삼차 방정식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

삼차 방정식은 차수가 3인 다항식의 근을 찾는 방정식으로, 일반적인 형태는 ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)이다. 삼차 방정식의 근은 체 K의 확대체 원소이며, 2차항 계수가 0인 경우 압축 삼차 방정식이라고 한다. 삼차 방정식은 변수 변환을 통해 압축 삼차 방정식으로 변환할 수 있다. 삼차 방정식의 근과 계수 사이에는 비에트 정리가 성립하며, 판별식의 부호에 따라 실근의 개수를 알 수 있다. 체 K의 표수가 2나 3이 아닐 때, 카르다노 공식을 사용하여 삼차 방정식의 근을 구할 수 있으며, 삼각함수와 쌍곡선 함수를 이용한 풀이도 가능하다. 삼차 방정식은 기하학적으로도 풀 수 있으며, 각의 삼등분, 정육면체 배가 문제와 관련이 있다. 삼차 방정식은 고대 바빌로니아 시대부터 연구되었으며, 16세기에 카르다노가 대수적 해법을 발표했다. 삼차 방정식은 기하학, 공학, 물리학 등 다양한 분야에 응용된다.

삼차 방정식

정의

차수	3차
변수	한 개의 변수
일반 형식	ax^3 + bx^2 + c*x + d = 0 (여기서 a ≠ 0)
해법	카르다노의 방법 근의 공식 수치 해석

종류

대수 방정식	삼차 방정식

2. 정의

체 K 계수 삼차 방정식은 차수가 3인 다항식의 근을 찾는 방정식이다. 일반적인 형태는 다음과 같다.
: $ax^3+bx^2+cx+d=0$
: $a,b,c,d\in K$
: $a\ne0$
여기서 a, b, c, d는 체 K의 원소이며, a는 0이 아니다. 3차항의 계수가 0이 아니므로, 양변을 a로 나누어 일계수 방정식의 꼴로 나타낼 수 있다.
: $x^3+\frac bax^2+\frac cax+\frac da=0$
이 경우에도 계수 $b/a,c/a,d/a\in K$ 들은 여전히 체의 원소들이다.

삼차 방정식을 만족하는, K의 확대체의 원소를 삼차 방정식의 근이라고 한다.

압축 삼차 방정식(depressed cubic equation^영어)은 2차항 계수가 0인 (일계수) 삼차 방정식이다.
: $x^3+px+q=0$
: $p,q\in K$

3. 성질

치른하우스 변형(Tschirnhaus transformation)을 사용하면 일반적인 삼차 방정식을 2차항 계수가 0인 압축 삼차 방정식으로 변환할 수 있다. 단, 체의 표수가 3이 아닌 경우에만 가능하다.

비에트 정리에 따르면 삼차 방정식의 근과 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

* 근의 합, 곱, 제곱의 합 등을 계수로 표현 가능.

삼차 방정식의 판별식은 근의 종류(실근, 허근, 중근)를 판별하는 데 사용된다. 실수 계수 삼차 방정식의 경우, 판별식의 부호에 따라 실근의 개수와 종류를 판별할 수 있다.

삼차 방정식의 이차 분해식은 갈루아 군을 판별하는 데 사용된다. 삼차 방정식의 갈루아 군은 분해 가능성과 기약성에 따라 3차 대칭군 또는 3차 교대군과 동형이다.

4. 대수적 풀이

체 $K$ 계수 삼차 방정식
: $ax^3+bx^2+cx+d=0$
이 주어졌을 때, 만약 $K$ 의 표수 $\operatorname{char}K$ 가 3이 아니라면, 치른하우스 변형 $x=y-b/3a$ 를 통해 압축 삼차 방정식
: $y^3+py+q=0$
으로 만들 수 있다. 여기서 계수는
: $p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$
: $q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$
이다.

만약 $y^3+py+q=0$ 의 근이 $\{\alpha',\beta',\gamma'\}$ 이면, $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 의 근은 $\alpha=\alpha'-b/3a$ , $\beta=\beta'-b/3a$ , $\gamma=\gamma'-b/3a$ 이다.

