용량 차원

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 거리 공간에서의 정의
- 2.2. 칸토어 집합의 용량 차원
3. 다른 정의들
4. 성질
- 4.1. 유한 안정성
- 4.2. 집합 덧셈과의 관계
5. 하우스도르프 차원과의 관계
- 5.1. 일반적인 관계
- 5.2. 다른 예시들
참조

1. 개요

용량 차원은 거리 공간의 프랙탈 차원을 정의하는 방법 중 하나로, 덮개 공의 최소 개수를 사용하여 계산된다. 칸토어 집합의 용량 차원은 약 0.63으로, 하우스도르프 차원과 같다. 용량 차원은 상자 차원, 덮개 수, 포장 수, 엔트로피 수, r-근방을 이용하여 정의될 수 있으며, 유한하게 안정적이지만 가산적으로 안정적이지 않다. 또한 상위 상자 차원은 집합 덧셈과 관련이 있으며, 하우스도르프 차원, 하위 상자 차원과 상위 상자 차원 사이에는 특정 부등식이 성립한다.

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용량 차원
정의
정의	프랙탈의 차원을 측정하는 방법 중 하나
다른 이름	상자 세기 차원, 민코프스키 차원
유래	프랙탈 차원을 정의하는 데 사용된 민코프스키-불리강 측도에서 유래
개요
계산 방법	다양한 크기의 격자로 프랙탈을 덮고, 필요한 격자의 수를 세어 크기가 0으로 갈 때의 극한을 계산
수학적 정의	dim короб = lim sup ε→0 ln ⁡ N ( ε ) / ln ⁡ ( 1 / ε )
dim короб	상자 세기 차원
N(ε)	크기 ε의 상자로 프랙탈을 덮을 때 필요한 상자의 최소 개수
ε	상자의 크기
특징	비교적 쉽게 계산할 수 있으며 다양한 프랙탈에 적용 가능
응용 분야	이미지 처리, 지리학, 생물학 등 다양한 분야에서 프랙탈의 복잡성을 측정하는 데 사용
제한 사항
단점	프랙탈이 격자 경계와 정렬되는 방식에 따라 결과가 달라질 수 있으며, 모든 프랙탈에 대해 정확한 차원을 제공하지 않을 수 있음
대안	하우스도르프 차원과 같은 다른 차원 측정 방법이 더 정확한 결과를 제공할 수 있지만, 계산이 더 복잡함

2. 정의

거리 공간에서 용량 차원을 정의하는 방법은 다음과 같다. 먼저, 덮개 수와 포장 수를 이용하여 상자 차원을 정의할 수 있다. 덮개 수는 주어진 프랙탈을 덮는 데 필요한 특정 반경을 가진 열린 공의 최소 개수를 의미한다. 포장 수는 주어진 프랙탈 내부에 서로 겹치지 않게 배치할 수 있는 특정 반경을 가진 열린 공의 최대 개수를 의미한다. 이 두 수는 정확히 같지는 않지만, 서로 밀접하게 관련되어 있어 상위 및 하위 상자 차원을 정의하는 데 동일하게 사용될 수 있다.

상자 대신 공을 사용하여 정의하는 방식은 모든 거리 공간으로 일반화할 수 있다는 장점이 있다. 상자 정의는 프랙탈이 포함된 유클리드 공간의 외부 기하학에 의존하는 반면, 공 정의는 프랙탈 자체의 고유한 성질에 기반한다.

포장 및 덮개 수의 로그는 때때로 '엔트로피 수'라고 불리며, 이는 열역학적 엔트로피 및 정보 이론적 엔트로피의 개념과 유사하다. 이는 특정 척도에서 거리 공간 또는 프랙탈의 "무질서"의 양을 측정하고, 공간의 점을 특정 정확도로 지정하는 데 필요한 비트 또는 자릿수를 측정하는 역할을 한다.

칸토어 집합의 용량 차원은 이러한 개념을 잘 보여주는 예시 중 하나이다.

2. 1. 거리 공간에서의 정의

거리 공간

X

가 주어졌다고 하자. 임의의

\epsilon>0

에 대하여,

N_\epsilon(X)

가

X

의 덮개를 이루는 지름이

\epsilon

인 공들의 최소 개수라고 하자.

X

의 '''용량 차원'''

\dim_\operatorname CX

는 다음과 같다.

