상대 호몰로지

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 상대 사슬 복합체
- 2.2. 상대 호몰로지 군
3. 성질
4. 국소 호몰로지
5. 함자성
6. 예시
참조

1. 개요

상대 호몰로지는 위상 공간 X와 그 부분 공간 A에 대해 정의되는 호몰로지 이론의 한 종류이다. 상대 호몰로지는 사슬 복합체를 사용하여 정의되며, X의 사슬을 A의 사슬로 나눈 몫공간의 호몰로지를 계산한다. 상대 호몰로지는 일반적인 특이 호몰로지를 포함하며, 긴 완전열, 절단 정리, 오일러 지표의 가법성과 같은 중요한 성질을 가진다. 상대 호몰로지는 몫 공간의 호몰로지 군을 계산하는 데 유용하며, 구의 호몰로지 계산과 같은 예시를 통해 그 활용성을 보여준다. 또한, 국소 호몰로지라는 개념으로 확장되어 위상 공간의 특정 점 근처에서의 호몰로지를 연구하는 데 사용된다.

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상대 호몰로지
상대 호몰로지
정의
범주	대수적 위상수학
분야	호몰로지 대수학
속성
가법성	유한 개의 직접합에 대하여 가법적임
호모토피 불변성	사슬 복합체의 호모토피 동치에 불변
완전성	긴 완전열 유도

2. 정의

위상 공간 $X$ 와 그 부분공간 $A\subset X$ 에 대하여, 상대 호몰로지는 상대 사슬 복합체의 호몰로지로 계산된다. 상대 호몰로지는 경계가 $A$ 상의 사슬인 '''상대 사이클'''을, $A$ 상의 사슬에 상동인 사슬, 즉 다시 $A$ 를 법으로 하는 경계가 될 사슬인 '''상대 경계'''로 나눈 것으로 정의된다.^[1]

2. 1. 상대 사슬 복합체

위상 공간

X

와 그 부분공간

A\subset X

에 대하여, 사슬 복합체에 대한 벡터 공간의 짧은 완전열은 다음과 같다.

:

0\to C_\bullet(A)\to C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)/C_\bullet(A)\to0

.

몫공간

C_\bullet(X)/C_\bullet(A)

의 원소를 '''상대 사슬'''(relative chain^영어)이라고 한다.

C_\bullet(X)

에 대한 경계 연산자

\partial

는

C_\bullet(A)

를 보존하므로,

C_\bullet(X)/C_\bullet(A)

의 경계를 정의할 수 있다. 이에 따라

C_\bullet(X)/C_\bullet(A)

는 사슬 복합체를 이룬다.

부분 공간

A\subseteq X

가 주어지면, 다음 짧은 완전열을 구성할 수 있다.

:

0\to C_\bullet(A) \to C_\bullet(X)\toC_\bullet(X) /C_\bullet(A)  \to 0 ,

여기서

C_\bullet(X)

는 공간 ''X''에 대한 특이 사슬을 나타낸다.

C_\bullet(X)

상의 경계 사상은

C_\bullet(A)

로 내려가고, 따라서 몫에 대한 경계 사상

\partial'_\bullet

를 유도한다. 이 몫을

C_n(X,A):=C_n(X)/C_n(A)

로 표기하면, 다음과 같은 복합체를 얻는다.

:

\cdots\longrightarrow C_n(X,A) \xrightarrow{\partial'_n} C_{n-1}(X,A) \longrightarrow \cdots .

2. 2. 상대 호몰로지 군

X

가 위상 공간이고,

A\subset X

가 그 부분공간이라고 하자. 그렇다면 그 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 벡터 공간의 짧은 완전열이 존재한다.

:

0\to C_\bullet(A)\to C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)/C_\bullet(A)\to0

.

몫공간

C_\bullet(X)/C_\bullet(A)

의 원소를 '''상대 사슬'''(relative chain^영어)이라고 한다.

C_\bullet(X)

에 대한 경계 연산자

\partial

은

C_\bullet(A)

를 보존한다. 따라서

C_\bullet(X)/C_\bullet(A)

의 경계를 정의할 수 있다. 이에 따라

C_\bullet(X)/C_\bullet(A)

는 사슬 복합체를 이루며, 그 호몰로지를 '''상대 호몰로지'''

H_\bullet(X,A)

라고 한다.

