엘로 평점 시스템

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1. 개요
2. 역사
3. 엘로 평점의 정의
4. 레이팅 계산 방법
5. 다양한 평점 시스템
- 5.1. FIDE 평점
  - 5.1.1. 퍼포먼스 레이팅
- 5.2. 미국 체스 연맹(USCF) 평점
6. 이론
- 6.1. 수학적 세부 사항
7. 실제적인 문제점
- 7.1. 평점 인플레이션/디플레이션
  - 7.1.1. 디플레이션 방지
8. 체스 외의 활용
참조

1. 개요

엘로 평점 시스템은 체스 선수들의 실력을 평가하기 위해 개발된 시스템으로, 승패 결과를 통해 상대적인 실력을 추정한다. 아르파드 엘로가 고안했으며, 각 선수의 실력을 정규 분포를 따르는 확률 변수로 간주하고, 승리 확률을 레이팅 차이에 따라 계산하는 방식을 사용한다. 엘로 시스템은 계산의 단순성으로 인해 널리 사용되었으며, 체스 외에도 바둑, 축구, 야구, 비디오 게임 등 다양한 분야에서 활용된다. FIDE와 USCF 등 여러 체스 기구에서 엘로 시스템을 채택하여 선수들의 평점을 산정하며, 퍼포먼스 레이팅과 같은 파생 지표도 사용한다. 엘로 평점 시스템은 인플레이션과 디플레이션과 같은 문제점을 가지고 있으며, 이를 해결하기 위한 다양한 보완책이 적용되고 있다.

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엘로 평점 시스템
개요
이름	엘로 평점 시스템
고안자	아르파드 엘로
개발 시기	1960년대
적용 분야	체스 축구 미식축구 농구 야구 탁구 바둑 온라인 게임 기타 경쟁 활동
목적	플레이어의 상대적인 기술 수준 측정 경기 결과 예측
특징
핵심 원리	실력 차이에 따른 승리 기대 확률 기반
평점 변화	승리 시: 높은 평점의 상대에게 승리할수록 평점 상승폭 증가 패배 시: 낮은 평점의 상대에게 패배할수록 평점 하락폭 증가
계산식	100% / (1 + 10^−D/400) (여기서 D는 두 플레이어 간의 평점 차이)
장점	직관적인 평점 시스템 다양한 분야에 적용 가능 경기 결과 예측 정확도 높음
단점	초기 평점 설정의 어려움 새로운 플레이어의 평점 변동 폭이 큼
활용
체스	국제 체스 연맹(FIDE) 공식 평점 시스템 체스 선수 순위 결정 대회 참가 자격 기준
기타 스포츠 및 게임	다양한 스포츠 리그 및 온라인 게임에서 활용
참고 사항
변형	Glicko 평점 시스템 등 다양한 변형 존재
비판	평점 인플레이션 문제 등 존재

2. 역사

아르파드 엘로는 체스 마스터이자 미국 체스 연맹(USCF)의 회원이었다.^[4] 당시 USCF는 케네스 하크니스가 고안한 수치 평점 시스템을 사용했는데, 이 시스템은 일부 상황에서 부정확한 평점을 초래했다. 엘로는 USCF를 대신하여 더 정확한 통계적 기반을 가진 새로운 시스템을 고안했다.^[5] 거의 같은 시기에 죄르지 카로이와 로저 쿡은 뉴사우스웨일스 체스 협회를 위해 동일한 원리에 기반한 시스템을 독립적으로 개발했다.^[6]

엘로 시스템은 이전의 경쟁 보상 시스템을 통계적 추정을 기반으로 한 시스템으로 대체했다. 기존의 많은 스포츠 평점 시스템은 특정 업적에 대해 주관적인 평가를 내려 점수를 부여하는 방식이었다. 예를 들어, 중요한 골프 토너먼트에서 우승하면 덜 중요한 토너먼트에서 우승하는 것보다 임의로 더 많은 점수를 받을 수 있었다. 반면 엘로 시스템은 각 선수의 능력을 나타내는 변수와 게임 결과를 관련시키는 모델을 사용했다.

엘로는 각 선수가 게임에서 보여주는 체스 실력이 정규 분포를 따르는 확률 변수라고 가정했다. 즉, 선수마다 실력이 다를 수 있지만, 평균적인 실력은 시간이 지남에 따라 천천히 변한다고 보았다. 엘로는 선수의 진정한 실력을 해당 선수 실력의 확률 변수 평균으로 간주했다.

체스 실력은 직접 측정할 수 없으므로, 승리, 무승부, 패배로부터 추론해야 했다. 엘로는 게임에서 이긴 선수는 상대보다 더 높은 수준으로, 패배한 선수는 더 낮은 수준으로 플레이했다고 가정했다. 무승부의 경우에는 두 선수가 거의 동일한 수준으로 플레이했다고 보았다.

엘로는 계산을 단순화하기 위해, 선수들이 상대와의 평점을 비교하여 몇 게임을 이길 것으로 예상되는지 표에서 쉽게 계산할 수 있는 방법을 제안했다. 예상보다 더 많이 이긴 선수는 평점이 올라가고, 예상보다 적게 이긴 선수는 평점이 내려갔다.

1960년, 미국 체스 연맹(USCF)은 엘로의 제안을 채택했고,^[8] 이 시스템은 하크니스 시스템보다 더 공정하고 정확하다는 평가를 받았다. 1970년에는 국제 체스 연맹(FIDE)도 엘로 시스템을 채택했다.^[9] 엘로는 1978년에 출판된 ''The Rating of Chessplayers, Past and Present''에서 자신의 연구를 상세히 설명했다.^[10]

이후 통계적 검증 결과, 체스 경기력이 엘로의 모델이 예측하는 것보다 약한 선수들이 더 많은 승리 기회를 가지기 때문에 정규 분포로 완벽하게 분포되지 않는다는 것이 밝혀졌다.^[11]^[12] 선수들의 실력 차이가 정규 분포 또는 로지스틱 분포로 분포되어 있다고 가정하는 것은 실제로는 큰 차이가 없지만, 수학적으로는 로지스틱 함수가 더 다루기 편리하다.^[13] FIDE는 엘로가 제안한 대로 레이팅 차이 표를 계속 사용하고 있다.

