군의 작용

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1. 개요

군의 작용은 수학에서 군의 원소가 집합의 원소에 대응되는 관계를 의미하며, 모노이드의 작용, 군의 왼쪽 및 오른쪽 작용, 등변 함수 등을 포함한다. 군의 작용은 추이적, 충실, 자유 등의 특성을 가질 수 있으며, 궤도와 안정자군을 통해 분석된다. 또한, 위상적 성질, 선형 작용 등 다양한 종류가 존재하며, 대칭군, 다면체 대칭군, 선형군 등 다양한 예시가 있다.

군의 작용

서론

정의	수학에서, 군 G의 집합 X에 대한 군 작용은 군의 원소를 X의 자기 사상(自己寫像, automorphism)과 연관시키는 방법이다.

상세 정보

군 작용	군 작용은 G × X → X인 함수 (g, x) ↦ g ⋅ x 로, 다음 공리들을 만족한다.
항등원	X의 모든 x에 대해, e ⋅ x = x (여기서 e는 G의 항등원).
연산과의 호환성	G의 모든 g와 h, 그리고 X의 모든 x에 대해, g ⋅ (h ⋅ x) = (gh) ⋅ x.
군 준동형	군 G에서 X의 자기 동형사상 군 Aut(X)로의 군 준동형 φ: G → Aut(X)이 존재한다. 여기서 φ(g)(x) = g ⋅ x.
군 작용의 예시	G가 군이고 X가 G 자신일 때, g ⋅ x = gx (G에서의 군 연산). G가 군이고 X가 G 자신일 때, g ⋅ x = gxg⁻¹ (켤레 작용). G가 군이고 X가 G의 부분군들의 집합일 때, g ⋅ H = gHg⁻¹ (부분군에 대한 켤레 작용). G가 유클리드 공간 Rⁿ의 회전군이고 X가 Rⁿ일 때, g ⋅ x는 g에 의한 x의 회전.
궤도 (Orbit)	X의 원소 x의 궤도 G ⋅ x는 {g ⋅ x \| g ∈ G}로 정의된다.
안정자 (Stabilizer)	G의 원소 g가 x를 고정시키는 경우, 즉 g ⋅ x = x인 경우, g는 x의 안정자라고 불린다. x의 안정자 Gₓ는 G의 부분군을 이룬다.
고정점 (Fixed Point)	X의 원소 x가 G의 모든 원소에 의해 고정되는 경우, 즉 모든 g ∈ G에 대해 g ⋅ x = x인 경우, x는 G의 고정점이라고 불린다.

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2. 정의

모노이드, 군, 반군의 작용은 다음과 같이 정의된다.

모노이드의 집합 위의 왼쪽 작용은 모노이드 준동형이나 함자로 정의할 수 있다. 모노이드의 작용을 갖춘 집합을 M-집합이라고 하며, 두 M-집합 사이에서 작용과 호환되는 함수를 등변 함수라고 한다.

모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용은 모노이드로서의 작용과 같다. 군의 작용은 추가적으로 군 준동형으로 정의할 수 있다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 차이점은 곱 $gh$ 가 $x$ 에 작용하는 순서이다. 왼쪽 작용은 $h$ 가 먼저 작용하고 $g$ 가 나중에 작용하지만, 오른쪽 작용은 $g$ 가 먼저 작용하고 $h$ 가 나중에 작용한다. 오른쪽 작용을 군의 역 연산과 합성하여 왼쪽 작용을 구성할 수 있다.

2.1. 함수를 통한 정의

모노이드 $M$ 의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot\colon M\times X\to X$ 이다.

* (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $1_M\cdot x=x$ . 여기서 $1_M\in M$ 은 $M$ 의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m,n\in M$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $(mn)\cdot x=m\cdot(n\cdot x)$

모노이드 $M$ 의, 집합 $X$ 위의 오른쪽 작용은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot\colon X\times M\to X$ 이다.

* (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $x\cdot1_M=x$ . 여기서 $1_M\in M$ 은 $M$ 의 항등원이다.
* (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m,n\in M$ 및 $x\in X$ 에 대하여, $x\cdot(mn)=(x\cdot m)\cdot n$

모노이드 $M$ 의 작용을 갖춘 두 집합 $X$ , $Y$ 이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f\colon X\to Y$ 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

: $\forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)$

여기서 좌변은 $Y$ 위의 작용이고, 우변은 $X$ 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

: $\begin{matrix}M\times X&\to&X\\{\scriptstyle M\times f}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\M\times Y&\to&Y\end{matrix}$

만약 $G$ 가 군이고 항등원이 $e$ 이며, $X$ 가 집합이라면, $G$ 의 $X$ 에 대한 (왼쪽) 군 작용 $\alpha$ 는 다음과 같은 함수이다.

: $\alpha\colon G \times X \to X,$

이 함수는 다음 두 개의 공리를 만족한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

항등원	호환성
$\alpha(e,x)=x$	$\alpha(g,\alpha(h,x))=\alpha(gh,x)$

모든

G

의

g

와

h

, 그리고 모든

X

의

x

에 대해.

이때 군

G

는

X

에 (왼쪽에서) 작용한다고 말한다.

G

의 작용과 함께하는 집합

X

를 (왼쪽)

G

-집합이라고 한다.

표기법상 편의를 위해, 작용

\alpha

를 커리화하여, 대신 각 군 원소

g \in G

에 대해 하나의 변환

\alpha_g \colon X \to X

를 갖는 변환 모음

\alpha_g

를 사용할 수 있다. 그러면 항등원 및 호환성 관계는 다음과 같이 나타낸다.

:

\alpha_e(x) = x

그리고

:

\alpha_g(\alpha_h(x)) = (\alpha_g \circ \alpha_h)(x) = \alpha_{gh}(x)

여기서

\circ

는 함수 합성을 의미한다. 두 번째 공리는 함수 합성이 군의 곱셈과 호환된다는 것을 나타낸다. 이들은 가환도표를 형성한다. 이 공리는 더 짧게 축약될 수 있으며

\alpha_g \circ \alpha_h = \alpha_{gh}

로 쓸 수 있다.

위의 이해를 바탕으로,

\alpha

를 완전히 생략하고 점이나 아무것도 쓰지 않는 것이 매우 일반적이다. 따라서

\alpha(g, x)

는

g\cdot x

또는

gx

로 축약될 수 있으며, 특히 작용이 문맥상 명확할 때 그렇다. 공리는 다음과 같다.

:

e{\cdot}x = x

g{\cdot}(h{\cdot}x) = (gh){\cdot}x

이 두 공리로부터,

G

의 고정된 모든

g

에 대해,

x

를

g\cdot x

로 매핑하는

X

에서 자신으로의 함수는 전단사 함수이며, 역 전단사 함수는

g^{-1}

에 대한 해당 맵이다. 따라서

G

의

X

에 대한 군 작용을

G

에서 모든

X

에서 자신으로의 전단사 함수의 대칭군

Sym(X)

으로의 군 준동형사상으로 동등하게 정의할 수 있다.

마찬가지로,

G

가

X

에 작용하는 오른쪽 군 작용은 다음을 만족하는 함수이다.

:

\alpha\colon X \times G \to X,

다음과 같은 공리를 만족한다.

👆

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항등원	호환성
$\alpha(x,e)=x$	$\alpha(\alpha(x,g),h)=\alpha(x,gh)$

(작용이 문맥상 명확한 경우,

\alpha(x, g)

를

xg

또는

x\cdot g

로 줄여서 표기하기도 한다.)