$\operatorname{char}K=3$ 이면, 1/3이 정의되지 않아 치른하우스 변형을 사용할 수 없다. 그러나 $b\ne0$ 이고 $ac^3+2b^2c^2+b^3d\ne0$ 이면, 치환 $x=1/y+c/b$ 를 통해 압축 삼차 방정식 $y^3+py+q=0$ 을 얻을 수 있으며, 계수는 다음과 같다.
: $p=\frac{b^4}{ac^3+2b^2c^2+b^3d}$
: $q=\frac{ab^3}{ac^3+2b^2c^2+b^3d}$

$y^3+py+q=0$ 의 근이 $\{\alpha',\beta',\gamma'\}$ 이면, $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 의 근은 $\{1/\alpha'+c/b,1/\beta'+c/b,1/\gamma'+c/b\}$ 이다. $b=0$ 이면 이미 압축 방정식 형태이고, $b\ne0$ 이며 $ac^3+2b^2c^2+b^3d=0$ 이면, 치환 $x=t+c/b$ 를 통해 1차항 및 상수항이 0인 삼차 방정식 $at^3+bt^2=0$ 을 얻으며, 그 풀이는 자명하다.

따라서 삼차 방정식의 풀이는 압축 삼차 방정식의 풀이로 귀결된다. 카르다노의 방법은 삼차 방정식의 풀이를 압축 삼차 방정식의 풀이로 귀결시킨다. 라그랑주 분해식을 통한 풀이에서 압축은 필수적이지 않으나, 계산을 단순하게 만든다. 표수 3에서 압축은 계산을 단순화하는 데 큰 도움이 되지 않는다.

체 $K$ 계수의 3차 다항식
: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in K[x]$
의 근이 $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ 일 때, $f(x)$ 는 세 근에 대응하는 1차 다항식들로 인수 분해되며, 이를 전개하면 다음과 같다.
: $\begin{align}f(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\&=a(x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)x-\alpha\beta\gamma)\end{align}$
이를 원래 계수들과 비교하면 근과 계수 사이의 관계를 얻는다.
: $\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba$
: $\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac ca$
: $\alpha\beta\gamma=-\frac da$
이는 삼차 방정식에 대한 비에트 정리이다. 좌변은 세 근에 대한 기본 대칭 다항식이다. 모든 대칭 다항식은 기본 대칭 다항식들로 표현 가능하므로, 세 근에 대한 임의의 대칭 다항식은 $b/a$ , $c/a$ , $d/a$ 에 대한 다항식으로 나타낼 수 있다.

압축 다항식
: $f(x)=x^3+px+q$
의 경우, 다음과 같다.
: $\alpha+\beta+\gamma=0$
: $\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=p$
: $\alpha\beta\gamma=-q$
: $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-3q$
: $(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\alpha\gamma^2)+(\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\alpha^2\gamma)=3q$
: $\alpha^3\beta^3+\beta^3\gamma^3+\alpha^3\gamma^3=p^3+3q^2$
: $(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\alpha\gamma^2)(\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\alpha^2\gamma)=p^3+9q^2$

$\operatorname{char}K$ 가 2나 3이 아닐 때, 임의의 $K$ 계수 삼차 방정식
: $ax^3+bx^2+cx+d=0$
: $a,b,c,d\in K$
: $a\ne0$
의 근은 다음과 같다. 이를 카르다노 공식이라고 한다.
: $\alpha=-\frac b{3a}+\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$
: $\beta=-\frac b{3a}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\omega\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$
: $\gamma=-\frac b{3a}+\omega\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\omega^2\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$

여기서
* $p=(3ac-b^2)/3a^2$ 은 압축 삼차 방정식의 1차항 계수이다.
* $q=(2b^3-9abc+27a^2d)/27a^3$ 은 압축 삼차 방정식의 상수항이다.
* $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ 는 1의 원시 세제곱근이다. $\operatorname{char}K\nmid3$ 이므로, 1의 원시 세제곱근이 존재한다. $\omega$ 대신 $\omega^2$ 을 사용하면 $\beta$ 와 $\gamma$ 의 자리가 바뀐다.
* $\sqrt r$ 는 $r$ 의 제곱근이다. 카르다노 공식에 등장하는 제곱근 $\sqrt r$ 를 $-\sqrt r$ 로 대체하면 $\beta$ 와 $\gamma$ 의 자리가 바뀐다.
* $\sqrt[3]r$ 는 $r$ 의 세제곱근이다. 카르다노 공식에 등장하는 두 세제곱근은 곱이 $-p/3$ 가 되도록 고른다.

