점렬 콤팩트 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 다른 콤팩트성과의 관계
4. 예시
5. 관련 개념
참조

1. 개요

점렬 콤팩트 공간은 위상 공간의 일종으로, 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간을 의미한다. 가산 개의 점렬 콤팩트 공간의 곱은 점렬 콤팩트 공간이며, 점렬 콤팩트 공간의 닫힌 집합과 연속적 상 역시 점렬 콤팩트 공간이다. 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간 등과 밀접한 관련을 가지며, 제1 가산 공간에서는 가산 콤팩트 공간과 동치이다. 거리화 가능 공간에서는 콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 가산 콤팩트 공간 등이 모두 동치 관계에 있다.

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점렬 콤팩트 공간
정의
설명	모든 수열이 수렴하는 부분 수열을 갖는 위상 공간
성질
함의 관계	콤팩트 공간 → 가산 콤팩트 공간 콤팩트 공간 → 극한점 콤팩트 공간 콤팩트 공간 → 점렬 콤팩트 공간
조건	거리화 가능 공간에서 점렬 콤팩트와 콤팩트는 동치이다. 유클리드 공간의 부분 집합이 점렬 콤팩트일 필요충분조건은 유계 폐집합이다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 가 다음 조건을 만족시키면, '''점렬 콤팩트 공간'''이라고 한다.

모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 갖는다. 즉, 임의의 점렬 $(x_n)_{n=0}^\infty\subseteq X$ 에 대하여, $x_{n_i}\to x$ 인 $x\in X$ 및 $n_0 가 존재한다.$

3. 성질

가산 개의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 점렬 콤팩트 공간이다. $\aleph_1$ 개 이하의 점렬 콤팩트 공간들의 곱공간은 가산 콤팩트 공간이다.^[9]^[10]

점렬 콤팩트 공간의 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.

점렬 콤팩트 공간의 연속적 상은 점렬 콤팩트 공간이다.

3. 1. 다른 콤팩트성과의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^[10]

		콤팩트 공간
	↗		↘
뇌터 공간				가산 콤팩트 공간	→	희박 콤팩트 공간	→	유사 콤팩트 공간
	↘		↗		↘
		점렬 콤팩트 공간				극한점 콤팩트 공간

콤팩트성과 점렬 콤팩트성 사이에는 (일반적인 위상 공간에서는) 함의 관계가 존재하지 않는다.

제1 가산 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[10]

점렬 콤팩트 공간이다.
가산 콤팩트 공간이다.

제2 가산 공간에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.^[10]

콤팩트 공간이다.
점렬 콤팩트 공간이다.
가산 콤팩트 공간이다.

거리화 가능 공간에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 동치이다.^[8]

콤팩트 공간이다.
점렬 콤팩트 공간이다.
가산 콤팩트 공간이다.
극한점 콤팩트 공간이다.
희박 콤팩트 공간이다.
유사 콤팩트 공간이다.

특히, 바나흐 공간의 부분 집합에 대한 약한 위상에서, 에벌라인-시물리얀 정리에 따르면, 다음 네 조건이 서로 동치이다.

약한 위상에 대하여 콤팩트 공간이다.
약한 위상에 대하여 점렬 콤팩트 공간이다.
약한 위상에 대하여 가산 콤팩트 공간이다.
약한 위상에 대하여 극한점 콤팩트 공간이다.

순차 (하우스도르프) 공간에서 순서 콤팩트성은 가산 콤팩트성과 동등하다.^[3]

4. 예시

실수 전체의 공간은 표준 위상을 가지며, 점렬 콤팩트가 아니다. 모든 자연수 ''n''에 대해 $s_n = n$ 으로 정의된 수열 $(s_n)$ 은 수렴하는 부분 수열이 없다.

공간이 거리 공간이면, 점렬 콤팩트일 필요충분조건은 콤팩트인 것이다.^[1] 순서 위상을 갖는 첫 번째 비가산 서수는 콤팩트하지 않은 점렬 콤팩트 위상 공간의 예시이다.^[2]

4. 1. 콤팩트 공간이 아닌 점렬 콤팩트 공간

최소 비가산 순서수 ω₁는 (순서 위상에 대하여) 점렬 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간이 아니다.^[1]

4. 2. 점렬 콤팩트 공간이 아닌 콤팩트 공간

두 점 이산 공간의

2^{\aleph_0}

개 곱공간

2^{\times2^{\aleph_0}}

은 (티호노프 정리에 따라) 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다. 가산 무한 이산 공간의 스톤-체흐 콤팩트화

\beta\mathbb N

은 콤팩트 공간이지만, 점렬 콤팩트 공간이 아니다.^[1]

4. 3. 콤팩트 공간도 점렬 콤팩트 공간도 아닌 가산 콤팩트 공간

가산 콤팩트 공간이지만 콤팩트 공간이 아니며 점렬 콤팩트 공간도 아닌 예로는

\omega_1\times2^{\times2^{\aleph_0}}

을 들 수 있다. 이는 가산 콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱은 가산 콤팩트 공간이며,

\omega_1

과

2^{\times2^{\aleph_0}}

이

\omega_1\times2^{\times2^{\aleph_0}}

의 닫힌집합(또는 연속적 상)이기 때문이다.

4. 4. 기타

실수 전체의 공간은 표준 위상을 가지며, 순차 콤팩트가 아니다. 모든 자연수 ''n''에 대해

s_n = n

으로 정의된 수열

(s_n)

은 수렴하는 부분 수열이 없다.

공간이 거리 공간이면, 순차 콤팩트일 필요충분조건은 콤팩트인 것이다.^[1] 순서 위상을 갖는 첫 번째 비가산 서수는 콤팩트하지 않은 순차 콤팩트 위상 공간의 예시이다.

2^{\aleph_0}=\mathfrak c

개의 닫힌 단위 구간의 곱은 순차 콤팩트가 아닌 콤팩트 공간의 예시이다.^[2]

5. 관련 개념

순차 (하우스도르프) 공간에서 점렬 콤팩트성은 가산 콤팩트성과 동등하다.^[3]

비수렴 수열이 모두 추가 점으로 수렴해야 한다는 개념을 가진 일점 점렬 콤팩트화도 있다.^[4]

참조

_[1] 서적 17G, p. 125
_[2] 서적 Example 105
_[3] 서적 General Topology
_[4] 논문 Sequentially proper maps and a sequential compactification 1973
_[5] 서적 General Topology
_[6] 서적 Encyclopedia of General Topology
_[7] 논문 Sequentially proper maps and a sequential compactification 1973
_[8] 서적 Topology http://www.pearsonhi[...] Prentice Hall 2000
_[9] 저널 Products of nearly compact spaces 1966
_[10] 서적 General topology https://archive.org/[...] Addison-Wesley 1970

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