👆

좌우로 밀어서 보기

항등원	호환성
$x{\cdot}e = x$	$(x{\cdot}g){\cdot}h = x{\cdot}(gh)$

여기서 모든

G

의

g

와

h

, 그리고 모든

X

의

x

에 대해 성립한다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 차이점은 곱

gh

가

x

에 작용하는 순서에 있다. 왼쪽 작용의 경우,

h

가 먼저 작용하고, 그 다음

g

가 두 번째로 작용한다. 오른쪽 작용의 경우,

g

가 먼저 작용하고, 그 다음

h

가 두 번째로 작용한다. 공식

(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}

에 의해, 오른쪽 작용을 그룹의 역 연산과 합성하여 왼쪽 작용을 구성할 수 있다. 또한,

G

가

X

에 작용하는 오른쪽 작용은 반대 군

G^{op}

이

X

에 작용하는 왼쪽 작용으로 간주할 수 있다.

2.2. 준동형을 통한 정의

모노이드 $M$의 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용은 $M$에서 $X$ 위의 자기 함수들의 모노이드 $\operatorname{End}X$로 가는 모노이드 준동형
:$\phi\colon M\to\operatorname{End}X$
으로 정의된다. $M$의 $X$ 위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드 $M^{\operatorname{op}}$에서 $\operatorname{End}X$로 가는 모노이드 준동형
:$M^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}X$
이다.

만약 $G$가 군일 경우, 왼쪽 작용은 $X$의 대칭군 ($자기 동형군) \(\operatorname{Sym}X$)으로 가는 군 준동형
:$G\to\operatorname{Sym}X$
을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형
:$G^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sym}X$
을 이룬다.

모노이드 $M$의 작용을 갖춘 두 집합 $\phi_X\colon M\to\operatorname{End}X$와 $\phi_Y\colon M\to\operatorname{End}Y$이 주어졌을 때, 그 사이의 등변 함수 $f\colon X\to Y$는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 $f\colon X\to Y$이다.

: $\begin{matrix}M&\xrightarrow{\phi_X}&\operatorname{End}X\\{\scriptstyle\phi_Y}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\circ\\\operatorname{End}Y&\xrightarrow[\circ f]{}&\hom(X,Y)\end{matrix}$

$G$가 군이고 $X$가 집합일 때, 군 작용은 $G$에서 $X$의 대칭군으로의 군 준동형 사상으로 정의할 수 있다. 이 작용은 군 $G$의 각 원소에 대해 $X$의 치환을 다음과 같이 할당한다.

* 군 $G$의 항등원에 대응하는 $X$ 위의 치환은, $X$ 위의 항등 변환이다.
* 군 $G$에서의 두 원소의 곱 $gh$에 대응하는 $X$ 위의 치환은, $g$ 및 $h$에 각각 대응하는 치환의 합성이다.

2.3. 범주론적 정의

범주론적으로, 모노이드 $M$ 의 작용은 $M$ 을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 보았을 때, 함자
: $F\colon M\to\operatorname{Set}$
와 같다. 이 경우, $M$ 이 작용하는 집합은 범주 $M$ 의 유일한 대상 $\bullet_M$ 의 $F$ 에 대한 상 $F(\bullet_M)\in\operatorname{Set}$ 이며, $m\in M$ 의 작용은 $F$ 에 대한 상 $F(m)\colon F(\bullet_M)\to F(\bullet_M)$ 이다.

두 $M$ -집합
: $F\colon M\to\operatorname{Set}$
: $G\colon M\to\operatorname{Set}$
사이의 등변 함수 $F\Rightarrow G$ 는 두 함자 사이의 자연 변환과 같다. 구체적으로, 자연 변환 $\eta\colon F\Rightarrow G$ 에 대응하는 등변 함수는 $\eta$ 의 성분
: $\eta_{\bullet_M}\colon F(\bullet_M)\to G(\bullet_M)$
이다.

따라서, $M$ -집합의 범주 $\operatorname{Set}^M$ 은 (작은 범주로 간주한) $M$ 에서 $\operatorname{Set}$ 로 가는 함자 범주와 동치이다. G-집합 전체의 모임은 범주를 이룬다. 이 범주는 그로텐디크 토포스이다.

3. 성질

군 작용은 군의 각 원소가 어떤 집합 위에서 전단사 변환(대칭 변환)처럼 "작용"하지만, 그것이 그러한 변환과 동일시될 필요는 없다는 점에서, Symmetry group^영어의 유연한 일반화가 된다.

군의 왼쪽 작용 $\cdot\colon G\times X\to X$ 이 주어졌을 때,

* $g\in G$ 에 대하여 $g\cdot\colon X\to X$ 는 전단사 함수이다.
* (역원은 역함수) $g\in G$ 에 대하여 $g^{-1}\cdot=(g\cdot)^{-1}$ 이다. 여기서 $(g\cdot)^{-1}$ 는 전단사 함수의 역함수이다.

$G$ 를 집합 $X$ 에 작용하는 군이라고 하자.

* 이 작용은 모든 $x \in X$ 에 대해 $g\cdot x = x$ 이면 $g = e_G$ 일 경우 충실 또는 유효라고 한다. 이는 $G$ 에서 $X$ 의 전단사 함수의 군으로 가는 군 준동형 사상은 단사 함수라는 의미이다.
* 작용은 어떤 $x \in X$ 에 대해 $g\cdot x = x$ 라는 진술이 이미 $g = e_G$ 를 의미할 경우 자유 (또는 준정칙 또는 고정점 없는)라고 한다. 즉, $G$ 의 비자명 원소는 $X$ 의 점을 고정하지 않는다. 이것은 충실성보다 훨씬 더 강력한 성질이다. 예를 들어, 군이 자신에 왼쪽 곱셈으로 작용하는 것은 자유 작용이다. 이 관찰은 모든 군이 대칭군에 임베딩될 수 있다는 케일리의 정리를 의미한다(군이 무한할 경우 무한).
* $G$ 의 $X$ 에 대한 작용은 두 점 $x, y \in X$ 에 대해 $g \in G$ 가 존재하여 $g \cdot x = y$ 가 성립하면 추이적이라고 한다.
* 작용이 추이적이고 자유 작용이면 단순 추이적 (또는 예리 추이적 또는 정칙적)이라고 한다. 즉, $x, y \in X$ 가 주어졌을 때 추이성의 정의에서 $g$ 는 유일하다. $X$ 가 군 $G$ 에 의해 단순 추이적으로 작용하면, $X$ 는 $G$ 에 대한 주 균질 공간 또는 $G$ -토서라고 한다.
* 정수 $n \ge 1$ 에 대해, $X$ 가 적어도 $n$ 개의 원소를 가지고, 쌍별로 구별되는 항목을 가진 $n$ -튜플 쌍 $(x_1, \dots, x_n), (y_1, \dots, y_n) \in X^n$ (즉, $x_i \ne x_j$ , $y_i \ne y_j$ when $i \ne j$ )가 있을 때, $g\cdot x_i = y_i$ for $i = 1, \dots, n$ 을 만족하는 $g \in G$ 가 존재하면 작용은 $n$ -추이적이다. 즉, 중복 항목이 없는 튜플의 $X^n$ 부분 집합에 대한 작용은 추이적이다. $n = 2, 3$ 의 경우 이것을 이중 추이적, 삼중 추이적이라고 한다. 2-추이군 (즉, 작용이 2-추이적인 유한 대칭군의 부분군)과 더 일반적으로 다중 추이군의 클래스는 유한군론에서 잘 연구되어 있다.
* 반복 항목이 없는 $X^n$ 의 튜플에 대한 작용이 예리 추이적일 때, 작용은 예리 $n$ -추이적이다.

