프랙탈 차원

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1. 개요
2. 역사적 배경
3. 프랙탈 차원의 정의 및 계산
- 3.1. 다양한 프랙탈 차원
- 3.2. 실제 데이터에서의 프랙탈 차원 추정
4. 프랙탈 차원의 응용
- 4.1. 표면 과학
- 4.2. 의학
5. 한계점
참조

1. 개요

프랙탈 차원은 유클리드 기하학의 차원과 달리 비정수 값을 가질 수 있으며, 프랙탈 구조가 공간을 채우는 방식을 나타내는 지표이다. 1975년 브누아 망델브로가 '프랙탈' 개념을 도입하면서 프랙탈 차원 연구가 시작되었으며, 하우스도르프 차원, 박스 카운팅 차원, 정보 차원, 상관 차원 등 다양한 유형이 존재한다. 프랙탈 차원은 시에르핀스키 삼각형, 코흐 눈송이 등과 같은 구조를 통해 계산되며, 실제 데이터에서도 추정될 수 있다. 자연 현상, 표면 과학, 의학, 금융 시장 등 다양한 분야에서 프랙탈 차원 개념이 활용되지만, 데이터의 양이나 잡음에 따라 추정의 신뢰도가 낮아질 수 있다는 한계가 있다.

2. 역사적 배경

망델브로트는 1975년에 '프랙탈 차원'과 '프랙탈'이라는 용어를 만들었다.^[15] 그는 영국의 해안선에 대한 자기 유사성에 관한 논문을 발표한 지 약 10년 후였다. 여러 역사적 권위자들은 그가 수 세기에 걸친 복잡한 이론 수학과 공학 연구를 종합하고, 이를 새로운 방식으로 적용하여 일반적인 선형 용어로는 설명할 수 없는 복잡한 기하학을 연구하는 데 기여했다고 평가한다.^[21]^[22] 망델브로트가 프랙탈 차원으로 종합한 것의 가장 초창기 뿌리는 1600년대 중반 미적분학이 발견될 무렵, 프랙탈의 수학적 정의에서 중요한 미분 불가능하고 무한히 자기 유사한 함수에 대한 저술로 거슬러 올라간다.^[12] 그 이후 한동안 그러한 함수에 대한 출판물은 잠잠했다가 1800년대 후반에 이르러 오늘날 전형적인 프랙탈(예: 폰 코흐,^[19] 시에르핀스키, 줄리아의 이름을 딴 작품)이라고 불리는 수학적 함수와 집합이 출판되면서 부활했지만, 당시에는 종종 반대되는 수학적 "괴물"로 여겨졌다.^[21]^[22] 이러한 연구와 함께 1900년대 초 하우스도르프의 연구를 통해 프랙탈 차원 개념 발전의 가장 중요한 분기점이 마련되었는데, 그는 오늘날 그의 이름을 따서 명명되었고 현대 프랙탈을 정의하는 데 자주 사용되는 "분수" 차원을 정의했다.^[2]^[12]^[23]^[24]

3. 프랙탈 차원의 정의 및 계산

프랙탈 차원은 일반적인 유클리드 기하학의 차원과는 달리, 비정수 값을 가질 수 있다. 이는 프랙탈 구조가 공간을 채우는 방식이 일반적인 도형과 질적으로 다르다는 것을 의미한다. 프랙탈 차원은 자기 유사성 및 세부 사항 또는 불규칙성과 같은 프랙탈의 주요 특징을 나타내는 지표로 사용된다.^[18]

프랙탈 차원은 처음에는 세부 사항이 전체 그림보다 더 중요해 보이는 복잡한 기하학적 형태를 특징짓는 지수로 적용되었다.^[15] 일반적인 도형의 경우, 이론적 프랙탈 차원은 유클리드 또는 위상 차원과 같다. 예를 들어, 점은 0차원, 선은 1차원, 표면은 2차원, 부피는 3차원이다. 그러나 프랙탈 집합의 경우, 이론적 프랙탈 차원이 위상 차원을 초과하면 프랙탈 기하학을 갖는 것으로 간주된다.^[23] 프랙탈 지수는 비정수 값을 가질 수 있는데,^[16] 이는 프랙탈 집합이 일반적인 도형과는 질적, 양적으로 다르게 공간을 채운다는 것을 의미한다.^[10]^[11]^[1] 예를 들어, 1.10의 프랙탈 차원을 가진 곡선은 일반적인 선과 유사하게 동작하지만, 1.9의 프랙탈 차원을 가진 곡선은 표면처럼 공간을 꼬불꼬불하게 채운다. 2.1의 프랙탈 차원을 가진 표면은 일반적인 표면과 유사하지만, 2.9의 프랙탈 차원을 가진 표면은 부피처럼 공간을 채우기 위해 접히고 흐른다.^[23]^[17]

