까마귀 역설

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1. 개요

까마귀 역설은 "모든 까마귀는 검다"라는 명제에 대한 증거가, 그 대우 명제인 "검지 않은 것은 까마귀가 아니다"의 증거와 논리적으로 동일하다는 역설이다. 예를 들어, 녹색 사과를 관찰하는 것이 모든 까마귀가 검다는 것을 뒷받침하는 증거가 된다는 결론이 나오면서 역설적으로 보인다. 이 역설에 대한 다양한 해결책이 제시되었으며, 헴펠은 역설적인 결론을 받아들이고, 검은색이 아닌 비(非)까마귀를 관찰하는 것이 실제로 모든 까마귀가 검다는 증거를 제공하지 않는다는 사전 정보를 우리가 가지고 있기 때문이라고 주장했다. 또한 굿은 검은 까마귀조차도 모든 까마귀가 검다는 가설에 반대되는 증거가 될 수 있다고 주장하며, 니코드의 기준이 거짓이라고 결론 내린다. 콰인은 자연 종류의 술어에 대해서만 니코드의 기준이 참이라고 주장하며, 힌티카는 술어 집합에 순서를 도입하여 해결책을 제시했다. 이 역설은 과학적 가설의 검증과 반증, 그리고 배경 지식의 역할을 탐구하는 데 중요한 사례로 활용된다.

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까마귀 역설
서론
유형	논리학의 역설
분야	귀납논증
관련 개념	확증 편향, 귀납의 문제
개요
명제	모든 까마귀는 검다.
동치 명제	검지 않은 것은 까마귀가 아니다.
문제 제기	검은 까마귀를 관찰하는 것은 "모든 까마귀는 검다"라는 가설을 지지하는 증거가 되지만, 빨간 사과를 관찰하는 것 또한 "검지 않은 것은 까마귀가 아니다"라는 동치 명제를 지지하므로, 결국 "모든 까마귀는 검다"라는 가설을 지지하는 증거가 된다는 역설.
상세 내용
창시자	칼 헴펠
핵심 내용	특정 가설을 지지하는 증거가 무엇인지에 대한 질문에서 발생하는 역설.
관련 문제	귀납법의 문제: 일반적인 진술을 증명하기 위해 특정 사례를 사용하는 방법의 타당성에 대한 의문.
기타 관련 개념	귀납, 연역
참고 문헌
참고 문헌	https://archive.org/details/knowingguessingq0000wata https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/hempel/ 넬슨 굿먼, Fact, Fiction, and Forecast

2. 역설의 내용

헴펠은 이 역설을 다음 가설을 통해 설명한다:^[4]^[5]

: (1) ''모든 까마귀는 검다.'' 이는 함축적 형태로 "만약 어떤 것이 까마귀라면, 그것은 검다."라고 표현할 수 있다.

논리학에서 어떤 명제가 참이면 그 대우 명제도 반드시 참이다. 따라서 위 명제 (1)은 다음 명제와 논리적 동치이다:^[4]^[5]

: (2) ''만약 어떤 것이 검지 않다면, 그것은 까마귀가 아니다.'' (즉, "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다.")

(2)가 참인 모든 상황에서 (1)도 참이며, 반대로 (2)가 거짓인 상황(검지 않지만 까마귀인 것이 존재하는 경우)에서는 (1)도 거짓이다.

일반적으로 "모든 X는 Y이다"와 같은 전칭 명제는 그 명제에 해당하는 구체적인 사례를 관찰함으로써 경험적으로 뒷받침된다고 여겨진다. 예를 들어,

: (3) ''나의 애완 까마귀 '까미'는 검다.''

라는 관찰은 "모든 까마귀는 검다"라는 가설 (1)을 뒷받침하는 증거로 간주된다.

역설은 이와 동일한 논리를 대우 명제 (2)에 적용할 때 발생한다. 예를 들어, 주변을 둘러보다가 녹색 사과를 발견했다고 가정해 보자. 이때 우리는 다음과 같은 관찰을 할 수 있다.

: (4) ''이 녹색 사과는 검지 않으며, 까마귀도 아니다.''

앞서 설명한 논리에 따르면, 이 관찰 (4)는 "만약 어떤 것이 검지 않다면 그것은 까마귀가 아니다"라는 명제 (2)를 뒷받침하는 증거가 된다. 그런데 명제 (2)는 원래 명제 (1) "모든 까마귀는 검다"와 논리적으로 동치 관계에 있다. 따라서 녹색 사과를 관찰한 사실 (4)가 결국 "모든 까마귀는 검다"라는 명제 (1)을 뒷받침하는 증거가 된다는 결론에 이르게 된다.^[4]^[5]

이 결론은 우리의 직관과 크게 충돌하기 때문에 역설로 느껴진다. 단순히 방 안의 녹색 사과나 하얀 종이를 보는 것만으로 어떻게 저 멀리 날아다니는 까마귀에 대한 지식("모든 까마귀는 검다")을 얻을 수 있단 말인가? 까마귀를 한 마리도 직접 관찰하지 않고도, 주변의 '검지 않은 사물들'(예: 흰 종이, 노란 바나나, 투명한 유리컵 등)을 확인함으로써 까마귀의 색깔에 대한 가설을 입증할 수 있다는 생각은 매우 기묘하게 보인다.

검은 것이 까마귀인지 오징어 먹물인지 조사할 필요 없이, 검지 않은 것들을 조사하여 역설을 설명할 수 있다.

이러한 역설의 기묘함을 잘 보여주는 표현으로 "실내 조류학"(armchair ornithology^영어)이라는 말이 있다. 이는 까마귀를 직접 보러 나가지 않고 안락의자에 앉아 실내에 있는 '검지 않은 물건들'만을 조사함으로써 까마귀에 대한 지식('모든 까마귀는 검다')의 확증성을 높일 수 있다는, 직관에 반하는 상황을 꼬집는 말이다. 이론적으로는 방 안의 모든 검지 않은 물건(흰 벽, 갈색 책상, 파란 컵 등)을 확인하고 그것들이 까마귀가 아님을 확인함으로써 "모든 까마귀는 검다"는 명제의 신뢰도를 조금씩 높여갈 수 있다는 것이다.

물론 현실적으로 세상의 모든 '검지 않은 것'을 조사하는 것은 불가능하다. '검지 않은 것'의 범위와 개수를 어떻게 정의할 것인지부터가 문제이며(예: 사람의 손가락 하나하나를 셀 것인가, 사람 전체를 하나로 셀 것인가?), 그 수가 사실상 무한에 가깝기 때문에 대우 명제를 통한 증명은 현실적으로 불가능하다는 비판이 제기된다. 하지만 논리적 추론 과정 자체만 보면 타당해 보이기 때문에 역설로 불리는 것이다.

다만, 조사 대상의 범위가 명확하고 유한하다면 대우 논법을 통한 증명은 유효할 수 있다. 예를 들어 특정 동물원에 빨강, 파랑, 노랑, 검정 네 개의 우리만 있고, 검정 이외의 세 우리에 까마귀가 없음을 확인했다면, (동물원에 까마귀가 있다는 전제 하에) 까마귀를 직접 보지 않고도 검은 우리에 있다는 것을 알 수 있다. 또한, 검지 않은 것의 수가 까마귀의 수보다 훨씬 적다면 대우 명제를 조사하는 것이 더 효율적일 수도 있다.

