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에르되시 팔

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목차

1. 개요

에르되시 팔은 1913년 오스트리아-헝가리 부다페스트에서 태어난 수학자이다. 그는 무한급수와 집합론을 16세에 접하며 수학에 매료되었고, 21세에 수학 박사 학위를 받았다. 헝가리의 반유대주의를 피해 미국으로 이주한 그는, 1,500편에 달하는 공동 논문을 발표하며 역사상 가장 많은 공동 연구를 한 수학자로 기록되었다. 에르되시 수는 에르되시 자신과의 공동 연구 관계를 나타내는 척도로, 그를 기리는 개념이다. 그는 생전에 해결되지 않은 수학 문제에 상금을 걸었고, 조합론, 그래프 이론, 수론 분야에서 많은 업적을 남겼다. 에르되시는 1996년 바르샤바에서 열린 학회 참석 중 심근 경색으로 사망했다.

2. 생애

에르되시 팔은 1913년 3월 26일 오스트리아-헝가리 부다페스트에서 태어났다.[7] 그의 부모는 안나와 러요시 에르되시로, 둘 다 유대인 고등학교 수학 교사였다.[8][10] 에르되시는 외아들이었는데, 두 누이가 그가 태어나기 며칠 전 성홍열로 사망했기 때문이다.[9]

에르되시는 아버지와 독일인 보모에게서 자랐다.[12] 아버지는 1914년부터 1920년까지 시베리아에 포로로 억류되었고,[10] 어머니는 생계를 위해 장시간 일해야 했다. 아버지는 억류 중 독학으로 영어를 배웠으나 발음이 부정확했고, 훗날 에르되시에게 영어를 가르치면서 이 발음을 물려주었다.[11]

에르되시는 부모가 남긴 수학 교재로 독학하며, 다섯 살 때 사람 나이로 산 햇수를 초 단위로 계산할 수 있었다.[12] 누이들의 죽음으로 어머니와 매우 가까워져, 대학 진학 전까지 함께 잠자리를 같이했다.[13][14]

16세 때, 아버지는 무한급수와 집합론을 소개했고, 에르되시는 KöMaL (중등학교 수학 및 물리 저널)의 문제 해결에 열중했다.[15] 17세에 전국 시험에서 우승, 외트뵈시 로란드 대학교에 진학했다. 당시 헝가리 대학은 ''numerus clausus''로 유대인 입학이 제한되었다.[11][16] 20세에 체비쇼프 정리를 증명했고,[16] 1934년, 21세에 수학 박사 학위를 받았다. 지도 교수는 리포트 페예르였다.[16] 이후 맨체스터에서 박사 후 연구를 했다.

1938년, 유대인 탄압을 피해 미국으로 이주했으나,[16] 프린스턴 고등 연구소 펠로우십은 "세련되지 않고 틀에 얽매이지 않는다"는 이유로 6개월 만에 종료되었다.[11] 제2차 세계 대전 동안 에르되시 가족 대부분이 부다페스트에서 사망했고, 어머니만 살아남았다.[16][17]

1950년대 적색 공포와 매카시즘으로 미국 재입국 비자가 거부되어,[22][23][24] 이스라엘로 이주, 예루살렘 헤브루 대학교 등에서 재직했다.[25] 당시 헝가리는 바르샤바 조약기구 소속 소련 영향권이었으나, 1956년 에르되시는 자유 출입국 특권을 얻었다.

