분지점

3. 대수적 분지점

$\backslash Omega$를 복소 평면 $\backslash mathbb\{C\}$의 연결된 열린 집합이라 하고, $f:\backslash Omega\backslash to\backslash mathbb\{C\}$를 정칙 함수라고 하자. 만약 $f$가 상수 함수가 아니라면, $f$의 임계점(즉, 도함수 $f\text{'}(z)$의 영점이 되는 점 $z$)의 집합은 $\backslash Omega$ 안에서 극한점을 가지지 않는다. 따라서 $f$의 각 임계점 $z\_0$는 그 폐포 안에 $f$의 다른 임계점을 포함하지 않는 어떤 원반 $B(z\_0,r)$의 중심에 위치한다.

$\backslash gamma$를 $B(z\_0,r)$의 경계라고 하고, 그 방향을 양의 방향으로 잡자. 점 $f(z\_0)$에 대한 $f(\backslash gamma)$의 회전수는 양의 정수가 되는데, 이를 $z\_0$의 '''분기 지수'''(ramification index^eng)라고 부른다. 만약 분기 지수가 1보다 크면, $z\_0$를 $f$의 '''분기점'''(ramification point^eng)이라고 하며, 해당 임계값 $f(z\_0)$를 '''(대수적) 분기값'''(branch point^eng)이라고 부른다. 다른 방식으로 정의하면, $z\_0$의 어떤 근방에서 정의된 정칙 함수 $\backslash phi$가 존재하여 $k>1$인 정수 $k$에 대해 $f(z)\; =\; \backslash phi(z)(z-z\_0)^k\; +\; f(z\_0)$를 만족할 때, $z\_0$를 분기점이라고 한다.

일반적으로 함수 $f$ 자체보다는 그 역함수에 더 주목하는 경우가 많다. 분기점 근방에서는 정칙 함수의 역함수가 일반적으로 존재하지 않으므로, 역함수를 전역 해석 함수(global analytic function^eng)의 의미에서 다중값 함수로 정의해야 한다. 용어를 엄밀하게 사용하지 않는 경우가 흔한데, $f$의 분기값 $w\_0\; =\; f(z\_0)$를 전역 해석 함수 $f^\{-1\}$의 분기점이라고 부르기도 한다. 음함수로 정의되는 다중값 전역 해석 함수 등 더 일반적인 경우에 대한 분기점의 정의도 가능하다. 이러한 예들을 통합적으로 다루는 틀은 리만 곡면 이론에서 제공된다. 특히 이 틀에서는 차수가 1보다 큰 극도 분기점으로 간주할 수 있다.

전역 해석 함수인 역함수 $f^\{-1\}$의 관점에서 보면, 분기점은 비자명한 모노드로미(monodromy)를 갖는 점이다. 예를 들어, 함수 $f(z)\; =\; z^2$는 $z\_0\; =\; 0$에서 분기점을 가진다. 이 함수의 역함수는 제곱근 함수 $f^\{-1\}(w)\; =\; w^\{1/2\}$이며, 이 역함수는 $w\_0\; =\; 0$에서 분기점을 갖는다. 실제로, 복소 평면에서 원점을 중심으로 하는 닫힌 경로 $w\; =\; e^\{i\backslash theta\}$ ($\backslash theta$는 0에서 $2\backslash pi$까지 변함)를 따라 $w^\{1/2\}$의 값을 추적해 보자. $\backslash theta\; =\; 0$에서 시작하면 $w\; =\; e^\{i0\}\; =\; 1$이고 $w^\{1/2\}\; =\; e^\{i0/2\}\; =\; 1$이다. 경로를 따라 한 바퀴 돌아 $\backslash theta\; =\; 2\backslash pi$에 도달하면 $w\; =\; e^\{i2\backslash pi\}\; =\; 1$이지만, $w^\{1/2\}\; =\; e^\{i2\backslash pi/2\}\; =\; e^\{i\backslash pi\}\; =\; -1$이 된다. 즉, 시작점($1$)과 끝점($-1$)의 값이 달라진다. 이처럼 원점을 도는 경로를 따라 함수의 값이 변하는 현상을 모노드로미라고 하며, 분기점 $w\_0\; =\; 0$ 주위에는 이러한 비자명한 모노드로미가 존재한다.