:

\dim_\operatorname CX=\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\ln N_\epsilon(X)}{\ln\frac 1\epsilon}

덮개 수 또는 포장 수를 사용하여 공을 이용해 상자 차원을 정의할 수 있다. 덮개 수

N_\text{covering}(\varepsilon)

는 프랙탈을 덮는 데 필요한 반경

\varepsilon

의 열린 공의 ''최소'' 수, 즉 그 합집합에 프랙탈이 포함되도록 하는 수이다. 또한 동일하게 정의되지만 열린 공의 중심이 집합 ''S''에 있다는 추가 요구 사항이 있는 고유 덮개 수

N'_\text{covering}(\varepsilon)

를 고려할 수 있다. 포장 수

N_\text{packing}(\varepsilon)

는 반경

\varepsilon

의 분리된 열린 공의 ''최대'' 수로, 중심이 프랙탈에 있도록 배치할 수 있는 수를 의미한다.

2. 2. 칸토어 집합의 용량 차원

칸토어 집합 ''C''는 닫힌구간 [0,1]에서 시작하여 각 구간에서 가운데 1/3을 제거하는 과정을 거듭하여 만들어진다. 각 과정마다 구간의 개수는 2배씩 늘어나며, 각 구간의 길이는 1/3씩 줄어든다. ε_n=1/3ⁿ을 취할 경우 N_{ε_n}(''C'')=2ⁿ이다. 따라서 용량 차원은 다음과 같다.

:dim_C''C''=lim_n→∞(n ln⁡2)/(n ln⁡3)=(ln⁡2)/(ln⁡3)≈ 0.63

이는 ''C''의 하우스도르프 차원과 같다.

3. 다른 정의들

덮개 수와 포장 수를 사용하여 상자 차원을 정의할 수 있다. 덮개 수 $N_\text{covering}(\varepsilon)$ 는 프랙탈을 덮는 데 필요한 반지름 $\varepsilon$ 인 열린 공의 ''최소'' 개수이다. 포장 수 $N_\text{packing}(\varepsilon)$ 는 프랙탈 안에 중심을 두고 서로 겹치지 않게 배치할 수 있는 반지름 $\varepsilon$ 인 분리된 열린 공의 ''최대'' 개수이다.

$N_\text{covering}(\varepsilon)$ 와 $N_\text{packing}(\varepsilon)$ 은 정확히 같지는 않지만, 서로 밀접하게 관련되어 상위 및 하위 상자 차원의 동일한 정의를 이끌어낸다. 이들은 다음 부등식으로 표현된다.

: $N_\text{packing}(\varepsilon) \leq N'_\text{covering}(\varepsilon) \leq N_\text{covering}(\varepsilon/2) \leq N'_\text{covering}(\varepsilon/2) \leq N_\text{packing}(\varepsilon/4).$

포장 및 덮개 수의 logarithm는 ''엔트로피 수''라고도 불리며, 열역학적 엔트로피 및 정보 이론적 엔트로피와 유사하게 척도 $\varepsilon$ 에서 거리 공간 또는 프랙탈의 "무질서" 정도를 측정한다. 이는 공간의 점을 정확도 $\varepsilon$ 로 지정하는 데 필요한 비트 또는 자릿수와도 관련된다.

상자 계수 차원은 r-근방을 이용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다.

: $\dim_\text{box}(S) = n - \lim_{r \to 0} \frac{\log \text{vol}(S_r)}{\log r},$

여기서 $S_r$ 은 집합 $S$ 의 ''r''-근방, 즉 $S$ 에서 ''r''보다 작은 거리에 있는 모든 점의 집합이다.

3. 1. 덮개 수와 포장 수를 이용한 정의

거리 공간 ''X''가 주어졌을 때, 임의의

\epsilon>0

에 대해

N_\epsilon(X)

를 ''X''의 덮개를 이루는 지름이

\epsilon

인 공들의 최소 개수로 정의한다. ''X''의 '''용량 차원'''

\dim_\operatorname CX

는 다음과 같이 정의된다.

:

\dim_\operatorname CX=\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\ln N_\epsilon(X)}{\ln\frac 1\epsilon}

덮개 수 또는 포장 수를 사용하여 공으로 상자 차원을 정의할 수 있다. 덮개 수

N_\text{covering}(\varepsilon)

는 프랙탈을 덮는 데 필요한 반지름

\varepsilon

의 열린 공의 ''최소'' 수이다. 즉, 그 합집합에 프랙탈이 포함되도록 한다. 또한, 중심이 집합 ''S''에 있다는 추가 조건이 있는 고유 덮개 수

N'_\text{covering}(\varepsilon)

를 고려할 수 있다. 포장 수

N_\text{packing}(\varepsilon)

는 반지름

\varepsilon

의 분리된 열린 공의 ''최대'' 수로, 중심이 프랙탈에 있도록 배치할 수 있다.

N

,

N_\text{covering}

,

N'_\text{covering}

및

N_\text{packing}

은 정확히 동일하지는 않지만, 서로 밀접하게 관련되어 있어 상위 및 하위 상자 차원의 동일한 정의를 생성한다. 이는 다음 부등식을 통해 확인할 수 있다.

