순서론
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
1. 개요
순서론은 수학의 한 분야로, 집합 내 원소들 간의 순서를 연구한다. 부분 순서, 전순서, 격자 등 다양한 순서 유형과 관련된 개념들을 다루며, 이항 관계를 통해 정의된다. 순서론은 19세기 후반에 등장하여 조지 불, 찰스 샌더스 퍼스 등의 연구를 통해 발전했으며, 개럿 비르크호프에 의해 'poset'라는 용어가 사용되었다. 순서론은 집합론, 산술, 이항 관계를 바탕으로 하며, 최대 원소, 최소 원소, 극대 원소, 극소 원소, 상계, 하계, 상한, 하한 등의 개념을 포함한다. 순서를 시각화하는 데는 Hasse diagram이 사용되며, 쌍대 순서, 데카르트 곱, 분리합집합 등을 통해 새로운 순서를 구성할 수 있다. 순서론은 단조 함수, 순서 반사 함수, 순서 반전 함수 등의 함수와 순서 동형 사상, 갈루아 연결, 폐포 연산자 등과 같은 개념을 포함한다. 또한, 완비성, 보편 대수학, 위상수학, 범주론 등 다양한 분야와 관련되어 연구된다.
더 읽어볼만한 페이지
| 순서론 |
|---|
2. 역사
순서 개념은 수학에서 널리 사용되지만, 부분 순서에 대한 명시적인 언급은 19세기에 조지 불의 연구에서 처음으로 찾아볼 수 있다. 찰스 샌더스 퍼스, 리하르트 데데킨트, 에른스트 슈뢰더의 연구에서도 순서론 개념이 다루어졌다.
순서 기하학 발전에 기여한 인물로는 파슈가 1882년에 측정에 의존하지 않고 순서 기하학을 개발할 수 있음을 처음으로 지적했고, 이후 페아노(1889), 힐베르트(1899), 베블렌(1904)이 그의 공리계를 개선했다.
1901년 버트런드 러셀은 "순서의 개념에 관하여"를 저술하여 직렬 관계를 통해 순서 개념의 기초를 탐구했다. 그는 이진 관계에서 순서와 직렬의 근원을 찾았고, 이마누엘 칸트가 비대칭 관계의 논리적 중요성을 처음으로 주목했다고 언급했다.
부분 순서 집합을 나타내는 ''poset''라는 용어는 개럿 비르크호프가 그의 저서 ''격자 이론'' 2판에서 처음 사용한 것으로 알려져 있다.
2. 1. 한국 사회와 순서
한국 사회는 전통적으로 유교 문화의 영향을 받아 연장자, 선배, 상급자를 존중하는 위계질서가 강하게 나타난다. 이러한 위계질서는 존댓말과 같은 언어 사용, 행동 양식, 조직 문화 등 다양한 측면에 영향을 미친다. 현대 사회에서는 전통적인 위계질서와 함께 능력, 성과 등을 기준으로 하는 새로운 순서 개념이 등장하면서, 다양한 갈등과 변화가 나타나고 있다. 예를 들어, 직장 내 세대 갈등, 능력주의에 대한 논쟁 등이 있다.3. 기본 정의
순서론은 집합론, 산술, 이항 관계의 개념을 바탕으로 순서 집합을 정의한다.
수학 및 컴퓨터 과학과 같은 관련 분야에서 순서는 어디에나 존재한다. 예를 들어 초등학교에서 가장 먼저 배우는 자연수의 표준 순서("2는 3보다 작다", "10은 5보다 크다")가 있다. 이 개념은 정수, 실수 등 다른 수 체계로 확장 가능하다.[3] 사전에 있는 단어의 알파벳순과 사람들의 계보적 특성인 직계 혈통과 같이 순서의 다른 예시도 존재한다.
순서는 포함 또는 전문화의 개념을 포착할 수 있는데, 추상적으로 부분 집합 관계와 같다. 예를 들어, "소아과 의사는 의사이다"와 같이 표현할 수 있다.
