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원심력

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목차

1. 개요

원심력은 회전하는 계에서 관찰되는 겉보기 힘으로, 관성 좌표계에서는 나타나지 않고 회전 좌표계에서만 나타난다. 이는 가상의 힘으로, 구심력과 크기는 같지만 방향이 반대이며 작용 반작용 관계는 아니다. 원심력은 회전하는 기준 좌표계에서 모든 물체가 질량, 회전축으로부터의 거리, 각속도 제곱에 비례하는 힘을 받는 것처럼 보이게 한다. 이러한 원심력은 원심 조절기, 원심 클러치, 인공 중력 생성, 원심 분리기 등 다양한 분야에서 활용된다. 원심력과 구심력에 대한 오해로는 두 힘이 서로 대응하거나 작용 반작용 관계라는 것, 그리고 평형을 이루어 물체가 안정적으로 회전한다는 것 등이 있다.

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원심력

2. 원심력과 구심력

‘회전하는 계에서 관찰되는 원심력’은, ‘비관성좌표계에서 설명하기 위한 가상적인 힘이고, 실존하는 구심력’과 크기가 같고 방향이 반대이지만, 구심력과 작용 반작용 관계는 아니다. 회전하는 계에서 관찰했을 때는 원심력만 관찰될 뿐, 구심력은 관찰되지 않는다. 관성좌표계에서 관찰했을 때는 구심력과 이에 대한 반작용만 존재할 뿐, 원심력은 관찰되지 않는다. 즉, 좌표계에 따라 구심력과 원심력 중 하나만 관찰된다. 따라서 회전하는 물체의 운동을 설명할 때, 하나의 좌표계에서 (혹은 좌표계를 명시하지 않고) 구심력과 원심력을 동시에 언급하는 것은 오류이다.

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원심력은 회전 참조 좌표계에서 나타나는 겉보기 밖으로 향하는 힘이다.[8][9][10][11] 관성 기준계를 기준으로 계를 설명할 때는 존재하지 않는다.

모든 위치와 속도 측정은 어떤 기준 좌표계를 기준으로 해야 한다. 예를 들어, 비행 중인 항공기 내 물체의 운동 분석은 항공기, 지구 표면 또는 태양을 기준으로 할 수 있다.[12] "항성"에 대해 정지해 있거나(또는 회전 없이 일정한 속도로 움직이는) 기준 좌표계는 일반적으로 관성 기준계로 간주된다. 모든 계는 관성 기준계에서 분석될 수 있으며(따라서 원심력이 없다). 그러나 회전하는 계를 회전하는 좌표계를 사용하여 설명하는 것이 종종 더 편리하다. 계산이 더 간단하고 설명이 더 직관적이기 때문이다. 이러한 선택을 할 때 원심력을 포함한 가상의 힘이 발생한다.

원점을 통과하는 축을 중심으로 회전하는 기준 좌표계에서 모든 물체는 운동 상태에 관계없이 질량, 회전축으로부터의 거리, 그리고 좌표계의 각속도 제곱에 비례하는 방사형(회전축으로부터) 밖으로 향하는 힘의 영향을 받는 것처럼 보인다.[13][14] 이것이 원심력이다. 사람들은 일반적으로 회전하는 기준 좌표계 내부(예: 회전목마 또는 차량)에서 원심력을 경험하기 때문에 구심력보다 훨씬 더 잘 알려져 있다.

회전하는 좌표계에 대한 운동은 또 다른 가상의 힘인 코리올리 힘을 발생시킨다. 좌표계의 회전 속도가 변하면 세 번째 가상의 힘(오일러 힘)이 필요하다. 이러한 가상의 힘은 회전하는 좌표계에서 정확한 운동 방정식을 수립하는 데 필요하며[16][15] 이러한 좌표계에서 뉴턴의 법칙을 일반적인 형태로 사용할 수 있게 한다(단 한 가지 예외: 가상의 힘은 뉴턴의 제3법칙을 따르지 않는다. 즉, 동등하고 반대되는 대응 물체가 없다).[16] 뉴턴의 제3법칙은 동등한 대응 물체가 동일한 기준 좌표계 내에 존재해야 한다고 요구하므로, 그렇지 않은 원심력과 구심력은 작용-반작용이 아니다(때때로 잘못 주장되는 것처럼).

관성계에서 회전 운동하는 물체에는 어떤 힘이 구심력으로 작용하고 있다.

이 물체와 함께 회전하는 회전좌표계에서는 물체가 정지해 있는 것처럼 보인다.

비관성계에서 구심력으로 작용하는 힘이 작용하고 있음에도 불구하고 물체가 정지해 있다는 것은 회전좌표계에서는 구심력과 균형을 이루는 힘이 작용하고 있음을 의미한다. 구심력과 균형을 이루는 이 힘이 원심력이다.