1963년 미국 비자를 재발급받아 미국에서 활동했으나,[26] 1973년 자발적으로 헝가리를 떠났다. 이후 최소 15개 명예 박사 학위를 받았고, 여러 국가의 과학 아카데미 회원이 되었다.[27] 1977년 네덜란드 왕립 예술 과학 아카데미 외국인 회원이 되었고,[28] 사망 직전 워털루 대학교 명예 학위를 포기했다.[29][30]

왼쪽부터 시계 반대 방향: 에르되시, 판 충, 로널드 그레이엄, 1986년 일본


1996년 9월 20일, 바르샤바 회의 참석 중 심근 경색으로 사망했다.[19] 미혼으로 자녀는 없었고,[8] 부다페스트 코즈마 거리 묘지에 부모와 함께 묻혔다.[20]

2. 1. 유년 시절

에르되시 팔은 1913년 3월 26일 오스트리아-헝가리 제국 부다페스트의 유대인 가정에서 태어났다.[7] 아버지 에르되시 러요시(Erdős Lajoshu)와 어머니 어너(Annahu)는 모두 고등학교 수학 교사였다.[8] 아버지의 원래 성은 엥글렌데르(Engländerhu)였으나, "에르되시"로 개명하였다. 에르되시는 외동아들로 자랐는데, 그가 태어나기 전 두 누나가 성홍열로 사망했기 때문이다.[9]

1914년, 아버지 러요시는 러시아 제국 군대에 포로로 잡혀 시베리아에서 6년간 전쟁 포로 생활을 했다.[10] 어머니는 남편과 두 딸을 잃은 후 에르되시에게 극도로 집착했고, 에르되시는 학교에 가지 않고 가정 교사에게 교육을 받았다. 에르되시는 집에 있는 수학 서적을 읽으며 스스로 공부했고, 4살 때 이미 소수의 성질을 발견하기도 했다.[12] 1920년에 귀환한 아버지는 에르되시에게 수학과 영어를 가르쳤는데, 이때 익힌 독특한 영어 억양은 평생 동안 남았다.[11]

2. 2. 청년 시절

1934년, 에르되시는 헝가리의 반유대주의 정책을 피해 영국 맨체스터로 이주하여 객원 강사로 일했다.[147] 1938년에는 미국 뉴저지주 프린스턴에 있는 고등연구소에서 장학생 자격으로 10년간 일하게 되었다.[147]

2. 3. 성년 시절

1934년, 에르되시는 헝가리의 반유대주의 정책을 피해 영국 맨체스터로 망명했다.[147] 1938년에는 미국 프린스턴 대학교에서 연구원으로 일하게 되었으나, 종신 재직권을 얻지 못하고 떠돌이 연구 생활을 시작했다.[147]

에르되시는 순진하고 아이 같은 독특한 성품을 지녔다고 알려져 있다. 1941년에는 롱아일랜드의 군사 통신 시설을 모르고 지나쳐 스파이 혐의로 체포되기도 했다.[147] 그는 한 직장에 오래 머무르지 않고 전 세계를 돌아다니며 여러 대학에서 연구 활동을 이어갔다. 그는 거의 1,500편에 달하는 공동 논문을 발표하여 역사상 가장 많은 공동 연구를 한 수학자로 기록되었다.[147] 에르되시와의 공동 연구 관계를 나타내는 "에르되시 수"라는 개념이 만들어질 정도로, 그는 수학을 사회적 활동으로 여겼다.[147]

1950년대 초, 매카시즘의 영향으로 에르되시는 미국 입국 비자가 거부되어 10년 동안 이스라엘에서 주로 생활해야 했다.[147] 1963년에 다시 미국 비자를 발급받아 연구 활동을 재개했다.[147]

2. 4. 말년

에르되시는 1971년 어머니가 세상을 떠난 뒤 암페타민을 복용하기 시작했다. 하루 4-5시간만 자면서 극도로 오랜 시간 연구에 몰두했다.[146] 1979년 친구 로널드 그레이엄이 한 달 동안 약을 먹지 않으면 500USD를 주겠다고 제안했고, 에르되시는 이 내기에서 이겼다. 하지만 약물 복용을 중단한 동안 연구를 제대로 할 수 없어 "이 바보같은 내기 때문에 인류의 수학 발전이 한 달 늦춰졌다"고 불평했다.[146] 내기가 끝난 직후 에르되시는 다시 리탈린과 암페타민을 사용하기 시작했다.[147]

이후 30년간, 에르되시는 "공식적으로" 이스라엘, 미국, 영국의 몇 대학에 자리를 갖고 있었지만, 실제로는 한 곳에 머무르지 않고 적당한 대학들을 전전하며 방랑자 생활을 하였다.