자연수에서 "작다" 또는 단어에 대한 알파벳순과 같이 일부 순서는 각 요소를 다른 요소와 비교할 수 있는 특별한 속성을 가진다. 그러나 집합 모음에 대한 부분 집합 순서와 같이 ''비교할 수 없는'' 요소가 존재하는 순서를 ''부분 순서''라고 하며, 모든 요소 쌍을 비교할 수 있는 순서를 ''전순서''라고 한다.
순서 이론은 이러한 예에서 발생하는 순서의 직관을 일반적인 설정에서 포착한다. 이는 수학적 순서가 되기 위해 관계 ≤가 가져야 하는 속성을 지정하여 달성된다.
3. 1. 부분 순서 집합 (Partially Ordered Set, Poset)
부분 순서 집합은 반사적, 반대칭적, 추이적인 이항 관계(≤)가 주어진 집합이다.[3] 즉, 집합 P의 모든 원소 a, b, c에 대해 다음이 성립한다.- a ≤ a (반사성)
- a ≤ b이고 b ≤ a이면 a = b (반대칭성)
- a ≤ b이고 b ≤ c이면 a ≤ c (추이성)
부분 순서가 주어진 집합을 부분 순서 집합, 포셋(poset) 또는 단순히 순서 집합이라고 한다.[4] 자연수, 정수, 유리수, 실수에 대한 크기 순서(≤)는 모두 부분 순서 집합이다.[4]
하지만, 부분 집합 관계처럼 임의의 두 원소를 비교할 수 없는 경우가 존재한다. 예를 들어, 집합 {1, 2, 3}과 {1, 4}는 어느 한쪽이 다른 쪽의 부분 집합이 아니므로, 부분 집합 관계에서는 서로 비교할 수 없다.[1] 이러한 경우를 부분 순서라고 하며, 모든 원소가 서로 비교 가능한 순서는 전순서라고 한다.[1]
나눗셈 관계 "|" 도 부분 순서의 예시이다. 두 자연수 n과 m에 대해, n이 m을 나머지 없이 나누면 n|m으로 표현한다. 예를 들어, 3은 13을 나누지 않고 13도 3을 나누지 않으므로, 3과 13은 나눗셈 관계에서 비교할 수 없는 요소이다.[4]
항등 관계 "="는 모든 두 원소가 비교 불가능한 부분 순서이다. 이는 부분 순서이면서 동치 관계인 유일한 관계이다.[4]
3. 2. 전순서 집합 (Totally Ordered Set)
부분 순서 집합의 모든 원소가 서로 비교 가능한 집합을 전순서 집합이라고 한다. 즉, 전순서 집합에서는 임의의 두 원소 a, b에 대해 a ≤ b 또는 b ≤ a가 항상 성립한다.자연수, 정수, 유리수, 실수 집합은 모두 전순서 집합의 예시이다. 하지만 부분 집합 관계는 전순서가 아닌데, 예를 들어 집합 A = {1, 2, 3}, B = {1, 4}가 있을 때, A와 B는 서로 포함 관계가 없으므로 비교할 수 없다.
전순서는 '''선형 순서''' 또는 '''사슬'''이라고도 불린다. 또 다른 예로, 나눗셈 관계 '|'에서 두 자연수 n과 m에 대해 n이 m을 나머지 없이 나눌 때 n|m으로 표현하는데, 이는 부분 순서를 생성한다. 예를 들어, 3과 13은 서로 나눌 수 없으므로 정수 집합에서 나눗셈 관계에서 비교할 수 없는 요소이다.
3. 3. 특수한 원소
부분 순서 집합에는 다음과 같은 특수한 원소들이 존재할 수 있다.| 용어 | 설명 |
|---|---|
| 최대 원소 | 자신을 제외한 어떤 원소보다도 큰 원소. |
| 최소 원소 | 자신을 제외한 어떤 원소보다도 작은 원소. |
| 극대 원소 | 어떤 원소보다도 작지 않은 원소. |
| 극소 원소 | 어떤 원소보다도 크지 않은 원소. |
| 상계 | 부분 순서 집합의 부분 집합에 포함된 어떤 원소보다도 같거나 큰 원소. |
| 하계 | 부분 순서 집합의 부분 집합에 포함된 어떤 원소보다도 작거나 같은 원소. |
| 상한 | 상계 중 가장 작은 원소. |
| 하한 | 하계 중 가장 큰 원소. |
예를 들어 집합 {2, 3, 4, 5, 6}에서 약수 관계(원소 a가 원소 b를 나눌 경우 "a는 b보다 작거나 같다"로 정의)를 생각해 보자.
