양-백스터 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 대칭성
5. 매개변수화와 해
- 5.1. 해의 예시
- 5.2. 해의 분류
6. 집합론적 양-백스터 방정식
- 6.1. 집합론적 해의 예시
7. 고전적 양-백스터 방정식
참조

1. 개요

양-백스터 방정식은 1960년대 후반과 1970년대 초에 양전닝과 로드니 백스터에 의해 독립적으로 발견되었다. 이 방정식은 2차원 양자장론, 통계역학, 땋임 이론 등 다양한 분야에서 나타나며, 특히 양자 적분가능계에서 중요한 역할을 한다. 양-백스터 방정식은 다체 산란 행렬이 2체 산란 행렬로 인수분해될 때 나타나는 일관성 조건으로, 2입자 산란 행렬 간의 관계를 나타낸다. 이 방정식은 일반적인 형태, 매개변수 독립 형태, 기저 및 땋임군 표현 등 다양한 형태로 표현되며, 해는 유리형, 삼각함수형, 타원형으로 분류된다. 집합론적 양-백스터 방정식과 고전적 양-백스터 방정식과 같은 관련 개념도 존재한다.

2. 역사

양전닝이 1968년에,^[12] 로드니 백스터(Rodney J. Baxter)가 1971년에^[13] 독자적으로 양-백스터 방정식을 발견하였다.

진보^[1]에 따르면, 양-백스터 방정식은 1964년 J. B. 맥과이어^[2]와 1967년 양전닝^[3]의 연구에서 처음 나타났다. 이들은 1차원 양자역학적 다체 문제를 연구하면서 산란 행렬이 2체 문제의 산란 행렬로 인수분해됨을 보였고, 양-백스터 방정식은 이 인수분해의 일관성 조건으로 나타났다.

통계역학에서 양-백스터 방정식의 기원은 1944년 라르스 온사거(Lars Onsager)의 아이징 모형(Ising model) 해법에서 언급된 스타-삼각 관계(star-triangle relation)에서 비롯되었을 것으로 추정된다.^[4] 1972년 로드니 백스터는 8-꼭짓점 모형(eight-vertex model)을 해결하면서 양-백스터 방정식을 명시적으로 사용하였다.^[5]

2차원 양자장론의 인수분해 S-행렬 이론에서도 양-백스터 방정식이 나타났으며,^[6] 알렉산드르 자몰로치코프(Alexander Zamolodchikov)는 이 이론의 대수적 역학이 백스터 등의 연구와 동일함을 지적했다.^[7]

1966년 알기만타스 아돌파스 주시스(Algimantas Adolfas Jucys)의 연구에서 영 연산자(Young operator)가 대칭군의 군환에 나타났는데, 여기서도 양-백스터 방정식이 발견되었다.^[8]

3. 정의

양자 적분가능계에서는 모든 다입자 산란 행렬이 2입자 (2→2) 산란 행렬로 인수분해된다. 이 경우, 2입자 산란 행렬은 두 입자 사이의 상대 신속도 및 두 입자의 양자역학적 상태들로 결정된다.

이 경우, 2입자 산란 행렬들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다. 이를 '''양-백스터 방정식'''이라고 한다. 세 계의 입자 1,2,3의 산란 행렬에 대해서,

: $R_{12}(\gamma_1-\gamma_2)R_{13}(\gamma_1-\gamma_3)R_{23}(\gamma_2-\gamma_3)=R_{23}(\gamma_2-\gamma_3)R_{13}(\gamma_1-\gamma_3)R_{12}(\gamma_1-\gamma_2)$

이다.

3. 1. 일반적인 형태

A

를 단위적 결합 대수라고 할 때, 가장 일반적인 형태의 양-백스터 방정식은

A \otimes A

의 텐서 곱의 매개변수 의존 원소인

R(u,u')

에 대한 방정식이다. 여기서

u

와

u'

는 매개변수이며, 덧셈 매개변수의 경우 일반적으로 실수 ℝ를, 곱셈 매개변수의 경우 양의 실수 ℝ⁺를 범위로 한다.

R_{ij}(u,u') = \phi_{ij}(R(u,u'))

이고

1\le i< j \le3

라고 하자. 여기서 대수 준동형 사상

\phi_{ij} : A \otimes A \to A \otimes A \otimes A

는 다음과 같이 결정된다.