에르되시는 말년까지 활발한 연구 활동을 계속하였다. 1996년 9월 20일 폴란드 바르샤바에서 열린 학회가 끝난 몇 시간 후 심근 경색으로 83세의 나이로 사망하였다. 에르되시는 평생 독신이었으며 자녀를 두지 않았다.[148]

에르되시는 부다페스트의 코즈마 가(街) 유대인 공동 묘지(Kozma utcai izraelita temetőhu)에서 부모 옆에 매장되었다. 그의 묘비에는 "드디어 점점 더 멍청해지지 않게 되었군."이라는 농담이 적혀 있다.[147]

3. 주요 업적

에르되시는 이론보다는 특별히 어렵다고 여겨지는 문제들을 해결하는 데 주력한 "문제 해결사"였다. 그는 조합론, 그래프 이론, 수론 분야에서 많은 중요한 업적을 남겼다. 특히, 램지 이론의 발전과 확률적 방법의 적용에 크게 기여했다.[116] 극단 조합론은 그에게서 전체적인 접근 방식을 빚졌으며, 이는 부분적으로 해석적 정수론의 전통에서 파생되었다.

에르되시는 파프누티 체비쇼프의 증명보다 훨씬 더 깔끔한 베르트랑의 공준에 대한 증명을 발견했다. 그는 아틀레 셀버그와 함께 소수 정리의 최초의 초등 증명을 발견했으나, 증명 과정과 출판에 대한 의견 차이로 인해 둘 사이에는 격렬한 논쟁이 벌어졌다.[120][121] 1951년, 수론 분야의 여러 논문으로 미국 수학회에서 수여하는 콜 상을 수상했다.

에르되시는 위상수학과 같이 실제로는 거의 관심이 없는 분야에도 기여했는데, 0차원 공간이 아닌 완전 연결이 끊어진 위상 공간의 예를 처음으로 제시하여 에르되시 공간으로 불린다.[122]

그는 수학 역사상 레온하르트 오일러 다음으로 많은 논문을 쓴 수학자이다. 오일러와 달리 논문의 대부분을 다른 수학자들과 공동으로 발표했다.[111] 평생 약 1,525편의 수학 논문을 썼지만,[112] 대부분 공동 저술이었다.[111] 그는 수학을 사회 활동으로 굳게 믿고 실천했으며,[113] 평생 511명의 연구자와 공동 연구를 진행했다.[114]

에르되시는 1985년 애들레이드 대학교에서 당시 10세였던 테렌스 타오에게 문제를 설명하고 있다. 타오는 2006년 필즈상을 받았으며, 2007년 왕립 학회 회원으로 선출되었다.


에르되시는 많은 젊은 수학자들에게 영향을 미쳤다.

에르되시와 가장 빈번하게 공동 연구를 진행한 학자들은 다음과 같다.

공동 연구자논문 수
사르쾨지 언드라시62
하이날 언드라시56
랄프 파우드레이50



다른 주요 공동 연구자들은 에르되시 수별 사람 목록에서 에르되시 수가 1인 사람들의 목록을 참조하면 된다.[128]

3. 1. 에르되시의 문제

에르되시는 생전에 해결되지 않은 수학 문제들에 상금을 걸었다.[125] 상금 액수는 현재 수학적 사고로는 해결하기 어렵다고 생각되는 문제에 대해서는 25USD였고, 풀기 어렵고 수학적으로도 중요한 문제에 대해서는 수천 달러에 이르렀다. 천 개 이상의 미해결 문제가 있는 것으로 추정되지만, 상금 대상 문제에 대한 공식 목록은 없다. 에르되시 사후에도 상금은 유효하며, 로널드 그레이엄이 비공식적으로 관리하고 있다. 문제를 해결한 사람은 에르되시가 생전에 서명한 수표(기념품) 또는 그레이엄이 발행한 현금화 가능한 수표를 받을 수 있다.[126]

수학적으로 가장 중요하다고 생각되는 문제는 등차수열에 관한 에르되시 추측이다. 내용은 다음과 같다.

