벡터장

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 유클리드 공간에서의 벡터장
- 2.2. 다양체 위에서의 벡터장
3. 벡터장에 대한 연산
4. 벡터장의 종류
- 4.1. 중심장 (Central Field)
- 4.2. 완전 벡터장 (Complete Vector Field)
5. 벡터장의 지표 (Index)
6. 벡터장의 물리적 예시 및 활용
7. 흐름 (Flow)
8. 벡터장의 일반화
참조

1. 개요

벡터장은 유클리드 공간의 각 점에 벡터를 대응시키는 사상이다. 3차원 공간에서 각 성분이 스칼라장으로 표현되며, 유클리드 공간과 다양체 위에서 정의될 수 있다. 벡터장은 기울기장, 발산, 회전, 리 괄호 등의 연산을 통해 분석되며, 물리적 현상(바람, 유체 흐름, 자기장, 중력장 등)을 모델링하는 데 활용된다. 벡터장의 지표는 특이점 주변의 거동을 나타내는 정수이며, 흐름은 벡터장으로 정의되는 곡선이다. p-벡터장, 미분 형식, 텐서장 등으로 일반화될 수 있으며, 대한민국에서는 미분기하학, 유체역학 등 교육 과정에서 다루어지고, 기상 예보, 컴퓨터 그래픽, 인공지능 분야 연구에 활용된다.

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벡터장
정의
정의	유클리드 공간의 부분 집합의 각 점에 벡터를 할당하는 것
수학적 표현
함수	공간에서 정의된 벡터 값을 갖는 함수
표기법	F(p): p 점에서의 벡터 값 V(p): p 점에서의 벡터 값
미분가능	각 성분이 미분 가능한 함수로 표현될 때
연속	각 성분이 연속 함수로 표현될 때
예시
2차원 벡터장	각 점에 2차원 벡터를 할당 예: 바람의 방향과 속도
3차원 벡터장	각 점에 3차원 벡터를 할당 예: 유체의 흐름, 자기장
스칼라장과의 관계	스칼라장의 기울기(gradient)는 벡터장을 만듦
연산
발산 (divergence)	벡터장이 한 점에서 얼마나 퍼져나가는지 나타내는 스칼라 값
회전 (curl)	벡터장이 한 점에서 얼마나 회전하는지 나타내는 벡터 값
라플라스 연산자	발산과 기울기를 결합한 연산자
응용
물리학	유체 역학: 유체의 속도 벡터장 전자기학: 전자기장 벡터장 중력: 중력장 벡터장
컴퓨터 그래픽스	벡터장 시각화 유체 시뮬레이션
기타	데이터 시각화 이미지 처리
참고
관련 개념	스칼라장 텐서장 미분 다양체

2. 정의

벡터장은 유클리드 공간 또는 다양체 위의 각 점에 벡터를 대응시키는 사상으로 정의된다. 유클리드 공간에서의 벡터장은 함수로 표현되며, 다양체 위에서는 각 점에 접벡터를 할당하는 방식으로 정의된다.

2. 1. 유클리드 공간에서의 벡터장

유클리드 공간

\mathbb{R}^n

에서의 '''벡터장'''은 함수

\mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n

으로 표현된다. 여기서

A

는

\mathbb{R}^n

의 부분집합이며, 함수

\mathbf{F}

는 정의역

A

의 모든 원소

\mathbf{x}

에 벡터

\mathbf{F}\left(\mathbf{x}\right)

를 대응시키는 사상이다.

n=3

인 경우, 벡터장은

\mathbf{F}\left( x,y,z\right) =\left( F_1\left( x,y,z\right) ,F_2\left( x,y,z\right) ,F_3\left( x,y,z\right)\right)

와 같이 나타낼 수 있으며, 이때

F_1, F_2, F_3

는 각각 성분 스칼라장이다.

n\ne 3

일 때도 마찬가지로

n

개의 성분 스칼라장을 갖는다. 만약 모든 성분 스칼라장이

C^k

함수라면, 벡터장

\mathbf{F}

는

C^k

계급에 속한다.