3. 역설의 제안된 해결책

헴펠의 역설은 니코드의 기준과 헴펠의 동등성 조건이 서로 일관되지 않음을 보여준다.^[8] 니코드의 기준에 따르면, "모든 까마귀는 검다"는 가설은 오직 까마귀에 대한 관찰을 통해서만 영향을 받아야 한다.^[6] 반면, 헴펠의 동등성 조건은 어떤 명제 X가 다른 명제 Y에 대한 증거를 제공한다면, X는 Y와 논리적 동치인 모든 명제에 대해서도 증거를 제공해야 한다고 말한다.^[7] 역설은 "모든 까마귀는 검다"와 논리적으로 동치인 대우 명제 "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다"를 고려할 때 발생한다. 하얀 신발과 같이 검지 않고 까마귀가 아닌 것을 관찰하는 것은 대우 명제를 뒷받침하며, 동등성 조건에 따라 원래 가설인 "모든 까마귀는 검다" 역시 뒷받침해야 한다. 이는 직관에 어긋나는 결론이다.

이 모순을 해결하기 위해서는 다음 세 가지 주장 중 적어도 하나를 거부해야 한다:^[8]

# 부정적 사례(예: 검지 않은 비-까마귀 관찰)는 가설 확증에 아무런 영향을 미치지 않는다 (!PC).

# 동등성 조건 (EC): 논리적으로 동치인 명제들은 동일한 증거에 의해 확증된다.

# 긍정적 사례에 의한 검증 (NC): 가설의 긍정적 사례(예: 검은 까마귀 관찰)는 가설을 확증한다.

만족스러운 해결책은 단순히 위의 조건 중 하나를 거부하는 것뿐만 아니라, 왜 이 역설이 처음에는 직관에 반하는 것처럼 보이는지에 대한 설명도 제공해야 한다. 예를 들어, 역설적인 결론을 받아들이는 해결책은 왜 우리가 그것을 틀렸다고 느끼는지 설명해야 하며, (EC)나 (NC)를 거부하는 해결책은 왜 우리가 그것들을 직관적으로 옳다고 여기는지 설명해야 한다. 구체적인 해결 방안들은 이어지는 하위 섹션들에서 자세히 다룬다.

3. 1. 비까마귀의 관련성 수용

까마귀 역설의 결론, 즉 까마귀가 아닌 물체(예: 유색 비까마귀)를 관찰하는 것이 '모든 까마귀는 검다'는 가설을 뒷받침한다는 주장은 직관에 어긋나는 것처럼 보일 수 있다. 하지만 일부 접근 방식에서는 이러한 비까마귀에 대한 관찰이 실제로 가설을 뒷받침하는 타당한 증거가 될 수 있다고 받아들인다.^[4]^[9]^[8] 이러한 관점을 채택하는 주요 해결책들은 다음과 같은 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 1. 헴펠의 해결책

헴펠은 역설적인 결론을 받아들이면서, 결과가 역설적으로 보이는 이유는 우리가 '검은색이 아닌 비까마귀'를 관찰하는 것이 실제로 "모든 까마귀는 검다"는 가설을 뒷받침하는 증거가 되지 않는다는 사전 정보를 가지고 있기 때문이라고 주장했다.

그는 이를 설명하기 위해 "모든 나트륨 염은 노란색 불꽃으로 타오른다"는 일반화를 예로 들었다. 만약 어떤 사람이 순수한 얼음 조각을 불꽃에 넣었을 때 노란색으로 타지 않는 것을 관찰했다고 가정해 보자.^[4] 이 관찰은 "노란색으로 타지 않는 것은 나트륨 염이 아니다"라는 대우 명제를 확인시켜 준다. 논리적으로는 원래 가설인 "모든 나트륨 염은 노란색 불꽃으로 타오른다" 역시 확인하는 셈이다.

헴펠은 왜 이것이 우리에게 역설적으로 느껴지는지 다음과 같이 설명했다.

: 이 결과는 "노란색으로 타지 않는 모든 것은 나트륨 염이 아니다"라는 주장을 확인하며, 결과적으로 등가 조건에 따라 원래의 표현을 확인한다. 왜 이것이 우리에게 역설적으로 느껴질까? 그 이유는 이전 상황을 아직 화학적 구성이 알려지지 않은 물체를 화염 속에 넣고 노란색으로 변하지 않게 하는 실험의 경우와 비교하면 명확해진다. 그리고 이후 분석 결과 나트륨 염이 포함되어 있지 않은 것으로 밝혀진다. 의심할 여지 없이 우리는 이 결과가 가설에 따라 예상되는 것이라고 동의해야 한다 ... 따라서 여기에서 얻은 데이터는 가설에 대한 확인 증거를 구성한다...

:

: 겉보기에는 역설적인 확인 사례에서 우리는 실제로 주어진 증거 E 단독과 가설 H 사이의 관계를 판단하는 것이 아니다 ... 우리는 H를 우리가 가지고 있는 추가 정보와 결합된 E로 구성된 증거 집합과 비교하는 것을 암묵적으로 도입한다. 우리의 예에서 이 정보는 (1) 실험에 사용된 물질이 얼음이라는 사실과 (2) 얼음에는 나트륨 염이 없다는 지식을 포함한다. 이 추가 정보를 주어진 것으로 가정하면 물론 실험의 결과는 고려 중인 가설에 힘을 더할 수 없다. 그러나 이러한 추가 지식에 대한 암묵적인 언급을 피하는 데 주의한다면 ... 역설은 사라진다.

즉, 우리가 얼음 실험 결과를 보고 "모든 나트륨 염은 노란색으로 타오른다"는 가설이 강화되었다고 느끼지 못하는 이유는, '실험 대상이 얼음이다' 그리고 '얼음에는 나트륨 염이 없다'는 추가적인 사전 정보를 무의식적으로 고려하기 때문이다. 헴펠에 따르면, 이러한 사전 정보를 배제하고 순수하게 증거와 가설의 논리적 관계만 본다면 역설은 해소된다.

3. 1. 2. 표준 베이즈주의 해결책

가장 널리 제안된 해결책 중 하나는 녹색 사과의 관찰이 모든 까마귀가 검다는 증거를 제공한다는 결론을 받아들이되, 제공되는 확증의 양이 매우 적다고 주장하는 것이다.^[9] 이는 까마귀의 수와 검은색이 아닌 물체의 수 사이의 큰 불일치 때문이다. 이 해결책에 따르면, 결론은 역설적으로 보이는데, 이는 우리가 직관적으로 녹색 사과의 관찰이 제공하는 증거의 양을 0으로 추정하지만, 실제로는 0이 아니고 매우 작기 때문이다.

I. J. 굿(I. J. Good)이 1960년에 제시한 이 주장은^[9] 아마도 가장 잘 알려져 있으며, 그 이후로 이 주장의 변형이 인기를 얻었다.^[10] 비록 1958년에 제시되었고^[11] 1940년경에 이 주장의 초기 형태가 나타났지만^[12] 말이다.

