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대응원리

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목차

1. 개요

대응원리는 양자 이론이 특정 극한 상황에서 고전 역학을 재현해야 한다는 원리이다. 막스 플랑크와 닐스 보어에 의해 처음 제시되었으며, 양자 이론과 고전 이론 사이의 관계를 설명하는 데 사용되었다. 보어는 양자 운동과 복사 사이의 대응 관계에 주목했고, 1920년 "대응 원리"라는 용어를 처음 사용했다. 폴 디랙은 고전 역학과 양자 역학의 구조를 연결하는 더욱 형식적인 대응 관계를 개발했다. 현대적 관점에서 대응은 양자역학과 고전역학의 근본적인 차이로 인해 항상 가능한 것은 아니며, 일반화된 대응 원리는 새로운 과학 이론이 이전 이론으로 환원되는 것을 의미한다.

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대응원리
지도
기본 정보
이름대응 원리
로마자 표기Daeung wonli
영어 이름Correspondence principle
설명양자역학의 극한에서 고전 역학과 일치해야 한다는 원리
역사적 맥락
제안자닐스 보어
발표 연도1920년
배경보어 모형의 한계
양자역학과 고전역학 간의 관계 규명 필요성
원리
핵심 내용양자수가 커질수록 양자역학적 계산 결과가 고전역학적 계산 결과와 같아져야 함
적용러더퍼드 모형을 보완하여 보어 모형을 정당화
양자역학의 발전과 양자장론의 구축에 기여
의미양자역학과 고전역학의 일관성 확보
양자 이론의 한계 내에서 고전 이론의 타당성 확인
양자수와 고전역학양자수가 매우 큰 극한에서, 양자역학의 계산 결과는 고전역학의 계산 결과와 같아진다
양자수 감소시 양자역학 결과가 고전역학 결과에서 벗어남
추가 설명
파동-입자 이중성드브로이파의 파동-입자 이중성을 설명하는데 중요한 역할 수행
입자 행동과 파동 행동의 연관성을 밝힘
현재 적용현재는 양자 역학이 고전역학을 포함하는 더 일반적인 이론으로 인식됨
양자 역학의 유효성을 입증하는 데 사용됨
양자 효과가 중요하지 않은 경우, 고전적인 근사 계산 방법을 사용하는 데 활용
현대적 중요성여전히 양자 역학을 이해하는데 중요한 개념으로 남아 있음
다양한 응용 분야에서 핵심 원리로 사용됨

2. 역사

막스 플랑크는 1900년 흑체 복사를 연구하면서 에너지 양자 개념을 처음 도입했다.[4][5] 1906년 그는 양자 이론이 특정 한계에서는 고전 역학을 재현해야 하며, 특히 플랑크 상수 ''h''가 무한히 작다고 가정하면 그렇게 된다고 최초로 기술했다.[4][5]

닐스 보어는 원자 모형을 개발하면서 비슷한 아이디어를 사용했다.[6] 1913년 그는 현재 구 양자론으로 알려진 것의 최초 가정을 제시했다.[2] 보어는 1920년 강연에서 "대응 원리"라는 용어를 만들었다.[4][7]

아놀드 조머펠트는 보어의 이론을 개선하여 보어-조머펠트 양자화 조건을 이끌어냈다. 조머펠트는 1921년 대응 원리를 보어의 마법 지팡이 (Bohrs Zauberstab|보어스 차우버슈타프de)라고 언급했다.[8]

보어의 대응 원리는 막스 보른과 좀머펠트가 개발한 "양자화 절차", 그리고 1916년 알베르트 아인슈타인의 플랑크 법칙에 대한 양자적 유도에서 비롯되었다.[9] 보어는 "대응"이라는 단어를 양자 이론과 고전 이론 사이의 대응이 아니라, 양자 운동과 복사 사이의 대응으로 보았다. 그는 1920년에 정상 상태 사이의 가능한 전이 유형과 운동의 다양한 조화 성분 사이에 광범위한 대응 관계가 존재한다고 썼다.[9]

