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방접원

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목차

1. 개요

방접원은 삼각형의 세 변의 직선에 접하는 네 개의 원 중 내접원을 제외한 세 원을 의미한다. 각 방접원의 중심을 방심이라고 하며, 방심과 삼각형의 변 사이의 거리는 방접원의 반지름과 같다. 방심은 두 외각의 이등분선과 한 내각의 이등분선의 교점이다. 방접원과 관련된 성질로, 구점원은 세 방접원과 외접하고 내접원과 내접하며, 방심 삼각형, 베번 점, 나겔 점, 외촉 삼각형 등이 있다.

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방접원

2. 정의

삼각형의 세 변의 직선에 동시에 접하는 원은 정확히 4개 존재한다. 이 중 세 변의 내부에서 접하는 원을 내접원이라 한다. 나머지 3개의 원은 각각 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접하며, 이들을 '''방접원'''이라 한다. 각 방접원의 중심을 '''방심'''이라 하며, 보통 J_A, J_B, J_C로 표기한다.

3. 성질

방심은 삼각형의 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점이다. 방심과 삼각형의 세 변 사이의 거리는 모두 같으며, 이는 해당 방심을 중심으로 하는 방접원의 반지름과 같다.[1] 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 구점원은 세 방접원과 외접하고 내접원과는 내접한다.

3. 1. 반지름

삼각형 ABC의 세 변의 길이를 a, b, c, 반둘레를 s, 넓이를 S라고 하자. 외접원과 내접원의 반지름을 각각 R와 r라고 하자. 꼭짓점 A, B, C와 마주보는 방접원의 반지름을 각각 r_A, r_B, r_C라고 하자. 다음 항등식들이 성립한다.[1][2]

:r_A=\frac S{s-a}=\sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}=s\tan\frac A2

:r_B=\frac S{s-b}=\sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}}=s\tan\frac B2

:r_C=\frac S{s-c}=\sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}=s\tan\frac C2

:\frac 1{r_A}+\frac 1{r_B}+\frac 1{r_C}=\frac 1r

:r_A+r_B+r_C-r=4R

3. 2. 접점

삼각형 ABC의 꼭짓점 A, B, C와 마주보는 방접원이 대변과 접하는 점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 하자. 직선 AT_A, BT_B, CT_C는 모두 삼각형의 둘레를 이등분한다. 반둘레를 s라고 할 때, 다음이 성립한다.

:BT_C=CT_B=s-a

:CT_A=AT_C=s-b

:AT_B=BT_A=s-c

4. 방심 삼각형과 베번 점

삼각형 ABC의 세 방심 J_A, J_B, J_C를 꼭짓점으로 하는 삼각형 J_AJ_BJ_C를 '''방심 삼각형'''이라고 한다. 방심 삼각형의 외접원을 '''베번 원'''이라고 하며, 베번 원의 중심을 '''베번 점'''(V)이라고 한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다.[3] 삼각형의 외심은 내심과 베번 점의 중점이다.[3] 삼각형의 슈피커 중심은 수심과 베번 점의 중점이다.[3] 방심 삼각형의 넓이 S_{J_AJ_BJ_C}는 다음과 같이 주어진다. (s: 반둘레, R: 외접원의 반지름)

:S_{J_AJ_BJ_C}=2sR

5. 나겔 점과 외촉 삼각형

나겔 점과 외촉 삼각형


삼각형 ABC의 각 꼭짓점 A, B, C를 마주보는 방접원과 대변의 접점을 각각 T_A, T_B, T_C라고 할 때, 체바 정리에 따라 선분 AT_A, BT_B, CT_C는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 ABC의 '''나겔 점'''(Nagel point영어) X_8이라고 한다.[3] 나겔 점에 대한 체바 삼각형(즉, 세 방접원의 접점을 꼭짓점으로 하는 삼각형)을 '''외촉 삼각형'''(extouch triangle영어) T_A'T_B'T_C'이라고 한다. 나겔 점은 독일의 수학자 크리스티안 하인리히 폰 나겔(Christian Heinrich von Nagelde)의 이름을 따서 명명되었다.

참조

[1] 서적 Geometry Revisited Mathematical Association of America 1967
[2] 서적 Geometry for College Students Brooks/Cole 2001
[3] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry The Mathematical Association of America 1995


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