2. 2. 다양체 위에서의 벡터장

미분다양체

M

가 주어졌을 때,

M

위의 벡터장은

M

의 각 점에 접벡터를 할당하는 사상이다.^[2] 보다 정확하게는, 벡터장

F

는

M

에서 접다발

TM

으로의 사상으로,

p\circ F

가 항등 사상이 되는 것이다. 여기서

p

는

TM

에서

M

으로의 사영을 나타낸다. 다시 말해, 벡터장은 접다발의 단면이다.

다른 정의로, 다양체

M

위의 매끄러운 벡터장

X

는 선형 사상

X: C^\infty(M) \to C^\infty(M)

으로 정의될 수 있는데, 이때

X

는 도함수여야 한다. 즉, 모든

f,g \in C^\infty(M)

에 대해

X(fg) = fX(g)+X(f)g

를 만족해야 한다.^[3]

다양체

M

가 매끄럽거나 해석적(즉, 좌표 변환이 매끄럽거나 해석적)이라면, 매끄러운(해석적인) 벡터장의 개념을 이해할 수 있다. 매끄러운 다양체

M

위의 모든 매끄러운 벡터장의 집합은 종종

\Gamma (TM)

또는

C^\infty (M,TM)

로 표기된다(특히 벡터장을 단면으로 생각할 때). 모든 매끄러운 벡터장의 집합은

\mathfrak{X} (M)

(프랙투어 "X")로도 표기된다.

`M`을 `n`차원 다양체(또는 동치인 유클리드 공간 R^`m`의 부분집합으로서 국소적으로는 자유도 `n`의 좌표가 들어가는 것)라 할 때, `M` 위의 벡터장 `X`는 다음 조건을 만족하는 사상 `V`: `M` → R^`m`으로 정의된다.

벡터장 `V`로부터 좌표계마다 `n`변수의 벡터값 함수에 의한 표시가 얻어지지만, 좌표계가 교차하는 곳에서는 위에 언급한 조건에 따라 함수들이 이어져 기하학적으로 내재적인 것이 주어진다.

현대 수학에서는 이 정의가 더욱 추상화되어 다양체 `M` 위에서 각 점에 대한 접벡터의 분포를 주는 것으로 이해된다. `M`의 점 `p`에서의 접벡터 `v`를 생각하는 것과, `p` 주위에서 정의된 미분가능 함수에 대해 `p`에서 `v` 방향으로의 미분을 주는 작용소

\partial_v

를 생각하는 것은 같다. 따라서 `p`에서의 미분 사상의 공간 `T_pM`(이 개념은 `o` 주위의 좌표를 취하는 방법에 의존하지 않는다)이 `p`에서의 접벡터의 공간을 준다고 볼 수 있으며, 벡터장은 접벡터의 분포를 나타내는 사상

X:M \rightarrow TM = \bigcup_{p \in M}T_pM, X(p) \in T_pM

에 의해 주어진다고 생각할 수 있다.

3. 벡터장에 대한 연산

벡터에 대한 덧셈, 뺄셈, 상수배와 같은 연산을 각 점마다 생각함으로써 이러한 연산이 벡터장에 대해서도 정의된다. 특히, 연속 함수 f와 벡터장 X에 대해 각 점마다의 곱 fX를 생각할 수 있다.

다양체 M에 리만 계량 g가 주어져 있다고 하자. f가 M 위의 미분 가능 함수일 때, $g(Y, \operatorname{grad} f) = Y(f)$ 로 특징지어지는 벡터장 grad f를 생각할 수 있는데, 이것은 (g에 관한) 기울기 grad f라고 한다.