1923년 보어는 논문에서 대응 원리를 전자 모멘트의 조화 성분을 복사 전이의 가능한 발생과 연결하는 조건으로 정의했다. 이는 현대 용어로 선택 규칙을 의미한다.[2]

한스 크라머스는 보어의 대응 원리를 적용하여 슈타르크 효과를 설명했다.[12] 존 반 블렉과 다른 물리학자들도 이 개념을 받아들였고,[13] 보어는 1922년 노벨상을 대응 원리에 대한 연구로 부분적으로 수여받았다.[12]

그러나 1920년대 초, 이 원리에 기반한 물리적 이론은 어려움에 직면했다. 보어, 크라머스, 존 클라터는 BKS 이론을 제시했지만, 에너지 보존 법칙을 부정하여 비판받았다. 보테-가이거 일치 실험은 양자 충돌에서 에너지가 보존됨을 보여주었다.[9]

기존 이론의 문제점에 따라, 하이젠베르크의 행렬 역학과 슈뢰딩거의 파동 역학이 등장하여 구 양자 이론을 대체했다. 이들은 대응 원리를 직접 사용하지 않았으며, 대응은 원리라기보다는 유추에 가까워졌다.[9]

2. 1. 초기: 플랑크와 보어의 공헌

막스 플랑크는 1900년 흑체 복사 연구를 통해 에너지 양자 개념을 처음 도입했다.[4][5] 1906년 플랑크는 양자 이론이 특정 한계(특히 플랑크 상수 ''h''가 0으로 수렴)에서 고전 역학을 재현해야 함을 보였다.[4][5] 이를 통해 그는 열 복사에 대한 플랑크 법칙이 고전적인 예측(큰 파장에서 유효)인 레이리-진스 법칙으로 귀결됨을 보였다.[4][5]

닐스 보어는 원자 모형을 개발하는 과정에서 유사한 아이디어를 사용했다.[6] 1913년 보어는 구 양자론의 최초 가정을 제시했다.[2] 이러한 가정을 통해 그는 수소 원자의 에너지 스펙트럼이 큰 ''n''(궤도 에너지를 나타내는 양자수)에서 고전적인 연속체에 접근함을 보였다.[4] 1920년 보어는 강연에서 "대응 원리"라는 용어를 처음 사용했다.[4][7]

아놀드 조머펠트는 보어의 이론을 개선하여 보어-조머펠트 양자화 조건을 도출했다. 조머펠트는 1921년 대응 원리를 보어의 마법 지팡이 (Bohrs Zauberstab|보어스 차우버슈타프de)라고 언급했다.[8]

2. 2. 보어의 대응 원리

보어의 대응 원리는 두 가지 배경에서 발전하였다. 첫째는 막스 보른과 좀머펠트가 개발한 작용-각 변수 기반의 양자화 절차로, 보어-좀머펠트 모형의 정상 상태에 대한 수학적 기초를 제공했다. 둘째는 1916년 알베르트 아인슈타인이 플랑크 법칙을 양자적으로 유도한 것이다. 아인슈타인은 전자기 복사와 상호작용하는 보어 모형 원자에 대한 통계 역학을 개발하여 자발 방출과 유도 방출을 이끌어냈다. 보어는 고전적 유추와 보어 원자 모형을 사용하여 플랑크의 흑체 복사 공식 유도에서의 불일치를 해결했다.[9]

보어는 처음에 "대응"이라는 단어를 양자 이론과 고전 이론 사이의 대응이 아닌, 양자 운동과 복사 사이의 대응으로 보았다. 그는 1920년에 "정상 상태 사이의 가능한 전이 유형과 운동의 다양한 조화 성분 사이에 광범위한 대응 관계가 존재한다"고 썼다.[9]

보어는 1923년 논문에서 대응 원리를 전자 모멘트의 조화 성분을 복사 전이와 연결하는 조건으로 정의했다.[11] 이는 현대 용어로 선택 규칙에 해당하며, 특정 양자 도약은 고전 모형에 특정 유형의 운동이 존재할 때만 가능하다는 것을 의미한다.[2]

보어는 대응 원리의 두 가지 응용을 제시했다. 첫째, 방출된 복사의 주파수가 적분과 관련되며, 양자수가 클 때 합으로 근사할 수 있음을 보였다.[11] 둘째, 스펙트럼 선의 세기와 양자 도약 속도 사이의 관계를 제시했다.

