분모의 유리화

3. 다항식 근호의 유리화

분모가 두 개 이상의 항으로 이루어진 다항식 근호인 경우, 합차 공식 $(a\; +\; b)(a\; -\; b)\; =\; a^2\; -\; b^2$ 또는 다른 인수분해 공식을 이용하여 유리화한다.

분모가 다음과 같은 경우:

:$\backslash sqrt\{2\}\backslash pm\; \backslash sqrt\{3\}\backslash ,$

켤레 복소수를 곱하여 유리화할 수 있다.

:$\backslash sqrt\{2\}\; \backslash mp\; \backslash sqrt\{3\}\backslash ,$

그리고 여기서는 −1을 생성하는 제곱의 차 공식을 적용한다. 이 결과를 얻으려면 전체 분수에 다음을 곱해야 한다.

:$\backslash frac\{\; \backslash sqrt\{2\}-\backslash sqrt\{3\}\; \}\{\backslash sqrt\{2\}-\backslash sqrt\{3\}\}\; =\; 1.$

이 기술은 훨씬 더 일반적으로 작동한다. 한 번에 하나의 제곱근을 제거하도록 쉽게 적용할 수 있다. 즉, 유리화하기 위해

:$x\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{y\}\backslash ,$

다음과 같이 곱한다.

:$x\; \backslash mp\; \backslash sqrt\{y\}$

예시:

:$\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt\{3\}\backslash pm\; \backslash sqrt\{5\}\}$

분수는 $\{\backslash sqrt\{3\}\backslash mp\; \backslash sqrt\{5\}\}$를 포함하는 몫을 곱해야 한다.

:$\backslash frac\{3\}\{\backslash sqrt\{3\}+\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{5\}\}\{\backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{5\}\}\; =\; \backslash frac\{3(\backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{5\})\}\{\backslash sqrt\{3\}^2\; -\; \backslash sqrt\{5\}^2\}$

이제 분모에서 제곱근을 제거할 수 있다.

: $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}^2\; -\; \backslash sqrt\{5\}^2\}\; =\; \backslash frac\{\; 3\; (\backslash sqrt\{3\}\; -\; \backslash sqrt\{5\}\; )\; \}\{\; 3\; -\; 5\; \}\; =\; \backslash frac\{\; 3(\; \backslash sqrt\{3\}-\backslash sqrt\{5\}\; )\; \}\{-2\}$

이 과정은 $i=\backslash sqrt\{-1\}$인 복소수에서도 작동한다.

:$\backslash frac\{7\}\{1\backslash pm\; \backslash sqrt\{-5\}\}$

분수는 $\{1\backslash mp\; \backslash sqrt\{-5\}\}$를 포함하는 몫을 곱해야 한다.

:$\backslash frac\{7\}\{1+\backslash sqrt\{-5\}\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1-\backslash sqrt\{-5\}\}\{1-\backslash sqrt\{-5\}\}\; =\; \backslash frac\{7(1-\backslash sqrt\{-5\})\}\{1^2\; -\; \backslash sqrt\{-5\}^2\}\; =\; \backslash frac\{\; 7\; (1\; -\; \backslash sqrt\{-5\}\; )\; \}\{\; 1\; -\; (-5)\; \}\; =\; \backslash frac\{\; 7\; -7\backslash sqrt\{5\}\; i\; \}\{6\}$

3. 1. 두 개의 항이 있는 경우

3. 2. 세 개 이상의 항이 있는 경우

3. 3. 삼중근을 포함하는 경우

4. 일반화: 대수적 수와 대수 함수

유리화는 모든 대수적 수와 대수 함수로 확장될 수 있으며, 이는 노름 형식의 응용으로 볼 수 있다.^[1] 예를 들어, 세제곱근을 유리화하려면 1의 세제곱근을 포함하는 두 개의 일차 인수를 사용하거나, 이차 인수를 사용해야 한다.