:"일련의 정수의 역수의 합이 발산한다면, 그 수열에는 임의의 길이의 등차수열이 포함된다."

이 추측이 참이라면, 수론의 다른 미해결 문제 몇 가지가 해결될 것이다. 이 추측의 주요 내용은 그린-타오 정리와는 별개로 증명되었다. 이 문제의 상금은 현재 5000USD이다.[127]

에르되시 상 문제 중 가장 잘 알려진 것은 콜라츠 추측(3''N''+1 문제)이며, 상금은 500USD이다.

4. 에르되시 수

에르되시 팔은 다작을 한 것으로 유명하며, 그의 친구들은 존경과 가벼운 유머를 담아 '에르되시 수'라는 개념을 만들었다.[50] 에르되시 수는 에르되시 자신과의 공동 연구 관계를 나타내는 척도로, 에르되시 자신은 0, 그의 직접적인 공동 연구자는 1, 에르되시 수가 n인 연구자와 공동 연구한 연구자는 n+1의 값을 갖는다.[50] 약 20만 명의 수학자들이 에르되시 수를 부여받았으며,[50] 일부에서는 전 세계 활동적인 수학자의 90%가 8보다 작은 에르되시 수를 갖는 것으로 추정한다(이는 스몰 월드 현상과 관련이 있다).[51] 수학자들과의 협업으로 인해 물리학, 공학, 생물학, 경제학 등 여러 분야의 과학자들도 에르되시 수를 갖는다.[51]

몇몇 연구에 따르면, 주요 수학자들은 특히 낮은 에르되시 수를 갖는 경향이 있다.[52] 예를 들어, 에르되시 수가 알려진 약 268,000명의 수학자들의 중앙값은 5이다.[53] 반면, 필즈상 수상자들의 에르되시 수 중앙값은 3이다.[54] 2015년 기준으로, 약 11,000명의 수학자가 2 이하의 에르되시 수를 가지고 있다.[55][56] 에르되시 수가 낮은 수학자들이 사망하고 협업이 불가능해짐에 따라, 협업 거리는 장기간에 걸쳐 필연적으로 증가한다. 미국 수학회는 수학 리뷰 카탈로그에 등재된 모든 수학 저자의 에르되시 수를 결정할 수 있는 무료 온라인 도구를 제공한다.[57]

에르되시 수는 분석가인 캐스퍼 고프만에 의해 처음 정의되었을 가능성이 가장 높으며,[58] 그의 에르되시 수는 2이다. 고프만은 에르되시와 공동 저술한 리처드 B. 다스트와 공동 저술했다.[59] 고프만은 1969년 논문 "당신의 에르되시 수는 무엇입니까?"[60]에서 에르되시의 다작 협업에 대한 자신의 관찰을 발표했다.

제리 그로스만은 야구 명예의 전당 헌액자 행크 애런이 에르되시 수 1을 갖는다고 주장할 수 있는데, 이는 두 사람이 에모리 대학교에서 같은 날 명예 학위를 받았을 때 (칼 포머란스를 위해) 동일한 야구공에 서명했기 때문이다.[61] 에르되시 수는 또한 유아, 말, 그리고 몇몇 배우들에게도 제안되었다.[62]

5. 성격 및 어록

에르되시는 순진하고 아이 같은 독특한 성품을 지녔으며, 소유에 큰 의미를 두지 않고 대부분의 삶을 방랑 생활로 보냈다.[18] 그는 자신만의 독특한 어휘를 사용했는데, 예를 들어 어린이를 "엡실론", 여성을 "보스", 남성을 "노예"라고 불렀다.[71] 수학 강의를 "설교",[72] 수학을 그만둔 사람을 "죽었다"라고 표현하는 등 독특한 언어 습관을 가졌다.[71]

