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언쇼 정리

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목차

1. 개요

언쇼 정리는 정전기력, 정자기력, 중력장 하에서 특정 조건에서 물질의 안정적인 평형이 불가능하다는 정리이다. 정전기력의 경우, 점전하를 정전기력만으로 안정적으로 고정할 수 없음을 의미하며, 자기력의 경우, 정적인 자기장만으로는 물체를 안정적으로 부상시킬 수 없음을 의미한다. 이 정리는 원자 모형의 안정성 문제를 제기했으며, 양자역학적 설명을 통해 해결되었다. 언쇼 정리는 움직이는 강자성체, 특정 전자기 시스템, 유사 부상, 반자성체에는 적용되지 않는 예외가 존재하며, 이온 트랩, 자기 부상 열차, 스핀 안정화, 유사 부상, 반자성 부상 등에 응용된다.

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언쇼 정리

2. 역사적 배경

언쇼 정리는 정전기적 전하 배치의 불안정성이 입증되었음에도 불구하고, 물질이 전자기적으로 결합되어 있다는 많은 증거가 발견되면서 물질의 안정성과 결합 방식에 대한 중요한 질문을 제기했다. 언쇼 정리는 정지된 전하에만 적용되기 때문에, 나가오카의 토성형 모형(1904)과 러더퍼드의 행성 모형(1911)처럼 점 전자가 중심의 양전하를 중심으로 원을 그리며 회전하는 행성 모형을 통해 원자의 안정성을 설명하려는 시도가 있었다. 그러나 이러한 행성 모형의 안정성은 곧바로 의문시되었다. 전자가 원을 따라 움직일 때 0이 아닌 가속도를 가지므로, 비정상적인 전자기장을 통해 에너지를 방출하기 때문이다. 1913년 보어의 모형은 이러한 방출이 없다는 것을 설명하지 않고 공식적으로 방출을 금지했다.

한편, 언쇼 정리는 점전하에만 적용되고 분포된 전하에는 적용되지 않는다. 이 때문에 1904년 J. J. 톰슨은 음의 점전하(전자 또는 "자두")가 분포된 양전하 "푸딩"에 내장된 플럼 푸딩 모형을 제시했는데, 여기서 전자는 정지해 있거나 원을 따라 움직일 수 있었다. 이는 언쇼 정리에 의해 다루어지지 않는 비점 양전하(그리고 비정상 음전하)의 구성이다. 결국, 이는 전자가 점이 아닌 분포된 전하 밀도인 비방사 상태의 존재가 이 문제를 근본적인 수준에서 해결하는 1926년 슈뢰딩거의 모형으로 이어졌다. 언쇼 정리와 모순되지 않을 뿐만 아니라, 결과적인 전하 밀도와 전류 밀도도 정지해 있으며, 따라서 해당 전자기장도 정지해 있어 더 이상 에너지를 무한대로 방출하지 않는다. 이는 원자의 안정성에 대한 양자역학적 설명을 제공했다.

더 실용적인 수준에서 보면, 파울리 배타 원리와 이산적인 전자 궤도의 존재가 덩어리 물질(벌크 물질)을 강하게 만드는 데 중요한 역할을 한다고 할 수 있다.

3. 정전기학에서의 언쇼 정리

가우스 법칙에 따르면, 자유 공간에서 정전기장의 발산(divergence)은 0이다. 이는 전하가 없는 공간에서 전기장의 국소 최소값이나 최대값이 존재할 수 없고, 오직 안장점만 존재할 수 있음을 의미한다. 따라서 정전기력만으로는 점전하를 안정적으로 고정할 수 없다.[1]

수학적 표기법으로, 포텐셜 U|U영어(r|r영어)에서 파생된 전기력 F|F영어(r|r영어)는 항상 발산이 없다(라플라스 방정식을 만족한다).

:\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (-\nabla U) = -\nabla^2 U = 0.

아언쇼의 정리를 정전장을 사용하여 직관적으로 증명하면 다음과 같다.