- 모든 원소를 나누거나 모든 원소에 의해 나뉘는 원소가 없으므로 최대 및 최소 원소는 존재하지 않는다.
- 2, 3, 5는 자신을 제외한 원소에 의해 나뉘지 않으므로 극소 원소이다.
- 4, 5, 6은 자신을 제외한 원소를 나누지 않으므로 극대 원소이다.
극대 원소의 존재를 증명할 때는 초른 보조정리가 중요하게 쓰인다.
최소 원소에는 0 표기가 자주 사용되지만, 숫자를 다루지 않는 경우에도 그렇다. 그러나 숫자의 집합에 대한 순서에서는 이 표기가 부적절하거나 모호할 수 있는데, 숫자 0이 항상 최소가 아니기 때문이다. 최소 및 최대 원소는 존재하지 않을 수 있다. 그러나 존재한다면, 항상 고유하다. 무한 poset에서 극대 원소가 항상 존재하는 것은 아니다. 특정 조건에서 극대 원소의 존재를 보장하는 중요한 도구는 '''Zorn의 보조정리'''이다.
부분 순서 집합의 부분 집합은 순서를 상속받는다. 두 숫자의 최소 상한은 둘 다에 의해 나누어지는 가장 작은 숫자, 즉 숫자의 최소 공배수이다. 반대로 최대 하한은 최대 공약수에 의해 주어진다.
4. 순서의 시각화
Hasse diagram은 부분 순서 집합의 원소와 관계를 시각적으로 나타내는 그래프이다. 이는 그래프 드로잉의 한 유형으로, 정점은 포셋의 원소이고 순서 관계는 변과 정점의 상대적 위치 모두에 의해 표시된다. 순서는 하단에서 위로 그려진다. 즉, 원소 ''x''가 ''y''보다 작으면(''x'' ≤ ''y'') ''x''에서 ''y''까지 위쪽으로 향하는 경로가 존재한다. 원소를 연결하는 변이 서로 교차해야 하는 경우가 많지만, 원소는 변 내부에 위치해서는 안 된다.
일부 무한 집합도 유한 부분 순서에 줄임표(...)를 겹쳐서 다이어그램으로 나타낼 수 있다. 이는 자연수에 잘 작동하지만, 0 위에 즉시 다음 원소가 없는 실수의 경우에는 실패한다.
5. 순서의 구성
주어진 순서로부터 새로운 순서를 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다. 쌍대 순서가 그 한 예시이다. 또 다른 중요한 구성 방법은 두 부분 순서 집합의 데카르트 곱을 요소 쌍에 대한 곱 순서와 함께 사용하는 것이다. 순서는 (''a'', ''x'') ≤ (''b'', ''y'')인 경우(그리고 그 경우에만) ''a'' ≤ ''b''이고 ''x'' ≤ ''y''로 정의된다. (이 정의에서 관계 기호 ≤의 세 가지 다른 의미가 있음에 주의해야 한다.) 두 포셋의 분리합집합은 순서 구성의 또 다른 전형적인 예시이며, 여기서 순서는 원래 순서의 (분리된) 합집합이다.
모든 부분 순서 ≤는 ''a'' ≤ ''b''이고 ''b'' ≤ ''a''가 아닌 경우 ''a'' < ''b''로 정의함으로써 소위 강한 순서 <를 생성한다. 이 변환은 ''a'' < ''b'' 또는 ''a'' = ''b''인 경우 ''a'' ≤ ''b''로 설정하여 반전될 수 있다. 두 개념은 동일하지만, 어떤 상황에서는 다른 개념보다 더 편리하게 사용할 수 있다.