그는 불가지론적 무신론자였지만,[67][68] 신이 가장 훌륭하고 우아한 수학적 증명을 적어 놓은 "그 책"을 언급하며 "신을 믿을 필요는 없지만 '그 책'은 믿어야 한다"라고 말하기도 했다.[69] 그는 신을 "최고 파시스트(SF)"라고 부르며 그의 양말과 헝가리 여권을 숨기고 가장 우아한 수학적 증명을 혼자 간직하고 있다고 비난했다.[70]

1971년 어머니가 세상을 떠난 뒤 암페타민을 복용하기 시작했다.[147] 1979년, 친구 로널드 그레이엄이 한 달 동안 약을 먹지 않으면 500달러를 주겠다고 제안했고, 에르되시는 이 내기에서 이겼다. 하지만 약물 복용을 중단한 동안 연구를 제대로 할 수 없었고, "이 바보 같은 내기 때문에 인류의 수학 발전이 한 달 늦춰졌다"라고 불평했다.[146] 내기가 끝난 직후 에르되시는 다시 리탈린과 암페타민을 사용하기 시작했다.[147]

그는 미국을 "샘랜드"(엉클 샘), 소련을 "조돔"(이오시프 스탈린에서 유래) 등으로 부르는 등 여러 국가에 별명을 붙였다.[71]

5. 1. 대표적인 어록


  • "다른 지붕, 다른 증명 (Another roof, another proof)"[149][92]
  • "수학자는 커피를 정리로 바꾸는 기계다. (A mathematician is a machine for turning coffee into theorems)"[150][151] (레니 알프레드의 말을 인용한 것[93])
  • "내 뇌는 열려있다 (My brain is open)"
  • "신은 믿을 필요가 없지만, 그 ‘책’은 믿어야 한다. (You don't have to believe in God, but you should believe in The Book.)"[152]

6. 유산 및 평가

에르되시는 수많은 젊은 수학자들에게 영감을 주었으며, 그의 연구 업적과 독특한 삶의 방식은 많은 이들에게 귀감이 되었다.[74] 그의 생애와 업적은 여러 권의 책과 다큐멘터리 영화로 제작되었다. 폴 호프만의 《숫자만 사랑한 남자》, 조지 치세리의 《N은 숫자: 폴 에르되시의 초상》 등이 대표적이다.[75] 2021년에는 소행성 405571이 에르되시를 기념하여 "에르되시 팔"로 명명되었다.[76]

그는 다작을 한 것으로 유명하며, 친구들은 그를 기리기 위해 에르되시 수를 만들었다. 에르되시 수는 에르되시 자신과의 협업 관계를 나타내는 수치로, 에르되시와 함께 논문을 썼거나 에르되시 수를 가진 다른 사람과 함께 논문을 쓴 정도에 따라 결정된다.[50] 약 20만 명의 수학자들이 에르되시 수를 부여받았으며, 일부에서는 전 세계 활동적인 수학자의 90%가 8보다 작은 에르되시 수를 갖는 것으로 추정한다.[51]

몇몇 연구에 따르면, 주요 수학자들은 특히 낮은 에르되시 수를 갖는 경향이 있다.[52] 예를 들어, 필즈상 수상자들의 에르되시 수 중앙값은 3이다.[54] 2015년 기준으로, 약 11,000명의 수학자가 2 이하의 에르되시 수를 가지고 있다.[55][56] 미국 수학회는 수학 리뷰 카탈로그에 등재된 모든 수학 저자의 에르되시 수를 확인할 수 있는 무료 온라인 도구를 제공한다.[57]

