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오일러 치환

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목차

1. 개요

오일러 치환은 다음과 같은 적분을 유리 함수의 적분으로 변환하기 위해 사용되는 방법이다. 이 방법은 적분 \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\mathrm dx를 계산하는 데 사용되며, 여기서 R(u, v)는 2변수 유리 함수이고 a는 0이 아니다. 오일러 치환은 세 가지 경우로 나뉘며, 각 경우에 따라 적분 변수를 치환하여 문제를 해결한다. 제1 오일러 치환은 a > 0일 때, 제2 오일러 치환은 c > 0일 때, 제3 오일러 치환은 이차 방정식 ax^2 + bx + c가 실수 근을 가질 때 적용된다. 이 방법은 삼각 치환이나 쌍곡 치환과 같은 다른 적분 방법과 함께 사용될 수 있으며, 계산량을 줄여주는 요령과 일반화된 형태도 존재한다.

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오일러 치환
오일러 치환
종류적분법
이름의 유래레온하르트 오일러
사용법적분에서 제곱근을 제거
설명
개요오일러 치환(Euler substitution)은 특정 형태의 적분을 계산하기 위한 방법이다. 이때 제곱근 형태를 제거하기 위해, 피적분함수에 제곱근을 대입하고 그 결과를 유리 함수로 치환하는 방식을 사용한다.
형태상수 `a`, `b`, `c`에 대해, 다음과 같은 형태의 적분을 계산하는 데 사용할 수 있다.
변환 방법a > 0일 때, √ax²+bx+c = t - x√a 로 치환한다.
c > 0일 때, √ax²+bx+c = xt + √c 로 치환한다.
ax²+bx+c = a(x-x₁) (x-x₂) (단, x₁과 x₂는 다항식 ax²+bx+c의 실수근)일 때, √(a(x-x₁)/(x-x₂)) = t 로 치환한다.
같이 보기
관련 항목적분법

2. 정의

'''오일러 치환'''은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다.

:\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\mathrm dx

여기서 R(u,v)는 2변수 유리 함수이며, a\ne 0이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만든다.

2. 1. 제1 오일러 치환

유리 함수 R(u,v)와 a\ne 0에 대하여, 적분 \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\mathrm dx를 계산할 때 사용되는 '''제1 오일러 치환'''은 a>0일 경우 다음과 같이 치환한다.

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt a+t

이 경우 원래의 적분은 새 변수 t에 대한 유리 함수의 적분으로 변환된다.

:x=\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}\sqrt a+t

이 치환에서 양의 부호 또는 음의 부호를 선택할 수 있다. x에 대해 풀면, x = \frac{c - t^2}{\pm 2t\sqrt{a} - b}이고, dx 항은 t에 대해 유리식으로 표현할 수 있다.

2. 2. 제2 오일러 치환

만약 ${\displaystyle c>0}$일 경우, ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}}$로 치환한다. 이를 '''제2 오일러 치환'''(第二-置換, second Euler substitution영어)이라고 한다.

${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}},\ \ \ {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}t\pm {\sqrt {c}}}$

위와 같이 x와 ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$는 t에 대한 유리 함수로 표현되므로, 원래의 적분은 t에 대한 유리 함수의 적분으로 변환된다.[3]

2. 3. 제3 오일러 치환

만약 ax^2+bx+c의 두 근 \alpha,\beta가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다.

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}=\pm(x-\alpha)t

이를 '''제3 오일러 치환'''(third Euler substitution영어)이라고 한다. 이 경우 역시 t의 유리 함수의 적분이 된다.

:x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\left(\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}-\alpha\right)t

사실, 제1 및 제3 오일러 치환은 모든 경우를 포함한다. 이는 만약 a<0이며 b^2-4ac<0일 경우 \sqrt{ax^2+bx+c}가 모든 곳에서 실수가 아니기 때문이다.[3]

만약 다항식 ax^2 + bx + c가 실수 근 \alpha와 \beta를 가진다면, 우리는

\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{a(x - \alpha)(x - \beta)} = (x - \alpha)t

를 선택할 수 있다. 이는

x = \frac{a\beta - \alpha t^2}{a - t^2}

를 도출하며, 앞의 경우와 마찬가지로, 적분 함수 전체를 t에 관하여 유리식으로 표현할 수 있다.

3. 오일러 치환의 일반화

오일러 치환은 허수를 사용하여 일반화할 수 있다. 복소수 범위를 허용하면 이차식의 계수에 관계없이 모든 유형의 오일러 치환을 적용할 수 있다.