6. 순서 간의 함수
부분 순서 집합 간의 함수는 순서 관계를 보존하거나 반영하는지에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.
- '''단조성''': 포셋 ''P''에서 포셋 ''Q''로의 함수 ''f''가 ''P''에서 ''a'' ≤ ''b''일 때 ''Q''에서 ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'')를 만족하면 '''단조''' 또는 '''순서 보존'''이라고 한다.
- '''순서 반사 함수''': 함수 ''f''에 대해 ''f''(''a'') ≤ ''f''(''b'')가 ''a'' ≤ ''b''를 의미하는 함수이다.
- '''순서 반전 함수''': ''a'' ≤ ''b''가 ''f''(''a'') ≥ ''f''(''b'')를 의미하는 함수이다. '''반단조''' 함수라고도 한다.
- '''순서 매장''': 순서를 보존하고 순서를 반사하는 함수이다.
- '''순서 동형 사상''': 단조 역함수를 갖는 단조 전단사 함수이다. 전사 순서 매장과 같다.
- '''갈루아 연결''': 순서 동형 사상의 일반화로, 서로 "거의" 역은 아니지만 밀접한 관계가 있는 서로 반대 방향의 두 함수 쌍이다.
- '''폐포 연산자''': 멱등성(''f''(''x'') = ''f''(''f''(''x'')))과 확대성(''x'' ≤ ''f''(''x''))을 갖는 단조 함수이다.
이 외에도 극한 보존 함수와 같이 특수한 요소 및 구성을 보존하는 함수들이 있다. 또한, 두 포셋 ''P''와 ''Q'' 간의 함수는 점별 순서를 통해 정렬될 수 있다.
7. 특수한 순서 유형
순서론에서는 다양한 특수한 순서 유형이 연구된다. 모든 요소 쌍을 비교할 수 있는 순서를 전순서라고 하며, 선형 순서 또는 사슬이라고도 한다. 자연수, 정수, 유리수, 실수에 대한 순서가 전순서의 예시이다. 반면, '비교할 수 없는' 요소가 존재하는 순서를 부분 순서라고 한다. 집합에 대한 부분 집합 순서는 부분 순서의 예시이다. 또 다른 예시는 나눗셈 관계인데, 예를 들어 3과 13은 정수 집합의 나눗셈 관계에서 비교할 수 없는 요소이다. 임의의 집합에 대한 항등 관계 = 도 모든 두 개의 서로 다른 요소가 비교 불가능한 부분 순서이다.
8. 완비성
순서론( Order theory영어)에서, 특정 집합의 하한과 상한의 존재 여부에 따라 다음과 같은 순서 유형이 정의된다.
9. 관련 분야
순서론은 수학의 여러 분야와 밀접하게 관련되어 있다.
초등학교에서 배우는 자연수의 순서("2는 3보다 작다" 등)는 정수, 실수 등으로 확장된다. 이러한 '크고 작음'의 개념은 수 체계의 기본이며, 뺄셈과는 다른 개념이다. 사전의 알파벳순이나 계보에서의 직계 혈통도 순서의 예시이다.
순서는 "소아과 의사는 의사이다"와 같은 포함 관계를 나타내기도 한다. 부분 집합 관계("새의 집합과 개의 집합은 모두 동물의 집합의 부분 집합이다")처럼 비교 불가능한 요소가 있는 순서를 부분 순서라 하고, 모든 요소가 비교 가능한 순서를 전순서라 한다.
순서 이론은 이러한 순서의 개념을 추상화하여 일반적인 성질을 연구한다. 이는 특정 순서에 얽매이지 않고 다양한 분야에 적용 가능한 통찰력을 제공한다.
순서의 광범위한 활용으로 인해 다양한 특수 순서 집합이 정의되었고, 일부는 독자적인 수학 분야로 발전했다. 순서 이론은 순서 관계뿐만 아니라 단조 함수와 같이 순서 관계를 보존하는 함수도 연구한다.
