카르탕 대합

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 극분해와의 관계
6. 역사
참조

1. 개요

카르탕 대합은 실수 반단순 리 대수의 리 대수 자기 동형 사상으로, 킬링 형식을 통해 정의되며, 대합 조건과 음의 정부호성을 만족한다. 모든 실수 반단순 리 대수는 카르탕 대합을 가지며, 내부 자기 동형 사상에 의해 동치인 두 카르탕 대합은 유일하다. 카르탕 대합은 리 대수를 고유 공간의 직합으로 분해하는 카르탕 분해를 유도하며, 리 군 수준에서도 카르탕 분해를 정의할 수 있다. 카르탕 대합은 극분해와 관련이 있으며, 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 연구에서 비롯되었다.

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카르탕 대합

2. 정의

실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 가 주어졌다고 하자. 이때 $\mathfrak g$ 의 킬링 형식은 다음과 같이 정의된다.

: $B \colon \mathfrak g\otimes\mathfrak g\to \mathbb R$

: $B(x,y)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y))$

$\mathfrak g$ 의 리 대수 자기 동형 사상

: $\theta\colon \mathfrak g\to\mathfrak g$

가 다음 두 조건을 만족시키면, $\theta$ 를 $\mathfrak g$ 의 카르탕 대합(Cartan involution)이라고 한다.

대합 조건: $\theta$ 는 대합이다. 즉, $\theta \circ \theta = \operatorname{id}_{\mathfrak g}$ 이다. 여기서 $\operatorname{id}_{\mathfrak g}$ 는 $\mathfrak g$ 위의 항등 사상이다.
정부호 조건: $B_\theta(X,Y) := -B(X,\theta Y)$ 로 정의된 쌍선형 형식 $B_\theta$ 는 양의 정부호 쌍선형 형식이다. 이는 $B(X,\theta X)$ 가 $\mathfrak g$ 위에서 음의 정부호 이차 형식이라는 조건과 동치이다.

두 카르탕 대합

\theta_1

과

\theta_2

가 내부 자기 동형 사상에 의해서만 다르다면 동치로 간주된다.

모든 실수 반단순 리 대수는 카르탕 대합을 가지며, 임의의 두 카르탕 대합은 동치이다. 즉, 카르탕 대합은 동치 관계 아래에서 유일하다.

3. 성질

카르탕 대합은 실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 중요한 구조적 특징을 나타내는 대합이다. 모든 실수 반단순 리 대수는 카르탕 대합을 가지며, 이는 내부 자기 동형을 제외하면 유일하게 결정된다.

카르탕 대합 $\theta$ 는 리 대수 $\mathfrak g$ 를 두 개의 고유 공간, 즉 $\theta$ 에 의해 고정되는 원소들의 부분 대수 $\mathfrak k$ 와 부호가 바뀌는 원소들의 벡터 공간 $\mathfrak p$ 의 직합으로 분해하는 성질을 가진다. 이를 카르탕 분해 $\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}$ 라고 부른다. 이 분해는 킬링 형식과 밀접하게 연관되어 있으며, $\mathfrak k$ 와 $\mathfrak p$ 사이의 리 괄호 연산에 대한 특정 규칙( $[\mathfrak k,\mathfrak k] \subseteq\mathfrak k$ , $[\mathfrak k,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak p$ , $[\mathfrak p,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak k$ )을 만족한다.

또한, 이러한 대수적 구조는 대응하는 리 군 $G$ 수준에서도 유사한 분해로 확장될 수 있다. 즉, 리 군 $G$ 역시 $\mathfrak k$ 에 대응하는 부분군 $K$ 와 $\mathfrak p$ 의 지수 사상 이미지 $\exp(\mathfrak p)$ 를 이용하여 전역적인 분해 $G = K \cdot \exp(\mathfrak p)$ 로 표현될 수 있다. 이 경우 $K$ 는 종종 $G$ 의 최대 콤팩트 부분군이 된다.