ℝ³ 위의 벡터장 '''X''' = (*x*₁, *x*₂, *x*₃): ℝ³ → ℝ³에 대해 그 발산과 회전이 정의된다. 다양체론의 틀에서는 이것들은 ℝ³ 위의 접 벡터장에 대한 연산이라기보다는, 2차 미분 형식이나 1차 미분 형식에 대한 외미분으로 자연스럽게 이해된다.

3. 1. 기울기 벡터장

함수

f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}

의 그래디언트는 다음과 같이 정의된다.

:

\nabla f\left( x,y,z\right) =\frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y,z\right)\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y,z\right)\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\left( x,y,z\right)\mathbf{k}

\nabla f

는

A

의 모든 원소

\mathbf{x}

에 어떤 벡터를 대응시키는 벡터장이다. 이를 특별히 '''기울기벡터장'''이라고 한다.

한 점을 중심으로 순환하는 벡터장은 함수의 기울기로 표현될 수 없습니다.

벡터장은 스칼라장과 기울기 연산자(∇로 표시)를 사용하여 구성될 수 있다.^[4]

열린 집합 S에 정의된 벡터장 V가 S에서 실수 값 함수(스칼라장) f가 존재하여 다음과 같은 경우 '''기울기장''' 또는 '''보존장'''이라고 한다.

V = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).

연관된 흐름을 '''기울기 흐름'''이라고 하며, 경사 하강법에서 사용된다.

보존장에서 임의의 폐곡선 γ(γ(0) = γ(1))를 따라 경로 적분하면 0이다.

\oint_\gamma V(\mathbf {x})\cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \oint_\gamma \nabla f(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x}  = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).

3. 2. 발산 (Divergence)

유클리드 공간 상의 벡터장의 발산은 함수(또는 스칼라장)이다. 3차원에서 발산은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},

이는 임의의 차원으로 명확하게 일반화될 수 있다. 어떤 점에서의 발산은 그 점 주변의 작은 부피가 벡터 흐름에 대해 소스 또는 싱크가 되는 정도를 나타내며, 이는 발산 정리에 의해 정확하게 된다.

발산은 또한 리만 다양체, 즉 벡터의 길이를 측정하는 리만 계량을 갖는 다양체에서도 정의될 수 있다. 벡터에 대한 덧셈과 뺄셈, 상수배와 같은 연산을 각 점마다 생각함으로써 이러한 연산이 벡터장에 대해서도 정의된다. 특히, 연속 함수 f와 벡터장 X에 대해 각 점마다의 곱 fX를 생각할 수 있다.

다양체 *M*에 리만 계량 *g*이 주어져 있다고 하자. *f*가 *M* 위의 미분 가능 함수일 때,

g(Y, \operatorname{grad} f) = Y(f)

로 특징지어지는 벡터장 grad *f*를 생각할 수 있는데, 이것은 (*g*에 관한) 기울기 grad *f*라고 한다.

ℝ³ 위의 벡터장 '''X''' = (*x*₁, *x*₂, *x*₃): ℝ³ → ℝ³에 대해 그 발산은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{div}\,\boldsymbol{X} = \nabla\cdot\boldsymbol{X}:=\frac{\partial X_1}{\partial x}+\frac{\partial X_2}{\partial y}+\frac{\partial X_3}{\partial z}

3. 3. 회전 (Curl)

회전은 벡터장을 입력받아 다른 벡터장을 생성하는 연산이다. 회전은 3차원에서만 정의되지만, 외미분을 사용하여 고차원에서도 회전의 일부 특성을 포착할 수 있다. 3차원에서 회전은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{curl}\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{e}_1 - \left(\frac{\partial F_3}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf{e}_2 + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{e}_3.

회전은 한 점에서 벡터 흐름의 각운동량 밀도, 즉 고정된 축을 중심으로 흐름이 순환하는 정도를 측정한다. 이 직관적인 설명은 스토크스 정리에 의해 정확하게 정의된다.