한스 크라머스는 보어의 대응 원리를 적용하여 슈타르크 효과를 설명했다.[12] 좀머펠트는 회의적이었지만, 크라머스의 연구는 이 원리의 유용성을 입증했다. 존 반 블렉과 다른 물리학자들도 이 개념을 받아들였다.[13] 보어는 1922년 노벨상을 대응 원리에 대한 연구로 부분적으로 수상했다.[12]

그러나 1920년대 초, 이 원리에 기반한 이론은 어려움에 직면했다. 반 블렉과 크라머스의 헬륨 이온화 전위 계산은 실험값과 일치하지 않았다.[9] 보어, 크라머스, 존 클라터는 BKS 이론을 제시했지만, 에너지 보존 법칙을 부정하여 비판받았다. 보테-가이거 일치 실험은 양자 충돌에서 에너지가 보존됨을 보여주었다.[9]

이후 하이젠베르크의 행렬 역학과 슈뢰딩거의 파동 역학이 등장하여 구 양자 이론을 대체했다. 이들은 대응 원리를 직접 사용하지 않았으며, 대응은 원리보다는 유추에 가까워졌다.[9]

2. 3. 발전과 한계

한스 크라머스는 보어의 대응 원리를 적용하여 당시 알려진 분광학적 슈타르크 효과를 설명했다.[12] 존 반 블렉, 크라머스, 하이젠베르크의 분산 이론 연구 등 물리학자들도 이 개념을 받아들였다.[13] 이러한 노력은 준고전적 보어-좀머펠트 원자 이론의 기초가 되었고, 보어는 1922년 노벨상을 대응 원리에 대한 연구로 부분적으로 수상했다.[12]

1920년대 초, 대응 원리에 기반한 물리적 이론은 여러 어려움에 직면했다. 반 블렉과 크라머스가 헬륨의 이온화 전위에 대해 수행한 이론적 계산은 실험값과 크게 달랐다.[9] 보어, 크라머스, 존 클라터는 대응 원리에 기반하면서도 에너지 보존 법칙을 부정하는 새로운 이론적 접근 방식인 BKS 이론을 제시했다. 그러나 볼프강 파울리를 비롯한 여러 학자들은 이 접근 방식을 비판했고, 보테-가이거 일치 실험은 양자 충돌에서 에너지가 보존됨을 보여주었다.[9]

기존 이론이 관찰 결과와 일치하지 않자, 하이젠베르크의 ''움다이퉁'' 논문을 통한 행렬 역학과 슈뢰딩거의 파동 역학이 등장하였다. 이 두 이론은 대응 원리를 직접 사용하지 않았지만, 구 양자 이론을 대체할 만큼 정확했다.

2. 4. 새로운 양자 역학의 등장

행렬 역학(하이젠베르크의 ''움다이퉁'' 논문)과 슈뢰딩거의 파동 역학은 대응 원리를 직접 사용하지 않고 등장했다.[9] 기존 이론이 관찰 결과와 상충하면서, 두 가지 새로운 양자 역학 개념이 등장하였다. 하이젠베르크의 ''움다이퉁'' 논문은 대응 원리에서 영감을 받았지만, 보어를 직접 인용하지는 않았다.[2] 파스쿠알 요르단, 막스 보른과의 협력을 통해 발전된 행렬 역학은 대응 원리와의 연결 없이 수학적 모델을 제시했다. 슈뢰딩거의 파동 역학 역시 이 원리를 사용하지 않았다. 두 접근 방식은 모두 동등하고 구 양자 이론을 대체할 만큼 정확한 것으로 나타났다. 이 새로운 접근 방식들에는 원자 궤도가 없으며, 이에 따라 대응은 원리라기보다는 유추에 가깝게 되었다.[9]

