스칼라 (수학)

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1. 개요
2. 정의 및 성질
3. 유래
4. 척도 변환
5. 같이 보기
참조

1. 개요

스칼라는 N차원 공간에서 0승 개의 수로 표현할 수 있는 물리량으로, 좌표계 변환에 영향을 받지 않는 불변량이다. 수학에서는 벡터와 대조되는 개념으로, 벡터 공간, 노름 공간, 가군 등 다양한 수학적 구조에서 스칼라 곱셈과 함께 정의된다. '스칼라'라는 용어는 프랑수아 비에트가 처음 사용했으며, 윌리엄 로언 해밀턴이 사원수의 실수부를 지칭하는 데 사용하면서 널리 알려졌다. 스칼라 곱은 선형 변환의 일종인 척도 변환의 특수한 경우로, 벡터의 크기를 스칼라 배만큼 변화시킨다.

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스칼라 (수학)
수학
분야	수학, 물리학
하위 분야	선형대수학, 텐서 미적분학
관련 항목	벡터, 텐서, 행렬, 스칼라곱, 벡터 공간
정의 및 설명
설명	벡터 공간의 원소에 곱하는 수 또는 물리량
선형대수학	선형대수학에서, 벡터와 대비되는 개념으로, 벡터 공간의 원소에 곱해져 벡터의 크기를 변화시키는 수.
물리학	물리량을 나타내는 값 중에서 크기만 있고 방향을 가지지 않는 물리량.
예시 (물리학)	질량, 에너지, 시간, 온도, 전하, 전위 등
텐서와의 관계	0차 텐서
연산
스칼라곱 (점곱)	두 벡터 사이의 연산으로, 결과는 스칼라 값을 가짐.
스칼라 곱셈	벡터 공간에서 벡터에 스칼라를 곱하는 연산. 벡터의 크기를 스케일링함.
스칼라 필드
설명	공간의 각 점에 스칼라 값을 할당하는 함수.
예시	온도 분포, 압력 분포, 전위 분포
참고
스칼라 변환	좌표 변환에 따라 변하지 않는 양.
유사 스칼라	좌표 반전에 따라 부호가 바뀌는 양.

2. 정의 및 성질

그러나 벡터의 크기는 스칼라이고 좌표계가 변해도 그 값은 불변이다. 이 그림에서 (x,y) 로 표현되는 좌표계에서 굵은 선으로 표시한 벡터의 성분은 (5,0)이지만, 벡터 자체가 변하지 않음에도 좌표계가 (x', y')으로 바뀌었을 때 각 성분은 (4,3)으로 바뀌었다.
하지만 두 좌표계에서 벡터 $\overrightarrow{v}$ 의 크기는 $||\overrightarrow{v}||=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x'^2+y'^2}=5$ 로 불변이고 따라서 스칼라이다.]]

하지만 막대의 길이가 1 m이면 어느 좌표계에서 재어도 1 m가 될 것이다. 따라서 막대의 길이는 스칼라이다(단 아인슈타인의 상대성이론에 따른 좌표계 변화는 논외로 한다). 수학에서도 스칼라는 비슷한 의미를 가진다. 전산학에서는 스칼라를 단순히 '하나의 수'를 가리키는 말로 쓰기도 한다.

[[File:Vector_components.svg|스칼라는 선형대수학에서 벡터와 대조적으로 사용되는 실수이다. 이 그림은 벡터를 보여준다. 그 좌표 ''x''와 ''y''는 스칼라이며 길이 또한 스칼라이지만 '''v'''는 스칼라가 아니다.

2. 1. 벡터 공간의 스칼라

벡터 공간은 벡터들의 집합(덧셈에 대한 아벨 군)과 스칼라들의 집합(체), 그리고 스칼라 ''k''와 벡터 '''v'''를 취하여 다른 벡터 ''k'''''v'''를 생성하는 스칼라 곱셈 연산으로 정의된다. 예를 들어, 좌표 공간에서 스칼라 곱셈

k(v_1, v_2, \dots, v_n)

은

(k v_1, k v_2, \dots, k v_n)

을 생성한다. 스칼라는 유리수, 대수적 수, 실수, 복소수뿐만 아니라 유한체를 포함한 임의의 체에서 취할 수 있다.

2. 2. 벡터의 성분으로서의 스칼라

선형대수학의 기본 정리에 따르면, 모든 벡터 공간은 기저를 갖는다. 따라서 체 ''K'' 위의 모든 벡터 공간은 해당 좌표 벡터 공간과 동형인데, 여기서 각 좌표는 ''K''의 원소로 구성된다. (예: 좌표 (''a₁'', ''a₂'', ..., ''a_n'') 여기서 ''a_i'' ∈ ''K''이고 ''n''은 고려 중인 벡터 공간의 차원임). 예를 들어, 차원 ''n''의 모든 실수 벡터 공간은 ''n''차원 실수 공간 '''R'''^''n''과 동형이다.