3. 1. 카르탕 대합의 존재와 유일성

모든 실수 반단순 리 대수

\mathfrak g

는 카르탕 대합을 가지며, 이러한 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하다. 즉, 임의의 두 카르탕 대합

\theta

와

\theta'

는 서로 동치인데, 이는 두 대합이 내부 자기 동형 사상에 의해서만 다르다는 것을 의미한다. 구체적으로,

\mathfrak g

에 대응하는 단일 연결 리 군

G

의 어떤 원소

g \in G

가 존재하여 다음 관계식을 만족시킨다.

:

\theta' = \theta \circ \operatorname{Ad}_g

카르탕 대합은 다음과 같이 정의된다. 실수 반단순 리 대수

\mathfrak{g}

와 그 킬링 형식

B(\cdot,\cdot)

를 생각하자.

\mathfrak{g}

위의 대합은 제곱해서 항등원이 되는 리 대수 자기 동형 사상

\theta

이다. 만약 이 대합

\theta

에 대해

B_\theta(X,Y) := -B(X,\theta Y)

로 정의된 쌍선형 형식이 양의 정부호 쌍선형 형식이 된다면,

\theta

를

\mathfrak{g}

위의 카르탕 대합이라고 부른다.

3. 2. 카르탕 분해 (Cartan Decomposition)

표수가 2가 아닌 체

K

위의 리 대수

\mathfrak g

에 대합

\theta\colon\mathfrak g\to\mathfrak g

가 주어졌다고 하자. 대합은 두 번 적용하면 원래대로 돌아오는 변환(

\theta^2 = \mathrm{id}

)이므로,

\theta

의 고윳값은

\pm1

뿐이다. 이 고윳값에 해당하는 고유 공간을 각각

\mathfrak k

(고윳값 +1)와

\mathfrak p

(고윳값 -1)라고 하면, 리 대수

\mathfrak g

는 이 두 공간의 직합으로 분해된다.

:

\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p

이는

\mathfrak g

의 모든 원소

z

가

z = k+p

(

k\in\mathfrak k, p\in\mathfrak p

) 형태로 유일하게 표현됨을 의미하며, 대합

\theta

는 이 분해를 이용해 다음과 같이 작용한다.

:

\theta(k+p) = k - p \qquad(k\in\mathfrak k,\;p\in\mathfrak p)

\theta

는 리 대수의 구조를 보존하는 자기 동형 사상이므로, 각 공간 사이의 리 괄호 연산 결과는 다음과 같은 포함 관계를 만족한다.

:

[\mathfrak k,\mathfrak k] \subseteq\mathfrak k

:

[\mathfrak k,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak p

:

[\mathfrak p,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak k

첫 번째 관계식

[\mathfrak k,\mathfrak k] \subseteq\mathfrak k

는

\mathfrak k

자체가

\mathfrak g

의 부분 리 대수를 이룬다는 것을 의미한다. 이처럼 대합

\theta

에 의해 유도되는 분해

\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}

와 관련 성질들을 통틀어 '''카르탕 분해'''라고 부른다.

특히,

\mathfrak g

가 실수 반단순 리 대수이고

\theta

가 카르탕 대합일 경우, 이 분해는 더욱 특별한 성질을 가진다. 카르탕 대합이란, 킬링 형식

B

를 이용하여 정의된 쌍선형 형식

B_\theta(X,Y) := -B(X,\theta Y)

가 양의 정부호 이차 형식일 경우의 대합

\theta

를 말한다. 모든 실수 반단순 리 대수는 카르탕 대합을 가지며, 임의의 두 카르탕 대합은 내부 자기 동형 사상에 의해서만 다르다면 동치로 간주되므로, 사실상 유일하다고 볼 수 있다.

카르탕 대합

\theta

에 의한 카르탕 분해

\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}

는 다음 성질들을 만족한다.

