불변 질량

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1. 개요
2. 정의
3. 여러 입자로 구성된 계의 불변 질량
- 3.1. 운동량 중심 좌표계
4. 입자 물리학에서의 불변 질량
5. 두 입자 충돌의 예시
- 5.1. 질량이 없는 입자
- 5.2. 입자 가속기 실험
참조

1. 개요

불변 질량은 사차원 운동량을 가진 물체의 고유한 속성으로, 관측자의 관성 좌표계에 관계없이 변하지 않는 질량을 의미한다. 이는 상대론적 질량과는 달리 로렌츠 불변량이며, 입자 물리학에서 입자의 질량을 나타내는 데 사용된다. 불변 질량은 에너지와 운동량의 관계를 통해 계산되며, 정지 질량, 정지 에너지와 밀접한 관련이 있다. 또한, 여러 입자로 구성된 계의 불변 질량은 각 입자의 에너지와 운동량의 합으로 결정되며, 입자 붕괴 및 비탄성 산란 실험 등 다양한 물리적 현상을 분석하는 데 활용된다.

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불변 질량
일반 정보
이름	불변 질량
다른 이름	고유 질량 정지 질량 내재 질량
영어 이름	invariant mass rest mass proper mass intrinsic mass
물리학
분야	상대성이론
기호	m
단위	에너지/c^2
공식	E = mc^2
상세 정보
관련 개념	질량, 에너지, 운동량
설명	불변 질량은 운동량과 에너지의 로런츠 불변량이다. 정지 상태에 있는 물체의 질량과 같다. 물체의 운동 상태에 관계없이 고유하게 갖는 질량이다.

2. 정의

불변 질량은 사차원 운동량을 가진 물체의 질량으로, 관측계에 따라 변하지 않는 로런츠 스칼라 값이다. 양자장론 등에서 입자의 "질량"은 항상 불변 질량을 의미한다.

단일 입자의 붕괴 생성물의 에너지와 운동량을 사용하여 계산된 불변 질량은 붕괴된 입자의 질량과 같다. 입자 시스템의 불변 질량은 다음 공식으로 계산할 수 있다.

: $\left( W c^2 \right) ^2 = \left( \sum E \right) ^2 - \left\| \sum \mathbf{p} c \right\| ^2 ,$

여기서

$W$ 는 입자 시스템의 불변 질량이며 붕괴 입자의 질량과 같다.
$\sum E$ 는 입자 에너지의 합이다.
$\sum \mathbf{p}$ 는 입자 운동량의 벡터 합이다 (운동량의 크기와 방향 모두 포함).

비탄성 산란 실험에서 전체 입사 에너지가 감지된 전체 에너지보다 큰 경우, 반응의 불변 질량 ( "누락 질량"이라고도 함)

W

는 다음과 같이 정의된다 (자연 단위계).

:

W^2 = \left( \sum E_\text{in} - \sum E_\text{out} \right) ^2 - \left\| \sum \mathbf{p}_\text{in} - \sum \mathbf{p}_\text{out} \right\| ^2 .

실험 중 감지되지 않은 입자가 있으면, 불변 질량 플롯은 누락된 입자의 질량에서 날카로운 피크를 보인다.

한 방향의 운동량을 측정할 수 없는 경우(예: 중성미자의 존재는 결손 에너지로부터 추측) 횡 질량이 사용된다.

2. 1. 수식 표현

사차원 운동량

p^\mu=(E/c,\mathbf p)

를 가진 물체의 '''불변 질량'''

m_0

은 다음과 같다.

:

m_0=\sqrt{p^\mu p_\mu}/c=\sqrt{E^2/c^4-\mathbf p^2/c^2}

.

상대론적 질량

m=E/c^2

과의 관계는 다음과 같다.

:

m_0=m/\gamma=m\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}

.

여기서

\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf v^2/c^2}

는 로런츠 인자이고,

\mathbf v

는 속도다.

입자 물리학에서 불변 질량

m_0

는 에너지 ''E'' 및 운동량 '''''p'''''의 수학적 조합으로, 모든 기준계에서 동일하며 입자의 정지 상태에서의 질량 값이다. (특수 상대성 이론 참조.) 불변 질량과 광속

c

, 에너지 및 운동량 간의 관계는 다음과 같다.