프랙탈 차원은 밀도를 측정하는 것이 아니라, 복잡성을 측정한다.^[5] 프랙탈의 주요 특징인 자기 유사성과 세부 사항 또는 불규칙성은 프랙탈 곡선의 두 예 (그림 2, 그림 3)에서 확인할 수 있다. 두 곡선 모두 위상 차원은 1이지만, 일반 곡선과는 달리 자기 유사성과 세부 사항의 형태로 복잡성을 가지므로, 길이와 도함수를 측정할 수 없다.^[12] 곡선의 두 점 사이의 호 길이는 무한하며, 모든 작은 조각은 무한히 축척된 세그먼트로 구성되어 정류 가능한 곡선이 아니다.^[19]

프랙탈 차원의 개념은 스케일링과 차원에 대한 비전통적인 관점에 기반한다.^[26] 그림 4에서 볼 수 있듯이, 전통적인 기하학에서는 도형이 예측 가능하게 스케일링된다. 예를 들어, 선을 원래 측정자의 1/3 크기로 측정하면 3배 더 길게 나타나고, 정사각형의 면적을 원래 정사각형의 1/3 크기로 측정하면 9배 더 많은 정사각형을 발견하게 된다. 이러한 스케일링 관계는 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $}.$

프랙탈 기하학에도 동일한 규칙이 적용되지만, 덜 직관적이다. 예를 들어, 프랙탈 선을 이전 선의 1/3로 스케일링된 막대로 다시 측정하면, 3개가 아닌 4배 더 많은 스케일링된 막대가 될 수 있다(그림 5 참조). 이 경우, $N=4$ 이며 $\varepsilon = \tfrac{1}{3}$ 이고, 다음과 같이 $D$ 의 값을 구할 수 있다.

: ${\log{\varepsilon}}}}.$

즉, 코흐 눈송이와 같이 $\varepsilon =\tfrac{1}{3}$ 일 때 $N=4$ 로 설명되는 프랙탈의 경우, $D=1.26185 \ldots$ 인데, 이는 프랙탈이 그 안에 있는 공간과 같지 않은 차원을 갖는다는 것을 시사하는 비정수 값이다.^[1]

''그림 6''. 그림 6에서 볼 수 있듯이 동일한 스케일링 관계를 가지지만 코흐 곡선과 매우 다른 많은 프랙탈 구조 또는 패턴을 구성할 수 있다.

프랙탈 패턴을 구성하는 방법에는 단위 도형으로부터 성장시키는 방법과 원래 구조를 계속 분할해나가는 방법(시에르핀스키 삼각형과 같이)이 있다.^[60]

유클리드 차원 D에 존재하는 선형 크기 1의 도형이 있고, 그 크기를 각 공간 방향으로 1/l로 줄이면, 원래 도형을 채우기 위해서는 N = l^D개의 자기 닮음 도형이 필요하다. 하지만,

:

D = \frac{\log N(l)}{\log l}

(여기서 로그의 밑은 임의)로 정의되는 차원은 아직 그 위상 차원 또는 유클리드 차원과 같다.^[59] 위의 등식을 프랙탈 구조에 적용함으로써, 예상대로 비정수가 되는 프랙탈 구조의 차원(이것은 사실상 하우스도르프 차원이다)을 얻을 수 있다.

:

D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\frac{1}{\epsilon}}

여기서 N(ε)는 원래 구조 전체를 채우는 데 필요한 선형 크기 ε의 자기 닮음 구조의 수이다.