2. 5. 디랙의 대응

폴 디랙은 1920년대 후반에 새로운 양자 이론의 상당 부분을 개발했다. 그는 보어의 대응 원리를 적용하지는 않았지만, 더욱 형식적인 고전-양자 대응 관계를 개발했다.[9] 디랙은 푸아송 괄호로 알려진 고전 역학의 구조를 교환자로 알려진 양자 역학의 유사한 구조와 연결했다.

:\{A, B\} \longmapsto \frac{1}{i \hbar} [\hat{A}, \hat{B}].

이 대응 관계는 이제 정준 양자화라고 불리는데, 디랙은 고전 역학의 수학적 형태가 새로운 양자 역학 수학의 기초로 어떻게 재구성될 수 있는지 보여주었다.

디랙은 하이젠베르크와 크라머스의 분산에 대한 연구를 통해 이러한 연결을 개발했는데, 이 연구는 보어의 대응 원리에 직접적으로 기반을 두었다. 디랙의 접근 방식은 고전 역학과 양자 역학 사이의 연결이라는 보어의 목표를 향한 수학적으로 엄밀한 경로를 제공한다.[9] 디랙은 이 대응 관계를 "원리"라고 부르지는 않았지만, 물리학 교과서에서는 그의 연결을 "대응 원리"라고 부른다.[10]

3. 파동 역학의 고전적 극한

20세기까지 자연 현상을 기술하는 데 고전 역학이 괄목할 만한 성공을 거두었으므로, 양자 역학도 비슷한 상황에서 같은 결과를 얻어야 한다.

막스 보른은 1933년에 다음과 같이 말했다.[2]

경험의 시험으로 판단할 때, 고전 물리학의 법칙들은 모든 운동 과정에서 훌륭하게 자신을 정당화했습니다… 따라서 새로운 역학이 … 이러한 모든 문제에서 고전 역학과 같은 결과에 도달해야 한다는 것은 무조건적으로 필요한 가정으로 설정되어야 합니다.


이 개념을 정량적으로 정의하는 한 가지 방법은 작용 양자가 0으로 갈 때(\hbar \rightarrow 0) 양자 역학 이론이 고전 역학 결과를 생성하도록 요구하는 것이다. 이러한 전이는 두 가지 다른 방법으로 수행될 수 있다.[10]

첫째, 입자는 파동 패킷으로 근사할 수 있으며, 시간에 따른 패킷의 불확정적인 확산은 무시할 수 있다. 1927년, 파울 에렌페스트는 에렌페스트 정리를 증명했는데, 이는 양자 역학에서 평균적으로 뉴턴 운동 법칙이 성립함을 보여준다. 즉, 위치와 운동량의 양자 통계적 기대값은 뉴턴의 법칙을 따른다.[4]

둘째, 개별 입자 관점을 고전 입자의 통계적 혼합으로 대체할 수 있는데, 이때 밀도는 양자 확률 밀도와 일치한다. 이러한 접근 방식은 양자 터널링에 대한 설명에 사용되는 WKB 근사의 개발을 시작으로 반고전 물리학의 개념으로 이어졌다.[10]

4. 현대적 관점

보어는 "대응 원리"를 양자 현상에 대한 그의 기술을 돕는 원리로 보았지만, 양자역학과 고전역학의 수학적 구조 사이의 근본적인 차이로 인해 많은 경우 대응이 불가능하다. 물리학자 애셔 페레스(Asher Peres)는 원리라기보다는 "어떤 상황에서는 고전적 개념과 양자 개념 사이에 근사적인 대응이 있을 수 있다"고 말했다.[14] 양자역학은 이산 공간에서 작동하고 고전역학은 연속 공간에서 작동하기 때문에 어떤 대응도 필연적으로 모호하고 파악하기 어려울 것이다.[14]

