보건 도표

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수 반단순 리 대수와 관련된 정의
- 2.2. 추상적 보건 도표
3. 성질
4. 예시
5. 역사
참조

1. 개요

보건 도표는 실수 반단순 리 대수의 분류에 사용되는 도표이다. 주어진 실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대응되는 보건 도표는 딘킨 도표, 카르탕 대합에 대한 양근의 궤도, 콤팩트 근 여부로 구성된다. 추상적 보건 도표는 딘킨 도표와 군의 작용, 검은 꼭짓점으로 정의되며, 모든 추상 보건 도표는 실수 반단순 리 대수로 실현될 수 있다. 서로 다른 보건 도표가 같은 실수 반단순 리 대수에 대응될 수 있으며, 보건 도표는 데이비드 알렉산더 보건에 의해 도입되었다.

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보건 도표
개요
이름	보건 다이어그램 (Vogan diagram)
분야	리 군 표현론
고안자	데이비드 보건
정의
정의	복소수 리 군의 실수 형태의 표현론 연구에 사용되는 도구
특징	특정 리 군의 기약 에르미트 표현을 분류 표현의 성질을 시각적으로 나타냄 실수 형태의 구조를 이해하는 데 도움을 줌
응용
응용 분야	수학 (특히 리 군론과 표현론) 물리학 (특히 대칭성을 다루는 분야)
참고 자료
참고 문헌	Lie Groups Beyond an Introduction, Anthony W. Knapp

2. 정의

'''보건 도표'''는 실수 반단순 리 대수의 구조를 시각적으로 나타내는 도표이다. 구체적으로는 카르탕 대합과 근계의 정보를 이용하여 딘킨 도표를 기반으로 만들어지며, 딘킨 도표의 꼭짓점에 추가적인 정보(카르탕 대합의 작용에 따른 궤도, 콤팩트/비콤팩트 여부)를 표시하여 리 대수의 성질을 나타낸다.

2. 1. 실수 반단순 리 대수와 관련된 정의

다음이 주어졌다고 하자.

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ . 그 복소화를 $\mathfrak g^{\mathbb C}$ 로 표기하자.
$\mathfrak g$ 의 카르탕 대합 $\theta\colon\mathfrak g\to\mathfrak g$ . 이에 따라 카르탕 분해 $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p$ 를 정의할 수 있다.
$\theta$ -안정 극대 콤팩트 카르탕 부분 대수 $\mathfrak h=\mathfrak t\oplus\mathfrak a\subseteq\mathbb g$ 와 그 복소화 $\mathfrak h^{\mathbb C}\subseteq\mathfrak g^{\mathbb C}$ .
$(\mathfrak g^{\mathbb C},\mathfrak h^{\mathbb C})$ 의 근계 $\Delta$ 속의, 양근의 선택 $\Delta^+\subseteq\Delta$ . 또한, 이에 정의되는 전순서 아래 항상 $\mathrm i\mathfrak t$ 가 $\mathfrak a$ 보다 먼저 등장한다고 하자.

그렇다면,

\theta

는

\Delta^+

위에 작용하며, 이는 크기 1 또는 2의 궤도들을 정의한다. 이 경우,

허수 단순근들은 크기 1의 궤도를 갖는다 ( $\theta$ 의 작용의 고정점이다).
$\Delta^+$ 의 선택에 따라 실수 단순근은 존재하지 않는다.
복소수 단순근들은 크기 2의 궤도를 갖는다.

이 데이터에 대응되는 '''보건 도표'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$\Delta^+$ 의 딘킨 도표 $\Gamma$ . 이는 $\operatorname V(\Gamma) = \Delta^+$ 인 유한 그래프이며, 각 변에는 양의 정수 무게 $\operatorname E(\Gamma)\to\mathbb N$ 가 주어져 있으며, 이 무게가 양수인 변에는 방향이 주어져 있다.
$\operatorname V(\Gamma)$ 의, $\theta$ 에 대한 궤도들로의 분할. 흔히, 크기 2의 궤도의 경우 두 꼭짓점들을 선으로 이으며, 크기 1의 궤도는 따로 표시하지 않는다.
$\theta$ 에 대한 크기 1의 궤도에 대하여, 콤팩트 근인지 여부. 흔히, 비콤팩트 근을 검게 칠하고, 콤팩트 근을 희게 칠한다.

2. 2. 추상적 보건 도표

'''추상적 보건 도표'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

딘킨 도표 $\Gamma$
$\Gamma$ 위의, $\operatorname{Cyc}(2)=\langle\theta | \theta^2=1\rangle$ 작용 $\theta$
$\theta$ 의 고정점 가운데, 특별한 부분 집합 (“검은 꼭짓점”).

모든 추상 보건 도표는 항상 실수 반단순 리 대수의 보건 도표로 실현될 수 있다.^[1]

3. 성질

서로 다른 보건 도표가 같은 실수 반단순 리 대수에 대응될 수 있으며, 이 경우 두 보건 도표가 서로 동치라고 한다. 임의의 보건 도표에 대하여, 이와 동치이면서 하나 이하의 검은 꼭짓점만을 갖는 보건 도표를 찾을 수 있다.^[1]

만약 어떤 보건 도표에서 아무 꼭짓점도 칠해져 있지 않고, θ의 작용이 자명하다면, 이 보건 도표에 대응되는 실수 반단순 리 대수는 콤팩트 형태이다.

4. 예시

$\mathsf A_n=\mathfrak{sl}(n+1;\mathbb C)$ 딘킨 도표는 다음과 같다.

: $\underbrace{\circ - \circ - \dotsb - \circ}_n$

각 꼭짓점에 대하여, 이를 칠하면 얻어지는 실수 리 대수는 다음과 같다.

: $\underset{\mathfrak{su}(1,n)}\circ - \underset{\mathfrak{su}(2,n-1)}\circ - \dotsb - \underset{\mathfrak{su}(n,1)}\circ$

마찬가지로, $\mathsf A_n = \mathsf A_{2k}$ 에서, $\theta$ 가 자명하지 않게 작용하는 경우는 다음과 같다.

: $\begin{matrix}\overbrace{\circ - \circ - \dotsb - \circ}^k \\\underbrace{\circ - \circ - \dotsb - \circ}_k \\\end{matrix}$

이는 $\mathfrak{sl}(n+1;\mathbb R)$ 에 대응한다.

5. 역사

미국의 수학자 데이비드 알렉산더 보건 (David Alexander Vogan^eng, 1954년~)이 도입하였다.

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