엘로는 정규 확률은 레이팅 차이가 z 점수로 표현될 때 정규 곡선 아래 영역의 표준 표에서 직접 가져올 수 있다고 설명했다.^[14] 개별 경기력의 표준 편차 σ가 200점으로 정의되므로, 경기력 차이의 표준 편차 σ'는 σ√2 (약 282.84)가 된다. 그러면 차이의 z 값은 D/282.84이다. 이것은 곡선 아래의 영역을 두 부분으로 나누어 더 높은 레이팅의 선수와 낮은 레이팅의 선수에게 각각 P값을 제공한다.

예를 들어, 레이팅 차이가 160점이라면, z = 160 / 282.84 = 0.566이다. 표는 곡선 아래 두 부분의 영역으로 0.7143과 0.2857을 제공한다.

표는 실제로 표준 편차 200(10/7)를 200√2의 근사값으로 사용하여 작성되었다. 정규 분포와 로지스틱 분포는 어떤 의미에서 잘 작동하는 분포 스펙트럼의 임의의 지점이며, 실제로 이 두 분포 모두 여러 다른 게임에서 매우 잘 작동한다.

절대적인 값을 겨루는 경기(예: 100m 달리기)에서는 그 절대값이 경기 결과가 되므로, 이를 그대로 실력의 기준으로 사용할 수 있다. 그러나 체스나 축구와 같은 대전형 경기에서는 경기 결과가 승패이므로, 이를 실력의 지표로 변환하는 과정이 필요하다.

고전적인 지표로는 '''승률'''이 있다. 그러나 승률은 "상대 선수의 강함을 고려하지 않는다"는 단점이 있다. 톱 플레이어만을 상대로 승률 5할을 기록한 경우와 초보자만을 상대로 승률 5할을 기록한 경우는 전자가 실력이 더 높지만, 승률은 이를 반영하지 못한다. 엘로 레이팅은 '''평균적인 실력의 플레이어와 대전했을 때 예상되는 승리 승률'''을 수학적으로 추정하여 로그로 변환한 지표로, 이 문제를 해결한다.

엘로 레이팅은 시합마다 대전 전의 상호 레이팅을 기반으로 기대 승률을 계산하고, 실제 대전 결과와의 차이를 기반으로 레이팅을 갱신한다. 이 과정을 반복함으로써, 평균적인 실력의 플레이어와 대전했을 때의 진정한 승리 확률, 즉 강함을 나타내는 적절한 값으로 레이팅이 수렴한다.

엘로 레이팅은 승패를 계산 대상으로 하므로, 무승부는 승패로 변환해야 한다. 무승부 처리는 경기 단체에 따라 다르지만, 일반적으로 다음 세 가지 방법이 사용된다.

무승부는 0.5승 0.5패로 계산한다.
무승부는 재경기를 하여 재경기 결과에 따라 계산한다.
무승부 경기는 레이팅 계산 대상에서 제외한다.

엘로 레이팅의 발상지인 체스에서는 무승부를 0.5승 0.5패로 하는 방법이 채택되었다.

2. 1. 엘로 평점 이전

엘로 평점이 도입되기 전, 미국 체스 연맹(USCF)에서는 케네스 하크니스(Kenneth Harkness)가 고안한 하크니스 시스템을 사용했다. 이 시스템은 선수들의 토너먼트 승패를 바탕으로 평점을 매겼지만, 일부 상황에서 부정확한 평점을 초래하는 경우가 있었다.^[4] 예를 들어, 실력이 강한 상대에게 승리한 경우와 약한 상대에게 승리한 경우를 똑같이 취급하는 문제가 있었다.

이러한 문제점을 해결하기 위해 아르파드 엘로는 통계적 추정을 기반으로 한 새로운 시스템을 고안했다.^[5] 엘로의 핵심 아이디어는 각 선수의 체스 실력이 정규 분포를 따르는 확률 변수라고 가정한 것이다. 즉, 선수의 실력은 경기마다 변동할 수 있지만, 평균적인 실력은 시간이 지나면서 천천히 변한다고 보았다.

엘로 시스템은 이전의 경쟁 보상 시스템과 달리, 경기 결과와 선수 실력 간의 관계를 모델링하는 통계적 접근 방식을 사용했다. 예를 들어, 중요한 골프 토너먼트에서 우승하는 것이 덜 중요한 토너먼트에서 우승하는 것보다 임의로 더 많은 점수를 받는 것이 아니라, 각 선수의 실력을 나타내는 기본 변수를 추정하여 평점을 계산했다.

엘로는 선수들의 실력을 직접 측정할 수 없기 때문에, 승리, 무승부, 패배로부터 실력을 추론해야 했다. 그는 게임에서 이긴 선수는 상대보다 더 높은 수준으로 플레이했고, 패배한 선수는 더 낮은 수준으로 플레이했다고 가정했다. 무승부의 경우에는 두 선수가 거의 동일한 수준으로 플레이했다고 보았다.

엘로 시스템은 계산의 단순성 덕분에 널리 보급되었다. 주머니 계산기만 있으면, 체스 경쟁자는 자신의 다음 공식 발표 평점을 1점 이내로 계산할 수 있었고, 이는 평점이 공정하다는 인식을 심어주는 데 기여했다.

엘로 평점 이전의 고전적인 지표로는 '''승률'''이 있었다. 그러나 승률은 "상대 선수의 강함을 고려하지 않는다"는 단점이 있었다. 즉, 실력이 매우 높은 선수들 사이에서 5할의 승률을 기록한 경우와 초보자들 사이에서 5할의 승률을 기록한 경우는 분명히 전자가 실력이 높지만, 승률만으로는 이러한 차이를 반영할 수 없었다.

