슈페르너의 정리

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1. 개요
2. 공식화
3. 부분 순서
4. 증명
5. 확장
참조

1. 개요

슈페르너의 정리는 원소의 개수가 n인 집합의 부분집합들로 구성된 반사슬의 최대 크기에 대한 정리이다. 이 정리에 따르면 반사슬 A의 크기는 n/2에 가장 가까운 크기를 갖는 부분집합의 개수보다 작거나 같다. 이 정리는 LYM 부등식을 이용하여 증명할 수 있으며, 부분 순서, 사슬, 에르되시 정리 등으로 확장될 수 있다.

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슈페르너의 정리
슈페르너의 정리
개요
분야	조합론
이름	슈페르너의 정리
명명자	에마누엘 슈페르너
발표 시기	1928년
내용
설명	유한 집합의 멱집합에서 가장 큰 반사슬의 크기는 이항 계수 n choose floor(n/2)와 같다.
관련 항목
관련 정리	딜워스의 정리 미르스키의 정리
관련 개념	반사슬

2. 공식화

원소의 개수가 n인 집합 S의 부분집합들의 모임 중 반사슬들을 모은 A는 다음 부등식을 만족한다.^[1]

: $|A| \le {n \choose \lfloor{n/2}\rfloor}.$

이를 '''슈페르너 부등식'''이라고도 한다. 이 정리를 증명하는 방법은 여러 가지인데, 가장 간단한 것은 LYM 부등식을 이용하는 방법이다. LYM 부등식은 슈페르너 부등식보다 강한 부등식이다. 원래 슈페르너는 LYM 부등식을 이용하지 않고 몇 개의 보조정리를 이용하여 비교적 복잡한 방법으로 이 부등식을 증명하였다.^[2] 나중에 네덜란드 수학자 니콜라스 고버르트 더 브라위인(Nicolaas Govert de Bruijn)이 제시한 대칭사슬 분해 기법을 이용하면 또다른 증명도 가능하다.^[3]

집합족에서 어떤 집합도 다른 집합의 진부분집합이 아닌 것을 슈페르너 집합 또는 반사슬, 또는 클러터라고 한다.

슈페르너의 정리는 ''n''개의 원소를 가진 집합에 대한 가장 큰 가능한 슈페르너 집합을 다음과 같이 명시한다.

# 합집합이 총 ''n''개의 원소를 갖는 모든 슈페르너 집합 ''S''에 대해, $|S| \le \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor},$ 이고,

# 등호는 ''S''가 크기가 $\lfloor n/2\rfloor$ 인 ''n''개의 원소 집합의 모든 부분집합 또는 크기가 $\lceil n/2\rceil$ 인 모든 부분집합으로 구성될 때에만 성립한다.

3. 부분 순서

부분 순서 너비 관점에서 슈페르너의 정리를 설명할 수 있다. ''n''-원소 집합의 모든 부분 집합의 집합(멱집합)은 집합 포함 관계에 의해 부분 순서를 가질 수 있다. 이 부분 순서에서 두 개의 서로 다른 원소가 서로를 포함하지 않을 때 비교 불가능하다고 한다. 부분 순서의 너비는 반사슬, 즉 쌍별로 비교 불가능한 원소들의 집합에 있는 원소의 최대 개수이다. 이 용어를 집합의 언어로 번역하면, 반사슬은 단순히 슈페르너 집합이고, 부분 순서의 너비는 슈페르너 집합에 있는 집합의 최대 개수이다.

따라서 슈페르너의 정리를 다른 방식으로 표현하면, 멱집합에 대한 포함 관계 순서의 너비는 $\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$ 이다.

계단형 부분 순서 집합은 최대 반사슬 중 하나가 모두 동일한 랭크를 가진 원소들의 집합으로 형성될 때 슈페르너 성질을 가진다고 말한다. 이 용어로, 슈페르너의 정리는 유한 집합의 모든 부분 집합의 부분 순서 집합은 집합 포함 관계에 의해 부분 순서를 가지며, 슈페르너 성질을 가진다고 말한다.

4. 증명

슈페르너의 정리에는 여러 증명이 있으며, 각 증명은 서로 다른 일반화로 이어진다.

다음 증명은 루벨(Lubell)에 의한 것이다. ''s_k''를 ''S''의 ''k''-집합의 개수로 나타내자. 모든 0 ≤ ''k'' ≤ ''n''에 대해,

: ${n \choose \lfloor{n/2}\rfloor} \ge {n \choose k}$

이고, 따라서,

: ${s_k \over {n \choose \lfloor{n/2}\rfloor}} \le {s_k \over {n \choose k}}.$

''S''는 안티체인이므로 위 부등식을 ''k'' = 0부터 ''n''까지 더하고, LYM 부등식을 적용하여 다음을 얻는다.