예를 들어, 시에르핀스키 삼각형(

'''그림 2''' 원래 구조를 재귀적으로 분할하여 얻어지는 시에르핀스키의 삼각형

)은 1/2로 축소하면 3개의 자기 닮음 구조가 필요하므로, 그 프랙탈 차원은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)}= \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 3^k}{\log 2^k} = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585

마찬가지로, 코흐 눈송이의 프랙탈 차원은

:

D = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\left(\frac{1}{\epsilon}\right)}= \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 4^k}{\log 3^k} = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1.262

가 되며, 시에르핀스키의 삼각형은 코흐 눈송이와 비교하여 밀도가 높다고 할 수 있다.

이와 밀접하게 관련된 것이 box-counting dimension^영어인데, 이는 공간이 크기 ε의 상자(box)에 의한 그리드로 분할될 때, 몇 개의 이 크기의 상자가 어트랙터의 일부를 포함하는지를 고려하는 것이다.

기타 차원량으로는 정보 차원, 상관 차원 등이 있다.

3. 1. 다양한 프랙탈 차원

프랙탈 차원은 세부 사항의 변화에 대한 규모의 변화 비율로 복잡성을 정량화하여 프랙탈 패턴 또는 집합을 특징짓는 지수이다.^[12] 여러 유형의 프랙탈 차원은 이론적으로 그리고 경험적으로 측정될 수 있다(그림 2 참조).^[1]^[13] 프랙탈 차원은 추상적인 것^[10]^[1]에서 난류,^[12] 강 네트워크, 도시 성장,^[6]^[7] 인체 생리학,^[8]^[9] 의학,^[13] 그리고 시장 추세^[14]를 포함한 광범위한 대상의 특성을 나타내는 데 사용된다.

차원의 본질적인 아이디어는 1600년대까지 거슬러 올라가는 수학에서 오랜 역사를 가지고 있지만,^[12]^[21] ''프랙탈''과 ''프랙탈 차원''이라는 용어는 1975년 수학자 브누아 망델브로에 의해 만들어졌다.^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

프랙탈 차원은 처음에는 세부 사항이 전체 그림보다 더 중요해 보이는 복잡한 기하학적 형태를 특징짓는 지수로 적용되었다.^[15] 일반적인 기하학적 모양을 설명하는 집합의 경우 이론적 프랙탈 차원은 집합의 친숙한 유클리드 또는 위상 차원과 같다.

점을 설명하는 집합의 경우 0 (0차원 집합)
선을 설명하는 집합의 경우 1 (길이만 있는 1차원 집합)
표면을 설명하는 집합의 경우 2 (길이와 너비를 갖는 2차원 집합)
부피를 설명하는 집합의 경우 3 (길이, 너비 및 높이를 갖는 3차원 집합)

그러나 프랙탈 집합의 경우 이것이 변경된다. 집합의 이론적 프랙탈 차원이 위상 차원을 초과하면 해당 집합은 프랙탈 기하학을 갖는 것으로 간주된다.^[23] 위상 차원과 달리 프랙탈 지수는 비정수 값을 가질 수 있으며,^[16] 이는 집합이 일반적인 기하학적 집합이 하는 방식과 질적으로 그리고 양적으로 다르게 공간을 채운다는 것을 나타낸다.^[10]^[11]^[1]

예를 들어:

1에 매우 가까운 프랙탈 차원(예: 1.10)을 가진 곡선은 일반적인 선과 매우 유사하게 동작한다.
1.9의 프랙탈 차원을 가진 곡선은 표면과 매우 유사하게 공간을 통해 꼬불꼬불하게 굴곡한다.
2.1의 프랙탈 차원을 가진 표면은 일반적인 표면과 매우 유사하게 공간을 채운다.
2.9의 프랙탈 차원을 가진 표면은 부피와 매우 유사하게 공간을 채우기 위해 접히고 흐른다.^[23]^[17]

이 일반적인 관계는 그림 2와 그림 3의 프랙탈 곡선 두 이미지에서 볼 수 있다. 그림 2의 32개 세그먼트 윤곽은 1.67의 프랙탈 차원을 가지며, 눈에 띄게 덜 복잡한 그림 3의 코흐 곡선은 약 1.2619의 프랙탈 차원을 가진다.