부분 공간

A\subseteq X

가 주어지면, 다음의 짧은 완전열을 구성할 수 있다.

:

0\to C_\bullet(A) \to C_\bullet(X)\toC_\bullet(X) /C_\bullet(A)  \to 0 ,

여기서

C_\bullet(X)

는 공간 ''X''에 대한 특이 사슬을 나타낸다.

C_\bullet(X)

상의 경계 사상은

C_\bullet(A)

로 내려가며, 따라서 몫에 대한 경계 사상

\partial'_\bullet

를 유도한다. 이 몫을

C_n(X,A):=C_n(X)/C_n(A)

로 표기하면, 다음과 같은 복합체를 얻는다.

:

\cdots\longrightarrow C_n(X,A) \xrightarrow{\partial'_n} C_{n-1}(X,A) \longrightarrow \cdots .

정의에 따라, 공간 쌍

(X,A)

의 '''n번째 상대 호몰로지 군'''은 다음과 같다.

:

H_n(X,A) := \ker\partial'_n/\operatorname{im}\partial'_{n+1}.

상대 호몰로지는 경계가 ''A'' 상의 사슬인 사슬인 '''상대 사이클'''을, ''A'' 상의 사슬에 상동인 사슬, 즉 다시 ''A''를 법으로 하는 경계가 될 사슬인 '''상대 경계'''로 나눈 것으로 주어진다고 말한다.^[1]

3. 성질

(통상적인) 특이 호몰로지를 $H_n(X)$ 라고 하면, $H_n(X,\varnothing)=H_n(X)$ 이다. 즉, 통상적인 특이 호몰로지는 상대 호몰로지의 특수한 경우이다.

$(X,A)$ 가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통 $H_\bullet(X,A)=H_\bullet(X/A)$ 이다. $A$ 가 $X$ 에서 $A$ 로 변형 수축하는 근방 $V$ 를 가지고 있다면, 쌍의 긴 완전열과 절단 정리를 사용하여 $H_n(X,A)$ 가 몫 공간 $X/A$ 의 ''n''차 축소 호몰로지 군과 동일함을 보일 수 있다.

상대 호몰로지는 $Z \subset Y \subset X$ 에 대해 삼중항 $(X,Y,Z)$ 로 쉽게 확장된다.

3. 1. 긴 완전열

지그재그 보조정리를 사용하면 다음과 같은 완전열을 얻을 수 있다.

:

\cdots\to H_n(A)\xrightarrow{i_*}H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\partial_*}H_{n-1}(A)\to\cdots

.

여기서

i_*

와

j_*

는 짧은 완전열

:

0\to C_\bullet(A)\xrightarrow i C_\bullet(X)\xrightarrow j C_\bullet(X,A)\to0

에서 유도된 사상이며, 펑터

H_n

에 대한 상이다.

\partial_*

는 지그재그 보조정리에 의해 정의되는 연결 사상이다. 즉, 상대 호몰로지

H_n(X,A)

의 경계는

H_{n-1}(A)

에 속한다. 이 짧은 완전열은 상대 사슬군을 특정하여 사슬 복합체의 짧은 완전열을 만들고, 여기에 뱀 보조정리를 적용하면 위의 긴 완전열을 얻는다.^[2]

연결 사상

\partial

는

H_n(X,A)

의 호몰로지류를 나타내는 상대 사이클을 그 경계 (''A''의 사이클)로 보낸다.^[2]

3. 2. 절단 정리

U \subset A

가

\operatorname{cl} U \subset \operatorname{int} (A)

를 만족한다고 하자. 여기서

\operatorname{cl}

은 닫힘이고,

\operatorname{int}

는 내부이다. 그렇다면

H_\bullet (X, A) = H_\bullet (X \setminus U, A \setminus U)

이다. 이를 '''절단 정리'''(excision theorem^영어)라고 한다.

절단 정리는 충분히 좋은 부분 집합

Z \subset A

를 제거해도 상대 호몰로지 군

H_n(X, A)

가 변경되지 않는다고 말한다.^[2]

3. 3. 오일러 지표의 가법성

쌍

Y \subset X

에 대해 오일러 지표를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\chi (X, Y) = \sum _{j=0} ^n (-1)^j \operatorname{rank} H_j (X, Y) .