굿의 주장은 모든 물체에서 까마귀가 검다는 가설에 대해, 검은 까마귀나 흰 신발의 관찰이 제공하는 증거의 가중치를 계산하는 것이다. 증거의 가중치는 이 경우 관찰이 이루어졌을 때 가설의 오즈(Odds)가 변경되는 요인인 베이즈 요인(Bayes factor)의 로그이다. 주장은 다음과 같다.

: ... 만약 어떤 순간에 관찰될 수 있는

N

개의 물체가 있고, 그 중

r

개는 까마귀이고

b

개는 검은색이며,

N

개의 물체 각각이 관찰될 확률이

\tfrac{1}{N}

이라고 가정해 보자.

H_i

를 비검은색 까마귀가

i

개 있다는 가설이라고 하고, 가설

H_1, H_2, ... ,H_r

이 처음에 동일한 확률을 갖는다고 가정한다. 그러면, 우리가 검은 까마귀를 보게 된다면,

H_0

을 지지하는 베이즈 요인은

:

\tfrac{r}{N} \Big / \text{average} \left( \tfrac{r-1}{N},\tfrac{r-2}{N}, ...\ ,\tfrac{1}{N}\right) \ = \ \tfrac{2r}{r-1}

: 즉, 까마귀의 수가 많다는 것을 알고 있다면 약 2이다. 그러나 우리가 흰 신발을 본다면 요인은 단지

:

\begin{array}{c}\tfrac{N-b}{N} \Big / \text{average} \left( \tfrac{N-b-1}{N},\tfrac{N-b-2}{N}, ...\ ,\max(0,\tfrac{N-b-r}{N})\right) \\\ = \ \frac{N-b}{\max\left(N-b-\tfrac{r}{2}-\tfrac12\ , \ \tfrac12(N-b-1)\right)}\end{array}

: 이고,

N-b

가

r

에 비해 크다면 약

r/(2N-2b)

만큼 1을 초과한다. 따라서 흰 신발을 보는 것에서 제공되는 증거의 가중치는 양수이지만, 까마귀의 수가 검은색이 아닌 물체의 수에 비해 적다는 것을 알고 있다면 작다.^[13]

이 해결책과 그 변형을 지지하는 많은 사람들이 베이즈 확률론의 옹호자였으며, 현재 일반적으로 베이즈 해라고 불린다. 하지만 찰스 치하라(Charles Chihara)^[14]가 지적했듯이 "베이즈 해'와 같은 것은 없다. 베이즈주의자들이 베이즈 기법을 사용하여 제시한 많은 다른 '해결책'이 있다." 베이즈 기법을 사용하는 주목할 만한 접근 방식(일부는 !PC를 수용하고 대신 NC를 거부함)에는 이어먼,^[15] 엘스,^[16] 깁슨,^[17] 야니나 호시아손-린덴바움(Janina Hosiasson-Lindenbaum),^[12] 하우슨과 우르바흐,^[18] 매키,^[19] 힌티카^[20] 등이 포함되는데, 그는 자신의 접근 방식이 "동일한 역설에 대한 소위 '베이즈 해'보다 더 베이즈적"이라고 주장한다. 카르나프의 귀납적 추론 이론을 활용하는 베이즈 접근 방식에는 훔버그,^[21] 메이저,^[8] 그리고 피텔슨 & 호손이 있다.^[10] 브라나스^[22]는 혼란을 피하기 위해 "표준 베이즈 해"라는 용어를 도입했다.

3. 1. 3. 카르나프의 접근

Maher는 역설적인 결론을 받아들이고 이를 다듬었다. 그는 까마귀가 아닌 물체를 관찰하는 것이 "모든 까마귀는 검다"는 명제를 확인시켜주는 이유를 다음과 같이 설명한다.^[8]

(i) 이 물체가 까마귀가 아니라는 정보는, 이 물체가 해당 명제의 반례가 될 가능성을 제거한다.
(ii) 이는 관찰되지 않은 물체가 까마귀일 가능성을 줄여, 결과적으로 해당 명제에 대한 반례가 될 가능성을 줄여준다.

Maher는 두 번째 이유(ii)를 설명하기 위해 카르나프(Carnap)의 귀납적 확률 이론을 사용한다. 이 이론은 베이즈주의적 관점에서 귀납을 자연스럽게 구현하기 위해 사전 확률을 할당하는 방법으로 볼 수 있다. 카르나프 이론에 따르면, 어떤 증거

E

를 관찰한 후 특정 물체

a

가 특정 속성

F

를 가질 사후 확률

P(Fa|E)

는 다음 공식으로 계산된다.

P(Fa|E) \ = \ \frac{n_F+\lambda P(Fa)}{n+\lambda}

여기서 각 변수는 다음과 같은 의미를 가진다.

$P(Fa)$ : 물체 $a$ 가 속성 $F$ 를 가질 초기 확률(사전 확률).
$n$ : 증거 $E$ 를 바탕으로 조사된 총 물체의 수.
$n_F$ : 조사된 물체 중 속성 $F$ 를 가진 것으로 확인된 물체의 수.
$\lambda$ : 일반화에 대한 저항 정도를 나타내는 상수. (값이 클수록 새로운 증거가 기존 확률에 미치는 영향이 작아짐)

만약

\lambda

값이 0에 가까우면, 속성

F

를 가진 물체를 단 하나만 관찰해도 사후 확률

P(Fa|E)

는 1에 매우 가까워진다. 이는 관찰 결과가 일반화에 큰 영향을 미침을 의미한다. 반대로

\lambda

값이 조사된 물체 수

n

보다 훨씬 크면, 관찰된 물체 중 속성

F

를 가진 것의 비율에 관계없이 사후 확률

P(Fa|E)

는 초기 확률

P(Fa)

에 매우 가깝게 유지된다. 이는 관찰 결과가 일반화에 거의 영향을 미치지 않음을 의미한다.

Maher는 이 카르나프적 접근 방식을 통해, 우리가 직관적으로는 틀렸다고 생각하지만 역설의 결론과 혼동하기 쉬운 부분을 명확히 구분한다. 혼동하기 쉬운 주장은 '까마귀가 아닌 것을 관찰하는 것이 까마귀의 색깔에 대한 정보를 준다'는 것이다. 이 주장은 우리의 직관뿐만 아니라 카르나프의 귀납 이론에 따라서도 거짓이다. 하지만 카르나프 이론에 따르면, 까마귀가 아닌 것을 관찰하는 것은 전체 까마귀의 총 추정 수를 줄이는 효과가 있다. 결과적으로, '모든 까마귀는 검다'는 규칙에 대한 잠재적 반례(즉, 검지 않은 까마귀)의 추정 수를 줄이게 된다.

결론적으로, 베이즈-카르나프적 관점에서 볼 때, 까마귀가 아닌 것을 관찰하는 행위는 까마귀의 색깔에 대해서는 아무런 정보를 주지 않는다. 그러나 이는 까마귀라는 종의 존재 비율(유병률)에 대한 정보를 제공하며, 검지 않은 까마귀가 존재할 가능성(잠재적 반례의 수)을 줄여줌으로써 '모든 까마귀는 검다'는 명제를 간접적으로 뒷받침하게 된다.

3. 1. 4. 배경 지식의 역할

일반적으로 까마귀 역설에 대한 논의, 특히 베이즈주의적 접근 방식에서는 배경 지식의 관련성에 초점을 맞추어 왔다.