스칼라 포텐셜 장 φ 가 있다고 하면 임의의 점에서의 전장 \vec{E}는

: \vec{E} = - \mbox{grad} \, \phi

로 쓸 수 있다. 생각하고 있는 영역 내의 어떤 점에서 φ의 극대가 있었다고 가정한다. 그 극대점을 둘러싸는 작은 닫힌 곡면을 생각한다. 그러면, 그 닫힌 곡면 근처의 전장 벡터는 반드시 닫힌 곡면을 안에서 밖으로 관통한다. 구배 grad φ가 φ의 극대점 근방에서는 극대점을 향하기 때문이다.

그러면 가우스의 법칙

: \iint \vec{E} \cdot \hat{n} ds = \frac{q}{\epsilon_0}

에 의해, 닫힌 곡면에서 ''E''를 적분한 값이 양의 값을 가지며, 내부에는 전하가 존재하게 되어 가정과 모순된다.

4. 정자기학에서의 언쇼 정리

언쇼 정리는 정자기학에서도 성립한다. 이 정리는 정적인 자기 쌍극자에 대한 힘/에너지 방정식을 통해 직접 증명할 수 있다. 직관적으로, 이 정리가 단일 점전하에 대해 성립한다면, 서로 연결된 두 개의 반대 점전하, 즉 전기 쌍극자에 대해서도 성립한다. 특히, 전하 사이의 거리를 쌍극자 모멘트를 유지하면서 0으로 줄이는 극한에서도 성립하며, 이는 전기 쌍극자에 대한 성립을 의미한다. 이 정리가 전기 쌍극자에 대해 성립한다면, 자기 쌍극자에 대해서도 성립하는데, 그 이유는 정적 힘/에너지 방정식이 전기 쌍극자와 자기 쌍극자 모두에 대해 동일한 형태를 가지기 때문이다.[2][3]

결과적으로, 이 정리는 자력이 중력보다 강하더라도, 강자성체의 어떤 정적 배치도 중력에 반하여 물체를 안정적으로 자기 부상시킬 수 없음을 의미한다.

언쇼 정리는 확장된 물체의 일반적인 경우에도 증명되었으며, 물체가 유연하고 전도성이 있더라도, 반자성이 아닌 경우에는 성립한다.[2][3] 이는 반자성이 (작은) 척력을 구성하지만 인력은 없기 때문이다.

하지만, 이 규칙의 가정에 대한 몇 가지 예외가 존재하며, 이러한 예외를 통해 자기 부상이 가능하다.

4. 1. 자기 쌍극자에 대한 증명

언쇼 정리는 정적인 자기 쌍극자에 대한 힘과 에너지 방정식을 통해 직접 증명할 수 있다. 이 정리는 단일 점전하에 대해 성립하며, 서로 연결된 두 개의 반대 점전하, 즉 전기 쌍극자에 대해서도 성립한다. 특히 전하 사이의 거리를 쌍극자 모멘트를 유지하면서 0으로 줄이는 극한에서도 성립한다. 전기 쌍극자에 대해 성립하는 이 정리는 (정적) 힘/에너지 방정식이 전기 쌍극자와 자기 쌍극자 모두에 대해 동일한 형태를 가지기 때문에 자기 쌍극자에 대해서도 성립한다.[2][3]

이러한 증명은 다음 원칙에 기반한다.

  • 외부 자기장 '''B''' 내에서 자기 쌍극자 모멘트 '''M'''을 가진 자기 쌍극자의 에너지 U는 다음과 같다.

:U = -\mathbf{M}\cdot\mathbf{B} = -(M_x B_x + M_y B_y + M_z B_z).

  • 쌍극자는 에너지가 최소인 지점에서만 안정적으로 부상한다. 에너지는 에너지의 라플라시안이 0보다 큰 지점에서만 최소값을 가질 수 있다. 즉,

:\nabla^2 U = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} > 0.

  • 자기장의 발산과 회전 모두 0이기 때문에(전류나 변화하는 전기장이 없는 경우), 자기장 개별 성분의 라플라시안은 0이다. 즉,

:\nabla^2 B_x = \nabla^2 B_y = \nabla^2 B_z = 0.