:

(m_0c^2)^2=E^2-c^2|\boldsymbol{p}|^2

또는, ''c'' = 1인 자연 단위계에서는 다음과 같다.

:

m_0^2 = E^2 - |\boldsymbol{p}|^2.

2. 2. 정지 질량

사차원 운동량

p^\mu=(E/c,\mathbf p)

를 가진 물체의 불변 질량

m_0

은 상대론적 질량

m=E/c^2

과 관계를 갖는다. 속도

\mathbf v

가 0인 경우, 즉 물체가 정지해 있을 때 상대론적 질량과 불변 질량은 같다. 이 때문에 불변 질량은 정지 질량이라고 불리기도 한다.^[1]

광자와 같이 빛의 속도로 움직이는 입자의 경우,

\lVert\mathbf p\rVert c=E

이므로 불변 질량은 항상 0이다. 반면 상대론적 질량은 에너지에 비례하므로 일반적으로 0이 아니다.^[1]

2. 3. 정지 에너지

'''정지 에너지'''(rest energy^영어)는 다음과 같이 정의된다.

:

E_0=m_0 c^2

여기서

c

는 진공 중의 광속이다.^[6] 일반적으로 에너지의 차이만이 물리적 의미를 갖는다.^[7]

정지 에너지의 개념은 아인슈타인이 유명한 에너지와 질량의 등가성을 이끌어낸 특수 상대성 이론에서 유래한다.

단일 또는 복수의 물체로 구성된 계의 불변 질량은 계의 총 에너지 및 운동량의 특성과 관계가 있다. 불변 질량은 어떤 스케일에서 측정되는 계의 질량과 같다.

고립된 계의 질량 중심이 안정된 속도로 직선상에서 운동할 때, 관측자는 항상 그에 따라 운동할 수 있다. 이것은 계의 총 운동량이 0이 되는 운동량 중심 좌표계(영운동량계)이다. 이러한 계는 (기체가 들어있는 병과 같은) 경계가 있는 계라면 전체적으로 "정지해 있는" 것으로 간주할 수 있다. 불변 질량은 정지계의 총 에너지를 ''c''²로 나눈 값과 같다. 여기서 ''c''는 광속이다. 이를 질량-에너지 등가원리라고 한다. 운동량 중심계의 총 에너지는 다양한 관성 좌표계에서 다양한 관측자에 의해 관측되는 중 '''최소''' 에너지이다. 이때의 에너지를 '''정지 에너지'''라고 한다.

둘 이상의 입자로 구성된 계에서는, 운동량 중심계 안에서 입자는 각각 운동하고, 기본적인 힘에 의해 상호 작용한다. 이때, 입자의 운동 에너지 및 위치 에너지의 총 에너지는 입자의 정지 질량의 합보다 커지며, 계의 불변 질량에 기여한다. 관측자에 의해 계산되는 입자의 운동 에너지의 합은 운동량 중심계 (또는, 계가 경계를 가질 경우 정지계)에서 최소이다.

3. 여러 입자로 구성된 계의 불변 질량

여러 입자로 구성된 계의 불변 질량은 계 구성 요소의 운동 에너지 질량을 포함하며, 이 질량은 운동량 중심 좌표계에 남아 있다. 따라서 계의 불변 질량은 개별 구성 요소의 불변 질량(정지 질량)의 합보다 클 수 있다. 예를 들어, 개별 광자는 정지 질량과 불변 질량이 0이지만, 계의 불변 질량에는 질량을 더할 수 있다.^[1] 이러한 이유로 불변 질량은 일반적으로 가산량이 아니다. 다만, 잠재 에너지나 운동 에너지가 없는 계의 질량 입자를 총 질량에 더할 수 있는 몇 가지 드문 상황에서는 가산량이 될 수 있다.^[1]

두 물체 계에서, 물체 A가 정지해 있는 다른 물체 B를 향해 움직일 때(특정 기준 프레임에서), 이 두 물체 계의 불변 질량은 정지 질량의 합과 다르다. 순 운동량이 0인 운동량 중심 프레임에서 동일한 계를 고려하더라도, 계의 불변 질량은 계 내 입자의 정지 질량의 합과 같지 않다.^[1]