: $\sum_{k=0}^n{s_k \over {n \choose \lfloor{n/2}\rfloor}} \le \sum_{k=0}^n{s_k \over {n \choose k}} \le 1,$

이는 다음을 의미한다.

: $|S| = \sum_{k=0}^n s_k \le {n \choose \lfloor{n/2}\rfloor}.$

이것으로 1부의 증명이 완료된다.

등식을 갖기 위해서는 앞의 증명에서 모든 부등식이 등식이 되어야 한다.

: ${n \choose \lfloor{n/2}\rfloor} = {n \choose k}$

는 $k = \lfloor{n/2}\rfloor$ 또는 $\lceil{n/2}\rceil$ 일 때만 성립하므로, 등식은 ''S''가 $\lfloor{n/2}\rfloor$ 또는 $\lceil{n/2}\rceil$ 크기의 집합으로만 구성됨을 의미한다. 짝수 ''n''의 경우, 이것으로 2부의 증명이 완료된다.

홀수 ''n''의 경우는 더 복잡하며, 자세한 내용은 생략한다.

5. 확장

슈페르너의 정리는 여러 방식으로 확장할 수 있다. 기술한 LYM 부등식이 대표적인 확장 형태이다.^[4] 그밖의 것으로 에르되시 팔이 제시한 다음과 같은 정리가 있다.^[4]

원소의 개수가 n인 집합 S의 부분집합들의 모임 A에서, A에 속하는 S의 부분집합 중 어떤 k+1개도 사슬이 되지 않을 때, 다음 부등식이 성립한다.

:

|A| \le \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose \lfloor{(n+i)/2}\rfloor}.

슈페르너의 정리는 ''E''의 모든 부분 집합의 포셋인

\mathcal P(E)

의 부분 집합에 대해 여러 가지 일반화가 존재한다.

5. 1. LYM 부등식

슈페르너의 정리는 여러 방식으로 확장할 수 있는데, 기술한 LYM 부등식이 대표적인 확장 형태이다.^[4] 에르되시 팔이 제시한 다음과 같은 정리가 있다.^[4]

원소의 개수가 n인 집합 S의 부분집합들의 모임 A에서, A에 속하는 S의 부분집합 중 어떤 k+1개도 사슬이 되지 않을 때, 다음 부등식이 성립한다.

:

|A| \le \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose \lfloor{(n+i)/2}\rfloor}.

과 는 메샬킨의 일반화된 LYM 부등식에 대한 증명을 적용하여 에르되스 정리와 메샬킨 정리를 결합했다. 그들은 중복을 무시하고 ''p''-튜플의 ''i''번째 위치에 있는 집합이 모든

i = 1,2,\dots,p-1

에 대해 ''r''-체인-프리인 ''p''-합성의 패밀리의 최대 크기는

r^{p-1}

개의 가장 큰 ''p''-다항 계수의 합보다 크지 않다는 것을 보였다(그러나 ''i'' = ''p''에 대해서는 반드시 그렇지는 않다).

5. 2. 에르되시의 정리

에르되시 정리는 슈페르너의 정리를 확장한 것이다.^[4]

원소의 개수가 n인 집합 S의 부분집합들의 모임 A에서, A에 속하는 S의 부분집합 중 어떤 k+1개도 사슬이 되지 않을 때, 다음 부등식이 성립한다.

:

|A| \le \sum_{i=0}^{k-1} {n \choose \lfloor{(n+i)/2}\rfloor}.

사슬은 전순서 부분족

\{S_0,S_1,\dots,S_r\} \subseteq \mathcal P(E)

이며, 즉

S_0 \subset S_1\subset \dots\subset S_r

이다(번호를 다시 매길 수 있음). 사슬은 ''r'' + 1개의 원소를 가지며, 길이는 ''r''이다. ''r''-사슬이 없는 족( ''r''-족이라고도 함)은 ''E''의 부분 집합의 족으로, 길이가 ''r''인 사슬을 포함하지 않는다. 에르되시는 ''r''-사슬이 없는 족의 최대 크기는 ''r''개의 가장 큰 이항 계수

\binom{n}{i}

의 합과 같음을 증명했다.^[4] ''r'' = 1인 경우는 슈페르너의 정리이다.