3.1. 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

임의의 모노이드 $M$ 에 대하여, 왼쪽 $M$ -작용은 오른쪽 $M^{\operatorname{op}}$ -작용과 같다. 여기서 $M^{\operatorname{op}}$ 은 $M$ 의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 $G$ 는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.
: ${}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}}$
따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 $G$ -작용을 왼쪽 $G$ -작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 $G$ -작용 $r\colon X\times G\to X$ 에 대하여,
: $\ell\colon G\times X\to X$
: $\ell(g,x)=r(x,g^{-1})$
로 정의한다면, $\ell$ 은 왼쪽 $G$ -작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 $G$ -작용 $\ell\colon G\times X\to X$ 가 주어졌을 때
: $r\colon X\times G\to X$
: $r(x,g)=\ell(g^{-1},x)$
는 오른쪽 $G$ -작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 차이점은 곱 $gh$ 가 $x$ 에 작용하는 순서에 있다. 왼쪽 작용의 경우, $h$ 가 먼저 작용하고, 그 다음 $g$ 가 두 번째로 작용한다. 오른쪽 작용의 경우, $g$ 가 먼저 작용하고, 그 다음 $h$ 가 두 번째로 작용한다. 공식 $(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}$ 에 의해, 오른쪽 작용을 군의 역 연산과 합성하여 왼쪽 작용을 구성할 수 있다. 또한, $G$ 가 $X$ 에 작용하는 오른쪽 작용은 반대군 $G^{\operatorname{op}}$ 이 $X$ 에 작용하는 왼쪽 작용으로 간주할 수 있다.

G의 X에 대한 오른쪽 군 작용 (right group action)^영어은 사상 R: X × G → X; (x, g) ↦ R(x, g) =: x • g와 다음 두 공리에 의해 정의할 수 있다.
# x •(gh) = (x • g)• h
# x • e = x
오른쪽 작용과 왼쪽 작용의 차이는, gh와 같은 곱의 x에 대한 작용 순서이며, 왼쪽 작용이라면 h를 먼저 작용시키고 나서 g가 작용하지만, 오른쪽 작용에서는 g가 먼저 작용하고 나서 h가 작용한다. 오른쪽 작용에 군의 반전 연산을 결합하면 왼쪽 작용을 얻을 수 있다. 실제로, R이 오른쪽 작용이라면
: $G \times X \to X;\quad (g, x) \mapsto R(x, g^{-1}) = R_g(x)$
은 왼쪽 작용이다. 이것은
: $\begin{align} R_{gh}(x) & := R(x, (gh)^{-1}) = x\bullet (h^{-1}g^{-1})\\& \,= (x\bullet h^{-1}) \bullet g^{-1} = R_h(x) \bullet g^{-1} = (R_g\circ R_h)(x),\\R_e(x) & := R(x, e^{-1}) = x \bullet e = x \end{align}$
로부터 확인할 수 있다. 마찬가지로 임의의 왼쪽 작용을 오른쪽 작용으로 만들 수도 있다.

3.2. 궤도와 안정자군

군 $G$ 가 집합 $X$ 에 작용한다고 할 때, $x\in X$ 의 궤도(軌道, orbit^영어) $G\cdot x$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $G\cdot x = \{ g\cdot x \colon g \in G \}$

궤도는 $G$ 위의 동치 관계

: $x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y$

의 동치류와 같으며, $X$ 는 궤도들로 분할된다.

임의의 $x\in X$ 의 안정자군(安定子群, stabilizer subgroup^영어) $G_x$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\}$

즉, 안정자군 $G_x$ 는 $G$ 의 원소 중 $x$ 를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다. 안정자군 $G_x$ 는 $G$ 의 부분군이다.

같은 궤도에 있는 원소의 안정자는 서로 켤레 관계에 있다. 따라서 각 궤도에 대해 $G$ 의 부분군의 켤레류 (즉, 부분군의 모든 켤레의 집합)를 연관시킬 수 있다. $(H)$ 가 $H$ 의 켤레류를 나타낸다고 하면, 궤도 $O$ 는 $O$ 의 어떤/모든 $x$ 의 안정자 $G_x$ 가 $(H)$ 에 속하면 유형 $(H)$ 를 갖는다. 최대 궤도 유형은 종종 주 궤도 유형이라고 불린다.

3.3. 궤도-안정자군 정리

안정자군 $G_x$ 는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, orbit–stabilizer theorem^영어)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

* $G\cdot x$ 의 원소 $g\cdot x$ 를 왼쪽 잉여류 $gG_x$ 로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여, $g\cdot x=h\cdot x$ 라면 $gG_x=hG_x$ 이다.
* 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여, $gG_x=hG_x$ 라면 $g\cdot x=h\cdot x$ 이다.

특히, 만약 $G$ 가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

: $|G\cdot x| = [G:G_x] = |G| / |G_x|$

궤도와 안정자는 밀접한 관련이 있다. $X$ 의 고정된 $x$ 에 대해, $g \mapsto g\cdot x$ 로 주어지는 사상 $f: G \rightarrow X$ 를 고려해 보자. 이 사상의 상 $f(G)$ 는 궤도 $G\cdot x$ 이다. 두 원소가 같은 상을 가지기 위한 조건은 다음과 같다.

: $f(g)=f(h) \iff g{\cdot}x = h{\cdot}x \iff g^{-1}h{\cdot}x = x \iff g^{-1}h \in G_x \iff h \in gG_x.$

다시 말해, $f(g) = f(h)$ 는 $g$ 와 $h$ 가 안정자 부분군 $G_x$ 에 대한 동일한 잉여류에 속할 때 그리고 그 때만 성립한다. 따라서, $G\cdot x$ 의 임의의 $y$ 에 대한 $f$ 의 올 $f^{-1}({y})$ 은 그러한 잉여류에 포함되며, 모든 그러한 잉여류 역시 올로 나타난다. 그러므로 $f$ 는 안정자 부분군에 대한 잉여류의 집합 $G / G_x$ 와 궤도 $G\cdot x$ 사이의 전단사 $gG_x \mapsto g\cdot x$ 를 유도한다. 이 결과는 궤도-안정자 정리로 알려져 있다.

만약 $G$ 가 유한하다면, 궤도-안정자 정리는 라그랑주 정리와 함께 다음을 제공한다.

: $|G \cdot x| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|,$

다시 말해, $x$ 의 궤도 길이와 그 안정자의 차수를 곱한 값은 군의 차수이다. 특히, 이것은 궤도 길이가 군 차수의 약수임을 의미한다.

궤도-안정자 정리와 밀접한 관련이 있는 결과는 번사이드 보조정리이다.

: $|X/G|=\frac{1}$

👆

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\sum_{g\in G} |X^g|,

여기서

X^g

는

g

에 의해 고정된 점들의 집합이다. 이 결과는

G

와

X

가 유한할 때 주로 유용하며, 다음과 같이 해석될 수 있다. 궤도의 수는 그룹 원소당 고정된 점들의 평균 수와 같다.

군

G

가 집합

X

에 작용할 때,

X

의 점

x

의 궤도(orbit^영어)는

G

의 각 원소를

x

에 작용시킨 요소의 집합이다.

x

의 궤도를

Gx

로 나타내면,

:

Gx = \left\{ gx \mid g \in G \right\}

로 쓸 수 있다.