패트릭 마허^[8]는 특정한 종류의 배경 지식 하에서는, 검은색이 아닌 것(non-black non-raven)을 관찰하는 것이 검은색 까마귀(black raven)를 관찰하는 것과 정확히 동일한 양의 확증을 제공할 수 있음을 보였다. 그가 가정한 배경 지식은 '표본 명제(sample proposition)' 형태로 주어지는 경우인데, 이는 각기 다른 개체에 대한 단일 속성(술어)을 나타내는 원자 명제들의 접합이다. 예를 들어 "A는 검은색 까마귀이고 B는 흰색 신발이다"와 같은 형태가 표본 명제가 될 수 있다.

마허의 이러한 결과는 검은색이 아닌 것을 관찰하는 것이 훨씬 적은 증거를 제공한다는 일반적인 베이즈주의적 직관과 상반되는 것처럼 보인다. 마허는 그 이유를 일반적인 베이즈주의 접근에서 가정하는 배경 지식(예: 까마귀의 총 수, 검은색이 아닌 개체의 수, 전체 개체의 총 수 등)이 표본 명제 형태로 표현될 수 없기 때문이라고 설명했다. 그는 "우리가 검은색이 아닌 것들이 까마귀보다 더 많다고 생각하는 이유는 지금까지 관찰해 온 것들이 사실이었기 때문이다. 이러한 종류의 증거는 표본 명제로 표현될 수 있다. 하지만 ... 배경 증거로 어떤 표본 명제가 주어지더라도, 검은색이 아닌 것은 A를 검은색 까마귀만큼 강력하게 확증한다 ... 따라서 내 분석은 이 역설에 대한 이러한 반응 [즉, 표준 베이즈주의 반응]이 옳을 수 없다고 시사한다."라고 주장했다.

반면, 브란덴 피텔슨과 제임스 호손^[10]은 어떤 조건 하에서 검은색이 아닌 것을 관찰하는 것이 검은색 까마귀를 관찰하는 것보다 더 적은 증거를 제공하는지를 조사했다. 그들은 임의로 선택된 객체

a

에 대해,

Ba

를 '객체

a

가 검은색이다'라는 명제,

Ra

를 '객체

a

가 까마귀이다'라는 명제라고 할 때, 다음 조건이 성립하면 검은색이 아닌 것을 관찰하는 것이 더 적은 증거를 제공하기에 충분함을 보였다. (여기서

H

는 "모든 까마귀는 검다"는 가설을, 명제 위 막대(

\overline{\ }

)는 해당 명제의 논리적 부정을 나타낸다.)

\frac{P(\overline{Ba}|\overline{H})}{P(Ra|\overline{H})} \ - \ P(\overline{Ba}|Ra\overline{H}) \  \geq \ P(Ba|Ra\overline{H}) \frac{P(\overline{Ba}|H)}{P(Ra|H)}

이 조건은 증거량의 차이가 '얼마나' 큰지를 직접 알려주지는 않지만, 같은 논문에서 이루어진 계산에 따르면, 검은색 까마귀가 제공하는 증거의 가중치는 검은색이 아닌 것이 제공하는 가중치보다 대략

-\log P(Ba|Ra\overline{H})

만큼 더 크다. 이는 "모든 까마귀는 검다"는 가설(

H

)이 틀렸다고 가정(

\overline{H}

)했을 때, 색을 모르는 까마귀(

Ra

)가 실제로 검은색(

Ba

)으로 밝혀졌을 때 얻는 정보량과 같다 (로그 밑이 2일 경우 비트 단위).

피텔슨과 호손은 다음과 같이 설명했다.^[10]

"일반적인 상황에서,

p=P(Ba|Ra\overline{H})

는 0.9 또는 0.95 정도가 될 수 있다. 따라서

1/p

는 1.11 또는 1.05 정도가 된다. 따라서, 검은색 까마귀의 단일 사례는 검은색이 아닌 것보다 훨씬 더 많은 지원을 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있다. 그러나 타당한 조건 하에서는

n

개의 사례 시퀀스(즉,

n

개의 검은색 까마귀와

n

개의 검은색이 아닌 것)가

(1/p)^n

정도의 우도 비율을 산출하며, 이는 큰

n

에 대해 상당히 증가하는 것으로 나타낼 수 있다."

저자들은 자신들의 분석이 '검은색이 아닌 것을 관찰하는 것은 극히 적은 양의 증거만을 제공한다'는 일반적인 가정과 완전히 일치한다고 지적하지만, 이를 직접 증명하려고 하지는 않았다. 그들은 단지 검은색 까마귀 관찰과 검은색이 아닌 것 관찰이 제공하는 증거량의 '차이'를 계산하는 데 초점을 맞추었다.

3. 2. 긍정적 사례로부터의 귀납에 대한 반론

까마귀 역설을 해결하려는 일부 접근 방식은 귀납적 추론 단계 자체에 주목한다. 이러한 관점에서는 특정 사례(예: 검은 까마귀 한 마리를 관찰하는 것)가 일반적인 가설(예: 모든 까마귀는 검다)에 대한 믿음을 반드시 '증가'시키는 종류의 증거인지에 대해 의문을 제기한다. 즉, 긍정적인 사례를 관찰하는 것이 항상 가설을 지지하는 것은 아닐 수 있다는 비판이다.

3. 2. 1. 레드 헤링

굿^[23]은 특정 배경 지식을 전제할 경우, 검은 까마귀를 관찰하는 것이 오히려 '모든 까마귀는 검다'는 가설의 확률을 감소시키는 배경 지식의 예를 제시한다. 그는 다음과 같은 상황을 가정한다:

> 만약 우리가 두 세계 중 하나에 있다는 것을 알고 있고, 고려 중인 가설 H가 우리 세계의 모든 까마귀가 검다는 것이라고 가정해보자. 우리는 미리 한 세계에는 검은 까마귀가 백 마리, 검지 않은 까마귀는 없고, 백만 마리의 다른 새들이 있고, 다른 세계에는 검은 까마귀가 천 마리, 흰 까마귀 한 마리, 백만 마리의 다른 새들이 있다는 것을 알고 있다. 새 한 마리가 우리 세계의 모든 새들 중에서 무작위로 동일한 확률로 선택된다. 그것은 검은 까마귀로 밝혀졌다. 이것은... 우리가 모든 까마귀가 검지 않은 두 번째 세계에 있다는 강력한 증거이다.

굿은 이 예시를 통해 흰 신발(검지 않은 것이 까마귀가 아닌 것)의 관찰이 가설을 지지하는 것처럼 보이는 것은 '레드 헤링(red herring, 즉 논점을 흐리는 것)'에 불과하다고 결론 내린다. 때로는 검은 까마귀를 관찰하는 것조차 '모든 까마귀는 검다'는 가설에 반대되는 증거가 될 수 있으므로, 흰 신발과 같은 관련 없어 보이는 관찰이 이를 뒷받침할 수 있다는 사실 자체는 놀랍거나 특별히 주목할 만한 가치가 없다는 것이다. 굿에 따르면, 니코드의 기준(관찰 사례가 가설을 지지한다는 기준)은 특정 배경 지식 하에서는 거짓이며, 따라서 역설적인 결론은 도출되지 않는다.

