맨위로가기

부호 측도

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

부호 측도는 가측 공간에서 정의되는 함수로, 가산 가법성을 만족하며, 일반적으로 유한 실수 값을 가지지만, 무한 값을 허용하는 경우도 있다. 부호 측도는 유한 부호 측도와 확장 부호 측도로 구분되며, 한 분해 정리를 통해 양의 집합과 음의 집합으로 분해될 수 있다. 조르당 분해는 부호 측도를 두 개의 음이 아닌 측도의 차이로 나타내는 것이며, 전변동 측도는 부호 측도의 변동을 나타낸다. 시그마 유한 부호 측도와 유한 부호 측도는 전변동 측도의 성질에 따라 구분되며, 유한 부호 측도는 실수 벡터 공간을 이루고 바나흐 공간의 성질을 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 측도 - 르베그 측도
    르베그 측도는 유클리드 공간에서 정의되는 보렐 측도의 완비화로, 르베그 외측도를 통해 르베그 가측 집합과 르베그 측도를 정의하며, 선택 공리 하에 르베그 측도를 할당할 수 없는 비가측 집합이 존재하기도 한다.
  • 측도 - 하르 측도
    하르 측도는 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군에서 정의되고 군 연산에 불변하는 측도로, 하르 정리에 의해 곱셈 상수를 제외하고 유일하게 존재하며, 르베그 측도의 일반화로서 추상 조화 해석과 수리 통계학 등에 활용된다.
부호 측도
정의
설명가측 공간에서 정의된, 양수 및 음수 값을 모두 가질 수 있는 확장된 실수 값 함수로, 가산 가법성을 만족한다.
관련 개념
측도음이 아닌 값만 갖는 부호 측도의 특수한 경우이다.
확률 측도전체 공간의 측도가 1인 부호 측도의 특수한 경우이다.
성질
조르당 분해부호 측도는 양의 측도와 음의 측도의 차이로 표현될 수 있다.
예시
전하물리학에서 전하 분포는 부호 측도로 표현될 수 있다.
복소 측도복소수 값을 갖는 측도는 실수 부분과 허수 부분으로 분해하여 부호 측도로 취급할 수 있다.

2. 정의

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 '''부호 측도'''는 다음 조건들을 만족시키는 함수 \mu\colon\Sigma\to\bar\mathbb R이다.


  • (가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합들의 족 \mathcal A\subset\Sigma (|\mathcal A|\le\aleph_0)에 대하여, \textstyle\mu\left(\bigcup\mathcal A\right)=\sum_{A\in\mathcal A}\mu(A)
  • * 특히, 이는 \mu(\varnothing)=0을 함의한다.
  • * 특히, 부호 측도는 양과 음의 무한대 값을 동시에 가질 수 없다.


부호 측도에는 무한 값을 허용하는지 여부에 따라 약간 다른 두 가지 개념이 있다. 혼동을 피하기 위해 이 문서에서는 이 두 가지 경우를 "유한 부호 측도"와 "확장 부호 측도"라고 부른다.

가측 공간 (X, \Sigma) (즉, X는 그 위에 σ-대수 \Sigma를 갖는 집합)가 주어지면, '''확장 부호 측도'''는 다음 조건을 만족하는 집합 함수이다.

\mu : \Sigma \to [- \infty,+ \infty]

  • \mu(\varnothing) = 0
  • \mu는 σ-가산적이다. 즉, \{ A_n \in \Sigma \}_{n=1}^\infty가 쌍별로 서로소인 가측 집합의 수열인 경우, 다음 등식의 우변은 잘 정의되어야 하며, 등식 자체가 성립해야 한다.

\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n).

모든 부호 측도는 +\infty 또는 -\infty 중 하나를 일관되게 값으로 가져야 하지만 둘 다 가질 수는 없다.

'''유한 부호 측도''' (일명 '''실수 측도''')는 실수 값만 가질 수 있다는 점을 제외하고 동일한 방식으로 정의된다. 즉, +\infty 또는 -\infty 값을 가질 수 없다. 유한 부호 측도는 실수 벡터 공간을 형성하지만, 확장 부호 측도는 덧셈이 정의되지 않을 수 있기 때문에 그렇지 않다.