에르되시 팔의 묘, 코즈마 거리 묘지, 부다페스트

참조

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[78] 웹사이트 Paul Erdős http://www.britannic[...] Encyclopædia Britannica 2017-09-14
[79] 웹사이트 Paul Erdos: The Oddball's Oddball http://www.time.com/[...] Time Magazine 2017-09-14
[80] 웹사이트 Encyclopædia Britannica article http://www.britannic[...]
[81] 웹사이트 Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph http://oakland.edu/e[...] 2017-09-14
[82] 웹사이트 Erdos biography http://www.gap-syste[...] Gap-system.org 2010-05-29
[83] 학술 Paul Erdős 26 March 1913 - 20 September 1996: Elected For.Mem.R.S. 1989
[84] 웹사이트 Paul Erdős http://www-history.m[...] 2015-06-11
[85] 문서 Hoffman, p.66.
[86] Youtube Paul Erdős: The Man Who Loved Only Numbers [1998] https://www.youtube.[...]
[87] 웹사이트 Paul Erdős just left town http://www.cs.uchica[...]
[88] 비디오 N Is a Number: A Portrait of Paul Erdős Springer Verlag
[89] 문서 grave 17A-6-29 http://www.agt.bme.h[...]
[90] 문서 Hoffman, p. 3.
[91] 서적 Combinatorics, Paul Erdős is eighty
[92] 문서 Cited in at least 20 books https://www.google.c[...]
[93] 전기 Biography of Alfréd Rényi http://www-history.m[...]
[94] 서적 My Brain is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdős
[95] 학술 Child Prodigies http://www.amt.edu.a[...] 2012-07-17
[96] 문서 藤原正彦は「エルデシュ数」（『とんでもない奴』新潮社 2014年）pp.159-161でエルデシュに会った時のことを書いていて、シュミット教授夫人が「一昨年、母親を失って以来、アンフェタミンという覚せい剤を医師に処方してもらっているそうよ。ずっと母親がすべてだったの」という言葉を紹介し、「数学に没頭することで辛うじて生き延びているのだろうと思った」と書いている。
[97] 전기 Paul Erdos, Mathematical Genius, Human (In That Order) http://www.untruth.o[...]
[98] 문서 ポール・ホフマン『放浪の天才数学者エルデシュ』第0章
[99] 웹사이트 Centenary of Mathematician Paul Erdős – Source of Bacon Number Concept https://www.huffpost[...] Huffington Post 2013-03-26
[100] 서적 Quotable Atheist: Ammunition for Nonbelievers, Political Junkies, Gadflies, and Those Generally Hell-Bound Nation Books
[101] 서적 My brain is open: The mathematical journeys of Paul Erdős Simon & Schuster
[102] 서적 Variety in Religion And Science: Daily Reflections iUniverse
[103] 문서 Hoffman, chapter 1. https://www.nytimes.[...]
[104] 문서 Israelの"e"と"a"が入れ替わっている
[105] 문서 もちろん、この「説教」(preach) は先述の通り講義・講演を意味する彼独特の語彙である。
[106] 웹사이트 The Man Who Loved Only Numbers - The Story of Paul Erdös and the Search for Mathematical Truth https://archive.nyti[...] The New York Times 2023-07-28
[107] 웹사이트 Erdos biography http://www-history.m[...] School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland 2000-01-01
[108] 논문 Paul Erdős (1913–1996) http://www.ams.org/n[...] American Mathematical Society
[109] 웹사이트 Dear President Downey http://ecp6.jussieu.[...] 1996-06-04
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[112] 웹사이트 Publications of Paul Erdös http://www.oakland.e[...] 2011-02-01
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[115] 문서 This essay is in ''Mathematics: Frontiers and Perspectives'', Edited by V. I. Arnold, Michael Atiyah, Peter D. Lax and Barry Mazur, American Mathematical Society, 2000. http://www.dpmms.cam[...]
[116] 문서 Joel Spencer, "Prove and Conjecture!", a review of ''Mathematics: Frontiers and Perspectives''. ''American Scientist'', Volume 88, No. 6 November-December 2000
[117] 웹사이트 Paths to Erdös — The Erdös Number Project http://www.oakland.e[...]