X

의 각 원소

x

에 대해,

x

의 안정화 부분군 또는 고정 부분군 (stabilizer subgroup^영어), 등방 부분군 (isotropy group^영어) 또는 소군 (little group^영어) 등이라고 불리는

G

의 부분군을,

x

를 고정하는

G

의 원소 전체가 이루는 집합

:

G_x = \{g \in G \mid gx = x\}

에 의해 정의한다. 이것은

G

의 부분군이지만, 대개는 정규 부분군이 아니다.

궤도와 고정 부분군은 가까운 관계에 있다.

X

의 원소

x

를 하나 고정하고, 사상

:

G \to X;\quad g \mapsto gx

을 생각한다. 이 사상의 상은

x

가 속하는 궤도이며, 여상은

G_x

의 왼쪽 잉여류 전체가 이루는 집합이다. 집합론에서의 표준 몫 정리에 의해,

G / G_x

와

Gx

사이에는 자연스러운 전단사가 존재한다. 구체적으로 이 전단사는

hG_x

와

hx

의 대응에 의해 주어진다. 이것은, 궤도-안정자 정리 (orbit-stabilizer theorem^영어)로 알려져 있다.

G

와

X

가 모두 유한하다면, 궤도-안정자 정리와 라그랑주 정리로부터

:

|Gx| = [G:G_x] = |G| / |G_x|

을 얻을 수 있다.

두 원소

x

및

y

가 같은 궤도에 속한다면, 그들의 고정 부분군

G_x

및

G_y

는 서로 켤레이며, 특히 동형이다. 더 자세히,

G_{gx} = gG_xg^{-1}

이 성립한다. 이처럼, 서로 켤레인 고정 부분군을 갖는 점은, 같은 궤도형 (orbit-type^영어)을 갖는다고 한다.

궤도-안정자 정리와 가까운 관계가 있는 결과로 번사이드 보조정리

:

\left|X/G\right|=\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}\left|X^g\right|

가 있다. 여기서

X^g

는

g

에 의해 고정되는

X

의 원소 전체가 이루는 집합이다. 이 결과는 주로

G

와

X

가 유한할 때 사용되며, 궤도의 총수는 군의 원소별 부동점의 수의 평균과 같다는 것을 보여주는 것으로 해석된다.

3.4. 작용 준군

모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용은 모노이드로서의 작용과 같다. 모노이드 $M$ 이 집합 $X$ 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 할 때, 다음과 같은 작은 범주 $\mathcal C$ 를 정의할 수 있다.

* $\mathcal C$ 의 대상은 $X$ 의 원소이다.
* $x,y\in X$ 에 대하여, $\hom_{\mathcal C}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}$ 이다.
* $x\in X$ 위의 항등 사상은 $1_M\in\hom_{\mathcal C}(x,x)$ 이다.

이를 작용 범주(作用範疇, action category^영어, translation category^영어)라고 한다. 만약 $M$ 이 군이라면, $X$ 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, action groupoid^영어, translation groupoid^영어)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

군 작용의 개념은 군 작용과 관련된 "작용 군(groupoid)"에 의해 인코딩될 수 있다. 작용의 안정자는 군(groupoid)의 정점 군이고, 작용의 궤도는 그 성분이다.

군 작용의 개념은 군 작용에 부수하는 "작용 아군"
: $G' = G\ltimes X$
을 대응시킴으로써 더 넓은 문맥에서 생각할 수 있다. 이렇게 함으로써, 표시나 올림과 같은 아군 이론의 기법을 사용할 수 있게 된다. 더 나아가, 작용의 고정화군은 꼭짓점 군(vertex group^영어)이고, 작용의 궤도는 작용 아군의 성분이다.

이 작용 아군에는 "아군의 피복 사상" p: G′ → G을 생각할 수 있다. 이를 통해, 이러한 사상과 위상 기하학에서의 피복 사상이 관련된다.

3.5. 보편대수학적 성질

모노이드 $M$ 에 대하여, $M$ -집합은 $M$ 의 각 원소 $m\in M$ 에 대하여 1항 연산 $m\cdot$ 을 가지며, 다음 대수적 관계를 만족시키는 대수 구조이다.
: $1\cdot x=x\qquad\forall x\in X$
: $m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad\forall x\in X$
이 관계들은 모두 대수적이므로, $M$ -집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 $X$ 위의 자유 $M$ -집합은 곱집합 $M\times X$ 이며, 그 위의 작용은 다음과 같다.
: $m\cdot(n,x)=(mn,x)$

3.6. 범주론적 성질

모노이드 $M$ 에 대하여, $M$ -집합의 범주 $\operatorname{Set}^M$ 은 그로텐디크 토포스를 이룬다. 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

$\operatorname{Set}^M$ 의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다.
$\operatorname{Set}^M$ 의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. $\operatorname{Set}^M$ 의 부분 대상 분류자 $R_M$ 은 $M$ 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합이다.
: $R_M=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}$
이 위의 $M$ 의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.
: $M\times R_M\to R_M$
: $(m,I)\mapsto mI$

망각 함자
: $U\colon\operatorname{Set}^M\to\operatorname{Set}$
가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 $F$ 와 오른쪽 수반 함자 $G$ 를 갖는다.
: $F\dashv U\dashv G$
왼쪽 수반 함자 $F$ 는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 $X$ 를 $M\times X$ 로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 $G$ 는 집합 $X$ 를 함수들의 집합 $X^M$ 으로 대응시킨다. $M$ 의 $X^M$ 위의 작용은 다음과 같다.
: $(m\cdot f)(n)=f(mn)$

4. 종류

G^영어를 군, X^영어를 집합이라고 할 때, G^영어의 X^영어에 대한 왼쪽 군 작용은 다음 두 공리를 만족하는 외부 이항 연산이다.
: $L\colon G \times X \to X;\quad(g,x)\mapsto L(g,x)=:g\bullet x = L_g(x)$

# G^영어의 임의의 원소 g^영어, h^영어 및 X^영어의 임의의 원소 x^영어에 대하여 가 성립한다.
# G^영어의 항등원 e^영어와 X^영어의 임의의 원소 x^영어에 대하여, 가 성립한다.

이때, 집합 X^영어는 왼쪽 G^영어-집합이라고 불리며, 군 G^영어는 X^영어에 (왼쪽에서) 작용한다고 말한다.

마찬가지로, 군 G^영어의 집합 X^영어에 대한 오른쪽 군 작용은 다음 두 공리를 만족하는 사상 으로 정의할 수 있다.
#
#

오른쪽 작용에 군의 반전 연산을 결합하거나, 왼쪽 작용을 오른쪽 작용으로 만들 수 있다. 따라서, 이론상으로는 왼쪽 군 작용만을 주로 생각하며, 이것을 단순히 군 작용이라고 한다.

군 작용의 종류는 다음과 같다.