자기장의 각 성분의 라플라시안이 0인 이유는 다음과 같이 증명할 수 있다.

자기장 ''B''의 발산은 항상 0이고, 자유 공간에서 자기장의 회전은 0이다. (즉, 전류나 변화하는 전계가 없는 경우)

자기장 x 성분의 라플라시안을 고려하면,

:\begin{align}

\nabla^2 B_x &= \frac{\partial^2 B_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 B_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} \\

&= \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial B_x}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial B_x}{\partial z}

\end{align}

'''B'''의 회전이 0이므로,

:\frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial B_y}{\partial x},

:\frac{\partial B_x}{\partial z} = \frac{\partial B_z}{\partial x},

따라서

:\nabla^2 B_x = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial B_y}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial B_z}{\partial x}.

''Bx''는 연속적이므로 미분 순서는 중요하지 않다.

:\nabla^2 B_x = {\partial \over \partial x}\left({\partial B_x \over \partial x} +{\partial B_y \over \partial y} +{\partial B_z \over \partial z} \right) = {\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf{B}).

'''B'''의 발산은 0이므로,

:\nabla \cdot \mathbf{B} = 0,

따라서

:\nabla^2 B_x = {\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf{B}) = 0.

자기장 ''By''의 y 성분의 라플라시안과 자기장 ''Bz''의 z 성분의 라플라시안은 유사하게 계산할 수 있다.

벡터 미적분학 항등식

:\nabla^{2}\mathbf{B} = \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{B}\right) - \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{B} \right),

를 사용할 수 있으며, 괄호 안의 두 항은 모두 0이 된다.

상자성 또는 반자성 쌍극자의 경우, 에너지 U는 다음과 같다.

:U = -k|\mathbf{B}|^2 = -k \left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right ).

이 식을 전개하고 재배열하면,

:\begin{align}

\nabla^2 |\mathbf{B}|^2 &= \nabla^2 \left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right ) \\

&= 2\left( |\nabla B_x|^2 + |\nabla B_y|^2 + |\nabla B_z|^2 +B_x\nabla^2 B_x + B_y\nabla^2 B_y + B_z\nabla^2 B_z \right)

\end{align}

자기장의 각 개별 성분의 라플라시안은 0이므로,

:\nabla^2 |\mathbf{B}|^2 = 2\left( | \nabla B_x |^2 + | \nabla B_y |^2 + | \nabla B_z |^2 \right);

크기의 제곱은 항상 양수이므로,

:\nabla^2 |\mathbf{B}|^2 \geq 0.

따라서 상자성 물질의 에너지 라플라시안은 항상 0보다 크거나 같고, 반자성 물질의 에너지 라플라시안은 항상 0보다 작거나 같다.

고정된 크기의 쌍극자에 대한 에너지는 위 에너지의 제곱근이 되므로, 동일한 분석이 적용된다.

4. 1. 1. 고정된 방향의 자기 쌍극자

외부 자기장 '''B''' 내에서 자기 쌍극자 모멘트 '''M'''을 가진 자기 쌍극자의 에너지 U는 다음과 같이 주어진다.

:U = -\mathbf{M}\cdot\mathbf{B} = -(M_x B_x + M_y B_y + M_z B_z).

여기서 ''Mx'', ''My'' 및 ''Mz''는 상수이다.

이 경우 에너지의 라플라시안은 항상 0이다.

:\nabla^2 U = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} = 0,

따라서 쌍극자는 에너지 최소값도 에너지 최대값도 가질 수 없다. 즉, 쌍극자가 모든 방향에서 안정적이거나 모든 방향에서 불안정해지는 자유 공간의 지점은 없다.

4. 1. 2. 외부 자기장에 정렬된 자기 쌍극자

외부 자기장 '''B''' 내에서 자기 쌍극자 모멘트 '''M'''을 가진 자기 쌍극자의 에너지 U는 다음과 같이 주어진다.

:U = -\mathbf{M}\cdot\mathbf{B} = -(M_x B_x + M_y B_y + M_z B_z).