이 증명은 스키피오네 델페로와 니콜로 폰타나 타르탈리아의 아이디어이며, 지롤라모 카르다노가 1545년 저서 《위대한 예술》(Ars Magna^라틴어)에 처음 출판하였다. $\operatorname{char}K\ne3$ 이므로, 압축 삼차 방정식
: $y^3+py+q=0$
을 풀면 충분하다. 항등식
: $(u+v)^3-3uv(u+v)-(u^3+v^3)=0$
을 생각하자. 만약 $u$ 와 $v$ 가
: $p=-3uv$
: $q=-(u^3+v^3)$
를 만족한다면, $u+v$ 는 $y^3+py+q=0$ 의 근이다. 첫째 등식을 만족하려면
: $-\frac{p^3}{27}=u^3v^3$
이어야 한다. 둘째 등식과 이 등식에 따라, $u^3$ 와 $v^3$ 는 이차 방정식
: $y^2+qy-\frac{p^3}{27}=0$
의 두 근이다. $\operatorname{char}K\ne2$ 이므로, 두 근은 이차 방정식의 근의 공식을 사용하여 나타낼 수 있다.
: $u^3=-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}$
: $v^3=-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}$
$u$ 와 $v$ 는 $u^3$ 와 $v^3$ 의 세제곱근이다. 모든 세제곱근이 $p=-3uv$ 를 만족하는 것은 아니다. 세제곱근
: $u=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$
: $v=\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$
을 $u$ 와 $v$ 의 곱이 $-p/3$ 이 되도록 고른다. 그러면
: $u+v=\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}$
은 $y^3+py+q=0$ 의 근이다.

하나의 근을 구하면 나머지 근들은 이차 방정식 $(y^3+py+q)/(y-(u+v))=0$ 을 풀어 얻을 수 있다.

이 증명은 조제프루이 라그랑주가 1771년 논문 《방정식의 대수적 풀이에 대한 고찰》(Réflexions sur la résolution algébrique des équations^프랑스어)에서 도입한 방법을 사용한다. 이 방법은 사차 방정식에도 유효하다. 표수가 3이 아니므로, 압축 삼차 방정식
: $y^3+py+q=0$
을 생각하면 충분하다. $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ 가 $y^3+py+q=0$ 의 근이라고 하자. 라그랑주 분해식
: $\theta_1=\alpha+\omega\beta+\omega^2\gamma$
: $\theta_2=\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma$
들을 생각하자.

: $\theta_1^3=-\frac{27}2q+\frac32\sqrt{-3D}$
: $\theta_2^3=-\frac{27}2q-\frac32\sqrt{-3D}$
이다. 세제곱근
: $\theta_1=\sqrt[3]{-\frac{27}2q+\frac32\sqrt{-3D}}$
: $\theta_2=\sqrt[3]{-\frac{27}2q-\frac32\sqrt{-3D}}$
를 고르자. 이들은 곱에 대한 제약 조건
: $\theta_1\theta_2=-3p$
을 만족시켜야 한다.

$1+\omega+\omega^2=0$ 이므로,
: $\alpha=\frac{\theta_1+\theta_2}3$
: $\beta=\frac{\omega^2\theta_1+\omega\theta_2}3$
: $\gamma=\frac{\omega\theta_1+\omega^2\theta_2}3$
이다. 여기에 $\theta_1$ 및 $\theta_2$ 와 판별식 $D=-4p^3-27q^2$ 을 대입하면 원하는 공식을 얻는다. 일반적인 삼차 방정식의 경우, 치른하우스 변형을 되돌려 각 근에 $-b/3a$ 를 더한다.