* 자명한 작용: 군 G^영어 전체가 X^영어 상의 항등 변환을 유도하는 것이다. 즉, G^영어의 임의의 원소 g^영어와 X^영어의 임의의 원소에 대해 가 성립한다.
* 대칭군과 그 부분군: 집합 에 원소의 치환으로 작용한다.
* 다면체의 대칭 변환군: 다면체의 꼭짓점 집합이나 면 집합에 작용한다.
* 기하학적 대상의 대칭성의 군: 그 대상의 점 집합 위에 작용한다.
* 자기 동형군: 벡터 공간, 그래프, 군, 환 등에 작용한다.
* 일반 선형군, 특수 선형군, 직교군, 특수 직교군: 에 작용하는 리 군이다.
* 체의 확대의 갈루아 군: 큰 체에 작용한다.
* 실수 전체로 구성된 가법군: 고전 역학에서의 "잘 동작하는" 계의 위상 공간에 작용한다.
* 절댓값이 1인 사원수 전체: 곱셈군으로서 에 작용한다.
* 평면상의 등장 변환 전체: 평면 이미지나 평면 패턴 전체로 구성된 집합에 작용한다.
* 모노이드 작용: 군 작용과 동일한 두 가지 공리로 정의될 수 있다. 그러나 이 경우 연산자가 전단사 함수가 아니므로 동치 관계를 정의할 수 없다.

집합 대신, 군이나 모노이드의 적절한 범주의 대상에 대한 작용을 생각할 수도 있다. 이는 범주의 대상 X^영어의 자기 준동형 전체로 구성된 모노이드로의 모노이드 준동형으로 정의된다. X^영어가 밑이 되는 집합을 가지는 경우, 여러 정의와 결과는 이 경우에도 유효하다. 예를 들어, 벡터 공간의 범주를 생각함으로써 군의 표현을 얻을 수 있다.

군 G^영어를 모든 사상이 가역인 단일 대상 범주로 간주하면, 군 작용은 G^영어에서 집합의 범주로의 함자이며, 군의 표현은 벡터 공간의 범주로의 함자이다. G^영어-집합 사이의 사상은 군 작용 함자 사이의 자연 변환이다. 아군의 작용을 아군에서 집합의 범주 또는 다른 범주로의 함자로 정의할 수 있다.

집합 X^영어에 대한 군의 작용을, X^영어의 멱집합에 대한 작용을 조사함으로써 확장할 수도 있다.

위상 공간 에 동형사상으로 이루어진 군 의 작용이 주어졌을 때, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

* 방황(wandering): 모든 에 대해, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 근방 가 존재한다.
* 불연속점(discontinuity point): 점 가 불연속점이라는 것은, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 열린 부분 집합 가 존재한다는 것이다.
* 불연속 영역(domain of discontinuity): 불연속점들의 집합이다. 이는 작용 가 에서 wandering하게 되는 가장 큰 -안정적인 열린 부분 집합 와 같다. 동역학적 맥락에서 이는 방황 집합이라고도 한다.
* 적절하게 불연속적인(properly discontinuous): 모든 콤팩트 부분 집합 에 대해, 인 가 유한 개만 존재한다. 이것은 wandering보다 엄격하게 강하다.
* 자유 불연속적인(freely discontinuous): 모든 는 모든 에 대해 인 근방 를 갖는다.
* 자유 정칙 집합(free regular set): 작용이 자유 불연속적인 가장 큰 부분 집합이다.
* 코콤팩트(cocompact): 국소 콤팩트 공간 에 대한 그룹 의 작용은 인 콤팩트 부분 집합 가 존재할 경우 코콤팩트라고 한다. 적절하게 불연속적인 작용의 경우, 코콤팩트는 몫 공간 의 콤팩트성과 동등하다.

보편 피복 공간에서 국소적으로 단일 연결된 공간의 기본군의 deck 변환에 의한 작용은 wandering하고 자유롭다.

G^영어가 위상군, X^영어가 위상 공간일 때, 가 의 곱 위상에 대해 연속인 G^영어의 X^영어로의 연속 군 작용을 고려하는 경우가 많다. 이 경우, 위상 공간 X^영어를 G^영어-공간이라고도 부른다. 몫 에는 에서 유도되는 몫 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들며, 이를 이 작용에 대한 몫 공간이라고 한다.

G^영어가 위상 공간 X^영어에 작용하는 이산군일 때, 작용이 고유 불연속(또는 진성 불연속)이라는 것은, X^영어의 각 점 x^영어에 대해 열린 근방 U^영어가 존재하여, 가 되는 G^영어의 원소 g^영어 전체의 집합이 단 하나의 단위 원소로만 구성되도록 할 수 있는 경우이다. X^영어가 다른 위상 공간 Y^영어의 정칙 피복 공간일 때, 데크 변환군의 X^영어에 대한 작용은 고유 불연속적이며 자유롭다. 군 G^영어의 호상 연결 위상 공간 X^영어에 대한 임의의 자유롭고 고유 불연속적인 작용은 이러한 방식으로 얻어진다. 몫 사상 는 정칙 피복 사상이며, 데크 변환군은 G^영어의 X^영어에 대한 작용으로 주어진다. X^영어가 단일 연결이면 의 기본군은 G^영어와 동형이다.

군 G^영어의 국소 콤팩트 공간 X^영어에 대한 작용이 여콤팩트라는 것은, X^영어의 콤팩트 부분 집합 A^영어가 존재하여 가 되는 경우이다. 고유 불연속 작용에 대해서는, 여콤팩트성은 몫 공간 의 콤팩트성과 동치이다.

G^영어의 X^영어에 대한 작용이 고유(proper)하다는 것은, 사상 가 고유 사상(proper map)인 경우이다.

위상군 가 위상 동형에 의해 작용하는 위상 공간 라고 가정하면, 작용은 맵이 곱 위상에 대해 연속적이면 "연속적"이라고 한다.

작용은 로 정의된 맵이 proper이면 "고유 작용^한국어"이라고 한다. 즉, 컴팩트 집합 가 주어지면 인 의 집합이 컴팩트하다는 의미이다. 특히, 이는 가 이산군일 때 proper 불연속성과 동등하다.

의 근방 가 존재하여 모든 와 에 대해 이면 "locally free"라고 한다.

작용은 궤도 맵 가 모든 에 대해 연속적이면 "강하게 연속적"이라고 한다.

가환환 위의 가군에 선형 변환으로 작용하는 경우, 이 작용은 적절한 영이 아닌 -불변 부분 가군이 없을 때 기약 표현이라고 한다. 기약 작용의 직합으로 분해될 경우 반단순이라고 한다.

4.1. 추이적 작용

n^영어-추이적 작용(-推移的作用, n-transitive action^영어)은 군의 작용에서 다음 조건을 만족시키는 경우를 말한다.
* 임의의 서로 다른 원소들 $x_1,\dots,x_n\in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_1,\dots,y_n\in X$ 에 대하여, $g\cdot x_k=y_k$ ( $\forall k\in\{1,\dots,n\}$ )인 $g\in G$ 가 존재한다.

n^영어-정추이적 작용(-正推移的作用, sharply n-transitive action^영어)은 위 조건에서 이러한 $g$ 가 유일하게 존재하는 경우를 말한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면 n^영어-정추이적 작용이라고 한다.
* 임의의 서로 다른 원소들 $x_1,\dots,x_n\in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_1,\dots,y_n\in X$ 에 대하여, $g\cdot x_k=y_k$ ( $\forall k\in\{1,\dots,n\}$ )인 유일한 $g\in G$ 가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, transitive action^영어)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, sharply transitive action^영어) 또는 정칙 작용(正則作用, regular action^영어)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

$G$ 의 $X$ 에 대한 작용은 두 점 $x, y \in X$ 에 대해 $g \in G$ 가 존재하여 $g \cdot x = y$ 가 성립하면 추이적이라고 한다. 작용이 추이적이고 자유 작용이면 단순 추이적 (또는 예리 추이적 또는 정칙적)이라고 한다. 즉, $x, y \in X$ 가 주어졌을 때 추이성의 정의에서 $g$ 는 유일하다.