쌍극자는 에너지가 최소인 지점에서만 안정적으로 부상할 수 있다. 에너지는 에너지의 라플라시안이 0보다 큰 지점에서만 최소값을 가질 수 있다.

외부 필드에 평행하거나 반평행하게 정렬된 자기 쌍극자는 각각 상자성 및 반자성 물질에 해당한다. 이 경우 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:U = -\mathbf{M}\cdot\mathbf{B} = -k\mathbf{B}\cdot\mathbf{B} = -k \left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right ),

여기서 ''k''는 상자성 물질의 경우 0보다 크고 반자성 물질의 경우 0보다 작은 상수이다.

이 경우

:\nabla^2 \left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right ) \geq 0,

이므로 상수와 결합되어 상자성 물질은 에너지 최대값을 가질 수 있지만 에너지 최소값은 가질 수 없으며 반자성 물질은 에너지 최소값을 가질 수 있지만 에너지 최대값은 가질 수 없다. 즉, 상자성 물질은 모든 방향에서 불안정할 수 있지만 모든 방향에서 안정적일 수는 없으며 반자성 물질은 모든 방향에서 안정적일 수 있지만 모든 방향에서 불안정할 수는 없다. 물론 두 재료 모두 안장점을 가질 수 있다.

자기장에 평행하거나 반평행하게 정렬된 강자성 재료(영구 자석)의 자기 쌍극자는 다음과 같이 주어진다.

:\mathbf{M} = k{\mathbf{B} \over |\mathbf{B}|},

따라서 에너지는 다음과 같이 주어진다.

:U = -\mathbf{M}\cdot\mathbf{B} = -k\frac{\mathbf{B}\cdot\mathbf{B}}{ |\mathbf{B}|} = -k\frac

= -k\left (B_x^2 + B_y^2 + B_z^2 \right )^{\frac{1}{2}};

그러나 이것은 상자성 및 반자성 사례의 에너지의 제곱근이며 제곱근 함수가 단조 증가하기 때문에 상자성 및 반자성 사례의 최소값 또는 최대값은 여기에서도 최소값 또는 최대값이 된다.

5. 중력장에서의 언쇼 정리

언쇼 정리는 정적인 중력장에도 적용된다.[1]

언쇼 정리는 관성 기준틀에 적용된다. 그러나 때로는 언쇼 정리의 가정을 위반하는 가상의 원심력을 포함하는 회전 기준틀에서 작업하는 것이 더 자연스러울 수 있다. ''회전하는'' 기준틀에서 정지해 있는 점(그러나 관성틀에서 움직이는 점)은 절대적으로 안정하거나 절대적으로 불안정할 수 있다. 예를 들어, 제한 삼체 문제에서 가상의 원심력으로부터의 유효 퍼텐셜은 해당 위치에 질량이 미미하더라도 라그랑주 점 L4와 L5가 유효 퍼텐셜장의 국소 극대점에 위치할 수 있도록 한다. 비록 이러한 라그랑주 점들이 국소 극소점이 아닌 퍼텐셜장의 국소 극대점에 위치하지만, 허구적인 속도 의존적인 코리올리 힘 때문에 특정 매개변수 영역에서는 절대적으로 안정하다. 이는 스칼라 퍼텐셜 장에 의해 포착되지 않는다.[1]

6. 언쇼 정리의 예외 및 응용

언쇼 정리는 정적인 고전장에 대한 정리이므로, 몇 가지 예외적인 상황에서는 안정적인 부상이나 포획이 가능하다.

언쇼의 정리는 움직이지 않는 영구 강자성체에는 예외가 없다. 그러나 움직이는 강자성체,[4] 특정 전자기 시스템, 유사 부상, 그리고 반자성체에는 반드시 적용되지 않는다. 이러한 경우는 예외로 보일 수 있지만, 실제로는 정리의 제약을 이용하는 것이다.


