분위수함수

3. 예시

지수 분포(강도 ''λ'' 및 기댓값(평균) 1/''λ'')의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

:$F(x;\; \backslash lambda)\; =\; \backslash begin\{cases\}$

1 - e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\

0 & x < 0.

\end{cases}

지수(''λ'')에 대한 분위수 함수는 $1\; -\; e^\{-\backslash lambda\; Q\}\; =\; p$를 만족하는 ''Q''의 값을 찾아 유도된다.

:$Q(p;\; \backslash lambda)\; =\; \backslash frac\{-\backslash ln(1\; -\; p)\}\{\backslash lambda\},$

0 ≤ ''p'' < 1에 대해 정의된다. 따라서 사분위수는 다음과 같다.

• 제1 사분위수 (''p'' = 1/4): $-\backslash ln(3/4)/\backslash lambda,$
• 중앙값 (''p'' = 2/4) : $-\backslash ln(1/2)/\backslash lambda,$
• 제3 사분위수 (''p'' = 3/4) : $-\backslash ln(1/4)/\backslash lambda.$

4. 응용

분위수 함수는 통계적 응용과 몬테카를로 방법 모두에 사용된다.

분위수 함수는 확률 밀도 함수(pdf) 또는 확률 질량 함수, 누적 분포 함수(cdf) 및 특성 함수의 대안으로, 확률 분포를 지정하는 한 가지 방법이다. 확률 분포의 분위수 함수 ''Q''는 누적 분포 함수 ''F''의 역함수이다. '''분위수 밀도 함수'''는 분위수 함수의 도함수로, 확률 분포를 지정하는 또 다른 방법이다. 이는 분위수 함수와 합성된 pdf의 역수이다.

통계적 응용에서 사용자는 주어진 분포의 주요 백분위수를 알아야 한다. 예를 들어 중앙값, 25% 및 75% 사분위수(위에 나온 예시)를 필요로 하거나, 분포가 알려진 관측의 통계적 유의성을 평가하기 위해 5%, 95%, 2.5%, 97.5% 수준을 필요로 하는 경우가 있다. 분위수 항목을 참조하면 된다. 컴퓨터가 대중화되기 전에는, 분위수 함수를 표본 추출하는 통계 표가 부록으로 있는 책들이 드물지 않았다.^[2] 분위수 함수의 통계적 응용에 대해서는 길크리스트(Gilchrist)가 광범위하게 논의했다.^[3]

몬테카를로 시뮬레이션은 다양한 유형의 시뮬레이션 계산에 사용하기 위해 비균일한 무작위 또는 의사 난수를 생성하는데, 이때 분위수 함수를 사용한다. 주어진 분포의 표본은 원칙적으로 균일 분포에서 얻은 표본에 해당 분위수 함수를 적용하여 얻을 수 있다. 최근에는 코퓰러 또는 준 몬테카를로 방법을 기반으로 하는 다변량 기술과의 연계성이 높아지면서, 전산 금융과 같은 시뮬레이션 방법에서 분위수 함수를 기반으로 하는 방법에 대한 관심이 높아지고 있다.^[4] 및 금융에서의 몬테카를로 방법.

5. 계산

분위수 함수는 닫힌 형식 표현식을 찾기 어려운 경우가 많아 수치적 방법이 사용된다. 균등 분포, 와이블 분포, 터키 람다 분포(로지스틱 포함), 로그 로지스틱과 같이 닫힌 형식 표현식을 찾을 수 있는 몇 안 되는 경우를 제외하고는 수치적 방법이 사용된다.^[5][6]

누적 분포 함수(cdf)가 닫힌 형식 표현식을 가지는 경우, 이분법과 같은 수치적 근 찾기 알고리즘을 사용하여 cdf를 반전시킬 수 있다. 분위수 함수 계산을 위한 알고리즘은 수치 레시피를 비롯하여 UNU.RAN, Runuran, scipy.stats 등 다양한 통계 소프트웨어 패키지에 내장되어 있다.^{[7][8][9][10]}

분위수 함수는 비선형 상미분 및 편미분 미분 방정식의 해로 특징지을 수 있다. 정규 분포, 스튜던트, 베타 및 감마 분포의 경우에 대한 상미분 방정식이 주어지고 해결되었다.^[11]

5. 1. 정규 분포

5. 2. 스튜던트 t-분포

6. 분위수 혼합

혼합 분포와 유사하게, 분포는 분위수 혼합으로 정의될 수 있다. 분위수 혼합은 여러 분위수 함수를 선형 결합하여 새로운 분위수 함수를 만드는 방법이다.

:$Q(p)=\backslash sum\_\{i=1\}^\{m\}a\_i\; Q\_i(p)$

여기서 $Q\_i(p)$, $i=1,\backslash ldots,m$는 분위수 함수이고 $a\_i$, $i=1,\backslash ldots,m$는 모형 매개변수이다. 매개변수 $a\_i$는 $Q(p)$가 분위수 함수가 되도록 선택해야 한다.

Karvanen은 정규-다항식 분위수 혼합과 코시-다항식 분위수 혼합, 두 개의 4 매개변수 분위수 혼합을 제시했다.^[16]

참조

_[1] 논문 Of quantiles and expectiles: Consistent scoring functions, Choquet representations, and forecast rankings
_[2] 웹사이트 Archived copy http://course.shufe.[...] 2012-03-25
_[3] 서적 Statistical Modelling with Quantile Functions Taylor & Francis
_[4] 서적 Monte Carlo methods in finance
_[5] 논문 Continuous random variate generation by fast numerical inversion https://research.wu.[...] 2024-06-17
_[6] 논문 Random variate generation by numerical inversion when only the density is known
_[7] 웹사이트 UNU.RAN - Universal Non-Uniform RANdom number generators https://statmath.wu.[...]
_[8] 웹사이트 Runuran: R Interface to the 'UNU.RAN' Random Variate Generators https://cran.r-proje[...] 2023-01-17
_[9] 웹사이트 Random Number Generators (Scipy.stats.sampling) — SciPy v1.13.0 Manual https://docs.scipy.o[...]
_[10] 서적 Proceedings of the 21st Python in Science Conference 2022
_[11] 논문 Quantile mechanics
_[12] 논문 Algorithm AS241: The Percentage Points of the Normal Distribution Blackwell Publishing
_[13] 웹사이트 An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function http://home.online.n[...] 2007-05-05
_[14] 간행물 Computational Finance: Differential Equations for Monte Carlo Recycling https://arxiv.org/ab[...]
_[15] 논문 Sampling Student's T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function.
_[16] 논문 Estimation of quantile mixtures via L-moments and trimmed L-moments.