프랙탈 차원의 증가와 공간 채우기의 관계는 프랙탈 차원이 밀도를 측정하는 것을 의미할 수 있지만, 그렇지 않다. 두 가지는 엄격하게 상관관계가 없다.^[5] 대신, 프랙탈 차원은 복잡성을 측정하며, 이는 프랙탈의 특정 주요 특징과 관련이 있다. 자기 유사성 및 세부 사항 또는 불규칙성.^[18]

이러한 특징은 프랙탈 곡선의 두 예에서 분명하다. 둘 다 위상 차원이 1인 곡선이므로 일반 곡선과 마찬가지로 길이와 도함수를 측정할 수 있기를 바랄 수 있다. 그러나 프랙탈 곡선은 일반 곡선에 없는 자기 유사성과 세부 사항의 형태로 복잡성을 가지므로 이러한 작업을 수행할 수 없다.^[12]

''자기 유사성''은 무한한 축척에 있다.
''세부 사항''은 각 집합의 정의 요소에 있다.

이러한 곡선의 두 점 사이의 호 길이는 두 점이 서로 얼마나 가까이 있든 무한하므로 곡선을 많은 작은 세그먼트로 분할하여 그러한 곡선의 길이를 근사하는 것은 불가능하다는 의미이다.^[19] 모든 작은 조각은 첫 번째 반복과 정확히 같은 모양의 무한히 축척된 세그먼트로 구성된다. 이것들은 정류 가능한 곡선이 아니며, 즉 각각의 길이를 근사하는 많은 세그먼트로 분할하여 측정할 수 없다는 의미이다. 길이를 찾고 도함수를 구하여 의미 있게 특징 지을 수 없다. 그러나 프랙탈 차원은 결정할 수 있으며, 이를 통해 두 곡선 모두 일반 선보다 공간을 더 많이 채우지만 표면보다 적게 채우고 이와 관련하여 비교할 수 있다.

위에 설명된 두 개의 프랙탈 곡선은 시각화하기 쉬운 반복 세부 사항 단위와 정확한 자기 유사성의 한 유형을 보여준다. 이러한 종류의 구조는 다른 공간으로 확장될 수 있다(예: 코흐 곡선을 3차원 공간으로 확장하는 프랙탈은 이론적 D=2.5849를 갖는다). 그러나, 그렇게 깔끔하게 셀 수 있는 복잡성은 프랙탈에 존재하는 자기 유사성과 세부 사항의 한 가지 예일 뿐이다.^[1]^[14] 예를 들어, 영국 해안선의 예는 대략적인 패턴의 자기 유사성을 보여준다.^[12]

전반적으로 프랙탈은 쉽게 시각화되지 않을 수 있는 여러 유형 및 정도의 자기 유사성과 세부 사항을 보여준다. 여기에는 예를 들어, 세부 사항이 본질적으로 쌓이는 부드러운 부분으로 설명된 이상한 끌개^[3]와 복잡한 소용돌이로 보이는 줄리아 집합, 거칠고 뾰족한 패턴이 시간 내에 반복되고 축척되는 심박수 등이 포함된다.^[20] 프랙탈 복잡성은 복잡한 분석 방법을 사용하지 않고서는 쉽게 파악할 수 있는 세부 사항 및 규모 단위로 항상 해결될 수 없을 수 있지만, 프랙탈 차원을 통해 여전히 정량화할 수 있다.^[12]

프랙탈 차원의 개념은 복잡한 구조에 대한 기본적인 관점이다. 여기서 논의된 예시들은 명확성을 위해 선택되었으며, 스케일링 단위와 비율은 미리 알려져 있었다. 그러나 실제로는 크기 대 스케일의 로그 대 로그 플롯에 대한 회귀선에서 추정된 극한으로부터 스케일링과 세부 사항을 근사하는 기법을 사용하여 프랙탈 차원을 결정할 수 있다.

다양한 유형의 프랙탈 차원에 대한 여러 가지 공식적인 수학적 정의는 다음과 같다. 정확한 아핀 자기 유사성을 가진 콤팩트 집합의 경우 이러한 차원들이 모두 일치하지만, 일반적으로는 동일하지 않다.