킬링 형식 $B$ 는 부분 공간 $\mathfrak k$ 위에서는 음의 정부호 이차 형식이고, 부분 공간 $\mathfrak p$ 위에서는 양의 정부호 이차 형식이다.
두 부분 공간 $\mathfrak k$ 와 $\mathfrak p$ 는 킬링 형식 $B$ 에 대해 서로 직교한다. 즉, 임의의 $k \in \mathfrak k$ 와 $p \in \mathfrak p$ 에 대해 $B(k, p) = 0$ 이다. (다시 말해, $B\restriction \mathfrak k\otimes\mathfrak p = 0$ 이다.)

역으로, 리 대수

\mathfrak g

가 부분 공간

\mathfrak k

와

\mathfrak p

의 직합

\mathfrak{g} = \mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}

으로 표현되고, 위에서 언급된 리 괄호 포함 관계(

[\mathfrak k,\mathfrak k] \subseteq\mathfrak k

,

[\mathfrak k,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak p

,

[\mathfrak p,\mathfrak p] \subseteq\mathfrak k

)를 만족한다면, 이 분해는

\mathfrak k

위에서는

+1

이고

\mathfrak p

위에서는

-1

인 대합

\theta

를 유일하게 결정한다.

이때의 쌍

(\mathfrak{k}, \mathfrak{p})

는

\mathfrak{g}

의 ''카르탕 쌍''이라고 부르기도 하며, 쌍

(\mathfrak{g},\mathfrak{k})

는 ''대칭 쌍''이라고 불린다. 여기서의 카르탕 쌍 개념은 상대 리 대수 코호몰로지

H^*(\mathfrak{g},\mathfrak{k})

를 다루는 카르탕 모형에서의 '카르탕 쌍'과는 다른 개념이므로 혼동해서는 안 된다.

3. 3. 리 군 수준의 카르탕 분해

G

를 비콤팩트 반단순 리 군이라 하고,

\mathfrak{g}

를 그에 대응하는 리 대수라고 하자.

\theta

를

\mathfrak{g}

에 대한 카르탕 대합이라 하고,

(\mathfrak{k},\mathfrak{p})

를 결과로 얻어지는 카르탕 쌍이라고 하자.

\mathfrak{k}

에 대응하는

G

의 해석적 부분군을

K

라고 하면, 다음과 같은 성질들이 성립한다.

항등원에서 미분이 $\theta$ 이고 $\Theta^2=1$ 을 만족하는 $G$ 의 리 군 자기 동형 사상 $\Theta$ 가 존재한다. 이 $\Theta$ 는 전역 카르탕 대합이라고도 불린다.
$\Theta$ 에 의해 고정되는 원소들의 부분군은 $K$ 이다. 따라서 $K$ 는 닫힌 부분군이다.
사상 $K\times\mathfrak{p} \rightarrow G$ 를 $(k,X) \mapsto k\cdot \exp(X)$ 로 정의하면, 이 사상은 미분 동형 사상이다. 이를 전역 카르탕 분해라고 한다. $P=\exp(\mathfrak{p})\subset G$ 라고 하면, 곱 사상 $K\times P \rightarrow G$ 가 미분 동형 사상이므로 $G=KP$ 로 나타낼 수 있다.
만약 $G$ 의 중심이 유한하다면, 부분군 $K$ 는 $G$ 의 최대 콤팩트 부분군이다.

일반 선형 군

\mathrm{GL}(n)

의 경우,

X \mapsto (X^{-1})^T

는 카르탕 대합이다.

콤팩트 또는 비콤팩트 유형의 대칭 공간에 대한 카르탕 분해는 더 세분화될 수 있다.

\mathfrak{p}

에는 최대 아벨 부분 대수

\mathfrak{a}

가 존재하며, 이는

K

에 의한 켤레 변환 작용을 고려했을 때 유일하게 결정된다. 또한 다음 관계가 성립한다.