입자의 운동 에너지와 힘장의 위치 에너지는 총 에너지를 입자 정지 질량의 합보다 증가시키며, 두 항 모두 계의 불변 질량에 기여한다. 이들은 하나 이상의 기본 힘을 통해 상호 작용하여 음수일 수 있는 상호 작용의 위치 에너지를 제공한다.^[1]

단일 또는 복수의 물체로 구성된 계의 불변 질량은 계의 총 에너지 및 운동량의 특성과 관계가 있다. 불변 질량은 어떤 스케일에서 측정되는 계의 질량과 같다.^[1]

3. 1. 운동량 중심 좌표계

운동량 중심 좌표계(영운동량계)에서 고립된 계의 질량 중심은 안정된 속도로 직선 운동을 한다. 관측자는 항상 그에 따라 운동할 수 있다. 이 좌표계에서는 계의 총 운동량이 0이 된다. 이러한 계는 경계가 있는 계(예: 기체가 들어있는 병)라면 전체적으로 "정지해 있는" 것으로 간주할 수 있다. 불변 질량은 정지계의 총 에너지를 ''c''²로 나눈 값과 같다. 여기서 ''c''는 광속이다. 이를 질량-에너지 등가원리라고 한다.^[1] 운동량 중심계의 총 에너지는 다양한 관성 좌표계에서 다양한 관측자가 관측하는 에너지 중 '''최소''' 에너지이다. 이때의 에너지를 '''정지에너지'''라고 한다.^[1]

둘 이상의 입자로 구성된 계에서, 운동량 중심계 안의 입자는 각각 운동하고 기본적인 힘에 의해 상호 작용한다. 이때 입자의 운동 에너지 및 위치 에너지의 총 에너지는 입자의 정지 질량의 합보다 커지며, 계의 불변 질량에 기여한다. 관측자가 계산하는 입자의 운동 에너지 합은 운동량 중심계(또는 계가 경계를 가질 경우 정지계)에서 최소가 된다.^[1]

4. 입자 물리학에서의 불변 질량

입자 물리학에서 불변 질량은 에너지 ''E''와 운동량 '''p'''의 조합으로 계산되며, 모든 기준틀에서 동일한 값을 갖는다. 이 값은 입자의 정지 질량과 같다.

어떤 방향의 운동량을 측정할 수 없는 경우(예: 중성미자처럼 결손 에너지로만 존재를 추론할 수 있는 경우)에는 횡 질량이 사용된다.

4. 1. 에너지-운동량 관계

입자 물리학에서 불변 질량은 입자의 에너지 ''E''와 운동량 '''p'''의 조합으로 계산되며, 모든 기준틀에서 동일한 값을 갖는다. 이 값은 입자의 정지 질량과 같다. 불변 질량 ''m''₀는 에너지-운동량 관계를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

m_0^2 c^2 = \left( \frac{E}{c} \right) ^2 - \left\| \mathbf{p} \right\| ^2

자연 단위계(광속 ''c'' = 1)에서는 다음과 같이 표현된다.

:

m_0^2 = E^2 - \left\| \mathbf{p} \right\| ^2 .

이 식은 불변 질량이 사원 벡터 (''E'', '''p''')의 유사 유클리드 길이임을 나타내며, 상대론적 버전의 피타고라스 정리를 사용하여 계산된다. 이 길이는 로렌츠 부스트나 회전 하에서도 보존된다.

단일 입자가 붕괴될 때, 붕괴 생성물의 에너지와 운동량으로 계산된 불변 질량은 붕괴 전 입자의 질량과 같다. 여러 입자들로 이루어진 시스템의 경우, 불변 질량은 다음 식으로 계산할 수 있다.

:

\left( W c^2 \right) ^2 = \left( \sum E \right) ^2 - \left\| \sum \mathbf{p} c \right\| ^2 ,

여기서,

$W$ 는 입자 시스템의 불변 질량 (붕괴 입자의 질량과 같음)
$\sum E$ 는 입자 에너지의 합
$\sum \mathbf{p}$ 는 입자 운동량의 벡터 합 (운동량의 크기와 방향 모두 포함)

불변 질량은 비탄성 산란 실험에서도 사용된다. 반응의 불변 질량(또는 "누락 질량") ''W''는 다음과 같이 정의된다(자연 단위계).

:

W^2 = \left( \sum E_\text{in} - \sum E_\text{out} \right) ^2 - \left\| \sum \mathbf{p}_\text{in} - \sum \mathbf{p}_\text{out} \right\| ^2 .