열의 완전성은 오일러 지표가 가법적임을 의미한다. 즉,

Z \subset Y \subset X

이면 다음이 성립한다.^[2]

:

\chi (X, Z) = \chi (X, Y) + \chi (Y, Z) .

3. 4. 축소 호몰로지와의 관계

뱀 보조정리를 적용하면 긴 완전열을 얻는다.

:

\cdots \to H_n(A) \stackrel{i_*}{\to} H_n(X) \stackrel{j_*}{\to} H_n (X,A) \stackrel{\partial}{\to} H_{n-1}(A)  \to \cdots .

연결 사상

\partial

는

H_n(X,A)

에서 호몰로지류를 나타내는 상대 사이클을 그 경계(''A''의 사이클)로 보낸다.^[2]

x_0

이 ''X''의 점일 때

H_n(X,x_0)

는 ''X''의 ''n''차 축소 호몰로지 군과 같다. 즉, 모든

i > 0

에 대해

H_i(X,x_0) = H_i(X)

이다.

i = 0

일 때,

H_0(X,x_0)

는

H_0(X)

보다 랭크가 1 작은 자유 가군이다.

x_0

을 포함하는 연결 성분은 상대 호몰로지에서 자명해진다.

4. 국소 호몰로지

국소 호몰로지는 공간의 특정 점 근처에서의 호몰로지적 성질을 나타낸다.

다양체 $M$ 에서 점 $p$ 에 대한 국소 호몰로지를 계산할 수 있다. $K$ 를 닫힌 디스크 $\mathbb{D}^n = \{ x \in \R^n : |x| \leq 1 \}$ 와 동형인 $p$ 의 콤팩트 근방이라 하고, $U = M \setminus K$ 라고 하자. 제거 정리를 사용하면 국소 호몰로지는 닫힌 공 $\mathbb{D}^n$ 에서의 점의 국소 호몰로지로 축소된다.

4. 1. 정의

공간 $X$의 점 $x_0$에서의 $n$차 '''국소 호몰로지 군'''은 $H_{n,\{x_0\}}(X)$로 표기하며, 상대 호몰로지 군 $H_n(X,X\setminus \{x_0\})$으로 정의된다. 비공식적으로, 이것은 $x_0$ 근처의 $X$의 "국소적" 호몰로지이다.

4. 2. 원뿔의 국소 호몰로지

공간 X의 원뿔 CX의 원점에서의 국소 호몰로지는 X의 축소 호몰로지와 동형이다. 원뿔은 몫 공간으로 정의되는데, 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

CX = (X\times I)/(X\times\{0\}) ,

여기서

X \times \{0\}

은 부분 공간 위상을 갖는다. 그러면 원점

x_0 = 0

은 점

[X\times 0]

의 동치류이다.

x_0

에서

CX

의 국소 호몰로지 군

H_{*,\{x_0\}}(CX)

는 원점 "근처"의

CX

의 호몰로지를 포착한다.

CX \setminus \{x_0\}

가

X

로의 호모토피 수축을 가지므로, 이것이

H_*(X)

의 호몰로지가 될 것으로 예상할 수 있다. 국소 호몰로지는 호몰로지에서의 긴 완전열을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\to &H_n(CX\setminus \{x_0 \})\to H_n(CX) \to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\\to & H_{n-1}(CX\setminus \{x_0 \})\to H_{n-1}(CX) \to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX).\end{align}

공간의 원뿔은 축약 가능 공간이므로, 중간 호몰로지 군은 모두 0이 되어 동형 사상을 제공한다.

:

\begin{align}H_{n,\{x_0\}}(CX) & \congH_{n-1}(CX \setminus \{ x_0 \}) \\& \cong H_{n-1}(X),\end{align}

이는

CX \setminus \{x_0\}

가

X

로 축약 가능하기 때문이다.