2. 3. 노름 공간의 스칼라

노름 공간에서, 노름은 벡터의 '길이'를 나타내는 스칼라 값이다.^[11] 벡터에 스칼라를 곱하면 노름도 그 스칼라의 절댓값만큼 곱해진다.^[11] 노름을 갖춘 벡터 공간을 노름 벡터 공간(또는 ''노름 선형 공간'')이라고 한다.^[11]

노름은 일반적으로 ''V''의 스칼라 필드 ''K''의 원소로 정의되며, 이는 후자를 부호의 개념을 지원하는 필드로 제한한다. ''V''의 차원이 2 이상이면 ''K''는 제곱근과 네 가지 산술 연산에 대해 닫혀 있어야 한다. 따라서 유리수 '''Q'''는 제외되지만, 무리수 체는 허용된다. 이러한 이유로 모든 스칼라 곱 공간이 노름 벡터 공간인 것은 아니다.^[11]

2. 4. 가군의 스칼라

가군은 스칼라 집합이 체가 아닌 환인 경우의 벡터 공간 일반화이다. 가군에서도 스칼라 곱셈이 정의된다. 예를 들어, ''R''이 환이라면, 곱공간 ''R''^''n''의 벡터는 ''R''의 원소를 항으로 갖는 ''n'' × ''n'' 행렬을 스칼라로 하여 모듈로 만들 수 있다. 또 다른 예는 다양체 이론에서 나오는데, 접다발의 절단 공간은 다양체 위의 실수 함수의 대수 위의 모듈을 형성한다.

3. 유래

스칼라(scalar)라는 말은 '사다리'를 뜻하는 라틴어 'scala'의 형용사형인 'scalaris'에서 따온 것이다.^[12] 이 용어를 수학에서 처음으로 쓴 사람은 프랑수아 비에트로, 그의 저서 《해석학입문_{In artem analyticem isagoge}》(1591년)에 쓰였다.

옥스포드 영어사전에 따르면 영어에서 이를 처음 쓴 사람은 윌리엄 로언 해밀턴으로, 1846년에 사원수의 실수부에 관한 내용을 서술하면서 사용하였다.^[5]^[6]^[10]

(대수적인 실수부는, 관련된 문제에 따라 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 전 범위에 걸친 하나의 척도(scale)에 속하는 어느 값이든 가질 수 있다. 따라서 이 부분을 ''''스칼라''' 부'라고 부르기로 하겠다.)^영어

해밀턴의 용례는 사원수 표기를 염두에 두고 쓴 것으로, 회전을 하나의 스칼라(사원수의 실수부)로 표현하고 벡터를 나머지 세개의 허수부로 표현하는 것이다.

4. 척도 변환

벡터 공간 및 가군의 스칼라 곱은 선형 변환의 일종인 척도 변환의 특수한 경우로 볼 수 있다. 척도 변환은 벡터의 크기를 스칼라 배만큼 변화시킨다. 스칼라 곱셈은 스케일링의 특수한 경우이며, 일종의 선형 변환이다.

5. 같이 보기

벡터 (물리)
텐서
선형대수학

참조

_[1] 서적 Linear Algebra and Its Applications https://archive.org/[...] Addison–Wesley
_[2] 서적 Linear Algebra and Its Applications Brooks Cole
_[3] 서적 Linear Algebra Done Right Springer
_[4] 웹사이트 Mathwords.com – Scalar http://www.mathwords[...]
_[5] 서적 In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua https://books.google[...] apud Iametium Mettayer typographum regium 1591-01-01
_[6] 웹사이트 Lincoln Collins. Biography Paper: Francois Viete http://math.ucdenver[...]
_[7] 서적 Linear Algebra and Its Applications Addison–Wesley
_[8] 서적 Linear Algebra and Its Applications Brooks Cole
_[9] 서적 Linear Algebra Done Right Springer
_[10] 웹사이트 Lincoln Collins. Biography Paper: Francois Viete http://math.ucdenver[...]
_[11] 웹사이트 유리수체에서 평방근을 추가하는 연산을 반복하여 얻는 체의 귀납적 극한 (또는 0과 1에서 유한번의 사칙연산과 제곱근을 취하는 연산을 통해 얻을 수 있는 모든 수의 집합) http://www.math.suny[...]
_[12] 문서 '저울', '규모' 등을 뜻하는 영어의 scale도 여기서 온 것이다.

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