보간법

3. 함수 근사

보간법은 주어진 함수를 근사하는 데 사용될 수 있다. 어떤 함수 $f:[a,b]\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$와 그 구간 안의 점들 $x\_\{1\},x\_\{2\},\backslash dots\; ,x\_\{n\}\backslash in\; [a,b]$이 주어졌을 때, $f(x\_\{i\})=s(x\_\{i\})$ ($i=1,2,\backslash dots\; ,n$)를 만족하는 함수 $s:[a,b]\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$를 구성할 수 있다. 다시 말해, 함수 $s$는 이 점들에서 $f$를 보간하여 근사한다.

일반적으로 보간 함수가 항상 좋은 근사를 제공하는 것은 아니지만, 좋은 근사인지 판단할 수 있는 기준은 존재한다. 예를 들어, 함수 $f$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 4차 연속 미분 가능하다면 (즉, $f\backslash in\; C^\{4\}([a,b])$), 3차 스플라인 보간의 오차는 다음과 같은 경계를 가진다.

:$\{\backslash displaystyle\; \backslash |f-s\backslash |\_\{\backslash infty\; \}\backslash leq\; C\backslash |f^\{(4)\}\backslash |\_\{\backslash infty\; \}h^\{4\}\}$

여기서 $h$는 인접한 점들 사이의 간격 중 가장 큰 값이고, $C$는 상수, $\{\backslash displaystyle\; \backslash |f^\{(4)\}\backslash |\_\{\backslash infty\; \}\}$는 $f$의 4차 도함수의 절댓값의 최댓값이다. 즉, 함수 $f$의 4차 도함수의 절댓값의 최댓값과 인접한 점들 사이의 간격의 최댓값이 작을수록 3차 스플라인 보간으로 만들어진 함수 $s$가 함수 $f$에 대해 더 정확한 근사를 제공한다는 의미이다.^[7]

다음은 알 수 없는 함수 $f(x)$의 몇몇 값을 나타낸 표이다.

보간법을 이용하면 $x=2.5$와 같이 주어진 점들 사이의 값에 대한 함수 값을 추정할 수 있다.

보간법에는 여러 가지 방법이 있으며, 각 방법은 정확도, 계산 비용, 필요한 데이터 점의 수, 결과로 나오는 보간 함수의 매끄러움 등의 특성이 다르다.

가장 간단한 보간법 중 하나는 선형 보간이다. 예를 들어, 위 표에서 $f(2.5)$를 추정해보자. 2.5는 2와 3의 중간이므로, $f(2)=0.9093$과 $f(3)=0.1411$의 중간값인 0.5252로 추정하는 것이 합리적이다.

일반적으로, 선형 보간은 두 점 (''x''_''a'',''y''_''a'')와 (''x''_''b'',''y''_''b'')가 주어졌을 때, 다음과 같은 보간 함수를 사용한다.

:$y\; =\; y\_a\; +\; \backslash left(\; y\_b-y\_a\; \backslash right)\; \backslash frac\{x-x\_a\}\{x\_b-x\_a\}$

선형 보간은 빠르고 쉽지만, 정확도가 떨어진다는 단점이 있다. 또한, 보간 함수가 각 데이터 점 ''x''_''k''에서 미분 가능하지 않다.

선형 보간의 오차는 다음과 같이 추정할 수 있다. 보간하려는 함수를 ''g''라고 하고, ''x''가 ''x''_''a''와 ''x''_''b'' 사이에 있으며, ''g''가 두 번 연속 미분 가능하다고 가정하면,

:$|f(x)-g(x)|\; \backslash le\; C(x\_b-x\_a)^2\; \backslash quad\backslash text\{여기서\}\backslash quad\; C\; =\; \backslash frac18\; \backslash max\_\{r\backslash in[x\_a,x\_b]\}\; |g\text{'}\text{'}(r)|.$

즉, 오차는 데이터 점 사이의 거리의 제곱에 비례한다.

다항 보간법은 선형 보간법을 일반화한 것이다. 선형 보간 함수가 선형 함수인 반면, 다항 보간법에서는 더 높은 차수의 다항식을 사용한다.

위의 예시에서, 다음과 같은 6차 다항식은 주어진 모든 7개의 점을 통과한다.

:$f(x)\; =\; -0.0001521\; x^6\; -\; 0.003130\; x^5\; +\; 0.07321\; x^4\; -\; 0.3577\; x^3\; +\; 0.2255\; x^2\; +\; 0.9038\; x.$

이 식에 $x\; =\; 2.5$를 대입하면, $f(2.5)\; \backslash approx\; 0.59678$을 얻는다.

일반적으로, $n$개의 데이터 점이 있다면, 최대 $n-1$차의 다항식 중 모든 점을 지나는 다항식은 유일하게 존재한다. 다항 보간의 오차는 데이터 점 사이의 거리의 $n$제곱에 비례하며, 보간 함수는 다항식이므로 무한히 미분 가능하다. 따라서 다항 보간법은 선형 보간법의 많은 단점을 해결한다.

그러나 다항 보간법에도 몇 가지 단점이 있다. 우선, 보간 다항식을 계산하는 것은 선형 보간에 비해 계산 비용이 많이 든다. 또한, 특히 양 끝점에서 진동하는 현상(룽게 현상)이 나타날 수 있다.