만약 실험에서 특정 입자가 검출되지 않으면, 불변 질량 그래프에서 해당 입자의 질량에 해당하는 위치에서 큰 피크가 나타난다.

4. 2. 붕괴 과정에서의 불변 질량

불변 질량은 붕괴 과정에서 보존되는 양으로, 단일 입자가 붕괴하여 생성된 입자들의 에너지와 운동량을 통해 계산할 수 있다. 이 값은 붕괴 전 입자의 질량과 같다. 입자계의 불변 질량은 다음 공식으로 계산한다.

:

\left(Wc^2\right)^2= \left(\sum E\right)^2-c^2\left|\sum \boldsymbol{p}\right|^2

여기서,

$W$ 는 입자계의 불변 질량으로, 붕괴한 입자의 질량과 같다.
$\sum E$ 는 입자들의 에너지 총합이다.
$\sum \boldsymbol{p}$ 는 입자들의 운동량을 벡터 합한 것이다. (운동량의 크기와 방향 모두 포함)

4. 3. 비탄성 산란 실험

입자 물리학에서 비탄성 산란 실험의 경우, 반응에 사용된 에너지가 감지된 에너지보다 큰 경우가 있다. (예를 들어, 생성되는 모든 입자가 해당 실험에서 감지되는 것은 아니다.) 이때, 반응의 불변 질량 ( "결손 질량"이라고도 함)는 다음과 같이 정의된다.

:

W^2 = \left(\sum E_{\text{in}} - \sum E_{\text{out}}\right)^2 - \left(\sum \boldsymbol{p}_{\text{in}}- \sum \boldsymbol{p}_{\text{out}}\right)^2

만약 실험에서 계에서 우세한 입자가 감지되지 않은 경우, 불변 질량의 플롯은 손실된 입자의 불변 질량 점에서 크게 피크를 나타낸다.

5. 두 입자 충돌의 예시

두 입자 충돌(또는 붕괴)에서 불변 질량의 제곱은 (자연 단위계에서) 다음과 같이 주어진다.

: $M^2 = (E_1+E_2)^2-|\boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2|^2= m_1^2 + m_2^2 + 2\left(E_1 E_2 - \boldsymbol{p}_1 \cdot \boldsymbol{p}_2 \right).$

5. 1. 질량이 없는 입자

두 질량 없는 입자로 이루어진 계의 불변 질량은, 두 입자의 운동량 벡터가

\theta

각도를 이룰 때 다음과 같은 식으로 표현된다.

:

M^2 = 2 p_1 p_2 ( 1 - \cos \theta ).

두 입자 충돌(또는 두 입자 붕괴)에서의 불변 질량의 제곱은 (자연 단위계에서는) 다음과 같다.

:

M^2 = (E_1+E_2)^2-|\boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2|^2= m_1^2 + m_2^2 + 2\left(E_1 E_2 - \boldsymbol{p}_1 \cdot \boldsymbol{p}_2 \right).

5. 2. 입자 가속기 실험

입자 충돌기 실험에서 입자의 각 위치는 방위각

\phi

와 유사 랩티

\eta

로 정의되는 경우가 많다. 또한, 횡운동량

p_{T}

가 일반적으로 측정된다. 이 경우 입자가 질량이 없거나 매우 상대론적인(

E \gg m

) 경우, 불변 질량은 다음과 같다.

:

M^2 = 2 p_{T 1} p_{T 2} ( \cosh(\eta_1 - \eta_2) - \cos (\phi_1 - \phi_2) ) .

참조

_[1] 서적 Physics for Scientists and Engineers, Volume 2, page 1073 https://books.google[...] 1997
_[2] 웹사이트 Relativistic Energy http://hyperphysics.[...] Georgia State University 2023-08-28
_[3] 웹사이트 13.6 Relativistic Energy or E = m c^2 https://pressbooks.b[...] 2023-09-07
_[4] 간행물 Development of the Doppler Electron Velocimeter—Theory http://www.prod.sand[...] Sandia National Laboratories 2007-03
_[5] 서적 Thermodynamics and Its Applications https://archive.org/[...] Prentice-Hall 1974
_[6] 문서 http://www.prod.sand[...]
_[7] 서적 Thermodynamics and Its Applications Prentice-Hall

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