:

N_\text{packing}(\varepsilon) \leq N'_\text{covering}(\varepsilon) \leq N_\text{covering}(\varepsilon/2) \leq N'_\text{covering}(\varepsilon/2) \leq N_\text{packing}(\varepsilon/4).

이 부등식들은 삼각 부등식에 의해 정의되거나 약간의 노력으로 유도할 수 있다.

상자 대신 공을 사용하는 장점은 이 정의가 모든 거리 공간으로 일반화된다는 것이다. 상자 정의는 외적인 반면, 공 정의는 고유하게 공식화될 수 있다. 내부 공은 선택한 중심에서 특정 거리 내의 모든 ''S''의 점으로 정의하고, 이러한 공을 세어 차원을 얻는다. (''N''_covering 정의는 외적이지만, 다른 두 정의는 고유하다.)

상자를 사용하는 장점은 많은 경우에 ''N''(''ε'')을 쉽게 명시적으로 계산할 수 있고, 상자의 경우 덮개 수와 포장 수가 같다는 것이다.

포장 및 덮개 수의 logarithm는 때때로 ''엔트로피 수''라고 하며, 열역학적 엔트로피 및 정보 이론적 엔트로피의 개념과 다소 유사하다. 이는 척도 ''ε''에서 거리 공간 또는 프랙탈의 "무질서"의 양을 측정하고, 공간의 점을 정확도 ''ε''로 지정하는 데 필요한 비트 또는 자릿수도 측정한다.

3. 2. 엔트로피 수를 이용한 정의

덮개 수 또는 포장 수를 사용하여 공으로 상자 차원을 정의할 수 있다. 덮개 수

N_\text{covering}(\varepsilon)

는 프랙탈을 덮는 데 필요한 반경

\varepsilon

의 열린 공의 ''최소'' 수이다. 포장 수

N_\text{packing}(\varepsilon)

는 반경

\varepsilon

의 분리된 열린 공의 ''최대'' 수로, 중심이 프랙탈에 있도록 배치할 수 있다.

N

,

N_\text{covering}

,

N'_\text{covering}

및

N_\text{packing}

은 정확히 동일하지는 않지만 서로 밀접하게 관련되어 있으며, 상위 및 하위 상자 차원의 동일한 정의를 생성한다.

포장 및 덮개 수의 로그는 ''엔트로피 수''라고 불리기도 한다. 이는 열역학적 엔트로피 및 정보 이론적 엔트로피의 개념과 다소 유사하며, 척도

\varepsilon

에서 거리 공간 또는 프랙탈의 "무질서"의 양을 측정하고, 공간의 점을 정확도

\varepsilon

로 지정하는 데 필요한 비트 또는 자릿수도 측정한다.

3. 3. r-근방을 이용한 정의

거리 공간

X

가 주어졌을 때, 임의의

\epsilon>0

에 대하여

N_\epsilon(X)

를

X

의 덮개를 이루는 지름이

\epsilon

인 공들의 최소 개수라고 정의한다. 그러면

X

의 '''용량 차원'''

\dim_\operatorname CX

는 다음과 같이 정의된다.

:

\dim_\operatorname CX=\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\ln N_\epsilon(X)}{\ln\frac 1\epsilon}

상자 차원의 또 다른 정의는 r-근방을 이용하는 것이다. 집합

S

의 ''r''-근방

S_r

은

S

에서 ''r''보다 작은 거리에 있는 모든 점의 집합으로 정의된다. 즉,

S_r

은

S

의 구성원을 중심으로 하는 반지름

r

인 모든 열린 공의 합집합이다.

이에 따라 상자 계수 차원은 다음 공식으로도 정의할 수 있다.

:

\dim_\text{box}(S) = n - \lim_{r \to 0} \frac{\log \text{vol}(S_r)}{\log r},

4. 성질

상자 차원은 유한 집합에 대해서는 안정적이지만, 가산 집합에 대해서는 안정적이지 않다. 예를 들어, 단일 점의 상자 차원은 0이지만, 구간 [0, 1] 내의 유리수 집합의 상자 차원은 1이다. 반면에 하우스도르프 차원은 가산적으로 안정적이다. 한편, 하위 상자 차원은 유한 안정성을 갖지 않는다.

상위 상자 차원은 집합 덧셈과 관련하여 흥미로운 성질을 보인다.

4. 1. 유한 안정성

상자 차원은 유한 집합에 대해 안정적이다. 즉, 유한 개의 집합 {A1, ..., An}에 대하여,

\dim_\text{upper box}(A_1 \cup \dotsb \cup A_n) = \max\{\dim_\text{upper box}(A_1), \dots, \dim_\text{upper box}(A_n)\}.

이 성립한다.