예를 들어, 적분 \int \frac{dx}{\sqrt{-x^2 + c}}에서 치환 \sqrt{-x^2 + c} = \pm ix + t를 사용할 수 있다.

더 나아가, 오일러 치환은 다음과 같은 형태의 적분에도 적용될 수 있도록 일반화될 수 있다.

\int R_1 \left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c} \right) \, \log\left(R_2\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right)\right) \, dx,

여기서 R_1과 R_2는 x와 \sqrt{ax^2 + bx + c}의 유리 함수이다. 이 적분은 치환 \sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{a} + xt을 통해 다음과 같은 적분으로 변환할 수 있다.

\int \tilde R_1(t) \log\big(\tilde R_2(t)\big) \, dt,

여기서 \tilde R_1(t)와 \tilde R_2(t)는 이제 단순히 t의 유리 함수이다. 원칙적으로, 인수 분해와 부분 분수를 사용하여 적분을 간단한 항으로 분해할 수 있으며, 이는 이중 로그 함수를 사용하여 해석적으로 적분할 수 있다.[2]

4. 계산 팁 및 다른 방법

오일러 치환이 적용되는 형태의 적분은 계산량을 줄이는 요령이나 다른 방법을 통해 더 간편하게 계산할 수도 있다. 예를 들어, 완전 제곱꼴을 만든 뒤 삼각 치환 또는 쌍곡 치환을 이용할 수 있다. 정리된 루트 부분이 \sqrt{a^2-x^2} 꼴이면 x=a\sin t 또는 x=a\cos t와 같이 치환하며, \sqrt{x^2-a^2} 꼴이면 x=a\cosh t 또는 x=a\sec t와 같이 치환하고, \sqrt{x^2+a^2} 꼴이면 x=a\sinh t 또는 x=a\tan t와 같이 치환한다.[3] 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변하며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 계산할 수 있다.[4]

5. 예제

다음은 오일러 치환을 적용할 수 있는 적분 예시이다.[3]


  • \int\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}x\mathrm dx
  • \int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\mathrm dx
  • \int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}}
  • \int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}

5. 1. 제1 오일러 치환의 예

a>0일 경우, \sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\sqrt a+t로 치환하는데, 이를 '''제1 오일러 치환'''(first Euler substitution영어)이라고 한다. 이 경우 원래의 적분은 새 변수 t에 대한 유리 함수의 적분으로 변환된다.

:x=\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\frac{t^2-c}{\pm 2t\sqrt a+b}\sqrt a+t

다음 적분에 제1 오일러 치환을 적용해 보자.

:\sqrt{x^2+2x+3}=t-x

:x=\frac{t^2-3}{2(1+t)},\; \mathrm dx=\frac{t^2+2t+3}{2(t+1)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{x^2+2x+3}=\frac{t^2+2t+3}{2(t+1)}

이를 통해 다음과 같이 적분을 계산할 수 있다.

:\begin{align}\int\frac{\sqrt{x^2+2x+3}}x\mathrm dx

&=\int\frac{(t^2+2t+3)^2}{2(t^2-3)(t+1)^2}\mathrm dt=\int\left(\frac 12+\frac 1{t+1}-\frac 1{(t+1)^2}+\frac 6{t^2-3}\right)\mathrm dt\\

&=\frac t2+\ln|t+1|+\frac 1{t+1}+\sqrt 3\ln\left|\frac{t-\sqrt 3}{t+\sqrt 3}\right|+C\\

&=\frac{\sqrt{x^2+2x+3}+x}2+\frac 1{\sqrt{x^2+2x+3}+x+1}+\ln(\sqrt{x^2+2x+3}+x+1)+\sqrt 3\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+2x+3}+x-\sqrt 3}{\sqrt{x^2+2x+3}+x+\sqrt 3}\right|+C

\end{align}

적분 \int\! \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+c}}에 제1 오일러 치환 \sqrt{x^2+c} = -x+t를 적용하면 다음과 같다.

x = \frac{t^2-c}{2t} \quad\quad \mathrm dx = \frac{t^2+c}{2t^2}\,\ dt

\sqrt{x^2+c} = -\frac{t^2-c}{2t}+t = \frac{t^2+c}{2t}

따라서 다음을 얻는다.

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+c}}

= \int \frac{\frac{t^2+c}{2t^2}}{\frac{t^2+c}{2t}}\, \ dt

= \int \frac{dt}{t}

= \ln|t|+C

= \ln\left|x+\sqrt{x^2+c}\right|+C

c = \pm 1인 경우, 다음 공식을 얻을 수 있다.



\begin{align}

\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+1}} &= \operatorname{arsinh}(x) + C \\[6pt]

\int \frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-1}} &= \operatorname{arcosh}(x) + C \qquad (x > 1)

\end{align}



다음 적분 값을 구해보자.