다항 보간법은 선형 보간과 달리 표본 범위 바깥에 있는 국소 최댓값과 최솟값을 추정할 수 있다는 장점이 있다. 예를 들어, 위에서 구한 보간 함수는 $x\; \backslash approx\; 1.566$에서 국소 최댓값($f(x)\; \backslash approx\; 1.003$)을, $x\; \backslash approx\; 4.708$에서 국소 최솟값($f(x)\; \backslash approx\; -1.003$)을 갖는다. 그러나 이러한 최댓값과 최솟값은 함수의 이론적 범위를 벗어날 수 있다.

스플라인 보간은 각 구간에서 낮은 차수의 다항식을 사용하고, 이 다항식 조각들을 부드럽게 연결하는 방법이다. 이렇게 얻어진 함수를 스플라인이라고 한다.

예를 들어, 자연 입방 스플라인은 각 구간에서 3차 다항식을 사용하며, 두 번 연속 미분 가능하다. 또한, 양 끝점에서 2계 도함수가 0이다. 위 표의 점들을 보간하는 자연 입방 스플라인은 다음과 같다.

:$f(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$

• 0.1522 x^3 + 0.9937 x, & \text{if } x \in [0,1], \\
• 0.01258 x^3 - 0.4189 x^2 + 1.4126 x - 0.1396, & \text{if } x \in [1,2], \\

• 0.1871 x^3 + 3.3673 x^2 - 19.3370 x + 34.9282, & \text{if } x \in [5,6].

4. 가우시안 프로세스

가우시안 프로세스는 강력한 비선형 보간 도구이다. 널리 사용되고 있는 수많은 보간 도구들은 대부분 가우시안 프로세스와 거의 동일하다고 할 수 있다. 가우시안 프로세스는 주어진 데이터 포인트를 정확히 통과하는 보간 함수 뿐만 아니라 보간한 함숫값의 신뢰 구간까지 제공한다. 이러한 특성 때문에 가우시안 프로세스는 가우시안 프로세스 회귀라는 이름으로 회귀 분석에도 빈번하게 사용된다. 지리 통계학에서는 가우시안 프로세스 회귀가 크리깅이라는 이름으로 알려져 있기도 하다.

다음 표는 알 수 없는 함수 f(x)|에프 엑스^영어의 몇몇 값을 보여준다.

보간법은 x|엑스^영어 = 2.5 와 같은 중간 점에서 함수를 추정하는 방법을 제공한다. 가우시안 과정은 주어진 데이터 점을 정확히 통과하는 보간 함수를 적합하는 데 사용될 뿐만 아니라, 회귀 분석에도 사용될 수 있다. 즉, 잡음이 있는 데이터를 통해 곡선을 적합하는 데 사용될 수 있다. 지리통계학 분야에서는 가우시안 과정 회귀를 크리깅이라고도 한다.

5. 고차원 보간

다변수 보간법은 둘 이상의 변수를 가지는 함수를 보간하는 방법이다. 여기에는 2차원에서 사용되는 쌍선형 보간법, 쌍삼차 보간법과 3차원에서 사용되는 삼선형 보간법이 포함된다. 이러한 방법들은 격자 데이터 또는 산포 데이터에 적용될 수 있다. 모방 보간법은 3보다 큰 n차원 공간으로 일반화된다.^[8][9]

6. 디지털 신호 처리에서의 보간

디지털 신호 처리 분야에서 보간법은 샘플링된 디지털 신호(예: 샘플링된 오디오 신호)의 샘플링 속도를 높이는 과정(업샘플링)을 말한다. 이 과정에서는 다양한 디지털 필터링 기법(예: 주파수 제한 임펄스 신호와의 합성곱)을 사용한다. 이 응용에서는 원래 신호의 고조파 성분을 보존하면서, 원래 신호의 나이퀴스트 한계(원래 신호 샘플링 주파수의 절반, 즉 $\backslash frac\{f\_s\}\{2\}$)를 넘는 고조파 왜곡을 생성하지 않는 것이 중요하다.^[10]

참조

_[1] 백과사전 Interpolation
_[2] 서적 Interpolation https://www.worldcat[...] 2006
_[3] 서적 Numerical Analysis https://archive.org/[...] Springer
_[4] 학술지 Mimetic Interpolation of Vector Fields on Arakawa C/D Grids https://journals.ame[...] 2022-06-07
_[5] 서적 Geometric Computational Electrodynamics with Variational Integrators and Discrete Differential Forms http://link.springer[...] Springer New York 2022-06-15
_[6] 학술지 First- and Second-Order Conservative Remapping Schemes for Grids in Spherical Coordinates
_[7] 학술지 Optimal Error Bounds for Cubic Spline Interpolation 1976
_[8] 서적 Geometric Integration Theory Dover Books on Mathematics
_[9] 학술지 Conservative interpolation of edge and face data on n dimensional structured grids using differential forms
_[10] 서적 Multirate Digital Signal Processing Prentice-Hall 1983
_[11] 서적 Interpolation of Operators Academic Press
_[12] 학술지 Barycentric Lagrange Interpolation https://people.maths[...]
_[13] 학술지 Some New Aspects of Rational Interpolation