상대 콤팩트 집합
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1. 개요
상대 콤팩트 집합은 위상 공간의 부분 집합으로, 그 폐포가 콤팩트한 집합이다. 콤팩트 공간의 모든 부분 집합은 상대 콤팩트하며, 하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하다. 거리화 가능 공간에서, 부분 집합이 상대 콤팩트 집합일 필요충분조건은 그 부분 집합 안의 모든 점렬이 전체 공간에서 수렴하는 부분 점렬을 갖는 것이다. 상대 콤팩트 집합은 함수 공간, 수론의 기하학, 거의 주기 함수 등 다양한 분야에서 응용된다. 특정점 위상 공간에서 특정 점의 근방은 콤팩트하지만 폐포가 콤팩트하지 않아 상대 콤팩트 집합이 아닌 반례가 될 수 있다.
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- 위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다. - 위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.
| 상대 콤팩트 집합 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 정의 | 위상 공간의 부분 공간이 원래 공간에서 상대적으로 콤팩트하다는 것은 해당 부분 공간의 폐쇄가 콤팩트하다는 것을 의미한다. |
| 다른 표현 | 미완성 공간 부분적으로 콤팩트 콤팩트화 가능 |
| 예시 | |
| 예시 1 | 모든 콤팩트 부분 공간은 상대적으로 콤팩트하다. |
| 예시 2 | 실수선 R의 유계 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하다. |
| 예시 3 | 유클리드 공간 Rⁿ의 유계 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하다. |
| 예시 4 | 힐베르트 공간의 부분 집합이 상대적으로 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 완전 유계라는 것이다. |
| 성질 | |
| 성질 1 | 위상 공간 X의 부분 집합 Y가 X에서 상대적으로 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 X의 모든 초필터가 Y에 있는 필터 베이스를 갖는다는 것이다. |
| 성질 2 | 위상 공간 X의 부분 집합 Y가 X에서 상대적으로 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 X의 모든 그물이 Y에 있는 그물 기초를 갖는다는 것이다. |
| 참고 문헌 | |
| 참고 문헌 | Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. 27. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4. |
| 관련 항목 | |
| 관련 항목 | 콤팩트 공간 |
2. 성질
콤팩트 공간의 닫힌 부분공간은 콤팩트하므로, 콤팩트 공간의 모든 부분공간은 상대 콤팩트하다. 거리화 가능 공간 의 부분 집합 가 상대 콤팩트할 필요충분조건은 속의 모든 점렬이 속에서 수렴하는 부분 점렬을 갖는지 여부이다. 이는 거리화 가능 공간의 경우 콤팩트 공간의 개념이 점렬 콤팩트 공간의 개념과 일치하기 때문이다.
하우스도르프 공간의 모든 콤팩트 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하다. 그러나 무한 집합에 대한 특정점 위상과 같은 비하우스도르프 공간에서 콤팩트 부분 집합의 폐포는 반드시 콤팩트하지는 않다. 다르게 말하면, 비하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하지 않을 수 있다.
몇 가지 주요 정리는 상대적으로 콤팩트한 부분 집합, 특히 함수 공간에서 특징지어진다. 예로는 Arzelà–Ascoli 정리가 있다. 다른 경우로는 균등 적분 가능성 및 복소해석학에서의 정규족 개념과 관련이 있다. 수론의 기하학에서의 Mahler의 콤팩트성 정리는 특정 비콤팩트 균질 공간 (구체적으로 격자 공간)에서의 상대적 콤팩트 부분 집합을 특징짓는다.
2. 1. 일반적인 위상 공간에서의 성질
콤팩트 공간의 닫힌 부분공간은 콤팩트하므로, 콤팩트 공간의 모든 부분공간은 상대 콤팩트하다. 콤팩트 위상 공간의 모든 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하며, 임의의 위상 공간에서 상대적으로 콤팩트한 집합의 모든 부분 집합 또한 상대적으로 콤팩트하다.하우스도르프 공간의 모든 콤팩트 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하다. 그러나 무한 집합에 대한 특정점 위상과 같은 비하우스도르프 공간에서는 콤팩트 부분 집합의 폐포가 반드시 콤팩트하지는 않다. 즉, 비하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합은 상대적으로 콤팩트하지 않을 수 있다.
비하우스도르프 위상 벡터 공간의 모든 콤팩트 부분 집합은 완비이고 상대적으로 콤팩트하다.
2. 2. 거리화 가능 공간에서의 성질
거리화 가능 공간 \(X\)의 부분 집합 \(Y\)가 상대 콤팩트할 필요충분조건은 \(Y\) 안의 모든 점렬이 \(X\)에서 수렴하는 부분 점렬을 갖는다는 것이다. 이는 거리화 가능 공간에서 콤팩트 공간과 점렬 콤팩트 공간 개념이 같기 때문이다.2. 3. 위상 벡터 공간에서의 성질
(비하우스도르프일 수도 있는) 위상 벡터 공간에서, 모든 콤팩트 부분 집합은 완비이고 상대 콤팩트하다.3. 응용
상대 콤팩트 집합은 여러 분야에 응용된다. 함수 공간에서는 아르첼라-아스콜리 정리를 통해 상대 콤팩트 부분 집합을 특정지을 수 있으며, 이는 균등 적분 가능성 및 복소해석학의 정규족 개념과 관련된다. 수론의 기하학에서는 Mahler의 콤팩트성 정리가 격자 공간과 같은 비콤팩트 균질 공간에서 상대 콤팩트 부분 집합을 다룬다. 거의 주기 함수는 함수의 평행 이동이 상대 콤팩트 집합이 되는 개념과 관련이 있는데, 이는 특정 이론에서 사용되는 위상에 따라 달라진다.
3. 1. 함수 공간
함수 공간에서 상대 콤팩트 부분 집합을 특정짓는 여러 주요 정리들이 존재한다. 예를 들어 아르첼라-아스콜리 정리가 있다. 균등 적분 가능성 및 복소해석학에서의 정규족 개념과 관련이 있다. 수론의 기하학에서의 Mahler의 콤팩트성 정리는 특정 비콤팩트 균질 공간 (구체적으로 격자 공간)에서의 상대적 콤팩트 부분 집합을 특징짓는다.3. 2. 수론의 기하학
수론의 기하학에서 Mahler의 콤팩트성 정리는 특정 비콤팩트 균질 공간(구체적으로 격자 공간)에서의 상대적 콤팩트 부분 집합을 특징짓는다.3. 3. 거의 주기 함수
거의 주기 함수의 정의는 개념적인 수준에서 F의 평행 이동이 상대 콤팩트 집합이 되는 것과 관련이 있다. 이는 특정 이론에서 사용되는 위상과 관련하여 정확하게 만들어져야 한다.4. 반례
무한 특정점 공간의 특정 점에 대한 유한 근방을 고려해 보자. 이 근방 자체는 콤팩트하지만, 그 폐포가 콤팩트하지 않은 전체 공간이기 때문에 상대 콤팩트 집합이 아니다.
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