\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+4x-4}}dx,

제1 오일러 치환 \sqrt{x^{2}+4x-4} = \sqrt{1}x+t = x+t를 사용하면 t에 대해 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

x^{2}+4x-4 = x^{2} + 2xt +t^{2}

양변에서 x^2 항을 소거하고 x에 대해 풀면,

x=\frac{t^{2}+4}{4-2t}.

를 얻는다. dx와 dt는 다음 관계를 갖는다.

dx=\frac{-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}dt.

따라서,



\begin{align}

\int \frac{dx}{x\sqrt{x^{2}+4x-4}}

&= \int \frac{\frac{-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\left(\frac{t^{2}+4}{4-2t}\right)\left(\frac{-t^{2}+4t+4}{4-2t}\right)}dt

&& t=\sqrt{x^{2}+4x-4}-x \\[6pt]

&= 2\int \frac{dt}{t^{2}+4}= \tan^{-1}\left(\frac t2\right) +C\\[6pt]

&= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^{2}+4x-4}-x}{2}\right)+C

\end{align}


5. 2. 제2 오일러 치환의 예

\sqrt{1+x+x^2}=tx+1로 치환하면,

:x=\frac{2t-1}{1-t^2},\; \mathrm dx=\frac{2(1-t+t^2)}{(1-t^2)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{1+x+x^2}=\frac{1-t+t^2}{1-t^2}

이므로, 다음을 얻을 수 있다.

:\int\frac{1-\sqrt{1+x+x^2}}{x\sqrt{1+x+x^2}}\mathrm dx

=\int\frac{-2t}{1-t^2}\mathrm dt=\ln|1-t^2|+C=\ln\left|1-\left(\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}x\right)^2\right|+C

다음으로, 적분

\int\! \frac{dx}{x\sqrt{-x^2+x+2}}

에 대하여, \sqrt{-x^2+x+2} = xt + \sqrt{2}로 치환할 수 있다. 이를 통해

x = \frac{1-2\sqrt{2}t}{t^2+1} \qquad dx = \frac{2\sqrt{2}t^2-2t-2\sqrt{2}}{(t^2+1)^2} dt,

이고,

\sqrt{-x^2+x+2} = \frac{1-2\sqrt{2}t}{t^2+1}t + \sqrt{2} = \frac{-\sqrt{2}t^2+t+\sqrt{2}}{t^2+1}

를 얻는다.

따라서,



\begin{align}

\int \frac{ dx}{x\sqrt{-x^2+x+2}} &= \int \frac{\frac{2\sqrt{2}t^2-2t-2\sqrt{2}}{(t^2+1)^2}}{\frac{1-2\sqrt{2}t}{t^2+1}\frac{-\sqrt{2}t^2+t+\sqrt{2}}{t^2+1}} dt \\[6pt]

&= \int\!\frac{-2}{-2\sqrt{2}t+1} dt = \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{-2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}t+1} dt \\[6pt]

&= \frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left|2\sqrt{2}t-1 \right|+C \\[4pt]

&= \frac{\sqrt{2}}{2}\ln \left|2\sqrt{2}\frac{\sqrt{-x^2+x+2}-\sqrt{2}}{x}-1 \right|+C

\end{align}



이다.

5. 3. 제3 오일러 치환의 예

ax^2+bx+c의 두 근 \alpha,\beta가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다.

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-\alpha)(x-\beta)}=\pm(x-\alpha)t

이를 '''제3 오일러 치환'''(third Euler substitution|서드 오일러 서브스티튜션영어)이라고 한다. 이 경우 역시 t의 유리 함수의 적분이 된다.[3]

:x=\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}

:\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\left(\frac{a\beta-\alpha t^2}{a-t^2}-\alpha\right)t

==== 예제 ====

다음 적분을 제3 오일러 치환을 사용하여 계산해 보자.

:\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}}

\sqrt{x^2+3x-4}=(x+4)t로 치환하면,

:x=\frac{1+4t^2}{1-t^2},\; \mathrm dx=\frac{10t}{(1-t^2)^2}\mathrm dt,\; \sqrt{x^2+3x-4}=\frac{5t}{1-t^2}

이므로, 다음을 얻는다.

:\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+3x-4}}=\int\frac 2{1-t^2}\mathrm dt=\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+C

=\ln\left|\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{x-1}}\right|+C

다음 적분 역시 제3 오일러 치환을 사용하여 계산할 수 있다.