5. 3. p-합성

집합 ''E''의 부분 집합들의 ''p''-튜플

\mathcal P(E)^p

에서, ''p''-튜플

(S_1,\dots,S_p)

가 다른 튜플

(T_1,\dots,T_p)

보다 작거나 같다는 것은 모든 ''i'' = 1, 2, ..., ''p''에 대해

S_i \subseteq T_i

일 경우를 말한다. 집합

S_1,\dots,S_p

가 ''E''의 분할을 형성한다면,

(S_1,\dots,S_p)

를 ''E''의 ''p''-분할이라 부른다. 메샬킨(Meshalkin)은 ''p''-분할의 반사슬의 최대 크기가 가장 큰 ''p''-다항 계수

\binom{n}{n_1\ n_2\ \dots\ n_p}

임을 증명했는데, 여기서 모든 ''n''_''i''는 가능한 한 거의 같게 (즉, 최대 1만큼 차이남) 한다. Meshalkin은 일반화된 LYM 부등식을 증명함으로써 이를 증명했다.

''p'' = 2인 경우는 슈페르너의 정리인데, 이때

S_2 = E \setminus S_1

이고, 가정은 집합

S_1

이 슈페르너 집합이 되는 것으로 축소되기 때문이다.

벡(Beck)과 자슬라브스키/Zaslavsky^영어(Zaslavsky)는 메샬킨의 일반화된 LYM 부등식에 대한 증명을 적용하여 에르되스 정리와 메샬킨 정리를 결합했다. 그들은 중복을 무시하고 ''p''-튜플의 ''i''번째 위치에 있는 집합이 모든

i = 1,2,\dots,p-1

에 대해 ''r''-체인-프리인 ''p''-합성의 패밀리의 최대 크기는

r^{p-1}

개의 가장 큰 ''p''-다항 계수의 합보다 크지 않다는 것을 보였다(그러나 ''i'' = ''p''에 대해서는 반드시 그렇지는 않다).

5. 4. 사영 기하학

유한체

F_q

위의 차원 ''d''의 유한 사영 기하 PG(''d'', ''F''_''q'')에서,

\mathcal L(p,F_q)

를 모든 부분 공간의 집합으로 두고 집합 포함 관계에 의해 부분 순서가 정해지면, 이 집합은 격자가 된다. Rota^영어와 Harper^영어는 1971년에

\mathcal L(p,F_q)

에서의 안티체인의 최대 크기가 가장 큰 가우스 계수

\begin{bmatrix} d+1 \\ k\end{bmatrix}

임을 증명했는데, 이는 슈페르너의 정리의 사영 기하학적 아날로그 또는 ''q''-아날로그이다.

이들은 또한

\mathcal L(p,F_q)

에서 ''r''-체인-프리 집합의 최대 크기는 가장 큰 ''r''개의 가우스 계수의 합임을 증명했다. 이들의 증명은 LYM 부등식의 사영 아날로그에 의한다.

5. 5. p-합성과 사영 기하학의 결합

벡과 자슬라브스키/Beck and Zaslavsky^영어(2003)는 Rota-Harper 정리에 대한 Meshalkin과 유사한 일반화를 얻었다. PG(''d'', ''F''_''q'')에서 '''Meshalkin 수열'''의 길이 ''p''는 PG(''d'', ''F''_''q'')의 어떤 고유 부분 공간도 이들을 모두 포함하지 않고 차원의 합이

d-p+1

인 투영 부분 공간의 수열

(A_1,\ldots,A_p)

이다. 이 정리는 PG(''d'', ''F''_''q'')에서 길이가 ''p''인 Meshalkin 수열의 집합으로, 수열의 위치 ''i''에 나타나는 부분 공간이 각

i = 1,2,\dots,p-1

에 대해 길이 ''r''의 사슬을 포함하지 않는다면, 다음 양의 가장 큰

r^{p-1}

의 합보다 크지 않다는 것이다.

:

\begin{bmatrix} d+1 \\ n_1\ n_2\ \dots\ n_p \end{bmatrix} q^{s_2(n_1,\ldots,n_p)},

여기서

\begin{bmatrix} d+1 \\ n_1\ n_2\ \dots\ n_p \end{bmatrix}

(여기서는

d+1 = n_1+\cdots+n_p

로 가정한다)는 ''p''-가우스 계수를 나타낸다.

:

\begin{bmatrix} d+1 \\ n_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d+1-n_1 \\ n_2 \end{bmatrix} \cdots \begin{bmatrix} d+1-(n_1+\cdots+n_{p-1} )\\ n_p \end{bmatrix}

그리고

:

s_2(n_1,\ldots,n_p) := n_1n_2 + n_1n_3 + n_2n_3 + n_1n_4 + \cdots + n_{p-1}n_p,

숫자

n_1, n_2, \dots, n_p.

의 두 번째 기본 대칭 함수이다.

참조

_[1] 서적 새로운 조합수학 교우사
_[2] 서적 새로운 조합수학 교우사
_[3] 서적 새로운 조합수학 교우사
_[4] 서적 새로운 조합수학 교우사

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