둘레

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1. 개요

둘레는 도형의 경계 길이를 의미하며, 정다각형, 원, 타원 등 다양한 도형의 둘레를 계산하는 공식이 존재한다. 다각형의 경우 변의 길이 합으로, 원의 경우 반지름 또는 지름을 이용하여 계산하며, 타원은 타원 적분을 통해 둘레를 구한다. 프랙탈 도형과 같이 면적이 유한해도 둘레가 무한대가 되는 경우도 있다. 둘레와 면적은 서로 연관되지만, 도형의 크기를 조절할 때 비례적으로 변하며, 등주문제는 주어진 둘레에서 최대 면적을 갖는 도형을 찾는 문제로, 해답은 원이다. "둘레"라는 용어는 그리스어에서 유래되었다.

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둘레
둘레 정보
정의	어떤 평면도형의 경계의 길이.
계산 방법
다각형	모든 변의 길이의 합
원	지름 × 원주율(π) 또는 2πr (r은 반지름)
타원	정확한 공식은 없으나, 근사적으로 2π√((a²+b²)/2) (a, b는 각각 긴반지름과 짧은반지름)
활용
넓이 계산	특정 조건 하에 둘레를 이용하여 도형의 넓이를 추정 가능. 예: 동일 둘레에서 원이 가장 넓음.
디자인	건축, 제품 디자인 등에서 공간 효율성, 재료 절약 등에 활용됨.
농업	울타리 설치, 작물 배치 등에 활용됨.

2. 공식

둘레는 도형의 주변을 감싸는 길이를 의미하며, 다양한 도형에 대해 다음과 같은 공식으로 계산할 수 있다.

도형	공식	비고
정다각형	$ns\,$	$s$ 는 정 $n$ 각형의 한 변의 길이
원	$2\pi r\,$	$r$ 는 원의 반지름
타원	제2종 완전 타원 적분 참조

일반적인 도형의 둘레는 모든 경로와 마찬가지로 $\int_0^L \mathrm{d}s$ 로 계산할 수 있다. 여기서 $L$ 은 경로의 길이고 $ds$ 는 무한소 선분이다. 둘레가 닫힌 조각별 매끄러운 평면 곡선 $\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^2$ 로 주어지는 경우,

: $\gamma(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}$

길이 $L$ 은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,\mathrm dt$

n

차원 유클리드 공간에서 부피를 경계짓는 초표면을 포함하는 일반화된 둘레 개념은 Caccioppoli 집합 이론에 의해 설명된다.

2. 1. 다각형

다각형은 둘레를 결정하는 데 기본이 된다. 다각형이 가장 간단한 모양일 뿐만 아니라, 많은 도형의 둘레가 다각형에 가까워지는 수열로 근사하여 계산되기 때문이다. 이러한 방법으로 원의 둘레를 근사한 최초의 수학자는 아르키메데스이다. 그는 원을 정다각형으로 둘러싸서 원의 둘레를 근사했다.

다각형의 둘레는 모든 변(모서리) 길이의 총합과 같다. 예를 들어 직사각형의 둘레는 너비(

w

)와 길이(

\ell

)를 각각 2배 하여 더한 값(

2w + 2\ell

)이다.

정변 다각형은 모든 변의 길이가 같은 다각형이다. 예를 들어 마름모는 4개의 변을 가진 정변 다각형이다. 정변 다각형의 둘레는 변의 길이와 변의 개수를 곱하여 계산한다.

2. 1. 1. 일반적인 다각형

일반적인 다각형의 둘레는 각 변의 길이를 모두 더하여 계산한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \sum_{i=1}^n a_i

여기서

a_{i}

는

n

각형의

i

번째 변의 길이를 의미한다.

2. 1. 2. 정다각형

정다각형(Regular polygon^영어)의 둘레는 변의 개수와 한 변의 길이를 곱하여 계산할 수 있다.

공식:

공식	변수
$n \times a\,$	$n$ 은 변의 수, $a$ 는 한 변의 길이
$2nb \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$	$n$ 은 변의 수, $b$ 는 다각형의 중심과 꼭짓점 사이의 거리^[1]

정다각형은 변의 개수와 외접원 반지름(중심에서 각 꼭짓점까지의 일정한 거리)으로 나타낼 수 있다. 변의 길이는 삼각법을 사용하여 계산할 수 있다. 정다각형의 반지름이 ''R''이고 변의 개수가 ''n''이라면, 둘레는 다음과 같다.

: $2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right).$

2. 1. 3. 삼각형

삼각형의 둘레는 세 변의 길이의 합으로 계산된다. 즉, 삼각형의 세 변의 길이를

a

,

b

,

c

라고 하면, 둘레는

a + b + c\,

이다.

삼각형의 둘레를 이등분하는 선분에는 분할선과 분할자가 있다.

분할선: 삼각형의 둘레를 이등분하는 체바선으로, 세 분할선은 나겔 점에서 만난다.
분할자: 삼각형 변의 중점에서 반대편 변까지 이어지는 선분으로, 둘레를 이등분한다. 세 분할자는 슈피커 중심에서 만난다.

2. 1. 4. 사각형


도형	공식	변수
정사각형/마름모	$4a$	$a$ 는 변의 길이
직사각형	$2(l+w)$	$l$ 은 길이, $w$ 는 너비

2. 2. 원

원의 둘레는 지름에 원주율(π)을 곱한 값으로 계산된다. 이를 공식으로 나타내면 다음과 같다.