정수 $n \ge 1$ 에 대해, $X$ 가 적어도 $n$ 개의 원소를 가지고, 쌍별로 구별되는 항목을 가진 $n$ -튜플 쌍 $(x_1, ..., x_n), (y_1, ..., y_n) \in X^n$ (즉, $x_i \ne x_j$ , $y_i \ne y_j$ when $i \ne j$ )가 있을 때, $g\cdot x_i = y_i$ for $i = 1, ..., n$ 을 만족하는 $g \in G$ 가 존재하면 작용은 n^영어-추이적이다. 즉, 중복 항목이 없는 튜플의 $X^n$ 부분 집합에 대한 작용은 추이적이다. $n = 2, 3$ 의 경우 이것을 이중 추이적, 삼중 추이적이라고 한다.

반복 항목이 없는 $X^n$ 의 튜플에 대한 작용이 예리 추이적일 때, 작용은 예리 n^영어-추이적이다.

4.2. 충실한 작용과 자유 작용

군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, faithful action^영어) 또는 효과적 작용(效果的作用, effective action^영어)이라고 한다.

* 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여, 만약 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $g\cdot x=h\cdot x$ 라면, $g=h$ 이다.
* 임의의 $g\in G$ 에 대하여, 만약 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $g\cdot x=x$ 라면, $g=1_G$ 이다.
* 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, free action^영어) 또는 반정칙 작용(半正則作用, semiregular action^영어)이라고 한다.

* 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여, 만약 $g\cdot x=h\cdot x$ 인 $x\in X$ 가 존재한다면, $g=h$ 이다.
* 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여, 만약 $g\cdot x=x$ 인 $x\in X$ 가 존재한다면, $g=1_G$ 이다.

$G$ 를 집합 $X$ 에 작용하는 군이라고 하자. 이 작용은 모든 $x \in X$ 에 대해 $g\cdot x = x$ 이면 $g = e_G$ 일 경우 충실 또는 유효하다고 한다. 동치로, 이 작용에 해당하는 $G$ 에서 $X$ 의 전단사 함수의 군으로 가는 준동형 사상은 단사 함수이다.

작용은 어떤 $x \in X$ 에 대해 $g\cdot x = x$ 라는 진술이 이미 $g = e_G$ 를 의미할 경우 자유 (또는 '준정칙' 또는 '고정점 없는')라고 한다. 즉, $G$ 의 비자명 원소는 $X$ 의 점을 고정하지 않는다. 이것은 충실성보다 훨씬 더 강력한 성질이다.

예를 들어, 군이 자신에 왼쪽 곱셈으로 작용하는 것은 자유 작용이다. 이 관찰은 모든 군이 대칭군에 포함될 수 있다는 케일리의 정리를 의미한다(군이 무한할 경우 무한). 유한군은 그 기수보다 훨씬 작은 크기의 집합에 충실하게 작용할 수 있다(그러나 그러한 작용은 자유 작용일 수 없다). 예를 들어, 아벨 2-군 $(\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z})^n$ (기수 $2^n$ )는 크기 $2n$ 의 집합에 충실하게 작용한다. 이것은 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, 순환군 $\mathbb{Z} / 2^n\mathbb{Z}$ 는 $2^n$ 보다 작은 크기의 집합에 충실하게 작용할 수 없다.

일반적으로 충실한 작용을 정의할 수 있는 가장 작은 집합은 같은 크기의 군에 대해 매우 다를 수 있다. 예를 들어, 크기가 120인 세 개의 군은 대칭군 $S_5$ , 이십면체군 $A_5 \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ 및 순환군 $\mathbb{Z} / 120\mathbb{Z}$ 이다. 이 군에 대해 충실한 작용을 정의할 수 있는 가장 작은 집합은 각각 크기가 5, 7, 16이다.

공집합이 아닌 집합 위의 임의의 자유 작용은 충실하다. 군 $G$ 의 $X$ 에 대한 작용이 충실하기 위한 필요충분조건은, 군 준동형 $G \to \operatorname{Sym}(X)$ 의 핵이 자명한 것이다. 따라서, $G$ 의 $X$ 에 대한 충실한 작용이 있다면, $G$ 는 $X$ 위의 치환군의 어떤 부분군( $G$ 의 $\operatorname{Sym}(X)$ 에서의 상)에 동형이다.

임의의 군 $G$ 의 왼쪽으로부터의 곱셈에 의한 자기 자신에 대한 작용은 정칙이며, 따라서 충실하기도 하다. 따라서, 임의의 군 $G$ 는 그 자신의 원소 위의 대칭군 $\operatorname{Sym}(G)$ 에 포함될 수 있다(이는 케일리의 정리로 알려져 있다).

군 $G$ 가 $X$ 에 충실하게 작용하지 않는 경우에도, 군을 약간 변경하여 충실한 작용을 얻을 수 있다. $N = \{g \in G \mid gx = x \; (\forall x \in X)\}$ 라고 두면, $N$ 은 $G$ 의 정규 부분군이다(실제로, 이는 군 준동형 $G \to \operatorname{Sym}(X)$ 의 핵이 된다). 몫군 $G/N$ 은 $(gN) \cdot x := gx$ 로 정의함으로써 $X$ 에 충실하게 작용한다. $X$ 에 대한 $G$ 의 원래의 작용이 충실하다는 것과 $N = \{e\}$ 라는 것은 동치이다.

4.3. 원시적 작용

의 에 대한 작용은 자명한 분할(단일 조각으로의 분할과 그 쌍대, 단일 집합으로의 분할)을 제외하고 의 모든 원소에 의해 보존되는 의 분할이 없는 경우 원시적이라고 한다.

4.4. 위상적 성질

위상 공간 에 동형사상으로 이루어진 군 의 작용이 주어졌을 때, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

* 방황(wandering): 모든 에 대해, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 근방 가 존재한다.
* 불연속점(discontinuity point): 점 가 불연속점이라는 것은, 인 가 유한 개만 존재하도록 하는 열린 부분 집합 가 존재한다는 것이다.
* 불연속 영역(domain of discontinuity): 불연속점들의 집합이다. 이는 작용 가 에서 wandering하게 되는 가장 큰 -안정적인 열린 부분 집합 와 같다. 동역학적 맥락에서 이는 방황 집합이라고도 한다.
* 적절하게 불연속적인(properly discontinuous): 모든 콤팩트 부분 집합 에 대해, 인 가 유한 개만 존재한다. 이것은 wandering보다 엄격하게 강하다. 예를 들어, 가 }에 대해 로 주어지는 작용은 wandering하고 자유롭지만, 적절하게 불연속적이지 않다.
* 자유 불연속적인(freely discontinuous): 모든 는 모든 }에 대해 인 근방 를 갖는다. 이 속성을 가진 작용은 때때로 자유 불연속적인 작용이라고 한다.
* 자유 정칙 집합(free regular set): 작용이 자유 불연속적인 가장 큰 부분 집합이다.
* 코콤팩트(cocompact): 국소 콤팩트 공간 에 대한 그룹 의 작용은 인 콤팩트 부분 집합 가 존재할 경우 코콤팩트라고 한다. 적절하게 불연속적인 작용의 경우, 코콤팩트는 몫 공간 의 콤팩트성과 동등하다.

보편 피복 공간에서 국소적으로 단일 연결된 공간의 기본군의 deck 변환에 의한 작용은 wandering하고 자유롭다.