그러나 헴펠은 이러한 굿의 주장을 역설에 대한 해결책으로 받아들이지 않았다. 헴펠은 'c는 까마귀이고 검다'라는 명제는 "다른 정보와 관련 없이 그 자체로" 고려되어야 한다고 주장하며, "''Mind''에 실린 내 기사의 5.2(b)절에서 강조했듯이 ... 흰 신발의 경우와 같은 역설성의 외관은 부분적으로 이 격언을 지키지 못했기 때문에 발생한다."고 지적했다.^[24]

결국 이 문제는 까마귀 역설을 이해할 때 배경 정보를 전혀 고려하지 않아야 하는지(헴펠의 입장), 아니면 우리가 실제로 가진 배경 정보를 바탕으로 판단해야 하는지, 혹은 가능한 모든 배경 정보 구성을 고려해야 하는지에 대한 논쟁으로 이어진다. 굿은 특정 배경 지식 구성의 경우 니코드의 기준이 거짓임을 보였지만(단, "귀납적으로 지지한다"를 "확률을 증가시킨다"와 동일시할 경우), 우리가 가진 실제 지식 상황에서는 니코드의 기준이 여전히 참이고 역설적인 결론이 유효할 가능성도 남겨두었다. 반면 헴펠은 우리의 배경 지식 자체가 레드 헤링이며, 완전한 무지의 상태에서 귀납적 추론을 평가해야 한다고 주장한다.

3. 2. 2. 굿의 아기

굿(I. J. Good)은 헴펠(Hempel)이 니코드 기준이 배경 정보가 없는 상태에서도 유효해야 한다고 주장한 것에 대해 반박하기 위해, 마허(Maher)가 암묵적으로 사용한 논리, 즉 "모든 까마귀는 검다"라는 명제는 까마귀가 없을 확률이 매우 높을 때 그럴듯하다는 사실을 활용했다.^[25]

굿은 다음과 같은 사고 실험을 제시했다.

"무한히 지적인 신생아가 있다고 상상해 보십시오. 이 신생아는 형식 논리, 영어 구문론 및 주관적 확률을 다룰 수 있는 내장된 신경 회로를 가지고 있습니다. 그는 이제 까마귀를 자세히 정의한 후, 까마귀가 존재할 가능성은 극히 낮으므로, 모든 까마귀가 검을 가능성, 즉

H

가 참일 가능성이 매우 높다고 주장할 수 있습니다. '반면에,' 그는 계속해서 '만약 까마귀가 있다면, 다양한 색상을 가질 상당한 가능성이 있습니다. 따라서, 심지어 검은 까마귀가 존재한다는 것을 발견하더라도, 저는

H

가 처음보다 덜 개연성이 있다고 생각할 것입니다.'"

굿에 따르면, 이 신생아의 상태는 우리가 가정할 수 있는 '완전한 무지'의 상태에 가장 가깝다. 그럼에도 불구하고 이 상황에서조차 니코드의 기준(검은 까마귀의 관찰이 '모든 까마귀는 검다'는 가설을 강화한다)은 여전히 거짓으로 보인다. 마허는 굿의 주장을 더욱 정교하게 만들기 위해, 카르나프(Carnap)의 귀납 이론을 사용하여 "까마귀가 한 마리 있다면 많은 까마귀가 있을 가능성이 높다"는 개념을 공식화했다.^[26]

마허는 자신의 주장을 설명하기 위해, 우주에 객체가 정확히 두 개만 존재한다고 가정했다. 각 객체가 까마귀일 확률은 매우 낮고(1/1000), 검은색일 확률은 상대적으로 낮다(1/10)고 설정했다. 카르나프의 귀납 공식을 적용하여 계산한 결과, 두 객체 중 하나가 검은 까마귀라는 사실을 발견했을 때, '모든 까마귀가 검다'는 가설의 확률은 0.9985에서 0.8995로 오히려 감소한다는 것을 보였다.

결론적으로 마허는 까마귀 역설의 역설적인 결론(검지 않은 것을 관찰하는 것이 '모든 까마귀는 검다'를 지지한다는 것) 자체는 타당하지만, 배경 지식이 거의 없는 상태(우주에 객체가 두 개뿐이라는 지식과 까마귀가 검은색보다 덜 흔하다는 지식 외에는)에서도 니코드의 기준은 거짓이라고 주장했다.

3. 2. 3. 구별되는 술어

콰인^[27]은 이 역설의 해결책으로, 귀납법에서 특별한 지위를 가지는 특정 술어, 즉 그가 자연 종류(natural kinds)라고 부른 것들을 구별해야 한다고 주장했다. 이는 넬슨 굿맨이 제시한 'grue'라는 술어의 예를 통해 설명될 수 있다. 어떤 물체가 특정 시점 이전에는 파란색이고 그 이후에는 녹색일 경우 'grue'하다고 정의한다. 우리는 특정 시점 이전에 파란색이었던 물체가 그 이후에도 파란색으로 남아있을 것이라고 자연스럽게 예상한다. 하지만 특정 시점 이전에 'grue'한 것으로 밝혀진 물체가 그 이후에도 'grue'할 것이라고 예상하지는 않는다. 왜냐하면 이는 그 물체가 특정 시점 이후에는 녹색이 될 것이라는 의미이기 때문이다. 콰인의 설명에 따르면, "파란색"은 자연 종류, 즉 귀납법에 사용될 수 있는 특권적인 술어인 반면, "grue"는 자연 종류가 아니므로 이를 이용한 귀납적 추론은 오류를 낳는다.

이러한 구별은 역설에 대한 해결책을 제시한다. 니코드의 기준은 "파란색"이나 "검은색"과 같은 자연 종류 술어에 대해서는 유효하지만, "grue"나 "비-까마귀"처럼 인위적으로 만들어진 술어에 대해서는 유효하지 않다는 것이다. 이 관점에 따르면, 까마귀 역설은 우리가 니코드의 기준이 모든 종류의 술어에 적용된다고 무의식적으로 가정하기 때문에 발생하지만, 실제로는 자연 종류에만 적용되기 때문에 생기는 문제이다.

다른 접근 방식으로, 힌티카는 특정 술어를 다른 술어보다 선호하는 방식을 취했다.^[20] 힌티카는 까마귀와 검은 물체의 상대 빈도에 대한 지식을 사용하지 않는 베이시안적 접근 방식을 모색했다. 그는 상대 빈도에 관한 주장만으로는, 어떤 대상 A를 관찰한 증거가 그 대상이 아닌 not-A에 대해 배우는 것과 관련 없어 보이는 현상을 항상 설명할 수는 없다고 주장했다.

