유리근 정리

3. 증명

유일 인수 분해 정역 $R$의 다항식환 $R[x]$의 분수체를 $\backslash operatorname\{Frac\}R$라고 할 때, 다항식 $p(x)=r\_nx^n+r\_\{n-1\}x^\{n-1\}+\backslash cdots\; r\_1x+r\_0\backslash in\; R[x]$가 $\backslash operatorname\{Frac\}R$의 원소 $r/s$를 근으로 가지며, $\backslash gcd\backslash \{r,s\backslash \}=1$이면, '''유리근 정리'''에 따라 다음이 성립한다.^[3]

:$r\backslash mid\; r\_0$

:$s\backslash mid\; r\_n$

특히, $p(x)$가 일계수 다항식 ($r\_n=1$)이면, $r/s\backslash in\; R$는 환의 원소이다.

$r/s$가 $p(x)$의 근이므로,

:$\backslash begin\{align\}$

0&=s^n p\left(\frac rs\right) \\

&=s^n\left(r_n\frac{r^n}{s^n}+r_{n-1}\frac{r^{n-1}}{s^{n-1}}+\cdots r_1\frac rs+r_0\right) \\

&=r_nr^n+r_{n-1}r^{n-1}s+\cdots+r_1rs^{n-1}+r_0s^n

\end{align}

이다. 따라서

:$r\backslash mid-r\_nr^n-r\_\{n-1\}r^\{n-1\}s-\backslash cdots-r\_1rs^\{n-1\}=r\_0s^n$

:$s\backslash mid-r\_\{n-1\}r^\{n-1\}s-\backslash cdots-r\_1rs^\{n-1\}-r\_0s^n=r\_nr^n$

이다. 또한, $\backslash gcd\backslash \{r,s^n\backslash \}=\backslash gcd\backslash \{s,r^n\backslash \}=1$이므로,

:$r\backslash mid\; r\_0$

:$s\backslash mid\; r\_n$

이다.

3. 1. 초등 증명

3. 2. 가우스 보조정리를 이용한 증명

4. 활용

유리근 정리는 주어진 방정식의 유리수 근을 찾는 데 활용된다. 예를 들어 다음 방정식을 보자.

:$3x^3\; -\; 5x^2\; +\; 5x\; -\; 2\; =\; 0\backslash ,\backslash !$

이 방정식의 유리근은 유리근 정리에 의해 다음 8개의 후보를 갖는다.

:$1,\; -1,\; 2,\; -2,\; \backslash frac\{1\}\{3\},\; -\backslash frac\{1\}\{3\},\; \backslash frac\{2\}\{3\},\; -\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash ,.$

조립제법 등을 통해 이 후보들이 실제 근인지 확인할 수 있다. 만약 어떤 후보가 근이 아니라면, 그 후보는 제외하고 남은 후보들을 검토한다.^[3] 예를 들어, $x=1$을 방정식에 대입하면 좌변은 1이 되어 0과 같지 않으므로, $x=1$은 근이 아니다.

$x=1+t$로 치환하면 상수항이 1이고 $t^3$의 계수가 3인 $t$에 대한 다항식을 얻는다. 이 다항식에 유리근 정리를 적용하면, $t$의 가능한 근은 다음과 같다.

:$t=\backslash pm\backslash tfrac\{1\}\{1,3\}$

따라서 원래 방정식의 근 후보는 $x=1+t$를 통해 $x\; =\; 2,\; 0,\; \backslash frac\{4\}\{3\},\; \backslash frac\{2\}\{3\}$로 계산된다. 이 후보들을 앞서 구한 후보들과 비교하면, $x=2,\; \backslash frac\{2\}\{3\}$ 만이 공통으로 존재한다.

방정식의 근 중 하나를 찾았다면 (예: $r\_1$), 조립제법을 통해 원래 다항식에서 $(x-r\_1)$을 인수로 갖는 더 낮은 차수의 다항식을 얻을 수 있다. 이 다항식의 근은 원래 다항식의 근이기도 하다.

어떤 후보도 근이 아니라면, 방정식은 유리근을 갖지 않는다. 상수항이 0인 방정식은 항상 0을 유리근으로 갖는다.

4. 1. 유리수 근 탐색

4. 2. 다항식 인수분해

4. 3. 삼차 방정식

5. 예시

다음 방정식의 예를 살펴보자.

:$3x^3\; -\; 5x^2\; +\; 5x\; -\; 2\; =\; 0\backslash ,\backslash !$

이 방정식의 유리근은 $\backslash pm\backslash tfrac\{1,2\}\{1,3\}\backslash ,,$에 포함되어야 한다. 즉, 가능한 근의 후보는 다음과 같이 8개이다.

:$1,\; -1,\; 2,\; -2,\; \backslash frac\{1\}\{3\},\; -\backslash frac\{1\}\{3\},\; \backslash frac\{2\}\{3\},\; -\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash ,.$

이 후보들은 조립제법을 통해 테스트할 수 있다. 이 경우, 단 하나의 유리근만이 존재한다. 어떤 후보가 방정식을 만족시키지 않으면, 해당 후보를 제외하고 남은 후보들의 목록을 줄일 수 있다. 예를 들어 $x=1$은 방정식을 만족시키지 않고, 방정식의 좌변은 1이 된다.^[2]

$x\; =\; 1\; +\; t$로 치환하면 상수항이 1이고 $t^3$의 계수가 $x^3$의 계수와 같은 $t$에 대한 다항식을 얻을 수 있다. 유리근 정리를 적용하면, 가능한 $t$의 근은 $t=\backslash pm\backslash tfrac\{1\}\{1,3\}$이 된다. 따라서 원래 방정식의 근 후보는 $x\; =\; 1+t\; =\; 2,\; 0,\; \backslash frac\{4\}\{3\},\; \backslash frac\{2\}\{3\}$이다.

이 목록과 이전 목록을 비교하여 공통되지 않는 후보를 제거하면, 최종 후보 목록은 $x\; =\; 2,\; \backslash frac\{2\}\{3\}$로 축소된다.

만약 방정식의 근 중 하나 $r\_1$을 찾았다면, 조립제법을 통해 $n-1$차 다항식의 근을 얻을 수 있다. 이 근들은 $r\_1$과 함께 원래 다항식의 정확한 근이 된다. 어떤 후보도 근이 아니라면, 방정식은 유리근을 갖지 않는다. 상수항 $a\_0$이 0인 방정식은 $x=0$을 유리근으로 갖는다.

5. 1. 예시 1

5. 2. 예시 2

5. 3. 예시 3

참조

_[1] 서적 Four unit mathematics Edward Arnold
_[2] 논문 Integer roots of polynomials 2006-11
_[3] 서적