엘로 평점은 이러한 문제를 해결하기 위해, '''평균적인 실력의 플레이어와 대전했을 때 예상되는 승리 승률'''을 수학적으로 추정하여 로그로 변환한 지표이다.

2. 2. 엘로 평점의 특징

엘로 시스템은 이전의 경쟁 보상 시스템을 통계적 추정을 기반으로 한 시스템으로 대체했다. 많은 스포츠의 평점 시스템은 특정 업적의 '위대함'에 대한 주관적인 평가에 따라 점수를 부여한다. 예를 들어, 중요한 골프 토너먼트에서 우승하는 것은 덜 중요한 토너먼트에서 우승하는 것보다 임의로 선택된 5배의 점수를 받을 수 있다.

반대로 통계적 노력은 각 선수의 능력을 나타내는 기본 변수와 게임 결과를 관련시키는 모델을 사용한다.

엘로의 핵심 가정은 각 선수가 각 게임에서 보여주는 체스 실력이 정규 분포를 따르는 확률 변수라는 것이었다. 한 선수가 게임마다 실력이 현저하게 좋아지거나 나빠질 수 있지만, 엘로는 어떤 선수든 실력의 평균값이 시간이 지남에 따라 천천히 변한다고 가정했다. 엘로는 선수의 진정한 실력을 해당 선수의 실력 확률 변수의 평균으로 생각했다.^[7]

체스 실력은 측정할 수 없기 때문에, 추가적인 가정이 필요하다. 일련의 수를 보고 그 선수의 실력을 나타내는 숫자를 도출할 수는 없다. 실력은 승리, 무승부, 패배로부터 추론될 수 있을 뿐이다. 따라서 게임에서 이긴 선수는 해당 게임에서 상대보다 더 높은 수준으로 플레이했다고 가정한다. 반대로, 패배한 선수는 더 낮은 수준으로 플레이했다고 가정한다. 게임이 무승부로 끝나면 두 선수는 거의 동일한 수준으로 플레이했다고 가정한다.

엘로는 선수들의 실력이 서로 다른 표준 편차를 가질 가능성이 있다고 생각했지만, 단순화된 가정을 했다.^[7]

계산을 더욱 단순화하기 위해, 엘로는 자신의 모델의 변수를 추정하는 간단한 방법을 제안했다. 선수들이 상대와의 평점을 비교하여 몇 게임을 이길 것으로 예상되는지 표에서 비교적 쉽게 계산할 수 있었다. 예상보다 더 많은 게임에서 이긴 선수의 평점은 상향 조정되고, 예상보다 적은 게임에서 이긴 선수의 평점은 하향 조정되었다. 또한, 해당 조정은 선수가 예상한 승수보다 더 많이 이겼거나 부족한 승수에 비례했다.^[7]

엘로 평점 시스템은 다음과 같은 두 가지 중요한 전제를 두고 있다.

시합의 승패는 플레이어의 평가값의 크기에 따라 결정된다. 어떤 플레이어가 게임에서 이기면, 그 게임에서는 상대보다 평가값이 높았다고 간주한다. 진 경우에는 상대보다 평가값이 낮았고, 무승부인 경우에는 평가값이 같았다고 한다.
각 게임에서의 플레이어의 평가값은 정규 분포의 확률 변수이다. 어떤 플레이어의 평가값은 대국마다 컨디션에 따라 변동은 있지만, 평가값의 평균값은 시간이 지남에 따라 천천히 변화한다고 생각했다.

플레이어별 표준 편차(레이팅 편차)의 차이를 고려하지 않는 단순화된 모델로 하고 있다.

2. 3. 엘로 평점의 활용과 발전

아르파드 엘로의 제안은 1960년 미국 체스 연맹(USCF)에서 채택되었고,^[8] 1970년에는 국제 체스 연맹(FIDE)에서도 채택되었다.^[9] 엘로 평점은 계산이 간단하여 주머니 계산기만으로도 다음 공식 발표 평점을 1점 이내로 계산할 수 있다는 큰 장점이 있었으며, 이는 평점이 공정하다는 인식을 확산시키는 데 기여했다.^[7]

엘로 평점 시스템은 체스뿐만 아니라 축구, 야구, 농구, e스포츠 등 다양한 분야에서 선수나 팀의 실력을 평가하는 데 활용되고 있다.

엘로 평점 시스템은 시간이 지남에 따라 평점이 상승하는 인플레이션 현상이나 반대로 평점이 하락하는 디플레이션 현상이 발생하기도 한다. 이러한 문제점에 대응하기 위해 마크 글리크만은 글리코 평점을 제안하였다.^[7]

3. 엘로 평점의 정의

엘로 평점 시스템에서 플레이어의 레이팅은 해당 플레이어가 평균적인 플레이어와 대전했을 때 예상되는 승리 확률과 패배 확률을 이용하여 정의된다. 평균적인 플레이어의 레이팅을 $R_0$ , 어떤 플레이어의 레이팅을 $R$ , 예상되는 승리 확률과 패배 확률을 각각 $W, L$ 이라고 할 때, 레이팅은 다음과 같이 정의된다.^[36]

: $R = 400 \log_{10} \frac {W}{L} + R_0$

이를 승패비 측면에서 보면 다음과 같다.