표수 2에서, 카르다노 공식은 유효하지 않다. 예를 들어, 카르다노 공식에는 1/2이 등장하는데, 표수 2에서는 $2=0$ 이므로 1/2이 정의되지 않는다. 체 $K$ 가 주어졌으며, $\operatorname{char}K=2$ 라고 하자. 임의의 $K$ 계수 삼차 방정식
: $ax^3+bx^2+cx+d=0$
: $a,b,c,d\in K$
: $a\ne0$
의 근의 중복집합 $\{\alpha,\beta,\gamma\}$ 는 다음과 같다.
* 만약 $bc+ad\ne0$ 이라면,
*: $\alpha=b/a+\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)}+\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)+q}$
*: $\beta=b/a+\omega^2\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)}+\omega\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)+q}$
*: $\gamma=b/a+\omega\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)}+\omega^2\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)+q}$
* 만약 $bc+ad=0$ 이라면,
*: $\alpha=b/a$
*: $\beta=\gamma=b/a+\sqrt p$
여기서
* $p=(b^2+ac)/a^2$
* $q=(bc+ad)/a^2$
* $\omega=\wp_2^{-1}(1)$ 은 1의 원시 세제곱근이다.
* $\wp_2^{-1}(p^3/q^2)$ 는 2차 다항식 $x^2+x+p^3/q^2\in K[x]$ 의 근이다.
* 세제곱근 $\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)}$ 과 $\sqrt[3]{q\wp_2^{-1}(p^3/q^2)+q}$ 는 곱이 $p$ 가 되도록 고른다.
* $\sqrt p$ 는 완전 비분해 다항식 $x^2+p\in K[x]$ 의 근이다.

카르다노 공식은 표수 3에서도 참이 아니다. 체 $K$ 가 주어졌으며, $\operatorname{char}K=3$ 이라고 하자. 임의의 삼차 방정식
: $ax^3+bx^2+cx+d=0$
: $a,b,c,d\in K$
: $a\ne0$
의 근은 다음과 같다.
* 만약 $b\ne0$ 이라면,
*: $\alpha=\frac ba\left(\wp_3^{-1}\left(\frac a{b^3}\sqrt{b^2c^2-b^3d-ac^3}\right)\right)^2+\frac{ac-b^2}{ab}$
*: $\beta=\frac ba\left(\wp_3^{-1}\left(\frac a{b^3}\sqrt{b^2c^2-b^3d-ac^3}\right)+1\right)^2+\frac{ac-b^2}{ab}$
*: $\gamma=\frac ba\left(\wp_3^{-1}\left(\frac a{b^3}\sqrt{b^2c^2-b^3d-ac^3}\right)+2\right)^2+\frac{ac-b^2}{ab}$
* 만약 $b=0$ , $c\ne0$ 이라면,
*: $\alpha=\sqrt{-\frac ca}\wp_3^{-1}\left(\frac dc\sqrt{-\frac ac}\right)$
*: $\beta=\sqrt{-\frac ca}\wp_3^{-1}\left(\frac dc\sqrt{-\frac ac}\right)+\sqrt{-\frac ca}$
*: $\gamma=\sqrt{-\frac ca}\wp_3^{-1}\left(\frac dc\sqrt{-\frac ac}\right)+2\sqrt{-\frac ca}$
* 만약 $b=c=0$ 이라면,
*: $\alpha=\beta=\gamma=-\sqrt[3]{\frac da}$
여기서
* $\sqrt r$ 은 $r$ 의 제곱근이다.
* $\wp_3^{-1}(r)$ 은 3차 다항식 $x^3-x-r=0$ 의 근이다.
* $-\sqrt[3]{d/a}$ 는 완전 비분해 다항식 $x^3+d/a=0$ 의 근이다.

$K=\mathbb Q$ 가 유리수체일 때, 카르다노 공식이 성립한다. 임의의 유리수 계수 3차 다항식
: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in\mathbb Q[x]$
의 근 $\alpha_0$ , $\alpha_1$ , $\alpha_2$ 에 대한 카르다노 공식을 판별식
: $\begin{align}D(f)&=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\\&=a^4(-4p^3-27q^2)\end{align}$
을 사용하여 적으면 다음과 같다 ( $i=0,1,2$ ).
: $\alpha_i=-\frac b{3a}+\frac{\omega^{3-i}}3\sqrt[3]{-\frac{27}2q+\frac3{2a}\sqrt{-3D(f)}}+\frac{\omega^i}3\sqrt[3]{-\frac{27}2q-\frac3{2a}\sqrt{-3D(f)}}$

$D(f)>0$ 이면, $f$ 는 서로 다른 세 실근을 갖지만, 카르다노 공식은 이를 허수의 세제곱근을 사용하여 나타낸다. 만약 $f$ 가 $\mathbb Q[x]$ 의 기약 다항식이 아니라면, $f$ 는 하나 이상의 유리근을 가지며, 모든 근은 실수의 제곱근만을 사용하여 나타낼 수 있다. 만약 $f$ 가 $\mathbb Q[x]$ 의 기약 다항식이라면, 허수의 거듭제곱근은 불가피하다. 즉, $f$ 의 근들은 실수이지만, 실수의 거듭제곱근만을 사용하여 나타낼 수 없다. 이를 환원 불능의 경우(casus irreducibilis^라틴어)라고 한다.