차원 종류	공식
박스 카운팅 차원	$D_0 = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log\frac{1}{\varepsilon}}.$
정보 차원	$D_1 = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{-\langle \log p_\varepsilon \rangle}{\log\frac{1}{\varepsilon}}$
상관 차원	$D_2 = \lim_{M \to \infty} \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\log (g_\varepsilon / M^2)}{\log \varepsilon}$
일반화 또는 뢰니 차원	$D_\alpha = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\frac{1}{\alpha-1}\log(\sum_{i} p_i^\alpha)}{\log\varepsilon}$
히구치 차원^[34]	$D = \frac{d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}$
랴푸노프 차원
멀티프랙탈 차원	스케일링 동작이 패턴의 다른 부분에서 변동하는 뢰니 차원의 특별한 경우
불확실성 지수
하우스도르프 차원	$\dim_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.$
패킹 차원
아수아드 차원
지역 연결 차원^[35]
차수 차원^[36]	그래프의 차수 분포의 프랙탈 특성을 설명
포물선 하우스도르프 차원

3. 2. 실제 데이터에서의 프랙탈 차원 추정

많은 실제 현상은 제한적이거나 통계적인 프랙탈 속성을 나타내며, 프랙탈 분석 기술을 사용하여 표본 추출된 데이터에서 프랙탈 차원을 추정할 수 있다. 실제로 프랙탈 차원 측정은 다양한 방법론적 문제의 영향을 받고, 수치적 또는 실험적 노이즈와 데이터 양의 제한에 민감하다.

그럼에도 불구하고, 통계적으로 자기 유사한 현상에 대한 추정 프랙탈 차원은 다양한 분야에서 활용될 수 있다. 프랙탈 차원 추정은 다음 분야를 포함한다.

분야	관련 자료
천문학	^[37]
음향학	^[38]^[39]
지질학 및 지구 과학	^[40]
진단 영상	^[41]^[42]^[43]
생태학	^[44]
전기화학적 과정	^[45]
이미지 분석	^[46]^[47]^[48]^[49]
생물학 및 의학	^[50]^[51]^[52]
신경 과학	^[53]^[9]
네트워크 분석
생리학	^[8]
물리학	^[54]^[55]
리만 제타 영점	^[56]

프랙탈 차원 추정치는 정신 음향학 및 신경 과학의 실제 데이터 세트에서 렘펠-지브 복잡도와 상관관계가 있는 것으로 나타났다.^[57]^[38]

직접 측정에 대한 대안은 실제 프랙탈 객체의 형성과 유사한 수학적 모델을 고려하는 것이다. 이 경우 모델이 암시하는 프랙탈 속성 외에 측정된 데이터와 비교하여 유효성을 검사할 수도 있다. 콜로이드 물리학에서 다양한 프랙탈 차원을 가진 입자로 구성된 시스템이 발생한다. 이러한 시스템을 설명하기 위해 확률 분포와 프랙탈 차원의 분포에 대해 이야기하는 것이 편리하며, 결국 후자의 시간적 진화, 즉 입자 응집과 융합 사이의 복잡한 상호 작용에 의해 주도되는 프로세스이다.^[58]

생명체나 현실 세계의 현상 또한 프랙탈의 특성을 나타내므로, 일련의 표본 데이터의 프랙탈 차원을 기술하는 것은 유용한 경우가 많다. 이 경우의 프랙탈 차원은 정확하게 구할 수는 없지만, 근삿값은 구할 수 있다. 예를 들어, 자연계의 해안선은 모래알 등의 크기라는 한계가 있으므로 엄밀하게는 프랙탈이 아니지만,^[61] 리아스식 해안과 같은 복잡한 해안선은 프랙탈적인 특성을 나타내며, 그 프랙탈 차원은 복잡성에 따라 대략 1 < ''D'' < 1.3이 된다.^[62]

프랙탈 차원의 근삿값은 물리학^[63], 이미지 분석^[64]^[65], 음향학^[66], 리만 제타 함수의 영점^[67], (전자) 화학 프로세스^[68], 의학^[69] 등, 다양한 영역에서 사용되고 있다. 응용의 한 예로, 인간의 대장 점막 표피는 프랙탈적인 구조를 나타내며, 이는 표면적을 최대화하기 위한 것으로 생각되지만, 병변이 생기면 그 프랙탈 차원에 변화가 나타난다. 양성 종양에서는 1.38, 암에서는 1.50 전후가 되어 유의차가 있다는 연구가 있으며, 샘플의 프랙탈 차원 근삿값에 의한 객관적인 진단이 목표이다.^[69]

