial z} \right) dx \wedge dy \wedge dz = (\nabla \cdot {\mathbf F}) \rho$

여기서 $\wedge$ 는 쐐기곱이다.

따라서 벡터장 $\mathbf{F}$ 의 발산은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\nabla \cdot {\mathbf F} = {\star} d{\star} \big({\mathbf F}^\flat \big) .$

발산이 이런 방식으로 쓰여질 때, 연산자 ${\star} d{\star}$ 는 공미분이라고 불린다. 발산과는 달리 외미분은 (곡선) 좌표계의 변화와 교환되기 때문에, 벡터장과 발산을 사용하는 것보다 전류 2-형식과 외미분을 사용하는 것이 더 쉽다.

9. 일반화

벡터장의 발산은 임의의 유한 차원 n에서 정의될 수 있다. 좌표 를 갖는 유클리드 좌표계에서 벡터장

: $\mathbf{F} = (F_1 , F_2 , \ldots F_n) ,$

의 발산은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.$

모든 n에 대해, 발산은 선형 연산자이며, 임의의 스칼라 함수 φ에 대해 다음의 "곱 규칙"을 만족한다.

: $\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi (\nabla\cdot\mathbf{F})$

벡터장의 발산은 부피 형식(또는 다양체상의 밀도) μ를 갖는 n차원 미분 가능 다양체로 확장될 수 있다. 예를 들어, 리만 다양체 또는 로렌츠 다양체가 이에 해당한다. 상의 벡터장에 대한 2-형식 구성을 일반화하면, 이러한 다양체에서 벡터장 X는 μ와 X를 축약하여 얻은 (n-1)-형식 j = ''i''_''X'' ''μ'' 를 정의한다. 그러면 발산은 다음으로 정의되는 함수이다.

: $dj = (\operatorname{div} X) \mu .$

이는 리 미분의 관점에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

: ${\mathcal L}_X \mu = (\operatorname{div} X) \mu .$

이는 발산이 벡터장을 따라 흐르는 단위 부피(부피 요소)의 팽창률을 측정함을 의미한다.

유사 리만 다양체에서, 부피에 대한 발산은 레비-치비타 접속 ∇의 관점에서 표현될 수 있다.

: $\operatorname{div} X = \nabla \cdot X = {X^a}_{;a} ,$

발산은 텐서로도 일반화될 수 있다. 아인슈타인 표기법에서 반변 벡터 의 발산은 다음과 같이 주어진다.

: $\nabla\cdot\boldsymbol{F}=\nabla_\mu F^\mu$

여기서 는 공변 미분이다.

참조

_[1] 웹사이트 1.14 Tensor Calculus I: Tensor Fields http://homepages.eng[...]
_[2] 서적 Introduction to Chemical Engineering Fluid Mechanics https://books.google[...] Cambridge University Press 2016
_[3] 서적 Viscous Fluid Flow https://www.mobt3ath[...] CRC Press 2000
_[4] 웹사이트 The Navier-Stokes Equations http://texmex.mit.ed[...] 2010-04-12
_[5] 웹사이트 The Voss-Weyl Formula (Youtube link) https://www.youtube.[...] 2014-04-16
_[6] 웹사이트 DIVERGENCE of a Vector Field http://musr.phas.ubc[...]
_[7] 웹사이트 Cylindrical coordinates http://mathworld.wol[...]
_[8] 웹사이트 Spherical coordinates http://mathworld.wol[...]

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