비가측 집합

3. 주요 개념

비탈리 정리에서 임의의 집합에 대한 길이를 정의하는 데 문제가 있을 수 있다는 것이 처음 나타났다.^[1] 모든 집합이 측도를 가질 수 있는 것은 아니며, '가측 집합'이라는 특정한 집합들에 대해서만 측도가 정의된다. 표준 측도론에서는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 공리를 바탕으로 가측 집합의 패밀리(family)를 정의한다.

두 개의 서로소 집합의 합집합의 측도는 두 집합의 측도의 합과 같을 것으로 예상되는데, 이러한 속성을 가진 측도를 "유한 가산적"이라고 한다. 유한 가산적 측도는 넓이에 대한 대부분의 직관에 충분하며, 리만 적분과 유사하지만, 확률에는 충분하지 않은 것으로 간주된다.

선택 공리를 사용하면 비가측 집합을 구성할 수 있는데, 비탈리 집합은 르베그 비가측 집합의 대표적인 예시이다.

단위 원 $S$ 내의 모든 점의 집합을 고려하고, 모든 유리수 회전($\backslash pi$의 유리수 배수로 회전)으로 구성된 군 $G$에 의한 작용을 생각하면, $G$는 가산 집합($\backslash Q/\backslash Z$와 동형)이고 $S$는 비가산 집합이므로, $S$는 $G$에 따라 비가산 개의 궤도로 나뉜다. 선택 공리를 사용하여 각 궤도에서 단일 점을 선택하면, $G$에 의한 변환이 상호소진되는 속성을 가진 비가산 부분 집합 $X\; \backslash subset\; S$를 얻을 수 있다.^[3] 이 변환 집합은 원을 가산 개의 서로소 집합으로 분할하며, 이들은 모두 합동이다. 이 집합 $X$는 $S$에 대한 모든 회전 불변 가산 가법 확률 측도에 대해 비측정 가능하다. 만약 $X$가 영 측도를 가지면, 가산 가법성은 전체 원이 영 측도를 가짐을 의미하고, $X$가 양의 측도를 가지면 원이 무한 측도를 가짐을 보여준다.

표준 측도론에서는 가측 집합의 패밀리를 정의하는데, 이는 매우 풍부하며 대부분의 수학 분야에서 명시적으로 정의된 거의 모든 집합이 이 패밀리에 속한다.

3. 1. 측도

3. 2. 가측 집합

3. 3. 비가측 집합

4. 바나흐-타르스키 역설

바나흐-타르스키 역설은 반지름 1인 3차원 구를 5개의 부분으로 분해하여 반지름 1인 두 개의 구를 형성하도록 재조립할 수 있다는 역설이다.^[2] 이는 3차원에서 부피를 정의할 때 다음 중 하나를 양보해야 함을 의미한다.

• 집합의 부피는 회전될 때 변할 수 있다.
• 두 개의 서로소 집합의 합집합의 부피는 각 부피의 합과 다를 수 있다.
• 일부 집합은 "비가측"으로 태그될 수 있으며, 부피를 논하기 전에 집합이 "가측"인지 확인해야 한다.
• 선택 공리를 포함한 ZFC의 공리를 변경해야 한다.
• $[0,1]^3$의 부피는 $0$ 또는 $\backslash infty$이다.

4. 1. 역설의 해결

4. 2. 선택 공리와의 관계

5. 응용

측도론은 확률론, 실해석학, 푸리에 해석, 에르고딕 이론 등 다양한 수학 분야의 기초가 된다. 측도론은 물리학, 공학, 경제학 등 여러 응용 분야에서도 중요한 역할을 한다.

참조

_[1] 서적 Zermelo's Axiom of Choice Springer-Verlag 1982
_[2] 논문 A Combinatorial Proof of the Existence of Dense Subsets in $\backslash mathbb\{R\}$ without the "Steinhaus" like Property 2022-12
_[3] 논문 On the Maximum Number of Translates in a Point Set 2010-01