실제 차원의 근삿값은 수치적 또는 실험상의 노이즈에 매우 민감하며, 특히 데이터의 양의 제한에 영향을 받기 쉽다. '''매우''' 많은 데이터 점의 수를 얻을 수 없는 한 피할 수 없는 한계가 존재하므로, 프랙탈 차원의 근삿값에 기초한 주장, 특히 저차원에서의 동적 거동의 주장에 주의가 필요하다.

4. 프랙탈 차원의 응용

프랙탈 차원은 표면 과학과 의학 등 다양한 분야에서 활용된다.^[69]

표면 과학: 프랙탈 개념은 표면 특성과 기능적 특성 간의 관계를 설명하는 데 사용된다. 표면 거칠기(R_A), 평균 기울기, 제곱 평균 제곱근 거칠기(R_RMS) 등 다양한 표면 설명자가 있지만, 프랙탈 차원은 표면 구조와 성능 간의 상관관계를 스케일링 동작 측면에서 설정하는 데 유용하다. 프랙탈 차원은 접촉 역학,^[30] 마찰,^[31] 전기 접촉 저항,^[32] 투명 전도성 산화물^[33] 분야에서 활용된다.

의학: 인체의 대장 점막 표피는 표면적을 넓히기 위해 프랙탈 구조를 띤다. 양성 종양(1.38)과 암(1.50)은 프랙탈 차원에서 유의미한 차이를 보이므로, 샘플의 프랙탈 차원을 계산하여 암을 진단하는 방법이 연구되고 있다.^[69]

표면 프랙탈리티 증가의 그림. 자기 아핀 표면(왼쪽)과 해당 표면 프로파일(오른쪽)은 프랙탈 차원 ''D_f''의 증가를 보여준다.

하지만 실제 프랙탈 차원 계산은 데이터 양 부족, 노이즈 등의 한계로 인해 주의가 필요하며, 특히 저차원 동적 거동에 대한 주장은 신중하게 받아들여야 한다.

4. 1. 표면 과학

프랙탈 개념은 표면 과학 분야에서 점점 더 많이 적용되어 표면 특성과 기능적 특성 간의 가교 역할을 한다.^[28] 평균 표면 거칠기는 일반적으로 R_A로 표시되며 가장 일반적으로 적용되는 표면 설명자이지만, 평균 기울기, 제곱 평균 제곱근 거칠기(R_RMS) 및 기타 여러 설명자가 정기적으로 적용된다. 그러나 많은 물리적 표면 현상은 이러한 설명자를 참조하여 쉽게 해석할 수 없다는 것이 밝혀졌으며, 따라서 프랙탈 차원은 스케일링 동작 측면에서 표면 구조와 성능 간의 상관 관계를 설정하기 위해 점점 더 많이 적용되고 있다.^[29] 표면의 프랙탈 차원은 접촉 역학,^[30] 마찰^[31], 전기 접촉 저항^[32] 및 투명 전도성 산화물 분야의 현상을 설명하고 더 잘 이해하는 데 사용되었다.^[33]

4. 2. 의학

프랙탈 차원 계산은 의학medicine^영어 분야에서 다양하게 활용되고 있다.^[69] 예를 들어, 인체의 대장 점막 표피는 프랙탈 구조를 띠는데, 이는 표면적을 넓히기 위한 것으로 보인다. 그러나 병변이 발생하면 프랙탈 차원에 변화가 생긴다. 양성 종양은 1.38 정도, 암은 1.50 정도의 프랙탈 차원을 보여 유의미한 차이가 있다는 연구 결과가 있다. 이러한 차이를 바탕으로 샘플의 프랙탈 차원을 계산하여 객관적으로 암을 진단하는 방법이 연구되고 있다.^[69]

하지만 실제 프랙탈 차원을 계산하는 것은 여러 한계점 때문에 주의가 필요하다. 특히 데이터 양이 적을 경우, 수치 또는 실험 과정에서 발생하는 노이즈에 민감하게 영향을 받는다. 따라서 매우 많은 데이터를 확보하지 못하면 정확한 프랙탈 차원을 얻기 어렵기 때문에, 프랙탈 차원 계산에 기반한 주장, 특히 저차원 동적 거동에 대한 주장은 신중하게 받아들여야 한다.