4. 초월 및 대수 분지점

''g''가 중심점 ''z''₀를 제외한 뚫린 원반 위에서 정의되는 전역 해석 함수라고 하자. 이때, ''g''가 '''초월 분지점'''(transcendental branch point)을 갖는다는 것은 ''z''₀가 ''g''의 본질적 특이점이며, 각 함수 요소가 ''z''₀를 둘러싼 적당한 단순 폐곡선을 한 바퀴 돌면서 해석적 연장하면 서로 다른 함수 요소가 될 때를 말한다.^[3][6][7]

초월 분지점의 예시로는, 적당한 정수 ''k'' > 1에 대한 다가 함수 ''g''(''z'') = exp(''z''^−1/''k'')의 원점을 들 수 있다. 이 경우, 원점을 도는 폐경로에 대한 모노드로미 군은 유한군이다. 즉, 폐경로를 ''k'' 바퀴 도는 해석적 연장을 수행하면 함수는 원래대로 돌아온다.

이와 대조적으로, 점 ''z''₀가 '''대수 분지점'''(algebraic branch point) 또는 '''로그 분지점'''(logarithmic branch point)이라는 것은, ''z''₀ 주위에서 0이 아닌 감김수를 갖는 곡선을 따라 해석적 연장을 해도 원래의 함수 요소를 얻을 수 없을 때, 즉 모노드로미 군이 무한할 때를 말한다.^[4] 이 명칭은 이 현상의 전형적인 예시가 복소 로그 함수의 원점에 있는 분기점이기 때문에 붙여졌다. 원점 주위의 단순 폐곡선을 반시계 방향으로 한 바퀴 돌면 복소 로그 함수 값은 2π''i''만큼 증가하고, 감김수가 ''w''인 폐곡선이라면 2π''i w''만큼 증가한다. 이 모노드로미 군은 무한 순환군 '''Z'''이다.

초월 분지점 및 대수 분지점은 함수의 값이 분기하는 것에 관한 개념이다. 이 두 종류의 분지점 모두에 대해, 관련된 리만 곡면은 분지점 자체의 덮개 공간으로 해석적으로 연장될 수 없으므로, 점의 분기(ramification)에 해당하는 개념은 존재하지 않는다. 따라서 이러한 덮개는 항상 비분기적(unramified)이다.

5. 예시

분지점은 다가 함수(multiple-valued function)가 정의되는 복소 평면 또는 리만 곡면 위의 특별한 점으로, 이 점 주위를 한 바퀴 돌 때 함수의 값이 원래 값으로 돌아오지 않는 현상을 나타낸다. 여러 함수에서 분지점이 어떻게 나타나는지 예시를 통해 살펴보자.

• 제곱근 함수: 함수 ''w'' = ''z''^1/2는 ''z'' = 0에서 분지점을 가진다. 복소 평면에서 변수 ''z''가 원점 0을 중심으로 한 바퀴 돌면, 그에 대응하는 ''w''의 값은 원래 값의 음수 값으로 변한다. 예를 들어 ''z''가 4에서 출발하여 원점을 한 바퀴 돌아 다시 4로 오면, ''w''는 2에서 출발하여 -2가 된다. 무한대 점(∞) 역시 분지점으로 간주될 수 있다. 제곱근 함수를 하나의 값으로 잘 정의하기 위해서는 0과 무한대 점을 잇는 분지 절단(branch cut)이 필요하다.

• 자연 로그 함수: 함수 ''w'' = ln ''z''는 ''z'' = 0에서 '''로그 분지점'''(logarithmic branch point)을 가진다. 변수 ''z''가 원점 0을 중심으로 한 바퀴 돌면, ''w''의 값은 2π''i''만큼 변한다. 이는 ''e''^''w'' = ''z'' 관계에서 ''e''^{''w''+2''k''π''i''} = ''e''^''w'' ''e''^{2''k''π''i''} = ''e''^''w'' ⋅ 1 = ''z'' (''k''는 정수)이기 때문이다. 즉, 하나의 ''z'' 값에 대해 무한히 많은 로그 값이 존재한다. 로그 함수 역시 분지 절단(일반적으로 음의 실수축)을 설정하여 특정 영역에서 하나의 값(주값, principal value)을 갖도록 정의한다.

