영역분해법

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1. 개요
2. 분할 영역 기법 (Domain Decomposition Method)
3. 1차원 선형 경계값 문제 예제
4. 추가적인 고려 사항
5. 결론
참조

1. 개요

영역 분해법은 미분 방정식을 풀기 위한 수치적 방법으로, 전체 영역을 여러 개의 하위 영역으로 나누어 각 영역에서 해를 구하는 방식이다. 이 방법은 복잡한 문제를 더 작은 문제로 분해하여 계산 효율성을 높이는 데 기여한다. 예를 들어, 1차원 선형 경계값 문제에서 영역을 두 하위 영역으로 나누고, 각 영역에서 체비쇼프 다항식을 이용하여 해를 근사한다. 두 하위 영역의 경계에서는 해의 연속성과 미분 가능성을 보장하기 위해 인터페이스 조건을 적용한다. MATLAB 코드를 통해 수치 해를 계산할 수 있으며, 이 과정을 통해 얻은 근사값을 확인할 수 있다.

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영역분해법
개요
유형	수학, 전산학
분야	수치해석학
상세 정보
목표	경계값 문제의 편미분 방정식을 푸는 것
방법	문제를 더 작은 하위 영역으로 분할하고, 이러한 하위 영역에서 반복적으로 해결하여 전체 영역에 대한 해를 얻음
응용 분야	유체역학, 구조역학, 전자기학, 저장소 시뮬레이션

2. 분할 영역 기법 (Domain Decomposition Method)

2. 1. 기본 원리

2. 2. 인터페이스 조건

2. 3. 반복적 방법

3. 1차원 선형 경계값 문제 예제

다음과 같은 미분 방정식과 경계 조건이 주어져 있다.

: $u''(x)-u(x)=0$

: $u(0)=0, u(1)=1$

정확한 해는 다음과 같다.

: $u(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}$

영역을 두 개의 하위 영역 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 과 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 로 나눈다. 왼쪽 하위 영역에서 보간 함수 $v_1(x)$ 를 정의하고, 오른쪽 하위 영역에서 $v_2 (x)$ 를 정의한다. 두 하위 영역 사이의 인터페이스에서는 다음과 같은 인터페이스 조건이 적용되어야 한다.

: $v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right)$

: $v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)$

보간 함수는 다음과 같이 정의한다.

: $v_1 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n} T_n (y_1(x))$

: $v_2 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n+N} T_n (y_2(x))$

: $y_1(x)=4x-1$

: $y_2(x)=4x-3$

여기서 $T_n (y)$ 는 입력 인수 y를 갖는 제1종 체비쇼프 다항식의 n번째 기저 함수이다.

N=4인 경우, 다음 근사값을 얻을 수 있다.

: $u_1 =0.06236$

: $u_2 =0.21495$

: $u_3 =0.37428$

: $u_4 =0.44341$

: $u_5 =0.51492$

: $u_6 =0.69972$

: $u_7 =0.90645$

3. 1. 문제 정의

다음과 같은 미분 방정식과 경계 조건이 주어져 있다.

:

u''(x)-u(x)=0

:

u(0)=0, u(1)=1

정확한 해는 다음과 같다.

:

u(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}

영역을 두 개의 하위 영역

\left[0,\frac{1}{2}\right]

과

\left[\frac{1}{2},1\right]

로 나눈다. 왼쪽 하위 영역에서 보간 함수

v_1(x)

를 정의하고, 오른쪽 하위 영역에서

v_2 (x)

를 정의한다. 두 하위 영역 사이의 인터페이스에서는 다음과 같은 인터페이스 조건이 적용되어야 한다.

:

v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right)

:

v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)

보간 함수는 다음과 같이 정의한다.

:

v_1 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n} T_n (y_1(x))

:

v_2 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n+N} T_n (y_2(x))

:

y_1(x)=4x-1

:

y_2(x)=4x-3

여기서

T_n (y)

는 입력 인수 y를 갖는 제1종 체비쇼프 다항식의 n번째 기저 함수이다.