5. 한계점

위에서 언급한 프랙탈 차원의 척도는 형식적으로 정의된 프랙탈에서 얻어진 것이다. 그러나 생명체나 현실 세계의 현상 또한 프랙탈의 특성을 나타내므로, 일련의 표본 데이터의 프랙탈 차원을 기술하는 것은 유용한 경우가 많다. 이 경우의 프랙탈 차원은 정확하게 구할 수는 없지만, 개산은 가능할 것이다. 예를 들어, 자연계의 해안선은 모래알 등의 크기라는 한계가 있으므로 엄밀하게는 프랙탈이 아니지만^[61], 리아스식 해안과 같은 복잡한 해안선은 프랙탈적인 특성을 나타내며, 그 프랙탈 차원은 복잡성에 따라 대략 1 < ''D'' < 1.3이 된다^[62]。

프랙탈 차원의 개산은 물리학^[63], 이미지 분석^[64]^[65], 음향학^[66], 리만 제타 함수의 영점^[67], (전자) 화학 프로세스^[68], 의학^[69] 등 다양한 영역에서 사용되고 있다. 응용의 한 예로, 인간의 대장 점막 표피는 프랙탈적인 구조를 나타내며, 이는 표면적을 최대화하기 위한 것으로 생각되지만, 병변이 생기면 그 프랙탈 차원에 변화가 나타난다. 양성 종양에서는 1.38, 암에서는 1.50 전후가 되어 유의차가 있다는 연구가 있으며, 샘플의 프랙탈 차원 개산에 의한 객관적인 진단이 목표이다^[69]。

실제 차원의 개산은 수치적 또는 실험상의 노이즈에 매우 민감하며, 특히 데이터 양의 제한에 영향을 받기 쉽다. '''매우''' 많은 데이터 점의 수를 얻을 수 없는 한 피할 수 없는 한계가 존재하므로, 프랙탈 차원의 개산에 기초한 주장, 특히 저차원에서의 동적 거동의 주장에 주의가 필요하다.