추상적인 추상대수학 관점에서, 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$의 이차 확대체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$

= \left\{ \frac{a + b\sqrt{d}}{a' + b'\sqrt{d}} \,\Big|\, a,a',b,b' \in \mathbb{Q} \right\}

를 생각할 때, ($d\backslash in\backslash mathbb\; Q$는 유리수의 제곱이 아니다),

:$\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})\; =\; \backslash mathbb\{Q\}[\backslash sqrt\{d\}](=\; \backslash \{\; a\; +\; b\backslash sqrt\{d\}\; \backslash mid\; a,b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}\backslash \})$

가 성립한다.

이는 $K=\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\{d\})$의 각 원소 $a+b\backslash sqrt\{d\}$에 대해, 그 확대 $K/\backslash mathbb\; Q$에 관한 공액원 $a-b\backslash sqrt\{d\}$를 곱하면

:$N(a+b\backslash sqrt\{d\})\; :=\; (a+b\backslash sqrt\{d\})(a-b\backslash sqrt\{d\})\; =\; a^2-b^2d$

가 $\backslash mathbb\; Q$에 속한다는 것으로부터 증명된다. ($N(a+b\backslash sqrt\{d\})$는 $a+b\backslash sqrt\{d\}$의 확대 $K/\backslash mathbb\; Q$에 관한 노름이다.)

일반적으로, 체 ''K''의 (유한 차수 갈루아) 확대체 ''L''의 원소에 대해, 그 원소의 확대 ''L''/''K''에 관한 공액원을 모두 곱한 것을, 그 원소의 노름이라고 부르는데, 노름은 아래 체 ''K''에 속한다. 따라서 유리화는 공액원을 모두 계산할 수 있다면, 이차 확대에 국한되지 않고 수행할 수 있다.

5. 추상대수학적 관점

추상대수학적 관점에서, 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$의 이차 확대체 $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})$

= \left\{ \frac{a + b\sqrt{d}}{a' + b'\sqrt{d}} \,\Big|\, a,a',b,b' \in \mathbb{Q} \right\}

를 생각할 수 있다. ($d\backslash in\backslash mathbb\; Q$는 유리수의 제곱이 아니다.) 이때, $\backslash mathbb\{Q\}(\backslash sqrt\{d\})\; =\; \backslash mathbb\{Q\}[\backslash sqrt\{d\}](=\; \backslash \{\; a\; +\; b\backslash sqrt\{d\}\; \backslash mid\; a,b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}\backslash \})$가 성립한다.^[1]

$K=\backslash mathbb\; Q(\backslash sqrt\{d\})$의 각 원소 $a+b\backslash sqrt\{d\}$에 대해, 그 확대 $K/\backslash mathbb\; Q$에 관한 공액원 $a-b\backslash sqrt\{d\}$를 곱하면, $N(a+b\backslash sqrt\{d\})\; :=\; (a+b\backslash sqrt\{d\})(a-b\backslash sqrt\{d\})\; =\; a^2-b^2d$를 얻는다. 이 $N(a+b\backslash sqrt\{d\})$는 $a+b\backslash sqrt\{d\}$의 (확대 $K/\backslash mathbb\; Q$에 관한) 노름이며, $\backslash mathbb\; Q$에 속한다.^[1]

일반적으로, 체 ''K''의 유한 차수 갈루아 확대체 ''L''의 원소에 대해서도, 그 원소의 확대 ''L''/''K''에 관한 공액원들을 모두 곱한 노름은 ''K''에 속한다. 따라서 유리화는 이차 확대뿐만 아니라, 공액원을 모두 계산할 수 있는 경우에 적용 가능하다.^[1]

6. 실수화

복소수체 ℂ = ℝ(√-1)에서, 복소수 α = a + b√-1의 켤레 복소수 ᾱ = a - b√-1를 곱하면 노름 N(α) = αᾱ = a² + b²가 실수 ℝ에 속한다. 예를 들어,

:$\backslash frac\{1\}\{2+\backslash sqrt\{-1\}\}=\backslash frac\{1(2-\backslash sqrt\{-1\})\}\{(2+\backslash sqrt\{-1\})(2-\backslash sqrt\{-1\})\}=\backslash frac\{2-\backslash sqrt\{-1\}\}\{4+1\}=\backslash frac\{2-\backslash sqrt\{-1\}\}\{5\}$

등의 변형이 가능하다. 이러한 변형을 (분모의) 실수화라고 하는 경우가 있다.