그의 주장은 "까마귀"와 "검은색" 대신 다른 술어를 사용하여 역설을 재구성함으로써 더 명확해진다. 예를 들어, "모든 남자는 키가 크다"는 논리적으로 "모든 키가 작은 사람은 여자다"와 동등하다. 따라서 무작위로 선택된 사람이 키가 작은 여자라는 사실을 관찰하는 것은 "모든 남자는 키가 크다"는 주장을 뒷받침하는 증거가 되어야 한다. 그러나 우리는 남자가 키 작은 사람보다 훨씬 적다는 배경 지식이 없더라도 이러한 결론을 받아들이기 어렵다. 힌티카는 다음과 같은 예를 들었다: "모든 물질적 물체는 무한히 나눌 수 없다"와 같은 일반화는, 우리가 생각하는 물질적 실체와 비물질적 실체의 상대적 빈도와 관계없이, 비물질적 실체에 대한 질문과는 전혀 무관해 보인다.^[20]

힌티카의 해결책은 술어 집합에 ''순서''를 도입하는 것이다. 이 순서가 있는 논리 체계에서는 "모든 까마귀는 검은색이다"와 같은 일반화의 ''범위''(scope)를 까마귀에게만 적용되도록 제한하고, 검은색이 아닌 것들에는 적용되지 않도록 할 수 있다. 이는 논리적 순서상 검은색이 아닌 것보다 까마귀를 우선하기 때문이다. 그는 "만약 우리가 '모든 까마귀는 검은색이다'라는 일반화의 범위를 까마귀로 제한할 수 있다고 가정하는 것이 정당하다면, 이는 우리가 사실적 상황에 관해 의존할 수 있는 외부 정보를 가지고 있음을 의미한다. 역설은 상황에 대한 우리의 자발적인 견해에 영향을 미치는 이 정보가 귀납적 상황에 대한 일반적인 처리 방식에 포함되지 않는다는 사실에서 발생한다."^[20]고 설명했다.

3. 3. 헴펠의 동등성 조건 거부

까마귀 역설 해결을 위한 몇몇 접근 방식은 헴펠의 등가 조건을 거부한다. 이 관점에서는 '모든 검지 않은 물체는 까마귀가 아니다'라는 명제를 뒷받침하는 증거가 반드시 '모든 까마귀는 검다'와 같이 논리적으로 동등한 명제를 뒷받침한다고 여기지 않을 수 있다. 즉, 두 명제 사이의 논리적 동치 관계가 증거에 의한 확증 관계에서도 반드시 성립하는 것은 아니라고 본다.

3. 3. 1. 선택적 확증

Scheffler와 굿맨^[28]은 과학적 가설은 실제로 증명되는 것이 아니라 오직 반증될 뿐이라는 칼 포퍼의 견해를 바탕으로 이 역설에 접근했다.

이 접근법은 검은 까마귀를 관찰하는 것이 "모든 까마귀는 검다"는 가설을 증명하는 대신, 그 반대 가설인 "까마귀는 검은색이 아니다"를 반증한다는 점에 주목한다. 반면, 검지 않은 비까마귀(예: 하얀 신발)를 관찰하는 것은 "모든 까마귀는 검다"와 "까마귀는 검은색이 아니다"라는 두 가설 모두와 모순되지 않는다. Scheffler와 굿맨은 다음과 같이 설명한다.

: ... 모든 까마귀가 검다는 명제는 검은 까마귀라는 증거에 의해 단순히 ''만족''될 뿐만 아니라, 그러한 증거에 의해 ''지지''받는다. 왜냐하면 검은 까마귀는 모든 까마귀가 검지 않다는 반대 명제, 즉 그것의 부정을 반증하기 때문이다. 다시 말해, 검은 까마귀는 '모든 까마귀가 검지 않다'가 아니라 '모든 까마귀가 검다'라는 가설을 만족시킨다. 따라서 '모든 까마귀가 검다'를 선택적으로 확증한다.

이처럼 검은 까마귀는 "모든 까마귀가 검다"는 가설을 선택적으로 확증한다. 하지만 이 선택적 확증은 등가 조건을 위반하는데, 검은 까마귀는 "모든 까마귀는 검다"를 선택적으로 확증하지만, 논리적으로 동치인 "모든 검지 않은 것은 비까마귀다"는 확증하지 않기 때문이다.

3. 3. 2. 정통적 접근

정통적인 네이만-피어슨 가설 검정 이론은 가설에 확률을 부여하기보다는 가설을 수용할지 또는 기각할지를 결정하는 방법에 초점을 맞춘다. 이 관점에서 "모든 까마귀는 검다"라는 가설은 관찰을 거듭하며 확률이 1에 가까워지는 방식으로 점진적으로 받아들여지는 것이 아니라, 이미 수집된 데이터를 바탕으로 한 번에 수용 여부가 결정된다. 네이만과 피어슨은 "각각의 개별 가설이 참인지 거짓인지 알기를 바라지 않고, 우리는 그것들에 관해 우리의 행동을 규율하는 규칙을 찾을 수 있으며, 이러한 규칙을 따름으로써 장기적인 경험에서 너무 자주 틀리지 않도록 보장할 수 있다"고 설명했다.^[32]

이 접근 방식에서는 가설 자체의 확률을 따지기보다는, 특정 가설이나 경쟁 가설이 주어졌을 때 관찰된 데이터가 나타날 확률을 중요하게 여긴다. 가설을 수용하거나 기각하는 결정에는 항상 오류의 위험이 따른다.

이는 가설에 사전 확률을 설정하고 관찰된 데이터를 통해 이를 수정하여 가설의 최종 확률을 얻는 베이지안 접근 방식과는 대조적이다. 베이지안 방식에서는 가설이 수용되거나 기각되지 않고 확률이 부여되므로 오류의 위험이 없다.

정통적인 관점에서 이 역설을 분석하면, 등가 조건(모든 P가 Q이면 모든 비-Q는 비-P이다)을 거부하게 된다. 즉, "모든 P가 Q라는 가설을 수용하면서 동시에 그 대우 명제인 '모든 비-Q는 비-P'라는 가설을 기각할 수는 없는 것처럼 보이지만, 네이만-피어슨 검정 이론에 따르면 '모든 P는 Q이다'라는 검정이 반드시 '모든 비-Q는 비-P이다'라는 검정은 아니다."^[33] "모든 P는 Q이다"라는 검정은 '모든 P 중 일부(

r

)만 Q이다' (

0)와 같은 대안 가설을 고려해야 하고, "모든 비-Q는 비-P이다"라는 검정은 '모든 비-Q 중 일부(r)만 비-P이다' (0)와 같은 다른 대안 가설을 고려해야 한다. 이 두 대안 가설 집합은 다르기 때문에, 한 가설(H)에 대한 검정이 존재한다고 해서 그 대우 명제에 대한 검정이 반드시 존재하는 것은 아니다.

^[33]

3. 3. 3. 재료 조건의 거부

역설에 대한 몇몇 접근 방식은 "만약

A

라면

B

"와 "모든

A

는

B

"를 해석하는 다른 방식을 찾아, "모든 까마귀는 검다"와 "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다" 사이의 논리적 동치 관계를 제거하려고 시도한다.

이러한 접근 방식 중 하나는 다치 논리를 도입하는 것이다. 이 시스템에서는 명제 "만약

A

라면

B

"는

A

가 거짓일 때 '결정되지 않음' 또는 '부적절함'을 의미하는 진리값

I

를 갖는다.^[34] 이러한 다치 논리 체계에서는 대우 명제가 자동으로 허용되지 않는다. 즉, "만약

A

라면

B

"는 "만약

\overline{B}

라면

\overline{A}

"와 반드시 동치이지 않다. 결과적으로 "모든 까마귀는 검다"는 "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다"와 동치 관계가 아니게 된다.