참조

_[1] 서적 Fractal growth phenomena World Scientific
_[2] 논문 How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension http://ena.lp.edu.ua[...] 2020-11-12
_[3] 서적 Measure, Topology, and Fractal Geometry https://books.google[...] Springer 2007
_[4] 서적 Multifractals https://archive.org/[...] Chapman & Hall
_[5] 서적 Defining Microglial Morphology: Form, Function, and Fractal Dimension http://trove.nla.gov[...] Charles Sturt University 2013-07-09
_[6] 논문 Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions
_[7] 웹사이트 Applications http://library.think[...] 2007-10-21
_[8] 논문 Signal attenuation and box-counting fractal analysis of optical coherence tomography images of arterial tissue
_[9] 논문 Characterization of Atrophic Changes in the Cerebral Cortex Using Fractal Dimensional Analysis
_[10] 서적 Fractal Geometry https://archive.org/[...] Wiley
_[11] 서적 Space-Filling Curves https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[12] 서적 The fractal geometry of nature https://books.google[...] Macmillan 2012-02-01
_[13] 서적 Fractals in biology and medicine https://books.google[...] Springer 2012-02-01
_[14] 서적 Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility Wiley
_[15] 서적 Mathematical people : profiles and interviews https://archive.org/[...] AK Peters
_[16] 논문 Investigation of anomalous diffusion and multifractal dimensions in polypyrrole film
_[17] 문서 List of fractals by Hausdorff dimension
_[18] 문서 Fractal characteristics
_[19] 문서 On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry
_[20] 논문 Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications
_[21] 서적 Classics on Fractals Westview Press
_[22] 웹사이트 A History of Fractal Geometry http://www-groups.dc[...]
_[23] 서적 Fractals and Chaos Springer
_[24] 서적 Introducing fractal geometry https://archive.org/[...] Icon
_[25] 서적 Introducing Fractal Geometry Icon
_[26] 서적 Fractal Geometry in Biological Systems CRC Press
_[27] 서적 Fluctuations and scaling in biology Oxford University Press
_[28] 간행물 Chemistry and Physics of Solid Surfaces VII Springer Berlin Heidelberg 1988
_[29] 논문 Emergence of self-affine surfaces during adhesive wear 2019-12
_[30] 논문 Contact stiffness of multiscale surfaces https://www.research[...]
_[31] 논문 Static Friction at Fractal Interfaces https://www.research[...]
_[32] 논문 Stress-Dependent Electrical Contact Resistance at Fractal Rough Surfaces
_[33] 논문 Multimode AFM analysis of aluminum-doped zinc oxide thin films sputtered under various substrate temperatures for optoelectronic applications 2019-08
_[34] 논문 Approach to an irregular time-series on the basis of the fractal theory
_[35] 논문 Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice
_[36] 논문 On the scale-freeness of random colored substitution networks
_[37] 논문 Fractal dimension and turbulence in Giant HII Regions
_[38] 논문 A Mathematical Approach to Correlating Objective Spectro-Temporal Features of Non-linguistic Sounds With Their Subjective Perceptions in Humans
_[39] 논문 Fractal dimensions of speech sounds: Computation and application to automatic speech recognition
_[40] 논문 Contribution of fractal dimension theory into the uniaxial compressive strength prediction of a volcanic welded bimrock https://doi.org/10.1[...] 2020-09-01
_[41] 논문 Local connected fractal dimensions and lacunarity analyses of 60 degrees fluorescein angiograms
_[42] 논문 Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis
_[43] 논문 Fractal dimension in human retinas https://jci.uniauton[...]
_[44] 논문 A Comparison of Measures of Riverbed Form for Evaluating Distributions of Benthic Fishes 2003-05-01
_[45] 논문 Fractal Dimension of Electrochemical Reactions
_[46] 논문 Texture Analysis of Aggressive and non-Aggressive Lung Tumor CE CT Images http://sro.sussex.ac[...] 2014-04-10
_[47] 논문 On the Validity of Fractal Dimension Measurements in Image Analysis http://mdigest.jrc.e[...]
_[48] 논문 Suboptimal minimum cluster volume cover-based method for measuring fractal dimension https://zenodo.org/r[...]
_[49] 서적 Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV https://zenodo.org/r[...]
_[50] 논문 Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging
_[51] 논문 Fractal methods and results in cellular morphology — dimensions, lacunarity and multifractals https://zenodo.org/r[...]
_[52] 논문 An improved box-counting method for image fractal dimension estimation
_[53] 논문 Burns & Rajan (2015) Combining complexity measures of EEG data: multiplying measures reveal previously hidden information. F1000Research. 4:137.
_[54] 논문 Evaluating the fractal dimension of profiles
_[55] 논문 Unbiased estimation of multi-fractal dimensions of finite data sets
_[56] 논문 Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions
_[57] 논문 Burns & Rajan (2015) Combining complexity measures of EEG data: multiplying measures reveal previously hidden information. F1000Research. 4:137.
_[58] 논문 Population Balance Modeling of Aggregation and Coalescence in Colloidal Systems http://dare.uva.nl/p[...]
_[59] 웹사이트 Fractals & the Fractal Dimension http://www.vanderbil[...]
_[60] 서적 Fluctuations and scaling in biology Oxford University Press
_[61] 문서 高安(1985) p. 894
_[62] 문서 高安(1985) p.906
_[63] 논문 Evaluating the fractal dimension of profiles
_[64] 논문 On the validity of fractal dimension measurements in image analysis http://mdigest.jrc.e[...]
_[65] 논문 Suboptimal Minimum Cluster Volume Cover-Based Method for Measuring Fractal Dimension
_[66] 논문 Fractal dimensions of speech sounds: Computation and application to automatic speech recognition
_[67] 논문 Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions
_[68] 논문 Fractal Dimension of Electrochemical Reactions
_[69] 논문 大腸上皮性腫瘍腺口形態(pit pattern)のフラクタル解析 : pit patternの定量評価と病理組織診断との対比 https://hdl.handle.n[...] 新潟医学会 2023-08-18

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