3. 2. 정확한 해

주어진 문제의 정확한 해는 다음과 같다:

u(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}

3. 3. 영역 분할

전체 영역 [0, 1]은 두 개의 부분 영역 [0, 1/2]와 [1/2, 1]로 분할된다. 왼쪽 부분 영역에는 보간 함수

v_1(x)

를, 오른쪽 부분 영역에는

v_2(x)

를 정의한다. 두 부분 영역 사이의 경계면에서는

v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right)

와

v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)

라는 경계 조건을 적용해야 한다.

보간 함수는 다음과 같이 정의된다.

:

v_1 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n} T_n (y_1(x))

:

v_2 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n+N} T_n (y_2(x))

:

y_1(x)=4x-1

:

y_2(x)=4x-3

여기서

T_n (y)

는 입력 인수 y를 갖는 제1종 체비쇼프 다항식의 n번째 기저 함수이다.

N=4인 경우, 다음 근사값을 얻을 수 있다.

:

u_1 =0.06236

:

u_2 =0.21495

:

u_3 =0.37428

:

u_4 =0.44341

:

u_5 =0.51492

:

u_6 =0.69972

:

u_7 =0.90645

3. 4. 보간 함수 정의

영역분해법에서 각 부분 영역에서의 해를 근사하기 위해 보간 함수를 정의한다. 이때 체비쇼프 다항식(Chebyshev Polynomials)을 이용한다.

왼쪽 부분 영역 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$에서는 보간 함수 $v_1(x)$를, 오른쪽 부분 영역 $\left[\frac{1}{2},1\right]$에서는 $v_2(x)$를 정의한다. 두 함수는 다음과 같이 체비쇼프 다항식의 선형 결합으로 표현된다.

:$ v_1 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n} T_n (y_1(x)) $

:$ v_2 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n+N} T_n (y_2(x)) $

여기서 $T_n(y)$는 n번째 체비쇼프 다항식이고, $y_1(x) = 4x - 1$, $y_2(x) = 4x - 3$이다. 이 두 하위 영역 사이의 인터페이스에서는 다음 조건을 만족해야 한다.

:$ v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right) $

:$ v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)$

$N=4$인 경우, 이 방법을 통해 얻은 근사값은 다음과 같다:

:$ u_1 =0.06236 $

:$ u_2 =0.21495 $

:$ u_3 =0.37428 $

:$ u_4 =0.44341 $

:$ u_5 =0.51492 $

:$ u_6 =0.69972 $

:$ u_7 =0.90645 $

3. 5. 인터페이스 조건 적용

영역분해법에서 두 부분 영역 사이의 경계, 즉 x=1/2 지점에서 해의 연속성과 미분 가능성을 보장하기 위해 인터페이스 조건이 적용된다. 이 조건은 다음과 같이 표현된다.

:

v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right)

:

v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)

여기서

v_1(x)

는 왼쪽 부분 영역 $[0, \frac{1}{2}]$,

v_2(x)

는 오른쪽 부분 영역 $[\frac{1}{2}, 1]$ 에서 정의된 보간 함수이다.

v_1(x)

와

v_2(x)

는 각각 체비쇼프 다항식을 기저 함수로 사용하여 정의된다.

```wikitable

N=4인 경우의 근사값
$u_1 =0.06236$
$u_2 =0.21495$
$u_3 =0.37428$
$u_4 =0.44341$
$u_5 =0.51492$
$u_6 =0.69972$
$u_7 =0.90645$

```

위 근사값은 MATLAB 코드로 얻을 수 있다.