:

\displaystyle{\mathfrak{p}= \bigcup_{k\in K} \mathrm{Ad}\, k \cdot \mathfrak{a}}

:

\displaystyle{P= \bigcup_{k\in K} \mathrm{Ad}\, k \cdot A}

여기서

A = \exp(\mathfrak{a})

이다.

콤팩트 및 비콤팩트 경우 모두, 전역 카르탕 분해는 다음과 같은 형태를 함의한다.

:

G = KAK

기하학적으로 이 분해는 대칭 공간

G/K

에서 부분군

A

의 이미지가 완전 측지선 부분 다양체임을 의미한다.

4. 예시

$\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)$ (실수 계수 $n \times n$ 특수 선형 리 대수) 위의 카르탕 대합은 다음과 같이 정의된다.

:

\theta\colon X\mapsto -X^\top

여기서

X^\top

는

n\times n

정사각 행렬

X

의 전치 행렬이다. 이에 따른 카르탕 분해는 다음과 같다.

:

\mathfrak k = \mathfrak o(n;\mathbb R)

(직교 리 대수)

:

\mathfrak p = \{X\in \mathfrak{sl}(n;\mathbb R) \colon X = X^\top\}

(대칭 행렬이면서 대각합이 0인 행렬들의 공간)

만약 실수 반단순 리 대수 $\mathfrak g$ 의 킬링 형식이 음의 정부호라면, 즉 $\mathfrak g$ 가 콤팩트 리 군의 리 대수라면, 카르탕 대합은 항등 함수 $\theta(X) = X$ 이다. 이 경우 카르탕 분해는 $\mathfrak k=\mathfrak g$ 이고 $\mathfrak p=\mathfrak 0$ 이 된다. 항등 사상은 항상 대합이지만, 킬링 형식이 음의 정부호인 경우에만 유일한 카르탕 대합이 된다.

$\mathfrak g$ 가 실수 반단순 리 대수 $\mathfrak{g}_0$ 의 복소수화라고 하자. 그러면 $\mathfrak g$ 에 대한 복소 켤레 사상은 $\mathfrak g$ 위의 대합이다. 이 복소 켤레 사상이 카르탕 대합이 되는 경우는 $\mathfrak{g}_0$ 가 콤팩트 리 군의 리 대수인 경우뿐이다.

특수 유니타리 군 SU(n)의 리 대수 $\mathfrak{su}(n)$ 에는 여러 대합이 존재할 수 있다.
* 항등 대합 $\theta_1(X) = X$ . $\mathfrak{su}(n)$ 은 콤팩트 리 군의 리 대수이므로, 이것이 유일한 카르탕 대합이다.
* $\mathfrak{su}(2)$ 에서는 복소 켤레에 해당하는 $\theta_2 (X) = - X^T$ 도 대합이다.
* $n = p+q$ 가 홀수일 때, $\theta_3 (X) = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix}$ 도 대합이다. 여기서 $I_k$ 는 $k \times k$ 항등 행렬이다. 이 대합은 항등 대합과 동등하지 않다.
* $n = 2m$ 이 짝수일 때, $\theta_4 (X) = \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix} X^T \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ -I_m & 0 \end{pmatrix}$ 도 대합이다.

5. 극분해와의 관계

일반 선형 리 대수 $\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$ 에서 카르탕 대합을 $\theta(X)=-X^T$ 로 정의해 보자. 그러면 $\mathfrak{k}=\mathfrak{so}_n(\mathbb{R})$ 는 반대칭 행렬의 실수 리 대수이므로 $K=\mathrm{SO}(n)$ 이고 $\mathfrak{p}$ 는 대칭 행렬의 부분 공간이다. 따라서 지수 함수는 $\mathfrak{p}$ 에서 양의 정부호 행렬 공간으로의 미분 동형 사상이다. 이 지수 함수까지, 전역 카르탕 분해는 행렬의 극분해이다. 가역 행렬의 극분해는 유일하다.

6. 역사

1880년대에 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다.

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