  • 스핀 안정 자기 부상: 회전하는 강자성체(예: 레비트론)는 회전하는 동안 영구 강자성체만을 사용하여 자기 부상을 할 수 있는데, 이 시스템은 자이로 효과를 더한다.[4] (회전하는 강자성체는 "움직이지 않는 강자성체"가 아니다.)
  • 전자기 시스템: 전자기석 또는 전자기석 시스템의 극성을 전환하면 지속적인 에너지 소비를 통해 시스템을 부상시킬 수 있다. 자기 부상 열차가 한 가지 예이다.
  • 유사 부상: 일반적으로 끈이나 벽의 형태로 자석의 움직임을 제한한다. 이것은 정리에서 불안정성이 나타날 방향이 있기 때문인데, 해당 방향의 움직임을 제한하면 이동 가능한 3차원보다 적은 차원(정리는 3차원에 대해 증명되었으며 1D 또는 2D가 아님을 주의)에서 부상을 할 수 있다.
  • 반자성체: 자기장에 대해서만 반발력을 나타내기 때문에 예외가 되며, 정리는 반발력과 인력을 모두 가진 물질을 요구한다. 이에 대한 예로는 유명한 부상하는 개구리가 있다(참고: 반자성체).


물리 실험에서 입자를 포획해야 할 경우, 언쇼의 정리에 따라 정적인 전자기장으로는 입자를 포획할 수 없음이 증명되었으므로, 더 복잡한 방법을 사용해야 한다. 예를 들어, 사중극 이온 트랩과 같은 이온 트랩이 있다.

6. 1. 동적 시스템

시간에 따라 변화하는 전자기장을 이용하면 안정적인 평형을 만들 수 있다. 예를 들어, 사중극 이온 트랩과 같은 이온 트랩은 이온을 진동 전장으로 포획한다. 이는 이온에 작용하는 폰데로모티브력을 복원력으로 이용한다.

7. 현대 물리학에서의 의의

언쇼 정리는 정전기적 전하 배치의 불안정성에도 불구하고 물질이 전자기적으로 결합되어 있다는 증거가 많다는 점에서 물질의 안정성에 대한 의문을 제기했다. 언쇼 정리는 정지 전하에만 적용되기 때문에, 나가오카의 토성형 모형(1904)과 러더퍼드의 행성 모형(1911)처럼 점 전자가 중심의 양전하를 중심으로 회전하는 행성 모형으로 원자의 안정성을 설명하려는 시도가 있었다. 그러나 이러한 행성 모형에서 전자는 원을 따라 움직이며 0이 아닌 가속도를 가지므로, 비정상적인 전자기장을 통해 에너지를 방출할 것이라는 문제가 제기되었다. 1913년 보어의 모형은 이러한 방출이 없다는 것을 설명하지 않고 공식적으로 금지했다.

한편, 언쇼 정리는 점전하에만 적용되고 분포된 전하에는 적용되지 않는다. 따라서 1904년 J. J. 톰슨은 음의 점전하(전자)가 분포된 양전하 "푸딩"에 내장된 플럼 푸딩 모형을 제시했다. 이 모형에서 전자는 정지해 있거나 원을 따라 움직일 수 있었고, 이는 언쇼 정리의 적용 범위를 벗어나는 구성이었다. 결국, 전자가 점이 아닌 분포된 전하 밀도인 비방사 상태의 존재가 이 문제를 해결하는 1926년 슈뢰딩거의 모형으로 이어졌다. 슈뢰딩거 모형은 언쇼 정리와 모순되지 않을 뿐만 아니라, 전하 밀도와 전류 밀도도 정지해 있어 해당 전자기장도 정지하며 더 이상 에너지를 방출하지 않는다. 이는 원자의 안정성에 대한 양자역학적 설명을 제공했다.

더 실용적인 수준에서, 파울리 배타 원리와 이산적인 전자 궤도의 존재가 벌크 물질을 강성하게 만드는 데 기여한다고 할 수 있다.

참조

[1] 논문 On a fallacious proof of Earnshaw's theorem 1976
[2] 웹사이트 Levitation Possible https://www.ru.nl/hf[...] High Field Magnet Laboratory 2021-05-26
[3] 논문 On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminferous ether https://archive.org/[...] 1842
[4] 논문 Spin stabilized magnetic levitation 1996


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