양자역학 입문 교재에서는 양자수가 높은 극한[15] 또는 양자 공식에서 플랑크 상수가 0으로 줄어드는 극한(\hbar \rightarrow 0)에서 양자역학이 고전 이론으로 넘어간다고 제안한다.[10] 그러나 이러한 대응이 항상 가능한 것은 아니다. 예를 들어, 고전계는 발산하는 혼돈 궤도를 나타낼 수 있지만 양자 상태는 유니터리하고 고정된 중첩을 유지한다.[14]

4. 1. 일반화된 대응 원리

"일반화된 대응 원리"라는 용어는 과학사 연구에서 새로운 과학 이론이 적절한 상황에서 이전 과학 이론으로 환원되는 것을 의미하는 데 사용되어 왔다.[2] 이는 새로운 이론이 이전 이론이 유효한 것으로 알려진 상황에서 모든 현상을 설명해야 함을 의미하며, 새로운 이론이 이전 이론의 많은 부분을 유지한다는 것을 의미하기도 한다. 일반화된 원리는 고전적 한계 대응과 같이 단일 공식이 아닌 완전한 이론의 여러 측면에 걸쳐 대응 관계를 적용한다.[16] 예를 들어, 알베르트 아인슈타인은 1905년 상대성 이론에 관한 연구에서 고전역학은 갈릴레이 상대성에 의존하지만 전자기학은 그렇지 않다는 점을 지적했으며, 그럼에도 불구하고 둘 다 잘 작동한다는 점을 언급했다. 그는 근사치에서 이러한 별개의 이론으로 환원되는 방식으로 이들을 결합하는 새로운 이론을 제시했다.

역설적이게도 과학 이론에 대한 이 "일반화된 대응 원리" 개념의 유일한 실패 사례는 고전 역학이 양자 역학으로 대체된 것이다.[16]

참조

[1] 논문 Über die Serienspektra der Elemente https://zenodo.org/r[...]
[2] 웹사이트 Bohr's Correspondence Principle 2020-08-13
[3] 서적 Modern Physics W. H. Freeman and Company
[4] 논문 The correspondence principle revisited https://pubs.aip.org[...] 1984-02-01
[5] 서적 Vorlesungen über die Theorie der Warmestrahlung Verlag von Johann Ambrosius Barth
[6] 서적 The conceptual development of quantum mechanics Tomash Publishers, American Institute of Physics
[7] 서적 The Theory of Spectra and Atomic Constitution Cambridge University Press
[8] 서적 Atombau und Spektrallinien https://archive.org/[...]
[9] 서적 From c-Numbers to q-Numbers: The Classical Analogy in the History of Quantum Theory https://www.degruyte[...] University of California Press 1992-12-31
[10] 서적 Quantum mechanics. 1 North-Holland 1976
[11] 서적 On the Application of the Quantum Theory to Atomic Structure: Part I. The Fundamental Postulates. The University Press
[12] 서적 Niels Bohr and the Quantum Atom: The Bohr Model of Atomic Structure 1913–1925 https://academic.oup[...] Oxford University Press 2012-05-17
[13] 논문 On the verge of Umdeutung in Minnesota: Van Vleck and the correspondence principle. Part one http://link.springer[...] 2007-10-09
[14] 서적 Quantum Theory: Concepts and Methods Kluwer
[15] 서적 Quantum chemistry Prentice Hall 1991
[16] 서적 Correspondence, Invariance and Heuristics: In Praise of Conservative Induction http://link.springer[...] Springer Netherlands 1993
[17] 서적 Modern Physics W. H. Freeman and Company
[18] 서적 Modern Physics W. H. Freeman and Company


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