:

P = \pi\cdot{D}

(여기서 P는 둘레, D는 지름)

반지름(r)을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

P=2\pi\cdot r

원의 둘레를 계산하려면 반지름이나 지름, 그리고 원주율(π) 값이 필요하다. 그러나 π는 유리수가 아니며, 대수적 수도 아니기 때문에 정확한 값을 얻는 것은 불가능하다. 따라서 π의 근삿값을 사용하여 계산해야 하며, π의 자릿수 계산은 수학, 알고리즘, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 중요한 문제로 다루어진다.^[1] 모든 원은 서로 닮음이므로, 둘레가 같은 두 원의 면적은 같다.

2. 2. 1. 반원

반원의 둘레는

(\pi+2)r

이며, 여기서

r

은 반지름이다.^[1]

도형	공식	변수
반원	$(\pi+2)r$	$r$ 은 반원의 반지름

2. 2. 2. 부채꼴

반지름 ''r'', 중심각 θ(라디안) (0 < ''θ'' < 2π)인 부채꼴의 둘레 ''l''은 다음 식으로 나타낸다.

:

l = r \theta + 2 r = r ( \theta +  2 )

2. 3. 타원

타원

x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

의 둘레

l

은 장축과 단축의 길이 (= 2

a

, 2

b

) 만으로 결정되지만, 둘레는 제2종 완전 타원 적분을 통해 구해야 한다. 다음은 구하는 방법의 예시이다.

:

l=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} dt=2\pi a\left[ 1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left\{ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right\}^2 \right] ,\left( k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)

2. 4. 기타 도형

아스트로이드나 심장형 곡선, 프랙탈 도형 등의 둘레를 구할 수 있다. 아스트로이드의 둘레는 6''a'', 심장형의 둘레는 8''a''이다. 프랙탈 도형은 면적이 유한해도 그 둘레는 무한대이다.

2. 4. 1. 아스트로이드(성망형)

''x'' = a cos³ ''θ'', ''y'' = a sin³ ''θ''일 때, 아스트로이드(성망형)의 둘레는 6''a''이다.

2. 4. 2. 심장형(카디오이드)

심장형(''x'' = ''a''(1 + cos ''θ'')cos ''θ'', ''y'' = ''a''(1 + cos ''θ'')sin ''θ'')의 둘레는 8''a''이다.

2. 4. 3. 프랙탈 도형

프랙탈 도형은 면적이 유한해도 그 둘레는 무한대이다.

3. 일반적인 경우

일반적인 도형의 둘레는 적분을 통해 계산할 수 있다.

3. 1. 평면 곡선

일반적으로 폐곡선의 둘레를 구하는 데에는

\oint_C

와 같은 기호를 사용하여 적분을 수행한다.

3. 2. 폐곡선

일반적으로 폐곡선의 둘레를 구하는 데에는 적분을 수행한다.

4. 둘레와 면적의 관계

둘레와 면적은 기하학적 도형의 두 가지 주요 척도이지만, 이 둘을 혼동하는 것은 흔한 오류이다. 하나가 커지면 다른 하나도 반드시 커져야 한다고 생각하는 경우가 많다. 실제로 도형을 확대하거나 축소하면 면적뿐만 아니라 둘레도 커지거나 작아진다. 예를 들어, 밭이 1/10000 축척 지도에 그려져 있다면, 실제 밭의 둘레는 그림의 둘레에 10000을 곱하여 계산할 수 있다. 실제 면적은 지도상 도형 면적의 10000²배이다. 그럼에도 불구하고 일반적인 도형의 면적과 둘레 사이에는 직접적인 관계가 없다. 예를 들어, 너비가 0.001이고 길이가 1000인 직사각형의 둘레는 2000보다 약간 크지만, 너비가 0.5이고 길이가 2인 직사각형의 둘레는 5이다. 두 직사각형의 면적은 모두 1로 같다.

프로클로스 (5세기)는 그리스 농부들이 둘레를 기준으로 밭을 "공정하게" 분할했다고 기록했다. 그러나 밭의 생산량은 둘레가 아닌 면적에 비례하므로, 많은 농부들은 긴 둘레를 가졌지만 면적이 작은(따라서 수확량이 적은) 밭을 얻었을 수 있다.

도형에서 조각을 제거하면 면적은 줄어들지만, 둘레는 줄어들지 않을 수도 있다. 도형의 볼록 껍질은 고무줄을 도형 주위에 늘여서 형성된 모양으로 시각화할 수 있다.

5. 등주문제

등주 문제는 주어진 둘레를 가진 도형들 중에서 가장 넓은 면적을 가진 도형을 결정하는 문제이다. 해답은 원이다. 국물 표면의 지방 방울이 둥근 이유도 이 원리로 설명할 수 있다.

등주 문제는 단순해 보이지만, 이를 수학적으로 증명하려면 정교한 정리가 필요하다. 등주 문제는 사용될 도형의 유형을 제한하여 단순화하기도 한다. 예를 들어 주어진 둘레를 가지고 동일한 모양을 가진 도형들 중에서 가장 넓은 면적을 가진 사변형, 삼각형, 또는 다른 특정 도형을 찾는 문제가 있다. 사변형 등주 문제의 해답은 정사각형이며, 삼각형 문제의 해답은 정삼각형이다. 일반적으로, 주어진 둘레와 ''n''개의 변을 가진 다각형 중에서 가장 넓은 면적을 가진 것은 정다각형이다. 정다각형은 동일한 변의 수를 가진 불규칙 다각형보다 원에 더 가깝다.

6. 어원

"둘레"는 "주변"을 뜻하는 περί|peri^grc와 "측정"을 뜻하는 μέτρον|metron^grc에서 유래된 그리스어 περίμετρος|perimetros^grc에서 유래되었다.

참조

_[1] 서적 Calculus Pearson Prentice Hall
_[2] 서적 Computational Geometry: Algorithms and Applications Springer
_[3] 서적 A History of Greek Mathematics Dover Publications

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