:

\phi_{12}(a \otimes b) = a \otimes b \otimes 1,

:

\phi_{13}(a \otimes b) = a \otimes 1 \otimes b,

:

\phi_{23}(a \otimes b) = 1 \otimes a \otimes b.

일반적인 형태의 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:

R_{12}(u_1,u_2) \ R_{13}(u_1,u_3) \ R_{23}(u_2,u_3) = R_{23}(u_2,u_3) \ R_{13}(u_1,u_3) \ R_{12}(u_1,u_2),

이는 모든

u_1

,

u_2

및

u_3

값에 대해 성립한다.

3. 2. 매개변수 독립 형태

단위 결합 대수

A

가 주어졌을 때, 매개변수 독립 양-백스터 방정식은 텐서 곱

A \otimes A

의 가역 원소

R

에 대한 방정식이다. 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

:

R_{12} \ R_{13} \ R_{23} = R_{23} \ R_{13} \ R_{12},

여기서

R_{12} = \phi_{12}(R)

,

R_{13} = \phi_{13}(R)

,

R_{23} = \phi_{23}(R)

이다.

3. 3. 기저에 대한 표현

일반적으로 단위 결합 대수는 벡터 공간

V

위의 체

k

에 대한 자기 준동형 사상 대수

A = \text{End}(V)

이다.

V

의 기저

\{e_i\}

에 관하여, 행렬

R\in \text{End}(V)\otimes\text{End}(V) \cong \text{End}(V\otimes V)

의 성분은

R_{ij}^{kl}

로 표기되는데, 이는 사상

e_i\otimes e_j \mapsto e_k\otimes e_l

에 대응하는 성분이다. 매개변수 의존성을 생략하면, 사상

e_a\otimes e_b\otimes e_c \mapsto e_d \otimes e_e \otimes e_f

에 대응하는 양-백스터 방정식의 성분은 다음과 같다.

:

(R_{12})_{ij}^{de}(R_{13})_{ak}^{if}(R_{23})_{bc}^{jk} = (R_{23})_{jk}^{ef} (R_{13})_{ic}^{dk} (R_{12})_{ab}^{ij}.

3. 4. 땋임군 표현

V

를

A

의 가군으로 하고,

P_{ij} = \phi_{ij}(P)

라고 하자.

P : V \otimes V \to V \otimes V

를 모든

x, y \in V

에 대해

P(x \otimes y) = y \otimes x

를 만족하는 선형 사상이라고 하자. 그러면 양-백스터 방정식은

\check{R}(u,u') = P \circ R(u,u')

에 대해

V \otimes V

상에서 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:

(\mathbf{1} \otimes \check{R}(u_1,u_2)) (\check{R}(u_1,u_3) \otimes \mathbf{1})(\mathbf{1}\otimes \check{R}(u_2,u_3)) = (\check{R}(u_2,u_3) \otimes \mathbf{1}) ( \mathbf{1}\otimes \check{R}(u_1,u_3) ) ( \check{R}(u_1,u_2) \otimes \mathbf{1})

.

또는, 위와 동일한 표기법을 사용하여

\check{R}_{ij}(u,u') = \phi_{ij}(\check{R}(u,u'))

로 정의하면, 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

:

\check{R}_{23}(u_1,u_2) \ \check{R}_{12}(u_1,u_3) \ \check{R}_{23}(u_2,u_3) = \check{R}_{12}(u_2,u_3) \ \check{R}_{23}(u_1,u_3) \ \check{R}_{12}(u_1,u_2).

\check{R}

이 매개변수에 의존하지 않는 매개변수 독립 특수한 경우, 이 방정식은

:

(\mathbf{1}\otimes \check{R})(\check{R} \otimes \mathbf{1})(\mathbf{1}\otimes \check{R}) = (\check{R}\otimes \mathbf{1})(\mathbf{1}\otimes \check{R})(\check{R}\otimes \mathbf{1})

로 축소되며, (만약

R

가 가역적이라면)

i = 1,\dots,n-1

에 대해

\sigma_i = 1^{\otimes i-1} \otimes \check{R} \otimes 1^{\otimes n-i-1}

으로

V^{\otimes n}

상에 표현

B_n

을 구성할 수 있다. 이 표현은 땋임, 매듭 및 고리의 준불변량을 결정하는 데 사용될 수 있다.