• 역삼각함수: 역탄젠트 함수 ''w'' = arctan ''z'' = (1/2''i'')ln[(''i''-''z'')/(''i''+''z'')]는 ''z''=''i''와 ''z''=-''i''에서 분지점을 가진다. 이는 역탄젠트 함수의 도함수 ''dw''/''dz'' = 1/(1+''z''²)가 이 두 점에서 극점을 갖는다는 사실로부터 알 수 있다. 일반적으로 함수 ''f''의 도함수 ''f'''가 점 ''a''에서 간단한 극점을 가지면, ''f''는 ''a''에서 로그 분지점을 가진다.^[6][7]

• 기타 대수 함수: 함수 ''w'' = √''z''√(1-''z'')와 같은 더 복잡한 대수 함수도 분지점을 가질 수 있다. 이 함수의 경우 ''z''=0과 ''z''=1이 분지점이며, 두 분지점 모두 분지 지표는 2이다. 이 함수를 하나의 값으로 정의하기 위해서는 두 분지점을 잇는 실수 축 상의 구간 [0, 1]을 분지 절단으로 설정할 수 있다.

5. 1. 제곱근 함수

이 함수의 역함수인 복소수 제곱근 함수 $w\; =\; z^\{1/2\}$를 정의하기 위해서는, 두 분지점 0과 ∞를 연결하는 분지 절단(branch cut)을 설정해야 한다. 분지 절단은 함수를 특정 영역에서 하나의 값만을 갖는 함수(일가 함수, single-valued function)로 만들기 위해 복소 평면에 설정하는 경로이다.

가장 흔하게 사용되는 분지 절단은 음의 실수 반직선($\backslash mathbb\{R\}^-$)이다. 이 경우, 복소수를 극형식 $z\; =\; r\; e^\{i\backslash theta\}$ (단, $r\; \backslash ge\; 0$, )로 표현할 때 제곱근 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$w\; =\; z^\{1/2\}\; =\; \backslash sqrt\{r\}\; e^\{i\backslash theta/2\}$

이 정의는 음의 실수축을 제외한 복소 평면 $\backslash mathbb\{CP\}^1\; \backslash setminus\; \backslash mathbb\{R\}^-$에서 유효하며, 무한대에서는 $w(\backslash infty)\; =\; \backslash infty$로 정의한다.

다른 분지 절단을 선택할 수도 있다. 예를 들어, 양의 실수 반직선을 분지 절단으로 선택하면, $z\; =\; r\; e^\{i\backslash theta\}$ (단, $r\; \backslash ge\; 0$, )에 대해 제곱근 함수는 다음과 같이 정의된다.

:$w\; =\; z^\{1/2\}\; =\; \backslash sqrt\{r\}\; e^\{i\backslash theta/2\}$

마찬가지로 무한대에서는 $w(\backslash infty)\; =\; \backslash infty$로 정의한다.

점 0이 제곱근 함수의 분지점이라는 것은 다음 예시로 확인할 수 있다. 함수 $w\; =\; z^\{1/2\}$에서, 변수 $z$가 복소 평면 위의 점 4에서 시작하여 원점 0을 중심으로 반지름 4인 원을 따라 시계 반대 방향으로 한 바퀴 움직인다고 가정한다.

• 시작점 $z=4$에서 $w$의 값은 양의 제곱근인 2이다.
• $z$가 원을 따라 움직이면 $z\; =\; 4e^\{i\backslash theta\}$ ($0\; \backslash le\; \backslash theta\; \backslash le\; 2\backslash pi$)로 표현할 수 있고, 이때 $w\; =\; \backslash sqrt\{4\}e^\{i\backslash theta/2\}\; =\; 2e^\{i\backslash theta/2\}$이다.
• $z$가 원을 한 바퀴 돌아 다시 4가 되면($\backslash theta\; =\; 2\backslash pi$), $w$의 값은 $2e^\{i(2\backslash pi)/2\}\; =\; 2e^\{i\backslash pi\}\; =\; 2(-1)\; =\; -2$가 된다.

5. 2. 로그 함수

5. 3. 역삼각함수

5. 4. 복잡한 예

6. 리만 곡면

콤팩트 연결 리만 곡면 ''X''에서 콤팩트 리만 곡면 ''Y'' (일반적으로 리만 구면)로 가는 정칙 함수 $f:\; X\; \backslash to\; Y$에 대해서도 분지점의 개념이 정의된다. 이러한 함수 $f$가 상수 함수가 아니라면, 유한 개의 점을 제외하고 $f$는 그 상으로의 피복 사상이 된다. $f$가 피복 사상이 아닌 ''X''의 점을 '''분기점'''(''ramification point'')이라고 하며, 분기점의 상 $Q\; =\; f(P)$를 '''분지점'''(''branch point'')이라고 부른다.

