안장점

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1. 개요
2. 정의
3. 특징
4. 수학적 논의
5. 안장형 곡면
6. 안장점법
- 6.1. 축퇴되지 않은 하나의 안장점의 경우
  - 6.1.1. 기본 개념과 표기
  - 6.1.2. 복소 모스 이론 (Complex Morse Lemma)
7. 기타 활용
참조

1. 개요

안장점은 다변수 실수 함수에서 특정 조건을 만족하는 점으로, 해당 점에서 함수는 어떤 방향으로는 극대, 다른 방향으로는 극소가 된다. 미분가능한 다변수 실함수의 정류점(기울기 벡터가 영벡터가 되는 점)은 안장점이거나 극값이며, 헤세 행렬을 통해 안장점 여부를 확인할 수 있다. 안장점은 음의 가우스 곡률을 갖는 안장형 곡면을 형성하며, 수학, 게임 이론, 최적화 문제 등 다양한 분야에서 활용된다. 안장점법은 복소 평면에서 정류점 근방을 통과하는 경로 적분을 근사하는 방법으로, 라플라스 방법의 확장이다.

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안장점
수학적 정의
정의	표면 그래프의 임계점으로, 국소적 극값이 아님
예시 함수	z = x² − y²
상세 설명
설명	함수 z = f(x, y)의 그래프로 표현되는 표면이 있을 때, 특정 지점 (x, y)에서 그 표면이 모든 방향으로 오목하지도 볼록하지도 않은 경우, 그 지점을 안장점이라 부른다. 안장점에서는 한 방향으로는 함수의 값이 증가하고 다른 방향으로는 감소한다. 이는 말 안장의 형태와 유사하다.
추가 정보
관련 개념	임계점 극값

2. 정의

다변수 실수 함수 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 에서 점 $(a_1,\cdots,a_n)$ 이 안장점이라는 것은, 영벡터가 아닌 두 벡터 $(M_1,\cdots,M_n)$ 와 $(m_1,\cdots,m_n)$ 가 존재하여 다음 조건을 만족하는 것을 의미한다.

함수 $g(t)=f(a_1+tM_1,\cdots,a_n+tM_n)$ 가 $t = 0\$ 에서 극대가 된다.
함수 $h(t)=f(a_1+tm_1,\cdots,a_n+tm_n)$ 가 $t = 0\$ 에서 극소가 된다.

극대·극소의 정의에 등호를 허용하는지 여부에 따라 광의와 협의가 있으므로, 안장점의 정의에도 광의와 협의가 있다.

예를 들어, 2변수 함수

f(x,y)=x^2-y^2

에서 점을 원점

(0,0)

으로 하고 방향을

(m_1,m_2)=(1,0)

으로 하면, 함수

g(t)=f(t,0)=t^2

는 점

(0,0)

에서 극소가 되며, 점을 원점

(0,0)

으로 하고 방향을

(M_1,M_2)=(0,1)

로 한 함수

h(t)=f(0,t)=-t^2

는 점

(0,0)

에서 극대가 되므로, 점

(0,0)

은 2변수 함수

f(x,y)=x^2-y^2

의 안장점이 된다.

3. 특징

미분가능한 다변수 실함수의 정류점(기울기 벡터가 영벡터가 되는 점)은 안장점이거나 극값이다. 실수 변수 두 개에 대한 실수 값 함수 ''F''(''x'',''y'')의 주어진 정류점이 안장점인지 확인하는 간단한 기준은 해당 지점에서 함수의 헤세 행렬을 계산하는 것이다. 헤세 행렬이 부정부호이면 해당 지점은 안장점이다. 예를 들어, 정류점 (0, 0, 0)에서 함수 z=x²-y²의 헤시안 행렬은 부정부호 행렬이므로 이 점은 안장점이다. 이 기준은 충분 조건을 제공한다.

가장 일반적인 용어로, 매끄러운 함수 (그 그래프가 곡선, 곡면 또는 초곡면)의 안장점은 해당 점의 근방에서 곡선/곡면/등이 해당 점의 접선 공간의 어떤 쪽에도 완전히 있지 않은 정류점이다.

1차원 영역에서 안장점은 점이며 정류점이자 변곡점이다. 변곡점이므로 극값이 아니다.

4. 수학적 논의

이변수 실수 함수 $f(x,y)$ 의 정류점이 안장점인지 판별하는 방법은 헤시안 행렬을 이용하는 것이다. 헤시안 행렬이 부정부호행렬일 때 그 점은 안장점이라고 할 수 있다. 예를 들어, 함수 $z=x^2-y^2$ 의 정류점 $(0,0)$ 에서의 헤시안 행렬 값은 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ 으로 부정부호행렬이다. 따라서 이 점은 안장점이다. 하지만 이는 충분조건일 뿐, 필요조건은 아니다. 예를 들어, 점 $(0,0)$ 은 함수 $z=x^4-y^4$ 의 안장점이지만 이 함수의 헤시안 행렬 값은 영행렬이며 부정부호가 아니다.

대부분의 경우, 매끄러운 함수(그래프가 곡선, 곡면 혹은 초곡면)의 안장점은 정류점이다. 그 점의 어느 근방에서도 접선의 기울기는 0이 아니다.

일차원에서, 안장점은 정류점이자 변곡점인 점이다. 이 점이 변곡점이기 때문에 이 점에서 극값을 갖지 않는다. 미분가능한 다변수 실함수의 정류점 (기울기 벡터가 영벡터가 되는 점, 즉, 접평면이 수평이 되는 점)은 안장점 또는 극값이다.