:\int\! \frac{x^2}{\sqrt{-x^2+3x-2}}\ dx,

\sqrt{-(x-2)(x-1)} = (x-2)t로 치환하면,

:x = \frac{-2t^2-1}{-t^2-1} \qquad \ dx = \frac{2t}{(-t^2-1)^2}\,\ dt,

:\sqrt{-x^2+3x-2} = (x-2)t = \frac{t}{-t^2-1.}

이므로, 다음을 얻는다.

\int \frac{x^2}{\sqrt{-x^2+3x-2}}\ dx = \int\frac{\left(\frac{-2t^2-1}{-t^2-1}\right)^2\frac{2t}{(-t^2-1)^2}}{\frac{t}{-t^2-1}}\ dt = \int\frac{2(-2t^2-1)^2}{(-t^2-1)^3}\ dt.

이 적분은 부분 분수를 사용하여 풀 수 있는 유리 함수이다.

5. 4. 다른 방법의 예

오일러 치환으로 처리할 수 있는 형태의 적분을 계산할 때, 계산량을 줄이거나 더 간단한 방법을 사용할 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 공식은 특수한 형태의 함수 적분을 단순화한다.

:\int\frac{p(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\mathrm dx=q(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+\lambda\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}

여기서 p,q\in\mathbb R[x]는 각각 n차 다항식 및 (n-1)차 이하 다항식이며, \lambda\in\mathbb R는 상수이다. p에 대해 위 조건을 만족하는 q 및 \lambda는 위 식 양변에 도함수를 취하고 \sqrt{ax^2+bx+c}를 곱한 후, 양변의 다항식 계수를 비교하여 구할 수 있다.

다음과 같은 형태의 적분은 x-\alpha=1/t로 치환하면 위와 같은 형태의 적분으로 바뀐다.

:\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}

=\int\frac{t^{n-1}}{\sqrt{(a\alpha^2+b\alpha+c)t^2+(2a\alpha+b)t+a}}\mathrm dt

다음 형태의 적분은 치환 x^2+px+q=s 및 \textstyle(\sqrt{x^2+px+q})'=t를 통해 계산할 수 있다.

:\int\frac{(ex+f)}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}\mathrm dx

=\lambda\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}\mathrm dx+\mu\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}

=\lambda\int\frac{\mathrm ds}{s^{(2n+1)/2}}+\mu\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+px+q)^{(2n+1)/2}}

다음 형태의 적분에서 p\ne b/a인 경우, 적절한 치환 x=(gs+h)/(s+1)를 통해 1차항을 없앤 뒤, 부분 분수 분해의 각 항에 치환 a's^2=b'=t 및 \textstyle(\sqrt{a's^2+b'})'=u을 사용하여 계산할 수 있다.

:\int\frac{(ex+f)}{(x^2+px+q)^n\sqrt{ax^2+bx+c}}\mathrm dx

=\int\frac{p(s)}{(s^2+c')^n\sqrt{a's^2+b'}}\mathrm ds

=\sum_k\lambda_k\int\frac s{(s^2+c')^{n'_k}\sqrt{a's^2+b'}}\mathrm ds+\sum_k\mu_k\int\frac{\mathrm ds}{(s^2+c')^{n''_k}\sqrt{a's^2+b'}}

오일러 치환으로 처리 가능한 적분은 완전 제곱꼴을 만든 후 삼각 치환 또는 쌍곡 치환으로도 계산할 수 있다. 정리된 루트 부분이 \sqrt{a^2-x^2}이면 x=a\sin t 또는 x=a\cos t로, \sqrt{x^2-a^2}이면 x=a\cosh t 또는 x=a\sec t로, \sqrt{x^2+a^2}이면 x=a\sinh t 또는 x=a\tan t로 치환한다.[3] 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변환되며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 계산할 수 있다.[4]

네 번째 적분에서는 x-\alpha=1/t와 같은 치환이 더 편리하다.

:\int\frac{\mathrm dx}{(x-\alpha)\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)}}

=-\int \frac{\mathrm dt}{\sqrt{1+(\alpha-\beta)t}}

=\frac 2{\beta-\alpha}\sqrt{1+(\alpha-\beta)t}+C

=\frac 2{\beta-\alpha}\sqrt{\frac{x-\beta}{x-\alpha}}+C

참조

[1] 서적 Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele Kirjastus Valgus 1965
[2] 서적 The Handbook of Integration Jones and Bartlett
[3] 서적 数学分析习题演练. 第一册 科学出版社 2010
[4] 서적 数学分析新讲. 第一册 北京大学出版社 1990-01


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