ℝ³ 위의 벡터장 '''X''' = (*x*₁, *x*₂, *x*₃): ℝ³ → ℝ³에 대해 그 회전은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{rot}\,\boldsymbol{X}= \nabla \times X := \begin{bmatrix}\displaystyle \frac{\partial X_3}{\partial y} - \frac{\partial X_2}{\partial z} \\[1em]\displaystyle \frac{\partial X_1}{\partial z} - \frac{\partial X_3}{\partial x} \\[1em]\displaystyle \frac{\partial X_2}{\partial x} - \frac{\partial X_1}{\partial y}\end{bmatrix}

다양체론의 틀에서는 이것들은 ℝ³ 위의 접 벡터장에 대한 연산이라기보다는, 2차 미분 형식이나 1차 미분 형식에 대한 외미분으로 자연스럽게 이해된다.

ℝ³ 위의 벡터장은 그 발산과 회전에 의해 결정된다. 즉, 벡터장 '''V'''와 '''W'''에 대해 ∇ ⋅ V = ∇ ⋅ W 이고 ∇ × V = ∇ × W 가 성립한다면 '''V'''와 '''W'''는 일치한다.

3. 4. 리 괄호 (Lie Bracket)

두 벡터장에 관련된 흐름은 서로 교환되지 않을 수 있다. 교환되지 않는 정도는 두 벡터장의 리 괄호로 설명되는데, 이것은 다시 벡터장이 된다. 리 괄호는 매끄러운 함수

f

에 대한 벡터장의 작용에 대한 간단한 정의를 갖는다.

:

[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).

3. 5. f-관련성 (f-relatedness)

다양체 사이의 매끄러운 함수

f:M\to N

가 주어졌을 때, 미분은 접다발 위의 유도 사상

f_*:TM\to TN

이다. 벡터장

V:M\to TM

와

W:N\to TN

에 대해,

W\circ f = f_*\circ V

이면

W

는

V

와

f

-관련되었다고 한다.

V_i

가

W_i

와

f

-관련되어 있고(

i=1,2

), 리 괄호

[V_1,V_2]

는

[W_1,W_2]

와

f

-관련되어 있다.

4. 벡터장의 종류

벡터장은 그 특징에 따라 여러 종류로 분류할 수 있다.

중심장은 원점을 중심으로 하는 직교 변환에 대해 불변하는 벡터장이다. 즉, 중심장의 벡터는 항상 원점을 향하거나 원점에서 멀어지는 방향을 가리킨다. 중심장은 항상 기울기장이기도 하다.

완비 벡터장은 다양체 위의 모든 점에서 흐름곡선이 모든 시간에 대해 존재하는 벡터장이다. 콤팩트 지지를 갖는 벡터장은 완비 벡터장이다. 완비 벡터장을 따라 흐름에 의해 생성되는 일-매개변수 군은 모든 시간에 대해 존재하며, 이는 매끄러운 사상으로 기술된다. 경계가 없는 콤팩트 다양체에서는 모든 매끄러운 벡터장이 완비이다. 반면, 실수선 위에 정의된 $V(x) = x^2$ 는 불완비 벡터장의 예시인데, 이는 특정 초기 조건에서 해가 모든 시간에 대해 정의될 수 없기 때문이다.

4. 1. 중심장 (Central Field)

vector field^영어를 '''R'''^''n'' \ {0^한국어} 위에서 정의할 때, 다음 조건을 만족하면 이를 '''중심장'''(central field^영어)이라고 부른다.

:

V(T(p)) = T(V(p)) \qquad (T \in \mathrm{O}(n, \R))

여기서 (''n'', '''R''')는 직교군이다. 중심장은 0을 중심으로 하는 직교 변환에 대해 불변하다고 말한다.

점 0을 장의 '''중심'''이라고 부른다.

직교 변환은 실제로 회전과 반사이므로, 불변 조건은 중심장의 벡터가 항상 0을 향하거나 0에서 멀어진다는 것을 의미한다. 이것은 대체적인 (그리고 더 간단한) 정의이다. 중심장은 항상 기울기장이다. 왜냐하면 한 반축에서 정의하고 적분하면 반기울기를 얻을 수 있기 때문이다.