4. 3. 매끄러운 다양체의 국소 호몰로지

제거 정리를 사용하면 상대 호몰로지 군의 동형 사상이 존재한다.^[1]

:

\begin{align}H_n(M,M\setminus\{p\}) &\cong H_n(M\setminus U, M\setminus (U\cup \{p\})) \\&= H_n(K, K\setminus\{p\}),\end{align}

따라서 점의 국소 호몰로지는 닫힌 공

\mathbb{D}^n

에서의 점의 국소 호몰로지로 축소된다. 호모토피 동치^[1]

:

\mathbb{D}^n \setminus \{0\} \simeq S^{n-1}

와

:

H_k(\mathbb{D}^n) \cong \begin{cases}\Z & k = 0 \\0 & k \neq 0 ,\end{cases}

때문에 쌍

(\mathbb{D},\mathbb{D}\setminus\{0\})

의 긴 완전열에서 자명하지 않은 부분은

:

0 \to H_{n,\{0\}}(\mathbb{D}^n) \to H_{n-1}(S^{n-1}) \to 0 ,

이므로 0이 아닌 유일한 국소 호몰로지 군은

H_{n,\{0\}}(\mathbb{D}^n)

이다.^[1]

5. 함자성

연속 사상 $f\colon X\to Y$ 가 $f(A)\subseteq B$ 를 만족하면, 사슬 군에 유도된 사상 $f_\#\colon C_n(X)\to C_n(Y)$ 는 $f_\#(C_n(A))\subseteq C_n(B)$ 를 만족시킨다. 따라서 이는 상대 호몰로지 군 사이의 준동형 사상 $f_*\colon H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$ 를 유도한다.^[3] 이 사상은 호몰로지 군에 대한 유도된 사상과 일치한다.^[2]

6. 예시

상대 호몰로지는 몫공간의 호몰로지 군을 계산하는 데 유용하게 사용될 수 있으며, 구체적인 예시를 통해 상대 호몰로지의 계산 과정을 살펴볼 수 있다. 하위 섹션에서 몫공간, 구, 특이점의 호몰로지에 대한 내용을 이미 다루고 있으므로, 여기서는 상대 호몰로지의 개념이 적용되는 추가적인 예시나 다른 관점을 제시하기보다는, 이미 설명된 내용을 간략하게 요약하여 하위 섹션과의 중복을 피한다.

상대 호몰로지는 몫공간의 호몰로지 군 계산에 유용하며, 특히 구의 호몰로지 계산과 특이점의 호몰로지 분석 등에 활용될 수 있다.

6. 1. 몫공간의 호몰로지

A

가

X

의 부분 공간이고,

A

를 변형 수축으로 갖는

A

의 근방이 존재한다는 정규성 조건을 만족하면, 몫공간

X/A

의 축소 호몰로지 군

\tilde H_n(X/A)

는 상대 호몰로지 군

H_n(X,A)

와 동형이다.

이 사실을 이용하여 구(

S^n

)의 호몰로지를 계산할 수 있다.

S^n

은 n-디스크(

D^n

)를 그 경계(

S^{n-1}

)로 나눈 몫공간, 즉

S^n = D^n/S^{n-1}

으로 나타낼 수 있다. 상대 호몰로지의 완전열을 적용하면 다음과 같다.

:

\cdots\to \tilde H_n(D^n)\rightarrow H_n(D^n,S^{n-1})\rightarrow \tilde H_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow \tilde H_{n-1}(D^n)\to \cdots.

D^n

은 수축 가능하므로 모든 차원에서 축소 호몰로지 군이 0이 된다. 따라서 위 수열은 다음과 같은 짧은 완전열로 축소된다.

:

0\rightarrow H_n(D^n,S^{n-1}) \rightarrow \tilde H_{n-1}(S^{n-1}) \rightarrow 0.

따라서

H_n(D^n,S^{n-1})\cong \tilde H_{n-1}(S^{n-1})

라는 동형사상을 얻는다. 귀납법을 통해

H_n(D^n,S^{n-1})\cong \Z

임을 보일 수 있다.

S^{n-1}

은

D^n

에서 적절한 근방의 변형 수축이므로,

H_n(D^n,S^{n-1})\cong \tilde H_n(S^n)\cong \Z

을 얻는다.

(X=\Complex^*, D = \{1,\alpha\})

(

\alpha \neq 0, 1

)인 상대 호몰로지를 이용하면 또 다른 통찰을 얻을 수 있다. 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.