구심력은 관성계에서도 회전좌표계에서도 작용하는 반면, 원심력은 회전좌표계에서만 작용한다.

2. 1. 관성 좌표계와 원심력

관성좌표계에서는 원심력이 관찰되지 않고, 구심력과 그 반작용만 존재한다. 관성좌표계에서는 원심력이라는 개념을 사용해서는 안 된다.[48] 공을 줄에 매달아 손으로 회전시키는 경우, 관성좌표계에서 관찰하면 회전하는 공에는 줄을 통해 구심력이 작용하여 회전 운동을 하게 된다. 작용 반작용 법칙에 따라 반작용력은 손에 전달되지만, 이 힘은 공에 작용하는 것이 아니므로 공의 운동을 설명하는 데 필요하지 않으며, 이를 원심력이라고 부르는 것은 잘못된 것이다.

돌을 수평면에서 끈에 매달아 회전시킬 때, 수평면에서 돌에 작용하는 유일한 실제 힘은 끈이 작용하는 힘(중력은 수직으로 작용)이다. 돌에는 중심 방향으로 작용하는 수평면의 알짜힘이 있는데, 관성 기준계에서 이 알짜힘이 없다면 뉴턴의 운동 제1법칙에 따라 돌은 직선으로 이동할 것이다. 돌이 원형 경로를 따라 계속 움직이려면 끈이 제공하는 구심력을 지속적으로 가해야 하며, 끈이 끊어지는 등 구심력이 제거되는 즉시 돌은 직선으로 움직인다. 이처럼 관성 기준계에서는 모든 운동을 실제 힘과 뉴턴 운동 법칙만으로 설명할 수 있으므로 원심력은 필요하지 않다.

자동차가 왼쪽으로 휘어지는 커브에 진입하면 승객은 오른쪽으로 쏠리는 듯한 힘을 경험하는데, 이것은 원심력과 유사해 보이지만 실제로는 관성에 의한 현상이다.[17][18] 승객이 오른쪽으로 좌석을 누르면, 뉴턴의 제3법칙에 따라 좌석은 승객을 왼쪽으로 밀게 된다.

다른 경우, 원심력은 구심력에 대한 반작용력, 즉 반작용 구심력을 가리키기도 한다. 뉴턴의 제3운동 법칙에 따르면, 곡선 운동하는 물체는 다른 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 작용한다. 이 반작용은 곡선 운동하는 물체가 구심력을 제공하는 다른 물체에 작용하며, 그 방향은 다른 물체에서 곡선 운동하는 물체를 향한다.[40][41][42][43] 이 반작용력은 때때로 ''원심 관성 반작용''으로 설명되기도 한다.[44][45]

2. 2. 원심력과 관련된 잘못된 설명들

원심력과 구심력에 대한 일반적인 오해는 다음과 같다.

  • ‘원심력과 구심력은 서로 대응되는 힘이다’: 실제로 원심력은 가상의 힘이므로 대응된다고 할 수 없다. 다만, 운동 좌표계에서 관측할 때 작용/반작용처럼 보일 뿐이다.
  • ‘원심력은 구심력과 작용 반작용 관계이다’: 실제로는 이렇지 않다.
  • ‘원심력과 구심력이 평형을 이루고 있어서 끈에 매달린 공이 안정적으로 회전운동을 하는 것이다’: 이것은 실제로 틀린 설명이다. 원심력은 애초에 가상의 힘으로써 운동 좌표계에서의 운동을 서술하기 위해 도입된 것에 불과하다. 많은 경우 물체의 운동은 관성좌표계(정지좌표계)에서 설명하는 것이 직관적이고 단순하다. 관성좌표계를 기준으로 삼았을 때, ‘끈에 매달린 공은 관성 때문에 직선 운동을 하려 하나, 구심력이 작용하여 회전운동을 하게 된다’라고 설명해야 한다. 또한, ‘평형을 이루며 회전운동을 한다’는 것도 잘못된 개념이다. 만약 실제 존재하는 힘이 구심력과 평형을 이룬다면, 알짜힘은 0이 되어 물체는 직선운동하게 된다.
  • ‘물체가 회전할 때에는 구심력이 작용하여 원운동을 하는데, 물체를 묶은 끈이 풀리게 되면, 원심력이 작용하여 물체가 직선으로 운동하게 된다’: 관성좌표계에서 설명할 때, 물체를 묶은 끈이 풀리게 되면 구심력이 더 이상 작용하지 않아 관성에 의해 직선 운동하는 것이다. 따라서 올바른 설명은 ‘물체가 회전할 때에는 구심력이 작용하여 원운동을 하는데, 물체를 묶은 끈이 풀리게 되면, 구심력이 더 이상 작용하지 않아 관성에 의해 직선 운동한다’이다.