: $\frac {W}{L}=10^{(R - R_0)/400}$

$R_0$ 는 편의상 2000을 사용했지만, 관습적으로 1500이 사용되는 경우가 많다.^[36]

여기서 400과 $R_0$ 는 수치를 보기 좋게 하기 위한 상수일 뿐이며, 엘로 평점의 본질은 '''승패비를 로그로 변환한 것'''이다.^[36]

플레이어 A가 플레이어 B에게 승리할 확률을 $W_{AB}$ , 플레이어 A의 엘로 레이팅을 $R_{A}$ 등으로 표기하면, 임의의 플레이어 A, B의 대전에서 평균적인 플레이어를 $\alpha$ 로 하여 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다.^[36]

: $\frac {W_{AB}}{W_{BA}} = \frac{W_{A \alpha}}{W_{\alpha A}} \times \frac{W_{\alpha B}}{W_{B \alpha}} = \frac {10^{(R_{A} -R_0)/400}} {10^{(R_{B} - R_0)/400}} = 10^{(R_A - R_B)/400}$

여기서, $W_{AB} + W_{BA} = 1$ 이므로,

: $W_{AB} = \frac 1 {10^{(R_B - R_A)/400} +1}$

가 되어, 평점 차이로부터 승리 확률을 얻을 수 있게 된다.^[36]

평균적인 플레이어의 레이팅은 레이팅을 계산할 때 사용한 $R_0$ (예: 1500)이다. 레이팅 차이별 승리 확률은 다음 표와 같다.^[36]

레이팅 차이	상위자 승리 확률	하위자 승리 확률
0	50%	50%
50	57%	43%
100	64%	36%
150	70%	30%
200	76%	24%
250	81%	19%
300	85%	15%
350	88%	12%
400	91%	9%
450	93%	7%
500	95%	5%

4. 레이팅 계산 방법

엘로 평점 시스템에서 레이팅을 계산하는 방법은 다음 세 가지를 기본으로 한다.

# 게임 결과는 승리, 무승부, 패배로 처리한다. 무승부는 0.5승, 0.5패로 계산한다.

# 200점의 레이팅 차이는 약 76%의 승률 차이로 나타난다.

# 평균적인 대국자의 레이팅은 1500점으로 설정한다.

두 플레이어 A와 B의 현재 레이팅을 각각 $R_A$ , $R_B$ 라고 할 때, 각 플레이어가 승리할 확률 $E_A$ , $E_B$ 는 다음과 같이 계산된다.

: $E_A = \frac 1 {1 + 10^{(R_B - R_A)/400}}$

: $E_B = \frac 1 {1 + 10^{(R_A - R_B)/400}}$

실제 대국 결과 A의 승수가 $S_A$ 였을 경우, A의 새로운 레이팅 $R_A^\prime$ 는 다음과 같이 계산된다.

: $R_A^\prime = R_A + K(S_A - E_A)$

여기서 $K$ 는 상수 값이며, 프로 수준에서는 16, 일반적으론 32를 사용하는 경우가 많다. 세계 체스 연맹에서는 10, 20 또는 40을 사용한다.^[4]

예를 들어, 선수 A가 1613의 레이팅을 가지고 5라운드 토너먼트에 참가하여 다음과 같은 결과를 얻었다고 가정하자.

1609 레이팅의 선수에게 패배 (0점)
1477 레이팅의 선수와 무승부 (0.5점)
1388 레이팅의 선수에게 승리 (1점)
1586 레이팅의 선수에게 승리 (1점)
1720 레이팅의 선수에게 패배 (0점)

선수 A의 실제 점수는 2.5점 (0 + 0.5 + 1 + 1 + 0)이다. 예상 점수는 위의 공식을 통해 계산하면 2.88점 (0.51 + 0.69 + 0.79 + 0.54 + 0.35)이다. K 팩터를 32로 가정하면, 선수 A의 새로운 레이팅은 1601점 [1613 + 32 * (2.5 - 2.88)]이 된다.

이러한 업데이트 절차는 FIDE, USCF, 야후! 게임즈, ICC 및 FICS 등에서 사용된다.

5. 다양한 평점 시스템

"엘로 평점"이라는 용어는 FIDE가 계산한 선수들의 체스 평점을 의미하는 데 자주 사용되지만, 엘로의 아이디어는 여러 조직에서 채택되었기 때문에 혼란을 야기할 수 있다. 각 조직은 고유한 구현 방식을 가지고 있으며, 엘로의 원래 제안을 정확히 따르는 곳은 없다.^[7]

대신 평점을 부여하는 조직을 언급하는 것이 더 명확하다. 예를 들어, "2018년 4월 현재 타테브 아브라함얀은 FIDE 평점 2366점, USCF 평점 2473점을 기록했습니다."와 같이 표현할 수 있다. 엘로 평점은 절대적인 기술보다는 폐쇄된 선수 풀 내의 결과를 측정하기 때문에, 이러한 다양한 조직의 엘로 평점은 항상 직접적으로 비교할 수 있는 것은 아니다.

아르파드 엘로는 체스 마스터였으며 미국 체스 연맹(USCF)의 적극적인 회원이었다. USCF는 케네스 하크니스가 고안한 수치 평점 시스템을 사용했지만, 이 시스템은 일부 상황에서 부정확한 평점을 초래했다. 엘로는 USCF를 대신하여 더 탄탄한 통계적 기반을 가진 새로운 시스템을 고안했다.^[5]

엘로 시스템은 이전의 경쟁 보상 시스템을 통계적 추정을 기반으로 한 시스템으로 대체했다. 엘로는 각 선수의 체스 실력이 정규 분포를 따르는 확률 변수라고 가정했다. 즉, 선수의 실력은 게임마다 다를 수 있지만, 평균적으로는 일정한 수준을 유지한다고 보았다. 엘로는 선수의 진정한 실력을 해당 선수의 실력 확률 변수의 평균으로 생각했다. 그러나 체스 실력은 직접 측정할 수 없으므로, 승리, 무승부, 패배로부터 추론해야 했다. 엘로는 게임에서 이긴 선수는 상대보다 더 높은 수준으로 플레이했다고 가정하고, 패배한 선수는 더 낮은 수준으로 플레이했다고 가정했다. 무승부의 경우에는 두 선수가 거의 동일한 수준으로 플레이했다고 가정했다.

엘로는 자신의 모델 변수를 추정하는 간단한 방법을 제안했다. 선수들이 상대와의 평점을 비교하여 몇 게임을 이길 것으로 예상되는지 표에서 쉽게 계산할 수 있도록 했다. 예상보다 더 많은 게임에서 이긴 선수의 평점은 상향 조정되고, 예상보다 적은 게임에서 이긴 선수의 평점은 하향 조정되었다.