3. 성질

부호 측도는 한 분해와 조르당 분해를 통해 양의 측도와 음의 측도로 분해될 수 있다.

가측 공간 (X, \Sigma) (즉, X는 그 위에 σ-대수 \Sigma를 갖는 집합)가 주어지면, '''확장 부호 측도'''는 다음 조건을 만족하는 집합 함수이다.

:\mu : \Sigma \to [- \infty,+ \infty]


  • \mu(\varnothing) = 0
  • \mu는 σ-가산적이다. 즉, \{ A_n \in \Sigma \}_{n=1}^\infty가 쌍별로 서로소인 가측 집합의 수열인 경우, 다음 등식의 우변은 잘 정의되어야 하며, 등식 자체가 성립해야 한다.


:\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n).

+ \infty와 - \infty를 더하는 것은 정의되지 않으므로, 급수의 한 항이 무한대이면 다른 모든 무한대 항도 동일한 부호를 가져야 하며, 전체 급수도 그래야 한다. 임의의 무한 측도인 A \in \Sigma에 대해 전체 공간 X = A \cup X \setminus A에 이를 적용하면, X는 동일한 부호를 가진 무한 측도여야 하며, 이는 \mu의 무한 값의 부호를 고정한다. 따라서 모든 부호 측도는 +\infty 또는 -\infty 중 하나를 일관되게 값으로 가져야 하지만 둘 다 가질 수는 없다.

정의의 또 다른 중요한 결과는, 무부호 측도와 공유되는데, 등식의 좌변이 유한할 때 우변의 급수는 절대적으로 수렴해야 한다는 것이다. 그 이유는 집합 수열을 재배열해도 좌변이 동일하고 급수의 값을 변경하지 않기 때문이다.

'''유한 부호 측도''' (일명 '''실수 측도''')는 실수 값만 가질 수 있다는 점을 제외하고 동일한 방식으로 정의된다. 즉, +\infty 또는 -\infty 값을 가질 수 없다. 유한 부호 측도는 실수 벡터 공간을 형성하지만, 확장 부호 측도는 덧셈이 정의되지 않을 수 있기 때문에 그렇지 않다.

측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 측도에 대한 모든 절대 연속 부호 측도는 라돈-니코딤 도함수를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 라돈-니코딤 도함수 \mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|를 가지며, 이는 |\mu|-거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 \mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|가 적분 가능한 조건과 동치이다.

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 실수 벡터 공간을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 실수 바나흐 공간을 이룬다.[3]

3. 1. 한 분해와 조르당 분해

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 X의 두 가측 집합 X^+, X^-\in\Sigma가 존재하며, 이를 \mu의 '''한 분해'''(-分解, Hahn decomposition영어)라고 한다.

  • X^+\cap X^-=\varnothing
  • X=X^+\cup X^-
  • \mu(A\cap X^-)\le 0\le\mu(A\cap X^+)\qquad\forall A\in\Sigma


한 분해는 일반적으로 유일하지 않지만, \mu의 두 한 분해 (X^+_1,X^-_1), (X^+_2,X^-_2)에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

:\mu(A\cap(X^+_1\bigtriangleup X^+_2))=\mu(A\cap(X^-_1\bigtriangleup X^-_2))=0\qquad\forall A\in\Sigma

여기서 \bigtriangleup은 대칭차이다.

한 분해 정리에 따르면, 부호 측도 ''μ''가 주어지면 다음과 같은 두 개의 가측 집합 ''P''와 ''N''이 존재한다.

# ''P''∪''N'' = ''X'' 및 ''P''∩''N'' = ∅;

# ''E'' ⊆ ''P''인 Σ의 각 ''E''에 대해 ''μ''(''E'') ≥ 0 — 즉, ''P''는 양의 집합이다.

# ''E'' ⊆ ''N''인 Σ의 각 ''E''에 대해 ''μ''(''E'') ≤ 0 — 즉, ''N''은 음의 집합이다.

또한, 이 분해는 ''μ''-영 집합을 ''P''와 ''N''에 더하거나 빼는 것을 제외하고 고유하다.