임의의 점 $P\; \backslash in\; X$ 및 $Q\; =\; f(P)\; \backslash in\; Y$에 대해, $P$ 근방의 국소 좌표 $z$와 $Q$ 근방의 국소 좌표 $w$가 존재하여, 함수 $f$가 국소적으로 어떤 정수 $k$에 대해

:$w\; =\; z^k$

의 형태로 표현될 수 있다. 이 정수 $k$를 점 $P$에서의 '''분지 지수'''($e\_P$)라고 한다. 일반적으로 분지 지수는 1이다. 만약 분지 지수 $k$가 1보다 크면($k\; >\; 1$), 정의에 따라 $P$는 분기점이고 $Q$는 분지점이다.

만약 ''Y''가 리만 구면이고, 점 $Q$가 유한한 값이라면, 특별한 좌표계를 선택할 필요 없이 분지 지수를 코시 적분 공식으로부터 명시적으로 계산할 수 있다. $\backslash gamma$를 $P$ 주위를 도는 ''X'' 내의 단순 닫힌 경로라고 하면, $P$에서의 분지 지수 $e\_P$는 다음 적분으로 주어진다.

: $e\_P\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash int\_\backslash gamma\; \backslash frac\{f\text{'}(z)\}\{f(z)-f(P)\}\backslash ,dz$

이 적분 값 $e\_P$는 경로 $f(\backslash gamma)$가 점 $Q$ 주위를 감는 횟수, 즉 회전수에 해당한다. 위에서 정의한 바와 같이, $e\_P\; >\; 1$일 때 $P$는 분기점이고 $Q$는 분지점이다.

7. 대수 기하학

대수 기하학의 맥락에서 분지점의 개념은 임의의 대수 곡선 사이의 사상으로 일반화될 수 있다. $f:\; X\; \backslash to\; Y$를 대수 곡선의 사상이라고 하자. $Y$ 상에서 정의된 유리 함수를 $X$ 상의 유리 함수로 $f$에 의해 당겨 옴으로써, 함수체 $K(Y)$는 $K(X)$의 체 확대가 된다. $f$의 차수는 이 체 확대의 차수 $[K(X)\; :\; K(Y)]$로 정의되며, 이 차수가 유한하면 $f$는 유한하다고 말한다.

$f$가 유한하다고 가정하자. 각 점 $P\; \backslash in\; X$에 대해, '''분기 지수'''(ramification index) $e\_P$는 다음과 같이 정의된다. $Q\; =\; f(P)$이고, $t$를 $P$에서의 국소 일의화 변수로 둔다. 즉, $t$는 $Q$의 근방에서 정의된 정칙 함수로, $t(Q)\; =\; 0$이고 그 미분 계수가 0이 아닌 함수이다. $t$의 $f$에 의한 당겨오기는 $X$ 상의 정칙 함수이며, 이때

: $e\_P\; =\; v\_P(t\; \backslash circ\; f)$

가 성립한다. 여기서 $v\_P$는 $P$에서의 정칙 함수 전체로 이루어진 국소환의 부치이다. 즉, $e\_P$는 점 $P$에서의 $t\; \backslash circ\; f$의 영점의 위수이다. 만약 $e\_P\; >\; 1$이면 $f$는 $P$에서 분기(ramify)한다고 말하며, $Q$를 분기점(branch point)이라고 부른다.

8. 역사

제곱근이나 로그와 같은 복소수에 대한 여러 함수가 특정 점에서 정의되지 않거나 여러 값을 갖는 현상은 복소수가 발견된 이후 곧 알려졌다. 베른하르트 리만은 1851년에 리만 곡면을 도입하여 이 현상을 엄밀하게 설명했다.

"분지"(分枝)라는 용어는 나뭇가지(枝)가 갈라지는(分) 모습에서 유래했다. 이는 분지점의 상 근처에서 정칙 함수의 역함수가 여러 값을 갖는 모양을 비유한 것이다.

9. 퓌죄 급수

퓌죄 급수는 멱지수에 음수나 분수를 허용하여 로랑 급수를 확장한 것으로, 대수 곡선의 분기를 정의할 수 있다.

참조

_[1] 간행물 Fractional Differintegrations Insight Concepts http://dx.doi.org/10[...] Springer Berlin Heidelberg 2011
_[2] 서적 1979
_[3] 서적 2001
_[3] 서적 1965
_[4] 웹사이트 Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...] 2019-06-11
_[5] 서적 Complex Variables: Introduction and Applications Cambridge University Press 2003
_[6] 간행물 Branch point Kluwer Academic Publishers 2001
_[7] 간행물 Theory of functions of a complex variable. Vol. I 1965