군 G가 집합 X에 작용할 때, X의 점 x의 궤도(orbit)^영어는 G의 각 원소를 x에 작용한 결과들의 집합이다. x의 궤도를 Gx로 나타내면 다음과 같다.

:

Gx = \left\{ gx \mid g \in G \right\}

군의 성질에 의해, X에서 G 작용에 대한 모든 궤도의 집합은 X의 분류(궤도 분해)를 이룬다. 이 분류에 해당하는 동치 관계 '~'는 "x ~ y일 필요충분조건은 gx = y인 g ∈ G가 존재하는 것이다"로 정의된다. 궤도는 이 동치 관계에 대한 동치류이며, 두 원소 x, y가 동치라는 것은 Gx = Gy임을 의미한다.

G의 작용에 대한 X의 모든 궤도의 집합은 X/G(또는 드물게 G ⧵X)로 표시되며, G 작용에 의한 X의 몫 (quotient)^영어이라고 불린다. 기하학적 설정에서는 궤도 공간 (orbit space)^영어, 대수적 설정에서는 여불변식 (coinvariant)^영어의 공간이라고 하며, 로 표시된다(불변식(부동점)의 전체는 로 표시된다. 여불변식은 "몫", 불변식은 "부분 집합"에 해당한다). 여불변식의 개념과 표기는 특히 군 코호몰로지와 군 호몰로지에서 사용된다.

X의 부분 집합 Y에 대해, }라고 한다. 부분 집합 Y가 G의 작용에 관해 안정 또는 불변 (invariant)^영어이라는 것은, GY = Y(또는 GY ⊆ Y)가 성립하는 것을 의미한다. 이 때, G는 Y에도 작용한다. 부분 집합 Y가 G의 작용으로 고정 (fixed)^영어되거나 G가 자명하게 작용한다는 것은, G의 모든 원소 g와 Y의 모든 원소 y에 대해 gy = y가 성립하는 것을 의미한다. G의 작용으로 고정되는 임의의 부분군은 G-불변이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

임의의 궤도는, G가 추이적으로 작용하는 X의 G-불변 부분 집합이다. G의 X에 대한 작용이 추이적이기 위한 필요충분 조건은, 궤도가 단 하나인 것이다.

X의 각 원소 x에 대해, x의 안정화 부분군(또는 고정 부분군 (stabilizer subgroup)^영어, 등방 부분군 (isotropy group)^영어, 소군 (little group)^영어)은 x를 고정하는 G의 모든 원소의 집합 }으로 정의되는 G의 부분군이다. 이는 G의 부분군이지만, 대개는 정규 부분군이 아니다. G의 X에 대한 작용이 자유롭기 위한 필요충분 조건은, 임의의 고정 부분군이 자명군인 것이다. 군 준동형 의 핵 은, X의 모든 원소 에 대한 고정 부분군 의 교차로 주어진다.

궤도와 고정 부분군은 밀접한 관련이 있다. X의 원소 x를 고정하고, 사상 를 생각하면, 이 사상의 상은 x의 궤도이고, 여상은 의 왼쪽 잉여류 전체의 집합이다. 집합론의 표준 몫 정리에 의해, 와 사이에는 자연스러운 전단사가 존재하며, 이는 를 로 대응시키는 사상이다. 이를 궤도-안정자 정리 (orbit-stabilizer theorem)^영어라고 한다.

G와 X가 모두 유한하면, 궤도-안정자 정리와 라그랑주 정리로부터 를 얻는다.

두 원소 x, y가 같은 궤도에 속하면, 그들의 고정 부분군 , 는 서로 켤레 관계이며, 특히 동형이다. 더 정확히는, 이다. 서로 켤레인 고정 부분군을 갖는 점은 같은 궤도형 (orbit-type)^영어을 갖는다고 한다.

궤도-안정자 정리와 관련된 결과로 번사이드 보조정리 가 있다. 여기서 는 에 의해 고정되는 의 모든 원소의 집합이다. 이 결과는 주로 와 가 유한할 때 사용되며, 궤도의 개수는 군의 원소별 부동점 개수의 평균과 같다는 의미로 해석된다.

유한 G-집합의 형식차 (formal difference)^영어 전체의 집합은, 비교집합을 덧셈, 직적을 곱셈으로 하는 번사이드 환을 이룬다.

X의 G-불변원 (invariant element)^영어은, G의 모든 원소에 대해 가 성립하는 X의 원소 x이다. X의 모든 G-불변원의 집합은 로 표시되며, X의 G-불변 부분 집합이라고 부른다. X가 G-가군일 때, 는 G의 X에 계수를 갖는 0차 군 코호몰로지 군이며, 고차 코호몰로지 군은 G-불변 부분 집합을 취하는 함자의 도출 함자이다.

G가 위상군, X가 위상 공간일 때, 사상 가 의 곱 위상에 대해 연속인 G의 X로의 연속 군 작용 (continuous group actions)^영어을 고려하는 경우가 많다. 이 경우, 위상 공간 X를 G-공간 (G-space)^영어이라고도 부른다. 임의의 군은 이산 위상을 갖는 위상군으로 간주할 수 있으므로, 이는 일반화된 경우이다. 위에서 언급한 개념들은 이 문맥에서도 유효하지만, G-공간 사이의 사상으로는 G의 작용과 양립하는 "연속 사상"을 고려한다. 몫 에는 에서 유도되는 몫 위상을 부여하여 위상 공간으로 만들며, 이를 이 작용에 대한 몫 공간 (quotient space)^영어이라고 한다. 정칙, 자유, 추이적인 작용에 대한 동형 사상에 대해 위에서 언급한 주장은, 연속 군 작용에 대해서는 더 이상 성립하지 않는다.

G가 위상 공간 X에 작용하는 이산군일 때, 작용이 고유 불연속(또는 진성 불연속 (properly discontinuous)^영어)이라는 것은, X의 각 점 x에 대해 열린 근방 U가 존재하여, 가 되는 G의 원소 g 전체의 집합이 단 하나의 단위 원소로만 구성되도록 할 수 있는 경우이다. X가 다른 위상 공간 Y의 정칙 피복 공간일 때, 데크 변환군의 X에 대한 작용은 고유 불연속적이며 자유롭다. 군 G의 호상 연결 위상 공간 X에 대한 임의의 자유롭고 고유 불연속적인 작용은 이러한 방식으로 얻어진다. 몫 사상 는 정칙 피복 사상이며, 데크 변환군은 G의 X에 대한 작용으로 주어진다. 더욱이, X가 단일 연결이면 의 기본군은 G와 동형이다.

군 G의 국소 콤팩트 공간 X에 대한 작용이 여콤팩트 (cocompact)^영어라는 것은, X의 콤팩트 부분 집합 A가 존재하여 가 되는 경우이다. 고유 불연속 작용에 대해서는, 여콤팩트성은 몫 공간 의 콤팩트성과 동치이다.

G의 X에 대한 작용이 고유(proper)하다는 것은, 사상 가 고유 사상(proper map)인 경우이다.

4.5. 연속적인 군의 작용

위상군 가 위상 동형에 의해 작용하는 위상 공간 라고 가정하면, 작용은 맵이 곱 위상에 대해 연속적이면 "연속적"이라고 한다.

작용은 로 정의된 맵이 proper이면 "proper"라고 한다. 즉, 컴팩트 집합 가 주어지면 인 의 집합이 컴팩트하다는 의미이다. 특히, 이는 가 이산군일 때 proper 불연속성과 동등하다.

의 근방 가 존재하여 모든 와 에 대해 이면 "locally free"라고 한다.