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, (X,\Sigma) 위의 특이 측도 \mu^+, \mu^-가 유일하게 존재하며, 이를 \mu의 '''조르당 분해'''(-分解, Jordan decomposition영어)라고 한다.

:\mu=\mu^+-\mu^-

만약 특이 조건을 없앨 경우 이러한 분해는 유일하지 않다. 조르당 분해는 두 측도의 차로의 분해 가운데 ‘최소’이다. 즉, \mu=\nu-\lambda를 만족시키는 두 측도 \nu, \lambda에 대하여, 항상

:\mu^+\le\nu

:\mu^-\le\lambda

이다.

조르당 분해는 구체적으로 다음과 같다.

:\mu^+(A)=\mu(A\cap X^+)=\sup_\mu(B)

:\mu^-(A)=\mu(A\cap X^-)=\sup_(-\mu(B))\qquad\forall A\in\Sigma

모든 가측 집합 ''E''에 대해, 다음과 같이 정의된 두 개의 음이 아닌 측도 ''μ''+와 ''μ''−를 고려한다.

: \mu^+(E) = \mu(P\cap E)

: \mu^-(E)=-\mu(N\cap E)

두 ''μ''+와 ''μ''−는 모두 음이 아닌 측도이고, 하나는 유한 값만 취하며, 각각 ''μ''의 ''양의 부분''과 ''음의 부분''이라고 할 수 있다. ''μ'' = ''μ''+ − μ−를 갖는다. 측도 |''μ''| = ''μ''+ + ''μ''−는 ''μ''의 ''변동''이라고 하며, 최대 가능 값인 ||''μ''|| = |''μ''|(''X'')는 ''μ''의 ''전변동''이라고 한다.

한 분해 정리의 이러한 결과는 ''조르당 분해''라고 한다. 측도 ''μ''+, ''μ''− 및 |''μ''|는 한 분해 정리에서 ''P''와 ''N''의 선택과 독립적이다.

3. 2. 전변동

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu의 '''전변동 측도'''(全變動測度, total variation measure영어) |\mu|는 다음과 같이 정의된다.[1]

:|\mu|(A)

=\mu^+(A)+\mu^-(A)

=\sup_{\mathcal P\in\operatorname{Part}(A)}\sum_{P\in\mathcal P}|\mu(P)|

\qquad\forall A\in\Sigma

여기서 \operatorname{Part}(A)는 A의 가산 가측 분할들의 집합이다. 즉, A를 가산개의 서로소인 가측 부분집합으로 나눈 모든 가능한 방법에 대해, 각 부분집합에서의 \mu 값의 절댓값의 합을 구하고, 이 합의 상한(supremum)을 취한 것이 |\mu|(A)가 된다.

부호 측도 \mu의 '''전변동 노름'''(全變動-, total variation norm영어)은 다음과 같다.[1]

:\|\mu\|=|\mu|(X)

이는 전체 집합 X에서의 전변동 측도 값으로, 부호 측도의 "크기"를 나타내는 척도이다.

한 분해 정리에 의해, 부호 측도 \mu는 양의 부분 \mu^+와 음의 부분 \mu^-로 분해될 수 있으며, \mu = \mu^+ - \mu^-이다. 이때, |\mu| = \mu^+ + \mu^-는 \mu의 변동(variation)이라고 불린다. 이러한 분해를 조르당 분해라고 한다.

3. 3. 시그마 유한 부호 측도와 유한 부호 측도

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 부호 측도 \mu의 '''전변동 노름'''(全變動-, total variation norm영어)은 다음과 같다.

:\|\mu\|=|\mu|(X)

'''시그마 유한 부호 측도'''(-有限符號測度, sigma-finite signed measure영어)는 전변동 측도가 시그마 유한 측도인 부호 측도이다. '''유한 부호 측도'''(有限符號測度, finite signed measure영어)는 전변동 측도가 유한 측도인 부호 측도이다. 즉, 전변동 노름이 유한한 부호 측도이다.