5. 안장형 곡면

안장형 곡면(saddle surface)은 하나 이상의 안장점을 포함하는 매끄러운 곡면이다. 말 안장의 독특한 모양에서 유래된 용어이다.^[3] 유클리드 공간에서 2차원의 안장형 곡면의 가장 단순한 예는 2차 표면으로 쌍곡 포물면 $z=x^2-y^2$ ("표준 안장면"이라고 불림)과 일엽쌍곡면(hyperboloid of one sheet)이 있다.^[3] 프링글스 감자칩의 모양을 예로 들 수 있다.^[3]

안장형 곡면은 양의 가우스 곡률을 갖는 볼록면 및 타원곡면과는 다르게 음의 가우스곡률을 갖는다.^[3] 고전적인 3차 안장형 곡면은 몽키 안장(Monkey saddle)이다.^[3]

6. 안장점법

수학에서, 안장점법(https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent saddle point method) 또는 최급강하법(method of steepest descent)은 라플라스 방법의 확장으로, 복소 평면에서 정류점(안장점) 근방을 통과하는 경로 적분을 근사하는 방법이다. 주로 최대 경사 지점 혹은 정지상에서 사용된다. 라플라스 방법은 실수 적분에 사용되는 반면, 안장점법은 복소 평면에서 사용된다.

이 적분은 C가 경로이고 λ가 매우 클 때 $\int_Cf(z)e^{\lambda g(z)}dz$ 의 형태로 나타난다.

안장점법은 리만이 초기하함수인 베셀 함수를 측정하기 위하여 사용했으며, 디바이에 의하여 처음 소개되었다. 최급강하 경로는 최대최솟값을 갖는다.

6. 1. 축퇴되지 않은 하나의 안장점의 경우

6. 1. 1. 기본 개념과 표기

복소 n차원의 벡터 x에 대해, 함수

''S''(''x'')

의 헤시안 행렬은 다음과 같이 정의된다.

:

S''_{xx}(x) \equiv \left( \frac{\partial^2 S(x)}{\partial x_i \partial x_j} \right), \qquad 1\leqslant i,\, j\leqslant n,

벡터 함수

\boldsymbol{\varphi}(x) = (\varphi_1(x), \varphi_2(x), \ldots, \varphi_k(x))

는 야코비 행렬로 정의할 수 있으며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\boldsymbol{\varphi}_x' (x) \equiv \left( \frac{\partial \varphi_i (x)}{\partial x_j} \right), \qquad 1 \leqslant i \leqslant k, \quad 1 \leqslant j \leqslant n.

6. 1. 2. 복소 모스 이론 (Complex Morse Lemma)

복소 모스 이론은 실수에서 정의된 함수에 적용되는 모스 이론을 정칙함수로 일반화한 것이다.^[6]

정칙함수 ''S''(''z'')의 축퇴되지 않은 점 ''z''⁰에서, ''S''(''z'') − ''S''(''z''⁰)가 정확히 2차인 지점이 존재한다.

더 엄밀히 말하면, ''W'' ⊂ '''C'''^''n''에서 ''S''를 정칙함수로 정의하고, ''W''내의 ''z''⁰를 ''S''의 축퇴되지 않은 안장점으로 정의하면,

:∇''S''(''z''⁰) = 0이고

\det S''_{zz}(z^0) \neq 0

이다.

그러면 ''U'' ⊂ ''W'' of ''z''⁰와 ''V'' ⊂ '''C'''^''n'' of ''w'' = 0 가 존재하고 전단사 정칙함수'''''φ''''' : ''V'' → ''U''에서 '''''φ'''''(0) = ''z''⁰이어서

\forall w \in V: \qquad S(\boldsymbol{\varphi}(w)) = S(z^0) + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \mu_j w_j^2, \quad \det\boldsymbol{\varphi}_w'(0) = 1

이 존재하고,

여기서 ''μ_j''는 행렬

S_{zz}''(z^0)

의 고유값이다.

7. 기타 활용

제로섬 게임은 연속적인 공간에서 정의되며, 2명의 플레이어가 참여하는 게임에서 균형점은 안장점이다.^[4] 2차 선형 자율 시스템에서, 임계점은 특성 방정식이 양수와 음수의 실수 고유값을 하나씩 가질 경우 안장점이다.^[4] 등식 제약 조건이 있는 최적화 문제에서, 1차 조건은 라그랑지안의 안장점을 설명한다.^[4] 역학계에서 동역학이 미분 가능한 함수 ''f''로 주어지면, 점은 ''ƒ'' ^''n'' (여기서 ''n''은 점의 주기)의 미분이 해당 점에서 계산될 때 (복소수) 단위 원에 고유값을 가지지 않는 경우 쌍곡선이 된다.^[4] 그러면 '안장점'은 안정 다양체와 불안정 다양체가 0이 아닌 차원을 갖는 쌍곡선 주기점이다.^[4] 행렬의 안장점은 열에서 가장 큰 요소이자 행에서 가장 작은 요소인 요소이다.^[4]

참조

_[1] 서적 Calculus, Multivariable Version
_[2] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[3] 서적 Advanced Calculus https://books.google[...] Waveland Press
_[4] 간행물
_[5] 간행물
_[6] 간행물
_[7] 서적 수학이란 무엇인가 경문사

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