이 시스템에서 대우 명제가 발생하면, 관련된 조건문의 언어적 양상은 직설법("저 버터 조각이 32°C로 ''가열되었다면'' 그것은 ''녹았을 것이다''")에서 반사실적 조건문("저 버터 조각이 32°C로 ''가열되었다면'' 그것은 ''녹았을 것이다''")으로 변경된다고 주장한다. 이러한 주장에 따르면, 노란 소와 같은 관찰이 까마귀에 대한 정보를 줄 수 있다는 역설적인 동치 관계가 제거된다.

:적절한 문법적 사용에서, 대우 명제 논증은 직설법으로 완전히 진술해서는 안 된다. 따라서:

::"이 성냥을 긁으면 불이 붙는다는 사실로부터, 불이 붙지 않으면 긁히지 않았다는 결론이 나온다."

:는 어색하다. 우리는 다음과 같이 말해야 한다:

::"이 성냥을 긁으면 불이 붙는다는 사실로부터, 불이 ''붙지 않았다면'' 그것은 긁히지 ''않았을 것이다''. ..."

:대우 명제의 법칙에 대한 이 해석이 헴펠의 확인의 역설에 어떤 영향을 미칠지 궁금할 수 있다. "만약

a

가 까마귀라면

a

는 검다"는 "만약

a

가 검지 않다면

a

는 까마귀가 아니었을 것이다"와 동치이다. 따라서 후자를 확인하는 것은 동치 조건에 따라 전자를 확인해야 한다. 사실이지만, 과학에서 확인은 예측에 의해 이루어지며 예측은 직설법으로 적절하게 진술되기 때문에 노란 소는 여전히 "모든 까마귀는 검다"의 확인에 포함될 수 없다. 반사실적 사실을 확인하는 것이 무엇인지 묻는 것은 무의미하다.^[34]

3. 3. 4. 가설 수용의 상이한 결과

여러 논평가들은 "모든 까마귀는 검다"와 "모든 검지 않은 것은 까마귀가 아니다"라는 두 명제가 논리적으로는 같지만, 가설을 검증하는 과정에서는 서로 다른 절차를 제시한다고 지적했다. 예를 들어, 굿(I. J. Good)은 다음과 같이 설명한다.^[9]

: "두 명제는 논리적으로 동등하다. 하지만 실험자에게는 서로 다른 심리적 영향을 미친다. 만약 모든 까마귀가 검은지 검증하라는 요청을 받으면, 그는 까마귀를 찾은 다음 그것이 검은지 판단할 것이다. 하지만 모든 검지 않은 것은 까마귀가 아닌지 검증하라는 요청을 받으면, 그는 검지 않은 물체를 찾은 다음 그것이 까마귀인지 판단할 것이다."

더 나아가, 이 두 명제가 '수용될' 때 서로 다른 영향을 미칠 수 있다는 주장이 제기되었다.^[35] 이 주장은 세상에 존재하는 까마귀와 검은 물체의 총 수나 그 비율을 정확히 알지 못하고 추정해야 하는 상황을 가정한다. 이 관점에 따르면, "모든 까마귀는 검다"라는 가설을 받아들이면, 검은색 물체의 추정 수는 늘어나지만, 까마귀 자체의 추정 수는 변하지 않는다.

이를 이해하기 위해, 까마귀와 검은 물체에 대해 동일한 정보를 가진 두 사람이 있고, 이들이 까마귀와 검은 물체의 수를 동일하게 추정한다고 가정해보자. 예를 들어, 세상에 총 100개의 물체가 있고, 각 물체는 까마귀일 확률(P(Ra))과 검은색일 확률(P(Ba))이 각각 1/2로 동일하다고 알려져 있다고 하자. 또한, 각 물체의 종류(까마귀 여부)와 색깔은 서로 독립적이라고 가정한다. 이 경우, 처음 추정되는 수는 다음과 같다.

까마귀: 50개
검은 물체: 50개
검은 까마귀: 25개
검지 않은 까마귀 (가설의 반례): 25개

이제 두 사람 중 한 명은 "모든 까마귀는 검다"는 가설을 통계적으로 검증하고(예: 네이만-피어슨 검정), 다른 한 명은 "모든 검지 않은 물건은 까마귀가 아니다"라는 가설을 검증한다고 하자. 검증에 사용된 증거는 이 100개의 물체와는 별개라고 가정한다.

첫 번째 사람이 "모든 까마귀는 검다"는 가설을 받아들이면, 이전에 색깔이 불확실했던 약 50개의 까마귀는 이제 모두 검은색이라고 간주하게 된다. 반면, 까마귀가 아닌 나머지 50개 물체에 대해서는 생각이 바뀌지 않는다. 결과적으로, 그는 다음과 같이 추정하게 된다.

검은 까마귀: 50개
검은색이지만 까마귀가 아닌 것: 25개
검지 않지만 까마귀가 아닌 것: 25개
(검지 않은 까마귀는 0개)

이처럼 "모든 까마귀는 검다"를 받아들이는 것은 까마귀로 간주되는 대상에 한정하여 그 색깔이 검다고 결론 내리는 효과를 가진다. 결과적으로 검은색 물체의 총 추정 수는 75개로 늘어난다.

반면에, 두 번째 사람이 "모든 검지 않은 것은 까마귀가 아니다"라는 가설을 받아들이면, 이전에 까마귀인지 불확실했던 약 50개의 검지 않은 물체는 이제 모두 까마귀가 아니라고 간주하게 된다. 반면, 검은색인 나머지 50개 물체에 대해서는 생각이 바뀌지 않는다. 결과적으로, 그는 다음과 같이 추정하게 된다.

검은 까마귀: 25개
검은색이지만 까마귀가 아닌 것: 25개
검지 않지만 까마귀가 아닌 것: 50개
(검지 않은 까마귀는 0개)

이처럼 "모든 검지 않은 것은 까마귀가 아니다"를 받아들이는 것은 검지 않은 물체에 한정하여 그것이 까마귀가 아니라고 결론 내리는 효과를 가진다. 결과적으로 까마귀가 아닌 물체의 총 추정 수는 75개로 늘어난다.

결론적으로, 두 사람은 서로 다른 가설을 수용한 후 추정치에 대해 다른 결론에 도달한다. 따라서 "모든 까마귀는 검다"를 수용하는 것과 "모든 검지 않은 것은 까마귀가 아니다"를 수용하는 것은 동일한 결과를 낳지 않는다. 전자를 수용하면 더 많은 물체를 검은색으로 추정하게 되고, 후자를 수용하면 더 많은 물체를 까마귀가 아닌 것으로 추정하게 된다. 이는 결국 첫 번째 가설은 검은색으로 밝혀진 까마귀를 증거로 요구하고, 두 번째 가설은 까마귀가 아닌 것으로 밝혀진 검지 않은 물체를 증거로 요구한다는 것을 시사한다.^[35]

3. 3. 5. 실존적 전제

일부 학자들은 "모든

A

는

B

이다"와 같은 형식의 명제가

A

인 대상이 실제로 존재한다는 것을 전제한다고 주장한다.^[36] 이 분석은 까마귀 역설에도 적용될 수 있다.^[37]

: ...