[118] 문서 From "trails to Erdos", by DeCastro and Grossman, in ''The Mathematical Intelligencer'', vol. 21, no. 3 (Summer 1999), 51-63: A careful reading of Table 3 shows that although Erdos never wrote jointly with any of the 42 [Fields] medalists (a fact perhaps worthy of further contemplation)... there are many other important international awards for mathematicians. Perhaps the three most renowned...are the Rolf Nevanlinna Prize, the Wolf Prize in Mathematics, and the Leroy P. Steele Prizes. ... Again, one may wonder why KAPLANSKY is the only recipient of any of these prizes who collaborated with Paul Erdös. (After this paper was written, collaborator Lovász received the Wolf prize, making 2 in all). https://files.oaklan[...]
[119] 웹사이트 Wolf Foundation Mathematics Prize Page http://www.wolffund.[...] Wolffund.org.il 2010-05-29
[120] 논문 The Elementary Proof of the Prime Number Theorem: an Historical Perspective
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[123] 문서 高校数学の美しい物語|926|整数論の美しい定理７つ
[124] 논문 Beweis eines Satzes von Tschebyschef https://users.renyi.[...]
[125] 뉴스 Math genius left unclaimed sum http://www.edmontonj[...] Edmonton Journal 2010-09-28
[126] 논문 Erdös's Hard-to-Win Prizes Still Draw Bounty Hunters http://www.sciencema[...] 2002-04-05
[127] 서적 The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators Springer 2008
[128] 웹사이트 List of collaborators of Erdős by number of joint papers http://www.oakland.e[...]
[129] 웹사이트 Erdős Number Project https://files.oaklan[...]
[130] 간행물 From Benford to Erdös http://www.wnyc.org/[...] 2009-09-30
[131] 웹사이트 Some Famous People with Finite Erdös Numbers http://www.oakland.e[...] 2011-02-01
[132] 논문 Famous trails to Paul Erdős http://www.oakland.e[...]
[133] 웹사이트 Facts about Erdös Numbers and the Collaboration Graph https://www.oakland.[...] 2017-09-14
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[135] 웹사이트 Erdos2 https://files.oaklan[...] 2017-09-14
[136] 웹사이트 The Erdős Number Project http://www.oakland.e[...]
[137] 웹사이트 http://www.ams.org/m[...]
[138] 웹사이트 from the Erdos Number Project https://files.oaklan[...]
[139] 웹사이트 obituary of Paul Erdős http://www.math.purd[...]
[140] 논문 And what is your Erdős number?
[141] 웹사이트 Items of Interest Related to Erdös Numbers http://www.oakland.e[...] 2017-09-17
[142] 웹사이트 Extended Erdős Number Project http://harveycohen.n[...]
[143] 서적 My Brain is Open. The Mathematical Journeys of Paul Erdos Simon & Schuster 1998
[144] Youtube Paul Erdös: N is a number zRNGV85kPbI 1991
[145] 뉴스 Children's Books Beautiful Minds ‘The Boy Who Loved Math’ and ‘On a Beam of Light’ https://www.nytimes.[...] New York Times 2014-10-29
[146] 문서 Paul Erdos, Mathematical Genius, Human (In That Order) http://www.untruth.o[...]
[147] 서적 The Man Who Loved Only Numbers https://archive.nyti[...] 2022-05-04
[148] 간행물 Paul Erdős 26 March 1913 – 20 September 1996: Elected For.Mem.R.S. 1989
[149] 문서 또 다른 지붕이란, 또 다른 장소를 의미한다.
[150] 문서 이 어구는 사실 에르되시의 동료 [[레니 얼프레드]](Rényi Alfréd)가 한 말이나, 에르되시가 한 말로 종종 오인되곤 한다고 한다.
[151] 웹인용 Biography of Alfréd Rényi https://mathshistory[...] 2022-05-04
[152] 서적 우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다
[153] 문서 My Brain Is Open : The Mathematical Journeys of Paul Erdos 1998


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