9. 1. 보편 대수학 (Universal Algebra)
보편 대수학의 방법론과 형식주의는 많은 순서론적 고찰에 중요한 도구이다.[1] 특정 항등식을 만족하는 대수적 구조 측면에서 순서를 공식화하는 것 외에도, 대수학과의 다른 연결을 설정할 수도 있다.[1] 예시는 불 대수와 불 링 간의 대응 관계에서 찾을 수 있다.[1] 다른 문제들은 주어진 생성자 집합을 기반으로 하는 자유 격자와 같은 자유 대상의 존재와 관련이 있다.[1] 또한, 폐포 연산자는 보편 대수학 연구에서 중요하다.[1]9. 2. 위상수학 (Topology)
위상수학에서 순서는 매우 중요한 역할을 한다. 실제로, 열린 집합들의 모임은 완비 격자, 더 정확히는 완비 헤이팅 대수 (또는 "'''프레임'''" 또는 "'''로케일'''")의 고전적인 예를 제공한다. 필터와 넷은 순서 이론과 밀접하게 관련된 개념이며, 집합의 폐포 연산자는 위상을 정의하는 데 사용될 수 있다. 이러한 관계 외에도 위상수학은 열린 집합 격자만으로 볼 수 있으며, 이는 무점 위상수학 연구로 이어진다. 또한, 위상의 기본 집합의 원소에 대한 자연스러운 전순서는 소위 특수화 순서에 의해 제공되며, 이는 위상이 T0일 경우 부분 순서가 된다.반대로, 순서 이론에서는 위상학적 결과를 자주 사용한다. 순서의 부분 집합을 위상의 열린 집합으로 간주할 수 있는 다양한 방법이 있다. 순서 집합 (''X'', ≤)에 위상을 고려하여 특수화 순서 ≤를 유도하면, 그러한 위상 중 가장 미세한 위상은 모든 상집합을 열린 집합으로 취하는 알렉산드로프 위상이다. 반대로, 특수화 순서를 유도하는 가장 거친 위상은 상위 위상이며, 주 아이디얼의 여집합 (즉, 어떤 ''x''에 대해 {''y'' in ''X'' | ''y'' ≤ ''x''} 형태의 집합)을 준기저로 갖는다. 또한, 특수화 순서 ≤를 갖는 위상은 순서 일관성을 가질 수 있으며, 이는 열린 집합이 (≤에 관하여) "방향성 상한에 의해 접근 불가능"하다는 의미이다. 가장 미세한 순서 일관성 위상은 스코트 위상이며, 이는 알렉산드로프 위상보다 거칠다. 이와 유사한 세 번째 중요한 위상은 로슨 위상이다. 이러한 위상과 순서 이론의 개념 사이에는 밀접한 관계가 있다. 예를 들어, 함수가 방향성 상한을 보존하는 것은 스코트 위상에 관하여 연속인 경우에만 해당한다(이러한 이유로 이 순서 이론적 속성은 스코트-연속성이라고도 한다).
9. 3. 범주론 (Category Theory)
순서론의 많은 개념은 범주론의 개념과 유사하다. 예를 들어, 하한은 범주적 곱과 같으며, 범주적 극한 개념을 통해 하한과 상한을 나타낼 수 있다. (단조) 갈루아 연결은 수반 함자 쌍과 동일하게 볼 수 있다.범주론에서 요소는 객체이고, 두 요소 간의 사상 집합은 최대 단일 요소이다. 순서 간의 함수는 범주 간의 함자가 된다. 이러한 관점에서, 포셋(poset)의 클래스는 범주를 형성하며, 곱 순서와 같은 순서 구성을 범주론적으로 나타낼 수 있다. 또한, 순서의 범주가 위상 공간의 범주와 범주적 동치를 이룰 때, 스톤 쌍대성으로 이어지는 다양한 표현 정리가 가능하다.
참조
[1]
간행물
Poc sets, median algebras and group actions. An extended study of Dunwoody's construction and Sageev's theorem
http://www.personal.[...]
Southampton Preprint Archive
1998
[2]
저널
Mind
1901
[3]
서적
Versuch den Begriff der negativen Grosse in die Weltweisheit einzufuhren
1763
[4]
웹사이트
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)
http://jeff560.tripo[...]
본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.
문의하기 : help@durumis.com