3. 6. 수치 해 계산

MATLAB 코드를 이용하여 수치 해를 계산할 수 있다. 영역분해법에서 수치 해는 주어진 미분 방정식의 근사값을 구하는 방법이다.

```matlab

clear all

N = 4;

a1 = 0; b1 = 1/2;

[T D1 D2 E1 E2 x xsub] = cheb(N,a1,b1); % the diff matrices on [0,1/2] are the same

%as those on [1/2 1].

I = eye(N+1);

H = D2-I;

H1 = 1 zeros(1,N)]; H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1;

H1 = [H1 [zeros(N,N+1); -[1 zeros(1,N)]]];

H2 = [D1(1,:); H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1]];

H2 =

K = [H1; H2];

F = [zeros(2*N+1,1); 1];

u = K\F;

xx = -cos(pi*(0:N)'/N);

x1 = 1/4*(xx+1); x2 = 1/4*(xx+3);

x = [x1; x2];

uex = (exp(x)-exp(-x))./(exp(1)-exp(-1));

```

위 MATLAB 코드는

u''(x)-u(x)=0

,

u(0)=0, u(1)=1

의 미분방정식의 수치 해를 계산한다. 영역은 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 와 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 두 개의 하위 영역으로 나뉜다. 각 하위 영역에서 보간 함수 $ v_1(x) $ 와 $ v_2(x) $ 가 정의되며, 이 두 함수는 체비쇼프 다항식을 기반으로 한다. 두 하위 영역 사이의 인터페이스에서는 $ v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right) $ 와 $ v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)$ 조건을 만족해야 한다.

N=4인 경우, 위 코드를 통해 얻은 근사값은 다음과 같다:

$ u_1 = 0.06236 $
$ u_2 = 0.21495 $
$ u_3 = 0.37428 $
$ u_4 = 0.44341 $
$ u_5 = 0.51492 $
$ u_6 = 0.69972 $
$ u_7 = 0.90645 $

3. 7. MATLAB 코드

matlab

clear all

N = 4;

a1 = 0; b1 = 1/2;

[T D1 D2 E1 E2 x xsub] = cheb(N,a1,b1); % [0,1/2]에서의 미분 행렬은 [1/2 1]에서의 미분 행렬과 같습니다.

% 이는 두 구간의 길이가 같기 때문입니다.

I = eye(N+1);

H = D2-I;

H1 = 1 zeros(1,N)]; H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1;

H1 = [H1 [zeros(N,N+1); -[1 zeros(1,N)]]];

H2 = [D1(1,:); H(2:end-1,:); [zeros(1,N) 1]];

H2 =

K = [H1; H2];

F = [zeros(2*N+1,1); 1];

u = K\F;

xx = -cos(pi*(0:N)'/N);

x1 = 1/4*(xx+1); x2 = 1/4*(xx+3);

x = [x1; x2];

uex = (exp(x)-exp(-x))./(exp(1)-exp(-1)); % 정확한 해를 계산합니다.

```

이 코드는 다음 미분 방정식을 풉니다.

u''(x)-u(x)=0

경계 조건은 다음과 같습니다.

u(0)=0, u(1)=1

주어진 미분 방정식의 정확한 해는 다음과 같습니다.

u(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}

영역은

\left[0,\frac{1}{2}\right]

와

\left[\frac{1}{2},1\right]

두 개의 하위 영역으로 나뉩니다. 왼쪽 하위 영역에서는 보간 함수

v_1(x)

를, 오른쪽 하위 영역에서는

v_2 (x)

를 정의합니다. 두 하위 영역 사이의 인터페이스에서는 다음 인터페이스 조건이 적용되어야 합니다.

v_1\left(\frac{1}{2}\right)=v_2 \left(\frac{1}{2}\right)

(함수값 연속)

v_1'\left(\frac{1}{2}\right)=v_2'\left(\frac{1}{2}\right)

(미분값 연속)

보간 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

v_1 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n} T_n (y_1(x))

v_2 (x) =\sum_{n=0}^{N} u_{n+N} T_n (y_2(x))

y_1(x)=4x-1

y_2(x)=4x-3

여기서

T_n (y)

는 입력 인수 y를 갖는 제1종 체비쇼프 다항식의 n번째 기저 함수입니다.

N=4 인 경우, 위 근사값을 통해 다음을 얻습니다.

u_1 =0.06236

u_2 =0.21495

u_3 =0.37428

u_4 =0.44341

u_5 =0.51492

u_6 =0.69972

u_7 =0.90645

4. 추가적인 고려 사항

5. 결론

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