4. 2. 완전 벡터장 (Complete Vector Field)

다양체

M

위의 벡터장 중, 각각의 흐름곡선이 모든 시간에 대해 존재하는 것을 '''완비 벡터장'''이라고 한다.^[6] 특히, 다양체 위에 컴팩트 지지를 갖는 벡터장은 완비이다.

X

가

M

위의 완비 벡터장이라면,

X

를 따라 흐름에 의해 생성되는 일-매개변수 군은 모든 시간에 대해 존재한다. 이는 매끄러운 사상

:

\mathbf{R}\times M\to M.

으로 기술된다. 경계가 없는 콤팩트 다양체에서는 모든 매끄러운 벡터장이 완비이다. 실수선

\mathbb R

위에 정의된

V(x) = x^2

는 '''불완비 벡터장'''의 예시이다. 왜냐하면 초기 조건

x(0) = x_0

를 갖는 미분 방정식

x'(t) = x^2

는

x_0 \neq 0

일 때, 유일한 해

x(t) = \frac{x_0}{1 - t x_0}

를 갖기 때문이다. (단,

x_0 = 0

인 경우 모든

t \in \R

에 대해

x(t) = 0

이다.) 따라서

x_0 \neq 0

인 경우,

x(t)

는

t = \frac{1}{x_0}

에서 정의될 수 없으므로, 모든

t

값에 대해 정의될 수 없다.

5. 벡터장의 지표 (Index)

벡터장의 지표는 벡터장의 고립된 영점(즉, 벡터장의 고립된 특이점) 주변의 거동을 설명하는 데 도움이 되는 정수이다. 평면에서 지표는 안장형 특이점에서는 -1의 값을 가지지만, 소스 또는 싱크 특이점에서는 +1의 값을 가진다.

벡터장이 정의된 다양체의 차원을 n이라고 하자. 다른 영점이 S의 내부에 없도록 영점 주위에 닫힌 곡면((n-1)-구면과 동상인) S를 취한다. 이 구면의 각 벡터를 길이로 나누어 단위 길이 벡터를 형성함으로써, 이 구면에서 차원 n-1의 단위 구면으로의 사상을 구성할 수 있는데, 이는 단위 구면 S^n-1의 한 점이다. 이것은 S에서 S^n-1로의 연속 사상을 정의한다. 그 점에서 벡터장의 지표는 이 사상의 차수이다. 이 정수는 S의 선택에 의존하지 않으며, 따라서 벡터장 자체에만 의존한다는 것을 보일 수 있다.

지표는 비특이점(즉, 벡터가 0이 아닌 점)에서는 정의되지 않는다. 소스 주변에서는 +1과 같고, 더 일반적으로 k개의 수축 차원과 n-k개의 팽창 차원을 갖는 안장 주변에서는 (-1)^k와 같다.
벡터장의 지표는 유한 개의 영점만 있을 때 정의된다. 이 경우 모든 영점은 고립되어 있으며, 벡터장의 지표는 모든 영점에서의 지표의 합으로 정의된다.

3차원 공간에서 보통의 (2차원) 구면의 경우, 구면상의 임의의 벡터장의 지표는 2여야 함을 보일 수 있다. 이것은 이러한 모든 벡터장은 영점을 가져야 함을 보여준다. 이것은 털이 많은 공 정리를 의미한다.

유한 개의 영점을 갖는 콤팩트 다양체의 벡터장에 대해, 푸앵카레-호프 정리는 벡터장의 지표가 다양체의 오일러 특성과 같다고 명시한다.