H_1

: "모든 까마귀는 검다"와

H_2

: "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다"는 서로 ''엄밀히 동치''가 아니다 ... 그들의 서로 다른 실존적 전제 때문에. 게다가,

H_1

과

H_2

가 동일한 규칙성 – 검지 않은 까마귀의 부재 –을 묘사하지만, 그들은 서로 다른 논리적 형식을 가진다. 두 가설은 서로 다른 의미를 가지며 그들이 묘사하는 규칙성을 테스트하기 위한 서로 다른 절차를 통합한다.

이러한 관점에서는 실존적 전제를 명확히 하기 위해 수정된 논리를 사용할 수 있다. 예를 들어, 전제 연산자 '*'를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\forall\ x,\ *Rx\rightarrow Bx

이 식은 "모든 까마귀는 검다"를 나타내는 동시에, 이 예시에서는 까마귀(

R

)가 존재한다고 전제한다는 것을 보여준다.

: ... 각 가설의 논리 형식은 각 가설이 권장하는 유형의 증거와 관련하여 구별된다: 각 가설의 참일 수 있는 대입 예는 서로 다른 유형의 대상과 관련된다. 두 가설이 서로 다른 종류의 테스트 절차를 통합한다는 사실은 형식 언어에서 연산자 '*'를 다른 술어 앞에 붙여 표현된다. 따라서 전제 연산자는 관련성 연산자 역할도 한다. "모든 까마귀는 검다"에 포함된 테스트 절차와 관련된 대상은 까마귀뿐이므로

H_1

에서 술어 '

x

는 까마귀이다' 앞에 붙는다. "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다"에 포함된 테스트 절차와 관련된 대상은 검지 않은 것뿐이므로

H_2

에서 술어 '

x

는 검지 않다' 앞에 붙는다. ... 프레게적 용어로: 그들의 전제가 유효할 때, 두 가설은 동일한 지시체를 가지지만, 서로 다른 의미를 가진다; 즉, 그들은 해당 진리값을 결정하는 서로 다른 두 가지 방식을 표현한다.^[37]

4. 현실 세계와 논리학의 관계

대우 논법을 사용하면 일상적인 감각과는 상반되는 귀결을 얻을 수 있다. "모든 까마귀는 검다"라는 명제를 증명하기 위해, 그 대우인 "검지 않은 모든 것은 까마귀가 아니다"를 증명하는 헴펠의 방식은 논리적으로는 타당하지만, 현실 세계에 적용하기에는 여러 문제가 따른다.

이러한 논법의 역설적인 측면을 "실내 조류학"이라는 표현으로 나타내기도 한다. 이는 실제 까마귀를 한 마리도 관찰하지 않고 실내에 있는 검지 않은 물건들(예: 빨간 사과, 파란 책)을 관찰하는 것만으로도 "모든 까마귀는 검다"는 명제의 확증성을 높일 수 있다는 역설적인 상황을 지적한다.

"세상의 모든 검지 않은 것을 조사한다"는 것은 현실적으로 거의 불가능하다. 우선 '검지 않은 것'의 범위와 개수를 정의하는 것부터 문제이다. 예를 들어, 사람의 손가락 하나하나를 셀 것인가, 아니면 사람 전체를 하나로 셀 것인가에 따라 '검지 않은 것'의 수는 달라진다. 세상의 사물을 어떻게 나누고 개념화하는지에 따라 그 가능성은 무한히 많아질 수 있다. 또한, '세상의 모든'이라는 범위가 우주 전체를 포함한다면, 무한히 많은 '검지 않은 것'을 조사하는 작업은 영원히 끝나지 않을 것이다.

설령 까마귀의 존재가 확실하고 '검지 않은 것'의 총수가 유한하다고 가정하더라도, 그 수가 너무나 방대하기 때문에 현실적으로 모든 대상을 조사하는 것은 불가능하다. 어떤 명제의 신뢰도는 조사한 사례가 전체 사례에서 차지하는 비율과 관련 있는데(확증성의 원리), '검지 않은 것'의 수는 극도로 많으므로, 몇 가지 사례 조사만으로는 명제의 신뢰도를 유의미하게 높이기 어렵다. 이처럼 헴펠의 논법을 현실 세계의 증명에 적용하기 어렵다는 점에서 "까마귀 역설"이라고 부르기도 한다.

하지만 특정 조건 하에서는 대우 논법을 이용한 증명이 현실적으로 유용할 수 있다.

조사 대상의 수가 적을 때: 예를 들어, 특정 동물원에 빨강, 파랑, 노랑, 검정 네 개의 우리만 있고, 검정 이외의 우리에 까마귀가 없다는 것을 확인했다면, 동물원에 까마귀가 있다는 전제 하에 까마귀를 직접 보지 않고도 "까마귀는 검은 우리에 있다"고 결론 내릴 수 있다.
대우 명제를 조사하는 것이 더 쉬울 때: 예를 들어, 대부분 까마귀로 이루어진 무리 속에 검지 않은 새가 소수 섞여 있을 때, "무리 안의 모든 까마귀는 검다"는 것을 증명하려면, 검지 않은 소수의 새들만 조사하여 까마귀가 아님을 확인하는 것이 모든 까마귀를 일일이 확인하는 것보다 효율적일 수 있다.

결론적으로, 헴펠의 논법에 따른 확증은 대상의 존재가 명확하고 조사 대상의 총수가 유한하다고 간주할 수 있는 등, 여러 전제가 충족될 때 현실적으로 유용성을 가진다. 하지만 일반적인 논리학에서는 이러한 현실적인 제약과 무관하게 헴펠의 논법 자체는 논리적으로 타당하다고 본다. 따라서 실제 증명 수행 가능 여부와 관계없이 논리적으로는 타당하며, 이로 인해 일상적인 직관과 어긋나는 결론이 도출된다는 점은 변하지 않는다.

5. 흰 까마귀의 실재

여담이지만, "모든 까마귀는 검다"라는 명제는 반증되었다. 왜냐하면, 알비노 또는 백변종의 까마귀, 즉 "검지 않은" 까마귀의 실재가 관측되고 있기 때문이다.^[38]^[39] 또한, 동남아시아에 서식하는 까마귀의 대부분은 배가 하얗거나, 전체적으로 회색을 띠는 등, 검은색 일색이 아니다.

이처럼 검지 않은 까마귀가 한 마리라도 발견되면, 전체 명제인 "모든 까마귀는 검다"는 오류임이 증명될 수 있다. 예를 들어 "헹펠의 까마귀" 방법에 따라 이 명제의 진위를 확인하는 경우, 흰 비둘기나 백조 등, 전 세계의 모든 "검지 않은 것"을 샅샅이 조사해나가면, 언젠가 "검지 않은" 알비노 까마귀에 도달하게 되므로, 명제가 거짓임이 증명된다. "모든 까마귀는 검다"라는 가정이 오류라는 것과, 그 대우인 "검지 않은 것은 까마귀가 아니다" 또한 오류라는 것은 동치이다.

이러한 사실은, 과학 분야의 명제에는, 실험이나 관찰과 같은 경험에 의해 오류임이 증명될 가능성(반증가능성)이 있음을 보여준다.

참조

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