3. 원심력의 역사

크리스티안 하위헌스는 1659년부터 "원심력"을 의미하는 네오라틴어 용어 ''vi centrifuga''를 사용했다.[1][2] 1673년, 하위헌스는 ''흔들시계''에서 원심력에 대해 언급하며, 원운동과 원심력에 관한 연구를 출판할 계획이었으나, 빠른 발표를 위해 계획을 변경했다.[3] 아이작 뉴턴은 하위헌스의 연구에 감사를 표하며, ''vis centrifuga''에 대한 추가 논의를 기대한다고 밝혔다.[4]

1687년, 뉴턴은 ''자연철학의 수학적 원리''에서 원심력 개념을 더욱 발전시켰다. 이후 고트프리트 빌헬름 라이프니츠와 로버트 훅에 의해 개념이 더욱 발전되었다. 18세기 후반, 원심력은 회전하는 기준계에서 발생하는 겉보기힘으로 정의되었다.

원심력은 절대 운동 탐지에 대한 고전역학 논쟁에서 중요한 역할을 했다. 뉴턴은 물통 논증과 회전하는 구 논증을 통해 절대 회전 탐지 가능성을 제시했다.[5]

1883년, 마하의 원리는 원심력과 다른 관성 효과가 절대 회전 대신 먼 별의 운동에 의해 발생한다고 제안했다. 현대에는 관성 기준계 개념을 기반으로, 운동 방정식에 원심력을 사용하지 않는 기준계를 우선시한다.

1914년, 일반 상대성 이론의 등가 원리는 원심력과 중력 사이의 유사성을 설명한다.[6][7]

4. 회전 좌표계와 관성력

회전 좌표계에서는 원심력 외에도 각속도 변화에 따른 오일러 힘과 물체의 속도에 비례하는 코리올리 힘이 관성력으로 작용한다.[25][26][27] 다른 두 가지 가상의 힘과 달리, 원심력은 항상 회전 좌표계의 회전축으로부터 바깥쪽으로 향하며, 크기는 m\omega^2r_\perp이다. 여기서 r_\perp는 위치 벡터의 \boldsymbol{\omega}에 수직인 성분이다. 특히 코리올리 힘과 달리, 회전 좌표계에서 입자의 운동과는 무관하다. 예상대로, 비회전 관성 좌표계 (\boldsymbol{\omega}=0)의 경우 원심력과 다른 모든 가상의 힘은 사라진다.[28] 마찬가지로, 원심력은 물체에서 좌표계의 회전축까지의 거리에 비례하기 때문에, 회전축에 놓인 물체에 대한 원심력은 사라진다.

4. 1. 수학적 표현

회전 중심으로부터 회전 좌표계에서의 위치를 r, 회전 좌표계의 관성계에 대한 각속도를 ω라고 할 때, 원심력(F)은 다음과 같이 표현된다.[22][23][24]

:\boldsymbol{F} =-m\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r})

=m\omega^2\boldsymbol{r} -m\boldsymbol{\omega}(\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{r})

이는 각속도와 평행한 성분과 직교하는 성분으로 나눌 수 있는데, 평행 성분은 영향을 미치지 않으므로,[21]

:\boldsymbol{F} =m\omega^2\boldsymbol{r}_\perp

이 된다. 여기서 r_\perp는 위치 벡터의 \boldsymbol{\omega}에 수직인 성분이다. 원심력은 오일러 힘이나 코리올리 힘과 달리 회전 좌표계에서 입자의 운동과 무관하며, 항상 회전축으로부터 바깥쪽으로 향한다.[27] 비회전 관성 좌표계에서는 (\boldsymbol{\omega}=0) 원심력을 포함한 모든 가상의 힘은 사라진다.[28]

5. 원심력의 응용

원심력은 다양한 분야에서 활용된다.[32] 원심 조절기는 회전하는 질량이 반지름 방향으로 움직여 엔진 속도가 변함에 따라 스로틀을 조절하여 엔진 속도를 조절한다. 원심 클러치는 체인톱, 고카트, 모형 헬리콥터와 같은 소형 엔진 구동 장치에 사용된다. 암벽 등반에 사용되는 관성 드럼 브레이크 상승 장치와 자동차 안전벨트에 사용되는 관성 리일은 같은 원리로 작동한다. 원심력은 제안된 회전 우주 정거장 설계에서와 같이 인공 중력을 생성하는 데 사용할 수 있다.[32] 화성 중력 생물 위성은 시뮬레이션된 중력을 사용하여 마우스에 대한 화성 수준의 중력의 영향을 연구했다. 스핀 주조와 원심 주조는 원심력을 사용하여 금속 또는 플라스틱 용융체를 금형의 음형 공간 전체에 분산시키는 생산 방법이다. 원심 분리기는 과학 및 산업에서 물질을 분리하는 데 사용된다. 회전하는 기준틀에서 원심력은 회전축에 수직으로 배향된 유체로 채워진 관에 정수압 기울기를 유도하여 저밀도 입자를 안쪽으로 밀어내는 큰 부력을 발생시킨다. 유체보다 밀도가 높은 원소나 입자는 원심력의 영향으로 바깥쪽으로 이동한다. 이것은 아르키메데스의 원리의 한 예시이다. 일부 놀이기구는 원심력을 이용한다. 예를 들어, 그라비트론의 회전은 탑승객을 벽에 밀어붙이고 지구 중력에 반하여 기계 바닥 위로 탑승객을 들어 올릴 수 있게 한다.[32]