현대에는 컴퓨팅 성능이 발전하여 엘로의 단순화된 가정은 필요하지 않다. 마크 글릭먼을 포함한 여러 사람이 더 정교한 통계적 기법을 사용할 것을 제안했다. 그러나 엘로 시스템의 계산적 단순성은 여전히 큰 장점으로, 주머니 계산기로도 다음 공식 발표 평점을 1점 이내로 계산할 수 있게 해준다.

이후 통계적 검증에 따르면 체스 경기력은 정규 분포보다는 로지스틱 분포에 더 가깝다는 것이 밝혀졌다. FIDE는 엘로가 제안한 대로 레이팅 차이 표를 계속 사용하고 있다.

5. 1. FIDE 평점

국제 체스 연맹(FIDE)은 1970년에 엘로 시스템을 채택했다.^[9] FIDE는 엘로가 제안한 대로 레이팅 차이 표를 계속 사용하고 있다.

FIDE는 평점 목록을 다음과 같이 발표했다.

1971년부터 1980년까지: 연 1회
1981년부터 2000년까지: 연 2회 (1월, 7월)
2000년 7월부터 2009년 7월까지: 연 4회 (1월, 4월, 7월, 10월 초)
2009년 7월부터 2012년 7월까지: 연 6회 (1월, 3월, 5월, 7월, 9월, 11월 초)
2012년 7월 이후: 매달

2015년 7월 FIDE 평점 목록을 분석하면, FIDE 평점에 따라 일반적으로 다음과 같은 타이틀을 가진다.

2015년 7월 FIDE 평점 목록 분석
평점 범위	선수 수	일반적인 타이틀
2200 - 2299	5,323	후보 마스터
2300 - 2399	2,869	FIDE 마스터
2400 - 2499	1,420	국제 마스터 또는 국제 그랜드마스터
2500 - 2599	542	국제 그랜드마스터
2600 - 2699	187	국제 그랜드마스터
2700 - 2799	40
2800 이상	4

역대 최고 FIDE 평점은 2882점으로, 마그누스 칼센이 2014년 5월에 기록했다.

5. 1. 1. 퍼포먼스 레이팅

FIDE는 다음 공식을 사용하여 퍼포먼스 레이팅을 계산한다.

:

\text{퍼포먼스 레이팅} = \text{상대 레이팅 평균} + d_p,

여기서 "레이팅 차이"

d_p

는 선수의 토너먼트 점수 비율

p

를 기반으로 한다.

p

는 획득한 점수를 치른 게임 수로 나눈 값이며, 아래 표에서 값을 찾는데 사용된다. 완벽한 점수 또는 0점의 경우

d_p

는 800이다.

$p$	$d_p$
1.00	+800
0.99	+677
0.9	+366
0.8	+240
0.7	+149
0.6	+72
0.5	0
0.4	−72
0.3	−149
0.2	−240
0.1	−366
0.01	−677
0.00	−800

5. 2. 미국 체스 연맹(USCF) 평점

미국 체스 연맹(USCF)은 자체적인 선수 분류를 사용한다.^[17] USCF는 모든 평점에 대해 절대 평점 하한선 100을 유지한다.

2400점 이상: 시니어 마스터
2200–2399점: 내셔널 마스터
* 2200–2399점 이상, 2200점 이상에서 300경기 이상: 오리지널 라이프 마스터^[18]
2000–2199점: 엑스퍼트 또는 캔디데이트 마스터
1800–1999점: A등급
1600–1799점: B등급
1400–1599점: C등급
1200–1399점: D등급
1000–1199점: E등급
800–999점: F등급
600–799점: G등급
400–599점: H등급
200–399점: I등급
100–199점: J등급

USCF는 모든 평점에 대해 절대 평점 하한선 100을 유지한다. 즉, USCF가 승인한 대회에서의 성적에 관계없이, 어떤 회원도 100 미만의 평점을 가질 수 없다. 그러나 다음 공식을 사용하여 계산된 더 높은 개별 절대 평점 하한선을 가질 수 있다.

:

AF = \operatorname{min}\{100+4N_W+2N_D+N_R , 150\}

여기서

N_W

는 평점을 획득한 게임 수,

N_D

는 무승부로 끝난 평점 게임 수,

N_R

는 선수가 3개 이상의 평점 게임을 완료한 이벤트 수이다.

상당한 평점을 획득한 경험 많은 선수들을 위해 더 높은 평점 하한선이 존재한다. 이러한 더 높은 평점 하한선은 1200 평점에서 시작하여 100점 단위로 2100까지 존재한다(1200, 1300, 1400, ..., 2100). 평점 하한선은 선수의 최고 확정 평점을 가져와서 200점을 빼고, 가장 가까운 평점 하한선으로 내림하여 계산된다. 예를 들어, 최고 평점 1464를 달성한 선수는 1264의 평점 하한선을 갖게 되며, 이는 1200으로 내림된다. 이 방식에 따르면, 클래스 C 선수 이상만 자신의 절대 선수 평점보다 더 높은 평점 하한선을 가질 수 있다. 다른 모든 선수는 최대 150의 하한선을 갖게 된다.

위에 제시된 표준 방식 외에 더 높은 평점 하한선을 달성하는 두 가지 방법이 있다. 선수가 오리지널 라이프 마스터 평점을 달성한 경우, 그들의 평점 하한선은 2200으로 설정된다. 이 타이틀의 달성은 다른 USCF 공인 타이틀이 새로운 하한선을 갖게 하지 않는다는 점에서 독특하다. 평점이 2000 미만인 선수에게는 2,000달러 이상의 현금 상금을 획득하면 해당 선수의 평점 하한선이 토너먼트 참여 자격을 박탈할 수 있는 가장 가까운 100점 단위로 상승한다. 예를 들어, 선수가 1750 이하 토너먼트에서 4,000달러를 획득한 경우, 그들은 이제 1800의 평점 하한선을 갖게 된다.