4. 대칭성

양-백스터 방정식의 해는 리 군 $G$ 의 작용 하에서 불변성을 갖도록 요구함으로써 종종 제한된다. 예를 들어, $G = GL(V)$ 이고 $R(u,u')\in \text{End}(V\otimes V)$ 인 경우, $\text{End}(V\otimes V)$ 에서 유일한 $G$ -불변 사상은 항등 사상 $I$ 와 순열 사상 $P$ 이다. 그러면 $R$ 행렬의 일반적인 형태는 $R(u, u') = A(u,u')I + B(u, u')P$ 이며, 여기서 $A, B$ 는 스칼라 함수이다.

양-백스터 방정식은 매개변수 의존성에 대해 동차성을 가지며, 이는 $R'(u_i, u_j) = f(u_i, u_j)R(u_i,u_j)$ 로 정의하면, 여기서 $f$ 는 스칼라 함수이며, $R'$ 역시 양-백스터 방정식을 만족한다는 의미이다.

인수 공간 자체도 대칭성을 가질 수 있다. 예를 들어, 병진 불변성은 인수 $(u, u')$ 에 대한 의존성이 병진 불변 차이 $u-u'$ 에만 의존하도록 하며, 스케일 불변성은 $R$ 이 스케일 불변 비율 $u/u'$ 의 함수가 되도록 한다.

5. 매개변수화와 해

양-백스터 방정식의 해를 계산하기 위한 일반적인 가정은 차이 속성 $R(u,u') = R(u - u')$ 이며, 여기서 R은 단일 (가산) 매개변수에만 의존한다. 동등하게, 로그를 취하면 매개변수화 $R(u,u') = R(u/u')$ 를 선택할 수 있으며, 이 경우 R은 곱셈 매개변수에 의존한다고 한다. 이러한 경우, 계산을 용이하게 하는 형태로 양-백스터 방정식을 두 개의 자유 매개변수로 줄일 수 있다.

덧셈 매개변수의 경우, 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

: $R_{12}(u) \ R_{13}(u+v) \ R_{23}(v) = R_{23}(v) \ R_{13}(u+v) \ R_{12}(u),$

는 모든 $u$ 및 $v$ 값에 대해 성립한다. 곱셈 매개변수의 경우, 양-백스터 방정식은 다음과 같다.

: $R_{12}(u) \ R_{13}(uv) \ R_{23}(v) = R_{23}(v) \ R_{13}(uv) \ R_{12}(u),$

는 모든 $u$ 및 $v$ 값에 대해 성립한다.

브레이디드 형태는 다음과 같다.

: $(\mathbf{1}\otimes \check{R}(u)) (\check{R}(u + v) \otimes \mathbf{1}) (\mathbf{1}\otimes \check{R}(v)) = (\check{R}(v) \otimes \mathbf{1}) (\mathbf{1}\otimes \check{R}(u + v))(\check{R}(u) \otimes \mathbf{1} )$

: $(\mathbf{1}\otimes \check{R}(u)) (\check{R}(uv) \otimes \mathbf{1}) (\mathbf{1}\otimes \check{R}(v)) = (\check{R}(v) \otimes \mathbf{1}) (\mathbf{1}\otimes \check{R}(uv))(\check{R}(u) \otimes \mathbf{1} )$

경우에 따라 $R (u)$ 의 행렬식은 스펙트럼 매개변수 $u=u_{0}$ 의 특정 값에서 0이 될 수 있다. 일부 $R$ 행렬은 $u=u_{0}$ 에서 1차원 투영 연산자로 변환된다.

5. 1. 해의 예시

\check{R}^2 = \mathbf{1}

을 만족하는 매개변수 독립 양-백스터 방정식의 해로부터 매개변수 의존적 해를 얻을 수 있다. 이 경우,

\check{R}(u) = \mathbf{1} + u  \check{R}

는 매개변수 의존적 양-백스터 방정식의 해이다.

\check{R} = P

인 경우, 이는 하이젠베르크 XXX 스핀 체인의 산란 행렬을 제공한다.

양자군

U_q(\widehat{sl}(2))

의 평가 모듈의

R

-행렬은 다음과 같이 주어진다.