작용은 궤도 맵 가 모든 에 대해 연속적이면 "강하게 연속적"이라고 한다.

4.6. 선형 작용

주 표현론
가환환 위의 가군에 선형 변환으로 작용하는 경우, 이 작용은 적절한 영이 아닌 -불변 부분 가군이 없을 때 기약 표현이라고 한다. 기약 작용의 직합으로 분해될 경우 반단순이라고 한다.

4.7. 불변 부분 집합

군 $G$가 집합 $X$에 작용할 때, $X$의 부분 집합 $Y$가 $G$에 대해 불변이라는 것은 $G\cdot Y = Y$ ($G\cdot Y \subseteq Y$와 같음)가 성립하는 것을 의미한다. 이 경우, $G$는 작용을 $Y$로 제한하여 $Y$에 대해서도 작용한다. 부분 집합 $Y$는 모든 $g \in G$와 모든 $y \in Y$에 대해 $g\cdot y = y$이면 $G$에 대해 고정되었다고 한다. $G$에 대해 고정된 모든 부분 집합은 $G$에 대해 불변이지만 그 반대는 성립하지 않는다.

모든 궤도는 $G$가 추이적으로 작용하는 $X$의 불변 부분 집합이다. 반대로, $X$의 임의의 불변 부분 집합은 궤도의 합집합이다. $G$의 $X$에 대한 작용은 모든 원소가 동치, 즉 궤도가 단 하나인 경우에만 추이적이다.

$X$의 $G$-불변 원소는 모든 $g \in G$에 대해 $g\cdot x = x$인 $x \in X$이다. 이러한 모든 $x$의 집합은 $X^G$로 표기하며, $X$의 $G$-불변량이라고 한다. $X$가 $G$-가군일 때, $X^G$는 $X$를 계수로 갖는 $G$의 0차 코호몰로지 군이며, 더 높은 차수의 코호몰로지 군은 $G$-불변량의 함자의 유도 함자이다.

4.8. 고정점과 안정자 부분군

군 $G$ 가 집합 $X$ 에 작용할 때, $X$ 의 원소 $x$ 에 대해 $x$ 를 고정하는 $G$ 의 모든 원소들의 집합을 $x$ 의 안정자군(安定子群, stabilizer subgroup) $G_x$ 라고 한다. 즉,
: $G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\}$
이다. 안정자군 $G_x$ 는 $G$ 의 부분군이지만, 일반적으로 정규 부분군은 아니다. $g \in G$ 와 $x \in X$ 에 대해 $g\cdot x = x$ 이면, " $x$ 는 $g$ 의 고정점이다" 또는 " $g$ 가 $x$ 를 고정한다"라고 한다.

$X$ 의 두 원소 $x$ 와 $y$ 에 대해 $y = g\cdot x$ 를 만족하는 군 원소 $g$ 가 존재하면, 두 안정자군 $G_x$ 와 $G_y$ 는 $G_y = gG_x g^{-1}$ 의 관계를 가지며 서로 켤레 관계에 있다.

5. 예시

* 임의의 집합 $X$에 대한 임의의 군 $G$의 자명한 작용은 모든 $G$의 $g$와 모든 $X$의 $x$에 대해 $g \cdot x = x$로 정의된다. 즉, 모든 군 원소는 $X$에 대한 항등 순열을 유도한다.
* 모든 군 $G$에서 왼쪽 곱셈은 $G$가 $G$에 작용하는 것이다: 모든 $g, x \in G$에 대해 $g \cdot x = gx$이다.
* 부분군 $H$를 갖는 모든 군 $G$에서 왼쪽 곱셈은 잉여류 집합 $G/H$에 대한 $G$의 작용이다: 모든 $g, a \in G$에 대해 $g \cdot aH = gaH$이다.
* 부분군 $H$를 갖는 모든 군 $G$에서 켤레는 $G$가 $G$에 작용하는 것이다: $g \cdot x = gxg^{-1}$.
* 부분군 $H$를 갖는 모든 군 $G$에서 켤레는 $G$가 $H$의 켤레에 작용하는 것이다: $G$의 모든 $g$와 $H$의 켤레인 $K$에 대해 $g \cdot K = gKg^{-1}$이다.
* 대칭군 $S_n$ 및 그 부분군은 요소들을 순열하여 집합 $\{1, ..., n\}$에 작용한다.
* 다면체의 대칭군은 해당 다면체의 꼭짓점 집합에 작용한다. 또한 다면체의 면 또는 모서리 집합에도 작용한다.
* 임의의 기하학적 객체의 대칭군은 해당 객체의 점 집합에 작용한다.
* 일반 선형군 $GL(n, K)$ 및 그 부분군, 특히 그 리 부분군 (특수 선형군 $SL(n, K)$, 직교군 $O(n, K)$, 특수 직교군 $SO(n, K)$, 및 심플렉틱 군 $Sp(n, K)$ 포함)은 벡터 공간 $K^n$에 작용하는 리 군이다. 군 연산은 군의 행렬을 $K^n$의 벡터로 곱하여 주어진다.
* 아핀군은 추이적으로 아핀 공간의 점에 작용하며, 아핀군의 부분군 V (즉, 벡터 공간)는 이러한 점에 추이적이고 자유로운 (즉, 정규) 작용을 한다.
* 사영 선형군 $PGL(n + 1, K)$ 및 그 부분군, 특히 그 리 부분군은 사영 공간 $P^n(K)$에 작용하는 리 군이다.
* 갈루아 군 $Gal(L/K)$는 체 $L$에 작용하지만 부분체 $K$의 요소에 대한 자명한 작용만 갖는다.

정의	수학에서, 군 G의 집합 X에 대한 군 작용은 군의 원소를 X의 자기 사상(自己寫像, automorphism)과 연관시키는 방법이다.

상세 정보

군 작용	군 작용은 G × X → X인 함수 (g, x) ↦ g ⋅ x 로, 다음 공리들을 만족한다.
항등원	X의 모든 x에 대해, e ⋅ x = x (여기서 e는 G의 항등원).
연산과의 호환성	G의 모든 g와 h, 그리고 X의 모든 x에 대해, g ⋅ (h ⋅ x) = (gh) ⋅ x.
군 준동형	군 G에서 X의 자기 동형사상 군 Aut(X)로의 군 준동형 φ: G → Aut(X)이 존재한다. 여기서 φ(g)(x) = g ⋅ x.
군 작용의 예시	G가 군이고 X가 G 자신일 때, g ⋅ x = gx (G에서의 군 연산). G가 군이고 X가 G 자신일 때, g ⋅ x = gxg⁻¹ (켤레 작용). G가 군이고 X가 G의 부분군들의 집합일 때, g ⋅ H = gHg⁻¹ (부분군에 대한 켤레 작용). G가 유클리드 공간 Rⁿ의 회전군이고 X가 Rⁿ일 때, g ⋅ x는 g에 의한 x의 회전.
궤도 (Orbit)	X의 원소 x의 궤도 G ⋅ x는 {g ⋅ x \| g ∈ G}로 정의된다.
안정자 (Stabilizer)	G의 원소 g가 x를 고정시키는 경우, 즉 g ⋅ x = x인 경우, g는 x의 안정자라고 불린다. x의 안정자 Gₓ는 G의 부분군을 이룬다.
고정점 (Fixed Point)	X의 원소 x가 G의 모든 원소에 의해 고정되는 경우, 즉 모든 g ∈ G에 대해 g ⋅ x = x인 경우, x는 G의 고정점이라고 불린다.