6. 벡터장의 물리적 예시 및 활용

지구의 각 지점에서 바람의 방향과 세기를 나타내는 벡터장으로, 각 지점에 화살표를 그려 표현할 수 있다. 화살표의 방향은 바람의 방향, 크기는 바람의 세기를 나타낸다. 고기압에서는 화살표가 바깥쪽으로, 저기압에서는 화살표가 안쪽으로 향하는 형태로 나타난다.^[1]
유체의 각 지점에서 속도 벡터를 나타내는 속도장이다.
자기장은 자석 주위에 철가루를 뿌려 시각화할 수 있다.^[1]
맥스웰 방정식을 통해 초기 조건이 주어졌을 때 유클리드 공간의 모든 점에서 단위 전하가 느끼는 힘의 크기와 방향을 계산하여 전기장을 정의할 수 있다.^[1]
구대칭 물체가 만드는 중력장은 구의 중심을 향하며, 크기는 중심으로부터 거리의 제곱에 반비례한다. 이 벡터장은 중력에 의한 위치 에너지 함수의 기울기 벡터장이다.^[1]
전자기장은 전기장과 자기장을 포함한다.
헬름홀츠 정리에 따르면, 모든 벡터장은 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜의 합으로 표현할 수 있다.

7. 흐름 (Flow)

벡터장은 각 점에서의 속도가 벡터장으로 주어지는 흐름을 생성한다. 미분 방정식

: $\frac{d \phi_t(p)}{dt}(q) = X_q,\quad \phi_0(p) = p$

은 유일하게 정해지는 해를 가지며, 임의의 ''t''에 대해 사상 φ_''t'': ''p'' → φ_''t''(''p'')는 ''M'' 위의 미분 동형을 정의한다. 실수의 덧셈군 '''R'''에서 ''M''의 미분 동형군 Diff(''M'')로의 사상 φ: ''t'' → φ_''t''는 군의 준동형이 되며, ''X''의 흐름이라고 불린다. 이 흐름 φ는 ''X''에 의해 속도가 지정된 ''M'' 위의 동역학계를 나타낸다.

피카르-린델뢰프 정리에 따르면, V가 립시츠 연속이면 S의 각 점 x에 대해, 어떤 ε > 0에 대해 다음을 만족하는 ''유일한'' C¹-곡선 γx가 존재한다.

: $\begin{align}\gamma_x(0) &= x\\\gamma'_x(t) &= V(\gamma_x(t)) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, +\varepsilon) \subset \R.\end{align}$

곡선 γx를 벡터장 V의 '''적분곡선''' 또는 '''궤적'''(또는 드물게 흐름선)이라고 하며, S를 동치류로 분할한다.

2차원 또는 3차원에서 벡터장을 S의 흐름을 생성하는 것으로 시각화할 수 있다. 점 p에서 이 흐름에 입자를 떨어뜨리면, 초기 점 p에 따라 흐름에서 곡선 γp를 따라 이동한다.

전형적인 응용 분야는 패스라인(유체), 측지 흐름등이 있다.

8. 벡터장의 일반화

벡터를 ''p''-벡터(벡터의 ''p''차 외적)로 대체하면 ''p''-벡터장이 된다. 쌍대 공간과 외적을 취하면 미분 ''k''-형식이 되고, 이것들을 결합하면 일반적인 텐서장이 된다.

대수적으로, 벡터장은 다양체 위의 매끄러운 함수들의 대수의 도함수로 특징지을 수 있으며, 이는 가환 대수 위의 벡터장을 가환 대수의 도함수로 정의하는 것으로 이어진다. 이는 가환 대수 위의 미적분 이론에서 발전된다.

참조

_[1] 서적 Vector Analysis Versus Vector Calculus https://books.google[...] Springer
_[2] 서적 An Introduction to Manifolds Springer
_[3] 웹사이트 An Introduction to Differential Geometry https://faculty.math[...] 2011-08-19
_[4] 서적 Vectors and Vector Operators https://books.google[...] CRC Press
_[5] 학술지 The fourth law of thermodynamics: steepest entropy ascent 2020-05-01
_[6] 서적 Differential geometry Springer-Verlag

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