:

\check{R}(z) = \begin{pmatrix}q z - q^{-1}z^{-1} & & & \\& q-q^{-1} & z-z^{-1} &\\& z-z^{-1} & q-q^{-1} &\\& & & q z - q^{-1}z^{-1}\end{pmatrix}.

그런 다음 승법 매개변수를 갖는 매개변수화된 양-백스터 방정식(땋임 형식)이 만족된다.

:

(\mathbf{1}\otimes\check{R}(z)) (\check{R}(zz')  \otimes \mathbf{1})  (\mathbf{1}\otimes \check{R}(z')) = (\check{R}(z') \otimes \mathbf{1}) (\mathbf{1}\otimes \check{R}(zz'))(\check{R}(z) \otimes \mathbf{1} )

5. 2. 해의 분류

양-백스터 방정식의 해는 크게 세 가지 부류로 나뉜다. 이들은 유리형, 삼각함수형, 타원형이다. 이들은 각각 얀기안, 아핀 양자군, 타원 대수와 같은 양자군과 관련이 있다.

6. 집합론적 양-백스터 방정식

드린펠트는 집합론적 해를 연구했다.^[9] 이 경우, $R$ -행렬이 $V\otimes V$ 위에 유도된 기저를 자체적으로 맵핑한다는 의미에서 벡터 공간 $V$ 에 대한 $R$ -행렬 불변 기저 $X$ 가 존재한다. 이것은 $R$ -행렬을 기저로 제한하여 $r: X\times X \rightarrow X\times X$ 의 맵을 유도한다. 그런 다음, 집합론적 양-백스터 방정식은 위의 '꼬인' 대체 형식을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

$(id\times r)(r\times id)(id\times r) = (r\times id)(id\times r)(r \times id)$

는 $X\times X\times X$ 에 대한 맵으로 정의된다. 이 방정식은 순수하게 집합의 범주의 방정식으로 간주될 수 있다.

6. 1. 집합론적 해의 예시

$R = id$
$R = \tau$ 여기서 $\tau(u\otimes v) = v\otimes u$ 는 전치 맵이다.
만약 $(X, \triangleleft)$ 가 (우) 선반이면, $r(x,y) = (y, x \triangleleft y)$ 는 양-백스터 방정식에 대한 집합론적 해이다.

7. 고전적 양-백스터 방정식

고전적 양-백스터 방정식은 다음과 같다.^[10]

: $[r_{12}, r_{13}] + [r_{12}, r_{23}] + [r_{13}, r_{23}] = 0.$

이 방정식은 양자 양-백스터 방정식의 준고전적 해에서 나타나며, 여기서 $R$ -행렬은 전개 매개변수 $\hbar$ 에 대한 점근적 전개를 허용한다.^[10]

: $R_\hbar = I + \hbar r + \mathcal{O}(\hbar^2).$

고전적 양-백스터 방정식은 양자 양-백스터 방정식의 $\hbar^2$ 계수를 읽어냄으로써 얻어진다.^[10]

참조

_[1] 논문 Introduction to the Yang-Baxter Equation World Scientific 1989
_[2] 논문 Study of Exactly Soluble One‐Dimensional N‐Body Problems The American Institute of Physics (AIP) 1964-05-01
_[3] 논문 Some Exact Results for the Many-Body Problem in one Dimension with Repulsive Delta-Function Interaction American Physical Society (APS) 1967-12-04
_[4] 논문 Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition Americal Physical Society (APS) 1944-02-01
_[5] 논문 Partition function of the Eight-Vertex lattice model Elsevier 1972
_[6] 논문 Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models Elsevier 1979
_[7] 논문 Z₄-symmetric factorized S-matrix in two space-time dimensions Elsevier 1979
_[8] 논문 On the Young operators of the symmetric group https://www.lietuvos[...] Gos. Izd-vo Polit. i Nauch. literatury. 1966
_[9] 서적 Quantum groups : proceedings of workshops held in the Euler International Mathematical Institute, Leningrad, Fall 1990 https://link.springe[...] Springer-Verlag 2023-02-04
_[10] 논문 Solutions of the classical Yang - Baxter equation for simple Lie algebras https://link.springe[...] 2023-02-04
_[11] 저널 Yang–Baxter equations https://archive.org/[...] 2006-06-20
_[12] 저널
_[13] 저널

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