하지만, 이는 가산적으로 안정적이지 않다. 즉, 이 등식은 집합의 무한 시퀀스에 대해서는 성립하지 않는다. 예를 들어, 단일 점의 상자 차원은 0이지만, 구간 [0, 1] 내의 유리수 집합의 상자 차원은 1이다. 반면에 하우스도르프 차원은 가산적으로 안정적이다.

4. 2. 집합 덧셈과의 관계

''A''와 ''B''가 유클리드 공간의 두 집합이라면, ''A'' + ''B''는 ''A''의 원소 ''a''와 ''B''의 원소 ''b''를 더한 ''a'' + ''b'' 형태의 모든 점의 쌍으로 이루어진다. 이때 다음 부등식이 성립한다.^[1]

:

\dim_\text{upper box}(A + B) \leq \dim_\text{upper box}(A) + \dim_\text{upper box}(B).

즉, 두 집합을 더하여 만들어진 집합의 상위 상자 차원은 각 집합의 상위 상자 차원을 더한 값보다 작거나 같다.^[1]

5. 하우스도르프 차원과의 관계

하우스도르프 차원은 상자 차원과 같거나 작다. 잘 정의된 많은 프랙탈의 경우 이 값들이 모두 동일하지만, 하우스도르프 차원과 상자 차원이 반드시 같지는 않다.^[1]

5. 1. 일반적인 관계

하우스도르프 차원과 상자 차원은 다음 부등식으로 관련된다.

:

\dim_\text{Haus} \leq \dim_\text{lower box} \leq \dim_\text{upper box}.

일반적으로, 두 부등식 모두 엄격할 수 있다. 프랙탈이 다른 스케일에서 다른 동작을 보이는 경우 상위 상자 차원이 하위 상자 차원보다 클 수 있다. 예를 들어, 구간 [0, 1]에서 다음 조건을 만족하는 수의 집합을 살펴보자.

모든 ''n''에 대해, 2^2''n''번째 숫자와 (2^2''n''+1 − 1)번째 숫자 사이의 모든 숫자는 0이다.

"홀수 자리 간격", 즉 2^2''n''+1번째 숫자와 2^2''n''+2 − 1번째 숫자 사이의 숫자는 제한되지 않으며 어떤 값이라도 가질 수 있다. 이 프랙탈은 상위 상자 차원이 2/3이고 하위 상자 차원이 1/3이다. 이는

\varepsilon = 10^{-2^n}

에 대해 ''N''(''ε'')를 계산하고 그 값들이 ''n''이 짝수일 때와 홀수일 때 다르게 동작한다는 것을 관찰함으로써 쉽게 확인할 수 있다.

또 다른 예:

\mathbb{Q}

의 유리수 집합은

\dim_\text{Haus} = 0

을 갖는 가산 집합이며, 닫힌 집합

\mathbb{R}

의 차원이 1이므로

\dim_\text{box} = 1

을 갖는다. 사실,

:

\dim_\text{box}\left\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\} = \frac{1}{2}.

이러한 예는 가산 집합을 추가하면 상자 차원이 변경될 수 있으며, 이러한 차원의 일종의 불안정성을 보여준다.

5. 2. 다른 예시들

일반적으로, 상자 차원과 하우스도르프 차원 사이의 부등식은 모두 엄격할 수 있다. 프랙탈이 다른 스케일에서 다른 동작을 보이는 경우 상위 상자 차원이 하위 상자 차원보다 클 수 있다. 예를 들어, 구간 [0, 1]에서 다음 조건을 만족하는 수의 집합을 살펴보자.

모든 ''n''에 대해, 2^2''n''번째 숫자와 (2^2''n''+1 - 1)번째 숫자 사이의 모든 숫자는 0이다.

"홀수 자리 간격", 즉 2^2''n''+1번째 숫자와 2^2''n''+2 - 1번째 숫자 사이의 숫자는 제한되지 않으며 어떤 값이라도 가질 수 있다. 이 프랙탈은 상위 상자 차원이 2/3이고 하위 상자 차원이 1/3이다. 이는

\varepsilon = 10^{-2^n}

에 대해 ''N''(''ε'')를 계산하고 그 값들이 ''n''이 짝수일 때와 홀수일 때 다르게 동작한다는 것을 관찰함으로써 쉽게 확인할 수 있다.

또 다른 예로, 유리수 집합

\mathbb{Q}

는

\dim_\text{Haus} = 0

을 갖는 가산 집합이며, 닫힌 집합

\mathbb{R}

의 차원이 1이므로

\dim_\text{box} = 1

을 갖는다. 다음의 경우도 살펴보자.

\dim_\text{box}\left\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\right\} = \frac{1}{2}.

이러한 예들은 가산 집합을 추가하면 상자 차원이 변경될 수 있으며, 이것이 이러한 차원의 일종의 불안정성을 보여준다는 것을 설명한다.

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