6. 이론

아르파드 엘로는 체스 마스터이자 미국 체스 연맹(USCF)의 회원이었다. USCF는 케네스 하크니스가 고안한 평점 시스템을 사용했지만, 일부 상황에서 부정확한 평점을 냈다.^[4] 엘로는 USCF를 대신하여 더 정확한 통계적 기반을 가진 새로운 시스템을 고안했다.^[5]

엘로 시스템은 경쟁 보상 시스템을 통계적 추정 기반으로 대체했다. 많은 스포츠의 평점 시스템은 특정 업적에 대한 주관적인 평가에 따라 점수를 부여하는 반면, 엘로는 각 선수의 실력을 나타내는 변수와 게임 결과를 관련시키는 모델을 사용했다.

엘로의 핵심 가정은 각 선수가 각 게임에서 보여주는 체스 실력이 정규 분포를 따르는 확률 변수라는 것이었다. 선수의 실력은 게임마다 변동할 수 있지만, 엘로는 평균 실력이 시간이 지남에 따라 천천히 변한다고 가정했다.

체스 실력은 직접 측정할 수 없으므로, 승리, 무승부, 패배로부터 추론해야 한다. 엘로는 이긴 선수는 상대보다 더 높은 수준으로, 진 선수는 더 낮은 수준으로 플레이했다고 가정했다. 무승부는 두 선수가 거의 동일한 수준으로 플레이했음을 의미한다.

엘로는 두 선수의 실력 차이에 따른 무승부 확률을 명확하게 정의하지 않았지만, 선수들의 실력이 서로 다른 표준 편차를 가질 가능성을 고려하여 단순화된 가정을 했다.

계산을 단순화하기 위해, 엘로는 선수들이 상대와의 평점을 비교하여 예상 승수를 표에서 쉽게 계산할 수 있는 방법을 제안했다. 예상보다 많이 이긴 선수는 평점이 상향 조정되고, 적게 이긴 선수는 하향 조정되었다. 조정은 예상 승수와의 차이에 비례했다.^[7]

현대에는 컴퓨팅 성능이 발전하여 더 정교한 통계 기법을 사용할 수 있지만, 엘로 시스템의 계산적 단순성은 여전히 큰 장점이다. 주머니 계산기로도 다음 공식 발표 평점을 1점 이내로 계산할 수 있어 평점의 공정성을 확보하는 데 도움이 된다.

엘로 평점 방법론의 기반은 쌍별 비교이다.^[20] 엘로 평점은 로지스틱 회귀의 확률적 경사 하강법을 이용하여 공식적으로 도출할 수 있다.^[35]^[36] 게임 결과를 이진 확률 변수(승리 또는 패배)로 보고, 선수들의 평점을 독립 변수, 게임 결과를 종속 변수로 하여 로지스틱 회귀를 통해 확률적으로 모델링할 수 있다.

시간이 지남에 따라 FIDE 레이팅 목록을 분석한 결과, 1985년경부터 레이팅 인플레이션이 발생했을 수 있다는 제안이 있다.^[42] 2700 이상 레이팅을 가진 선수 수가 증가했으며, 이는 레이팅 하한선 등의 요인으로 인해 발생했을 수 있다.^[42] 2000년 7월 상위 100명의 평균 레이팅은 2644였으나, 2012년 7월에는 2703으로 증가했다.^[43] 하지만, 강력한 체스 엔진을 사용하여 평가한 결과, 1976년부터 2009년까지 FIDE 레이팅 토너먼트에서 얻은 게임에서는 인플레이션이 거의 없었다는 연구 결과도 있다.^[44]

엘로 시스템은 각 게임이 동일한 레이팅 포인트 거래로 끝나도록 설계되어, 시스템 전체의 점수 총합은 일정하게 유지된다. 그러나 선수들이 낮은 레이팅으로 시스템에 진입하고 높은 레이팅으로 은퇴하는 경향이 있어, 장기적으로 레이팅 디플레이션이 발생할 수 있다.^[45] 1995년, USCF는 젊은 학생 선수들의 실력 향상 속도가 레이팅 시스템의 추적 속도보다 빠르다는 것을 인지했다. 이로 인해 기존 선수들이 과소평가된 젊은 선수들에게 레이팅 포인트를 잃는 현상이 발생했고, 일부 기성 선수들은 불만을 품고 체스를 그만두기도 했다.^[46]

엘로 평점 시스템은 '''승률비는 곱에 의해 추이한다'''는 중요한 가정을 전제로 한다. 즉, 세 명의 플레이어 X, Y, Z에 대해, 다음 관계가 성립해야 한다.

:

\frac{W_{XZ}}{W_{ZX}}=\frac{W_{XY}}{W_{YX}} \times \frac{W_{YZ}}{W_{ZY}}

이 관계가 충족되지 않으면 엘로 평점 시스템으로 실력을 정확하게 평가할 수 없다.

이 가정을 통해, 임의의 플레이어 A, B의 대전에서, 평균적 플레이어를 α로 하여, 다음과 같은 관계를 도출할 수 있다.

:

\frac {W_{AB}}{W_{BA}} = \frac{W_{A \alpha}}{W_{\alpha A}} \times \frac{W_{\alpha B}}{W_{B \alpha}} = \frac {10^{(R_{A} -R_0)/400}} {10^{(R_{B} - R_0)/400}} = 10^{(R_A - R_B)/400}

여기서,

W_{AB} + W_{BA} = 1

이므로,

:

W_{AB} = \frac 1 {10^{(R_B - R_A)/400} +1}

가 되어, 평점 차이로부터 승리 확률을 얻을 수 있다.

계산된 승리 확률은 다음과 같은 특징을 갖는다.

항상 0%에서 100% 사이이다.
평점이 같으면 승리 확률은 50%이다.
평점 차이가 클수록 상위자의 승리 확률이 높아진다.
평점 차이가 플러스 무한대에 가까워지면 승리 확률은 100%에 점근하고, 마이너스 무한대에 가까워지면 0%에 점근한다.