한국의 산업 현장에서는 원심 분리기를 사용하여 혼합물을 분리하거나, 원심 주조 방식으로 제품을 생산하는 등 다양한 방식으로 원심력이 활용된다.

6. 절대 회전



뉴턴은 국소 기준계의 절대 회전을 감지할 수 있는지, 즉 관찰자가 관찰된 물체가 회전하는지 또는 관찰자가 회전하는지 결정할 수 있는지에 대한 질문에 답하기 위해 세 가지 시나리오를 제시했다.[29][30]


  • 양동이에서 회전하는 물의 표면 모양.
  • 질량 중심을 중심으로 회전하는 두 개의 구체를 연결하는 끈의 장력.


이러한 시나리오에서 원심력으로 인한 효과는 물체가 관성 기준계에 대해 절대 회전하는 경우에만 국소 기준계(물체가 정지해 있는 기준계)에서만 관찰된다. 반대로, 관성 기준계에서는 원심력을 도입할 필요 없이 관성과 알려진 힘의 결과로 관찰된 효과가 발생한다. 이러한 주장에 기초하여, 물리 법칙이 가장 단순한 형태를 취하는 특권 기준계는 허구의 힘을 불러올 필요가 없는 정지 기준계이다.

수직축 주위를 회전하는 두 개의 섞이지 않는 액체의 계면은 위로 열리는 원형 포물면을 이룬다.


회전하는 기준 좌표계(행성)에서 분석할 때, 원심력 때문에 회전하는 행성은 편구체의 형태를 취한다.


물리학의 이러한 관점에서, 일반적으로 원심력으로 설명되는 다른 현상은 절대 회전을 식별하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 자유롭게 흐르는 물질의 구의 편평도는 종종 원심력으로 설명된다. 편구체 모양은 클레로 정리에 따라 중력에 의한 구속과 원심력에 의한 분산 사이의 균형을 반영한다. 지구 자체가 적도에서 반지름 거리와 따라서 원심력이 더 크기 때문에 팽창하는 편구체인 것은 지구의 절대 회전에 대한 증거 중 하나로 여겨진다.[31]

7. 기타 용례

라그랑주 역학에서 일반화된 힘 중 시간 미분의 제곱을 포함하는 힘을 원심력이라고도 한다.[33][34] 중심 위치에너지에서의 운동의 경우, 라그랑주 원심력은 공동 회전 좌표계에서 유도된 가상 원심력과 같은 형태를 갖는다.[39] 그러나 다른 더 일반적인 경우에서 라그랑주가 사용하는 "원심력"은 뉴턴의 정의와 제한적인 관련만 갖는다.

뉴턴의 제3운동 법칙에 따라 곡선 운동하는 물체는 다른 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘(반작용)을 작용한다.[40][41] 이 반작용은 곡선 운동하는 물체가 구심력을 제공하는 다른 물체에 작용하며, 그 방향은 다른 물체에서 곡선 운동하는 물체를 향한다.[42][43] 이 반작용력은 때때로 ''원심 관성 반작용''[44][45], 즉 질량의 경로를 휘게 하는 구심력과 크기가 같고 방향이 반대인 원심 방향의 반작용력으로 설명된다. 반작용 원심력 개념은 때때로 역학 및 공학에서 사용되지만,[46][47] 기초 역학에서는 권장되지 않는다.[48]

참조

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[2] 서적 A Catalogue of the Manuscripts of Christiaan Huygens including a concordance with his Oeuvres Complètes https://books.google[...] BRILL 2018-04-12
[3] 서적 Christiaan Huygens' the pendulum clock, or, Geometrical demonstrations concerning the motion of pendula as applied to clocks https://archive.org/[...] Iowa State University Press 1986
[4] 서적 Œuvres complètes de Christiaan Huygens https://commons.wiki[...] M. Nijhoff 2023-01-14
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[47] 서적 Robotics: a reference guide to the new technology https://books.google[...] Greenwood Press
[48] 서적 Physics for the Inquiring Mind https://archive.org/[...] Princeton University Press
[49] 서적 학술용어집 물리학편 培風館


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