순응 확률 과정

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
참조

1. 개요

순응 확률 과정은 여과 확률 공간에서 정의되는 확률 과정으로, 특정 시점까지의 정보를 기반으로 한다. 가측 공간 S와 각 t에 대한 확률 변수 X_t로 구성되며, 시간의 흐름에 따라 변화하는 확률 변수의 정보를 담는다. 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간에 대해 순응 확률 과정이 된다.

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순응 확률 과정
개요
유형	확률 과정
분야	확률론
관련 항목	마르팅게일
정의
영어 명칭	Adapted process
다른 이름	Non-anticipating stochastic process (비-예측 확률 과정)
설명
내용	어떤 시점까지의 정보를 안다는 것은 그 시점까지의 과정의 값을 안다는 것을 의미하는 확률 과정이다.
추가 설명	이토 적분에서 중요한 개념이다.

2. 정의

여과 확률 공간 $(\Omega,\mathcal F_t,\textstyle\Pr_t)_{t\in T}$ 위의 '''순응 확률 과정'''(adapted stochastic process^영어)은 다음 데이터로 주어진다.^[2]^[4]

가측 공간 $S$
각 $t\in T$ 에 대하여, 확률 변수 $X_t \colon(\Omega,\mathcal F_t,\textstyle\Pr_t) \to S$

만약

T

가 최댓값

\infty\in T

를 가질 때, 이는 확률 공간

(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr)

위의 확률 변수를 이룬다.

이는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 는 확률 공간이다.
$I$ 는 전순서 $\leq$ 를 가진 지수 집합이다. (흔히, $I$ 는 $\mathbb{N}$ , $\mathbb{N}_0$ , $[0, T]$ 또는 $[0, +\infty)$ 이다.)
$\mathbb F = \left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}$ 는 여과 시그마 대수 $\mathcal{F}$ 이다.
$(S,\Sigma)$ 는 ''상태 공간''인 가측 공간이다.
$X_i: I \times \Omega \to S$ 는 확률 과정이다.

확률 과정

(X_i)_{i\in I}

가 각

i \in I

에 대해 확률 변수

X_i: \Omega \to S

가

(\mathcal{F}_i, \Sigma)

-가측 함수이면,

\left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}

'''여과에 적응한다'''고 한다. 또는

(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})

를 확률 공간이라고 하고,

I

를 전순서

\leq

를 갖는 지수 집합 (

I

는

\mathbb{N}

,

\mathbb{N}_0

,

[0, T]

,

[0, +\infty)

인 경우가 많음),

\mathcal{F}_{\cdot} = \left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}

를 완전 가법족

\mathcal{F}

의 정보계,

(S,\Sigma)

를 측도 공간 (상태 공간),

X: I \times \Omega \to S

를 확률 과정이라고 할때,

X

가 임의의

i \in I

에 대해

X_i: \Omega \to S

가

(\mathcal{F}_i, \Sigma)

-가측 함수일 때, '''정보계'''

\left(\mathcal{F}_i\right)_{i \in I}

에 '''적합하다''' 고 한다.

3. 성질

정의에 따라, 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간에 대하여 순응 확률 과정을 이룬다. 다시 말해, 확률 과정은 스스로에 대한 “지식”을 가진다.

4. 예시

확률 과정 ''X'' : [0, ''T''] × Ω → '''R'''을 고려하고, 실수선 '''R'''에 열린 집합에 의해 생성된 일반적인 보렐 시그마 대수를 부여한다.

자연 여과 ''F''_•^''X''를 취하면, 여기서 ''F''_''t''^''X''는 보렐 부분 집합 ''B'' ⊂ '''R''' 및 시간 0 ≤ ''s'' ≤ ''t''에 대해 ''X''_''s''⁻¹(''B'')의 사전 이미지로 생성된 ''σ''-대수이므로, ''X''는 자동으로 ''F''_•^''X''에 적응된다. 직관적으로 자연 여과 ''F''_•^''X''는 시간 ''t''까지의 ''X''의 동작에 대한 "총 정보"를 포함한다.

이는 적응되지 않은 과정 ''X'' : [0, 2] × Ω → '''R'''의 간단한 예를 제공한다. 시간 0 ≤ ''t'' < 1에 대해 ''F''_''t''를 자명한 ''σ''-대수 {∅, Ω}로 설정하고, 시간 1 ≤ ''t'' ≤ 2에 대해 ''F''_''t'' = ''F''_''t''^''X''로 설정한다. 자명한 ''σ''-대수에 대해 측도가능할 수 있는 유일한 방법은 상수여야 하므로, [0, 1]에서 상수가 아닌 모든 과정 ''X''는 ''F''_•에 적응되지 않는다. 이러한 과정의 상수 아닌 특성은 더 정교한 "미래" ''σ''-대수 ''F''_''t'', 1 ≤ ''t'' ≤ 2에서 "정보를 사용"한다.

참조

_[1] 서적 Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations Wiley
_[2] 서적 Stochastic Differential Equations Springer
_[3] 서적 Diffusions, Markov Processes and Martingales: Foundations Wiley
_[4] 서적 Stochastic Differential Equations Springer

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