6. 1. 수학적 세부 사항

선수 A의 레이팅이

\, R_\mathsf{A} \,

이고, 선수 B의 레이팅이

\, R_\mathsf{B} \,

일 때, 선수 A의 예상 점수는 다음과 같이 계산된다.

:

E_\mathsf{A} = \frac 1 {1 + 10^{(R_\mathsf{B} - R_\mathsf{A})/400}}

마찬가지로 선수 B의 예상 점수는 다음과 같다.

:

E_\mathsf{B} = \frac 1 {1 + 10^{(R_\mathsf{A} - R_\mathsf{B})/400}}

이는

\; Q_\mathsf{A} = 10^{R_\mathsf{A}/400} \;,

이고

\; Q_\mathsf{B} = 10^{R_\mathsf{B}/400} \;.

일 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

E_\mathsf{A} = \frac{ Q_\mathsf{A} }{ Q_\mathsf{A} + Q_\mathsf{B} }

:

E_\mathsf{B} = \frac{ Q_\mathsf{B} }{Q_\mathsf{A} + Q_\mathsf{B} } ~.

이때,

\; E_\mathsf{A} + E_\mathsf{B} = 1 \;

이다. 즉, 선수 A의 예상 점수는 선수 B의 예상 점수의

\; Q_\mathsf{A}/Q_\mathsf{B} \;

배이다. 상대보다 400점의 레이팅 이점을 얻을 때마다 예상 점수는 상대의 예상 점수에 비해 10배 증가한다.

선수 A가

\, E_\mathsf{A} \,

점을 얻을 것으로 예상되었지만 실제

\, S_\mathsf{A} \,

점을 얻었다면, 레이팅 업데이트 공식은 다음과 같다.

:

R_\mathsf{A}' = R_\mathsf{A} + K \cdot (S_\mathsf{A} - E_\mathsf{A}) ~.

여기서

K

는 상수 값이며, 세계 체스 연맹에서는 10, 20 또는 40을 사용한다.

이 업데이트는 각 게임, 각 토너먼트, 또는 적절한 레이팅 기간 후에 수행할 수 있다.

예를 들어, 선수 A가 1613의 레이팅을 가지고 5라운드 토너먼트에 참가하여, 1609 레이팅 선수에게 패배, 1477 레이팅 선수와 무승부, 1388 레이팅 선수에게 승리, 1586 레이팅 선수에게 승리, 1720 레이팅 선수에게 패배한 경우, 실제 점수는 2.5점, 예상 점수는 2.88점이다. K 팩터가 32라면, 선수 A의 새로운 레이팅은 1601점이 된다.

두 번의 승리, 두 번의 패배, 한 번의 무승부는 동등한 점수로 보일 수 있지만, 상대 선수들의 평균 레이팅이 더 낮았기 때문에 선수 A에게는 예상보다 좋지 않으므로 약간의 페널티를 받는다. 만약 선수 A가 두 번의 승리, 한 번의 패배, 두 번의 무승부를 기록하여 총 3점을 얻었다면, 예상보다 약간 더 나았을 것이고, 선수의 새로운 레이팅은 1617점이 되었을 것이다.

엘로 평점 시스템은 로지스틱 회귀의 확률적 경사 하강법을 이용하여 공식적으로 도출할 수 있다.^[35]^[36] 게임 결과가 이진 확률 변수(승리 또는 패배)만 관찰할 수 있다고 가정하면, 로지스틱 회귀를 통해 선수들의 평점을 독립 변수로, 게임 결과를 종속 변수로 하여 확률적으로 모델링할 수 있다.

순서형 데이터의 경우, 인접 범주 모델을 사용하여 엘로 평점을 도출할 수 있다.^[36]

7. 실제적인 문제점

엘로 평점 시스템은 몇 가지 실제적인 문제점을 안고 있다.

엘로의 초기 가정은 단순화된 면이 있어 현대에는 더 정교한 통계 기법이 사용되기도 한다. 하지만 엘로 시스템의 계산적 단순성은 여전히 큰 장점이다. 주머니 계산기만으로도 다음 공식 평점을 예측할 수 있어 평점의 공정성을 쉽게 인지할 수 있다.
K-factor 문제

K-factor: 평점 변화의 민감도를 조절하는 값이다.
문제점: K-factor가 너무 크면 최근 성적에 지나치게 민감해지고, 너무 작으면 실제 실력 변화를 제대로 반영하지 못한다.
개선 시도:
제프 소나스는 K-factor를 24로 하는 것이 더 정확하고 민감할 수 있다고 제안했다.^[29]
인터넷 체스 사이트: 레이팅 범위에 따라 K-factor를 다르게 적용하기도 한다. (예: ICC는 K=32를 기본으로 사용)
USCF: 경기 수, 레이팅 등을 고려하여 K-factor를 계산하는 공식을 사용하며, 시간 제어가 짧은 경기에서는 K-factor를 감소시킨다.^[30]
FIDE: 레이팅 범위에 따라 K-factor를 다르게 적용한다.^[31]

FIDE의 K-factor 적용 범위 (2014년 7월 이전^[32])
K-factor	적용 대상
$K = 30$ (과거 25)^[33]	레이팅 목록에 처음 추가된 선수 (총 30경기 완료 전까지)
$K = 15$	2400 미만의 레이팅을 가진 선수
$K = 10$	최소 2400 이상의 레이팅, 최소 30경기 이상 치른 선수 (영구 유지)

K-factor의 단계별 조정은 레이팅 급상승/급락 가능성을 줄이는 효과가 있다. 온라인과 오프라인 모두에 적용되지만, 온라인에서는 2800점 이상의 선수들이 상대를 선택하여 레이팅을 쉽게 올릴 수 있다는 점이 다르다. 오프라인에서는 높은 수준의 리그 이벤트가 아니면 2700점 이상의 상대를 만나기 어렵고, 일반적인 스위스 페어링 토너먼트에서는 2500점 미만의 상대가 많아 레이팅 상승폭이 제한된다.
기타 문제점

평점 방어: 높은 평점을 유지하기 위해 경기 활동을 위축시킬 수 있다.^[38]
존 넌은 체스 세계 선수권 대회 예선 선발에 활동 보너스 도입을 제안했다.^[39]
상대 선택: 질 위험은 최소화하고 이길 경우의 보상은 극대화하는 상대를 선택할 수 있다.
과대평가된 상대 (특히 50경기 미만의 신규 참가자)를 선택하는 경우가 많다.
ICC는 신규 참가자 상대 승리 시 낮은 K-factor를 적용하여 이 문제를 보완한다.
ICC의 "자동 대전" 레이팅은 연승 시 더 어려운 상대를 만나게 하여 레이팅 위험을 극대화한다.