측도와 마찬가지로, 주어진 시그마 유한 측도에 대한 모든 절대 연속 부호 측도는 라돈-니코딤 도함수를 갖는다. 특히, 모든 시그마 유한 부호 측도는 전변동 측도에 대한 라돈-니코딤 도함수 \mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|를 가지며, 이는 |\mu|-거의 어디서나 유한하므로 유한한 값의 함수로 취할 수 있다. 유한 부호 측도는 \mathrm d\mu/\mathrm d|\mu|가 적분 가능한 조건과 동치이다.

가측 공간 (X,\Sigma) 위의 유한 부호 측도의 집합은 자연스럽게 실수 벡터 공간을 이루며, 전변동 노름을 갖췄을 때 실수 바나흐 공간을 이룬다.[3]

부호 측도에는 무한 값을 허용하는지 여부에 따라 약간 다른 두 가지 개념이 있다. 부호 측도는 일반적으로 유한 실수 값만 가질 수 있지만, 일부 교과서에서는 무한 값을 가질 수 있도록 허용한다. 혼동을 피하기 위해 "유한 부호 측도"와 "확장 부호 측도"로 구분한다.

'''유한 부호 측도''' ('''실수 측도''')는 실수 값만 가질 수 있다는 점을 제외하고 동일한 방식으로 정의된다. 즉, +\infty 또는 -\infty 값을 가질 수 없다. 유한 부호 측도는 실수 벡터 공간을 형성하지만, 확장 부호 측도는 덧셈이 정의되지 않을 수 있기 때문에 그렇지 않다.

4. 부호 측도의 공간

두 유한 부호 측도의 합은 유한 부호 측도이며, 유한 부호 측도에 실수를 곱한 것도 유한 부호 측도이다. 즉, 선형 결합에 닫혀 있다. 따라서 가측 공간 (''X'', Σ)에 대한 유한 부호 측도의 집합은 실수 벡터 공간을 이룬다. 이는 원뿔 결합에 대해서만 닫혀 있고, 따라서 볼록 원뿔을 형성하지만 벡터 공간은 아닌 양 측도와는 대조적이다. 또한, 전변동은 유한 부호 측도의 공간이 바나흐 공간이 되는 노름을 정의한다.

만약 ''X''가 콤팩트 가분 공간이라면, 리스-마르코프-카쿠타니 표현 정리에 의해, 유한 부호 베어 측도의 공간은 ''X''상의 모든 연속 실수 값 함수들의 실수 바나흐 공간의 쌍대 공간이다.

5. 예시

음이 아닌 측도 \nu를 공간 (''X'', Σ)에 대해 고려하고, 가측 함수 ''f'': ''X'' → '''R'''이 다음을 만족한다고 하자.

:\int_X \! |f(x)| \, d\nu (x) < \infty.

그러면 유한 부호 측도는 다음과 같이 주어진다.

:\mu (A) = \int_A \! f(x) \, d\nu (x)

Σ에 있는 모든 ''A''에 대해.

이 부호 측도는 유한 값만 가진다. +∞ 값을 가질 수 있도록 하려면, 절대 적분 가능성에 대한 ''f''의 가정을 더 완화된 조건으로 바꿔야 한다.

:\int_X \! f^-(x) \, d\nu (x) < \infty,

여기서 ''f''−(''x'') = max(−''f''(''x''), 0)은 ''f''의 음의 부분이다.

참조

[1] 문서 チャージは必ずしも可算加法的である必要はない。[[シグマ加法性#加法的（あるいは有限加法的）な集合関数|有限加法的]]でのみあり得る。この概念についての包括的な参考文献としてはBhaskara Rao, Bhaskara Rao (1983)を参照されたい。
[2] 문서 不定形の詳細については記事「[[拡大実数#算術演算|拡大実数]]」を参照されたい。
[3] 서적 Measure Theory and Probability Theory 2006


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com