:

\begin{align}0 &\to H_1(D)\to H_1(X) \to H_1(X,D) \\& \to H_0(D)\to H_0(X) \to H_0(X,D)\end{align}=\begin{align}0 & \to 0 \to \Z \to H_1(X,D) \\& \to \Z^{\oplus 2} \to \Z \to 0\end{align}

이 완전열을 통해

H_1(X,D)

가 원점을 반시계 방향으로 도는 루프

\sigma

를 포함함을 알 수 있다.

\phi\colon \Z \to H_1(X,D)

의 여핵은

:

0 \to \operatorname{coker}(\phi) \to \Z^{\oplus 2} \to \Z \to 0

와 같은 완전열에 들어맞아야 하므로

\Z

와 동형이어야 한다. 여핵의 생성자는

1

-사슬

[1,\alpha]

이다. 그 경계 사상은 다음과 같다.

:

\partial([1,\alpha]) = [\alpha] - [1]

6. 2. 구의 호몰로지

상대 호몰로지의 중요한 용도 중 하나는 몫 공간

X/A

의 호몰로지 군을 계산하는 것이다.

A

가

X

의 부분 공간이며

A

를 변형 수축으로 갖는

A

의 근방이 존재한다는 온화한 정규성 조건을 충족하는 경우, 군

\tilde H_n(X/A)

는

H_n(X,A)

와 동형이다. 이 사실을 사용하여 구의 호몰로지를 즉시 계산할 수 있다.

S^n

을 경계에 의한 n-디스크의 몫으로 실현할 수 있다. 즉,

S^n = D^n/S^{n-1}

이다. 상대 호몰로지의 완전 수열을 적용하면 다음과 같다.

:

\cdots\to \tilde H_n(D^n)\rightarrow H_n(D^n,S^{n-1})\rightarrow \tilde H_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow \tilde H_{n-1}(D^n)\to \cdots.

디스크는 수축 가능하므로 모든 차원에서 축소된 호몰로지 군이 사라진다는 것을 알 수 있으므로 위의 수열은 다음과 같은 짧은 완전 수열로 축소된다.

:

0\rightarrow H_n(D^n,S^{n-1}) \rightarrow \tilde H_{n-1}(S^{n-1}) \rightarrow 0.

따라서 동형사상

H_n(D^n,S^{n-1})\cong \tilde H_{n-1}(S^{n-1})

을 얻는다. 이제 귀납법을 사용하여

H_n(D^n,S^{n-1})\cong \Z

임을 보일 수 있다. 이제

S^{n-1}

은

D^n

에서 적절한 근방의 변형 수축이므로

H_n(D^n,S^{n-1})\cong \tilde H_n(S^n)\cong \Z

을 얻는다.

6. 3. 특이점의 호몰로지

상대 호몰로지는 몫 공간

X/A

의 호몰로지 군을 계산하는 데 중요한 역할을 한다.

A

가

X

의 부분 공간이고,

A

를 변형 수축으로 갖는

A

의 근방이 존재한다는 온화한 정규성 조건을 만족하면, 군

\tilde H_n(X/A)

는

H_n(X, A)

와 동형이다.

(X=\Complex^*, D = \{1,\alpha\})

(

\alpha \neq 0, 1

)인 상대 호몰로지는 또 다른 통찰력 있는 기하학적 예시를 제공한다. 이 경우 긴 완전 수열을 사용하면 다음과 같다.

:

\begin{align}0 &\to H_1(D)\to H_1(X) \to H_1(X,D) \\& \to H_0(D)\to H_0(X) \to H_0(X,D)\end{align}=\begin{align}0 & \to 0 \to \Z \to H_1(X,D) \\& \to \Z^{\oplus 2} \to \Z \to 0\end{align}

이 수열의 완전성으로 인해

H_1(X,D)

는 원점을 반시계 방향으로 도는 루프

\sigma

를 포함한다.

\phi\colon \Z \to H_1(X,D)

의 여핵은 완전 수열에 맞기 때문에

:

0 \to \operatorname{coker}(\phi) \to \Z^{\oplus 2} \to \Z \to 0

는

\Z

와 동형이어야 한다. 여핵의 생성자는

1

-사슬

[1,\alpha]

이며, 그 경계 사상은 다음과 같다.

:

\partial([1,\alpha]) = [\alpha] - [1]

참조

_[1] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press 2002
_[2] 서적 Algebraic topology Cambridge University Press 2002
_[3] 서적 Abstract algebra Wiley 2004

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