7. 1. 평점 인플레이션/디플레이션

엘로 평점 시스템에서는 시간이 지남에 따라 전체 플레이어의 평균 평점이 과대하게 평가되는 '레이팅 인플레이션'이나 과소하게 평가되는 '레이팅 디플레이션' 현상이 발생할 수 있다. 이는 엘로 평점이 상대적인 실력 비교에는 문제가 없지만, 과거 또는 다른 리그의 평점과 비교를 어렵게 만든다는 단점이 있다.^[94]

예를 들어, 높은 평점에서 시작하여 낮은 평점으로 은퇴하는 플레이어는 리그 전체 평점을 증가시키는 반면, 그 반대의 경우는 리그 전체 평점을 감소시킨다. 이러한 현상이 지속되면 인플레이션이나 디플레이션이 심화될 수 있다.

FIDE 공식 레이팅의 경우 1985년경부터 레이팅 인플레이션이 발생하고 있는데, 이는 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 연구 보급 등으로 인해 구시대 톱 플레이어들이 평점을 잃고 은퇴하는 경향 때문으로 분석된다. 이로 인해 그랜드마스터와 같은 타이틀 보유자가 늘어나는 현상이 나타난다.

반면, 일본의 온라인 장기 대국장인 장기 클럽 24에서는 초기 레이팅을 과소 신고하거나, 컴퓨터 장기 소프트웨어를 이용한 부정행위로 레이팅을 올린 후 퇴출되는 사례가 반복되어 레이팅 디플레이션이 발생하고 있다는 지적이 있다. 이는 일반적인 단급위와 레이팅 간 균형이 맞지 않는 문제를 야기한다.

이러한 문제를 해결하기 위해 다양한 개선 시도가 이루어지고 있다.

7. 1. 1. 디플레이션 방지

대부분의 엘로 평점 시스템 구현은 디플레이션에 대응하기 위해 시간이 지남에 따라 상대적인 평점을 유지하기 위한 메커니즘, 즉 시스템에 포인트를 주입하는 방식을 가지고 있다. 미국의 현재 시스템은 향상되는 선수들을 추적하기 위해 시스템에 평점 포인트를 공급하는 보너스 포인트 제도를 포함하며, 선수에 따라 다른 K-값을 사용한다.^[46]

FIDE는 두 가지 인플레이션 메커니즘을 가지고 있다. 첫째, "평점 하한선" 미만의 성적은 추적되지 않으므로, 하한선 아래의 진정한 실력을 가진 선수는 평점을 받지 못하거나 과대평가될 수 있을 뿐, 정확하게 평가될 수 없다. 둘째, 정평가된, 더 높은 평점을 가진 선수들은 더 낮은 K-factor를 갖는다. 신규 선수는 K=40을 갖는데, 이는 30경기 후 K=20으로, 선수가 2400점에 도달하면 K=10으로 떨어진다.^[31]

미국에서 평점 하한선은 선수가 특정 한계 이하로 떨어지지 않도록 보장하는 방식으로 작동한다. 이것은 또한 디플레이션에 대응하지만, USCF 평점 위원회 의장은 이 방법이 향상되는 선수들에게 추가 포인트를 제공하지 않는다는 이유로 비판했다. 이러한 평점 하한선의 가능한 동기는 샌드백질, 즉 낮은 평점 클래스 섹션 및 상품에 참여하기 위해 의도적으로 평점을 낮추는 것을 방지하기 위함이다.^[46]

8. 체스 외의 활용

엘로 평점 시스템은 체스 외에도 다양한 분야에서 활용되고 있다.

'''보드 및 카드 게임:''' 바둑^[8], 백개먼, 스크래블 등 다른 보드 및 카드 게임에도 엘로 평점 시스템이 사용된다.
'''스포츠:''' 축구^[51], 야구^[52], 농구^[58] 등 스포츠에도 엘로 평점 시스템이 적용된다. 미국 대학 풋볼은 1998년 NCAA 디비전 I-A 풋볼 시즌부터 2013년 NCAA 디비전 I FBS 풋볼 시즌까지 볼 챔피언십 시리즈 평점 시스템의 일부로 엘로 방식을 사용하기도 했다.^[54] FIFA 여자 월드 랭킹은 국제 축구 연맹(FIFA)이 여자 축구 국가 대표팀의 공식 순위 시스템으로 엘로 알고리즘의 단순화된 버전을 사용한다.^[57]
'''비디오 게임 및 온라인 게임:''' 리그 오브 레전드^[63], 오버워치^[64], 월드 오브 워크래프트^[65] 등 많은 비디오 게임에서 경쟁적인 게임 플레이에 수정된 엘로 시스템을 사용한다.
'''기타:''' Tinder와 같은 데이팅 앱^[84], 미국 공개 선호 대학교 순위^[86] 등 다양한 분야에서 엘로 평점 시스템이 활용되고 있다.

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레이팅 차이	상위자 승리 확률	하위자 승리 확률
0	50%	50%
50	57%	43%
100	64%	36%
150	70%	30%
200	76%	24%
250	81%	19%
300	85%	15%
350	88%	12%
400	91%	9%
450	93%	7%
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