환원 불능의 경우는 갈루아 이론을 사용하여 보일 수 있다.

5. 삼각함수 및 쌍곡선 함수를 이용한 풀이

{{lang는 삼각함수의 삼배각 공식을 이용해 삼차 방정식의 해를 구하는 방법을 제시했다. 삼각함수의 삼배각 공식은 다음과 같다.

:

이 공식을 변형하면 다음과 같다.

:
:

위 식과 삼차 방정식

:

의 형태를 비교하면, , 로 두고 다음 식을 얻을 수 있다.

: … (1)

여기서 즉, 라고 하면,

: $\cos 3 \alpha = \frac{b}{2a}$ … (2)
: $\alpha = \frac{1}{3} \arccos \frac{b}{2a}$
:

따라서 삼차 방정식의 해는 다음과 같다.

:

이 해를 비에트의 해라고 한다.

이 삼차 방정식이 서로 다른 3개의 실수해를 가질 때, 식 (1)의 판별식은 다음과 같다.

:
:

따라서

:

이므로 식 (2)는 즉, 범위에서 한 개의 해를 갖는다. 이 해를 이라 하면, 다른 해는 , 로 나타낼 수 있으며, 이에 대응하여 3개의 실수해가 정해진다.

이 방법은 실수 계산만으로 해를 얻을 수 있지만, 역삼각함수나 삼각함수의 계산을 포함하므로 엄밀한 값을 얻는 것은 매우 어렵다.

삼차 방정식 가 서로 다른 3개의 실수해를 가지면, 이고 $|x| < 2\sqrt{\frac{p}{3}}$ 이다.

하나의 실근만 있는 경우() 이 근은 쌍곡선 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $t_0 = -2\frac$

👆

좌우로 밀어서 보기

{q}\sqrt{-\frac{p}{3}}\cosh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arcosh}\left(\frac{-3|q|}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)\right] \qquad \text{if } ~ 4 p^3 + 27 q^2 > 0 ~\text{ and }~ p < 0,
:

t_0 = -2\sqrt{\frac{p}{3}}\sinh\left[\frac{1}{3}\operatorname{arsinh}\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{3}{p}}\right)\right] \qquad \text{if } ~ p > 0.

이고, 오른쪽에 있는 부등식이 충족되지 않는 경우 (세 개의 실근의 경우), 공식은 유효하지만 복소수를 포함한다.

인 경우, 위의 값은 때때로 체비셰프 세제곱근이라고 한다. 더 정확하게 말하면, 코사인 및 쌍곡선 코사인을 포함하는 값은 일 때, 적절한 체비셰프 세제곱근인 로 표시되는 동일한 해석 함수를 정의한다. 쌍곡선 사인을 포함하는 값은 일 때 유사하게 로 표시된다.

6. 기하학적 풀이

오마르 하이얌의 삼차 방정식 기하학적 해법, , 의 경우, 근 를 제공한다. 원의 중심에 있는 축의 수직선과의 교차점은 예시의 우연의 일치이다.

일 때 삼차 방정식 을 풀기 위해 오마르 하이얌(Omar Khayyám)은 포물선 , 양의 축에서 선분 을 지름으로 하는 원, 그리고 원과 포물선이 축 위에서 만나는 점을 지나는 수직선을 그렸다. 해는 원점에서 수직선과 축의 교차점까지의 수평선분 길이로 주어진다.

간단한 현대적 증명은 다음과 같다. 방정식에 를 곱하고 항을 재배열하면

\frac{x^4}{m^2}= x\left(\frac{n}{m^2}-x\right).

좌변은 포물선에서 의 값이다. 원의 방정식은 이므로, 우변은 원에서 의 값이다.

실계수를 갖는 삼차 방정식은 세 개의 실근을 가질 때에만 컴퍼스와 자와 각 삼등분선을 사용하여 기하학적으로 풀 수 있다. 이는 고대 그리스 수학자들이 제시한 각의 삼등분선 및 정육면체 배가와 같은 오래된 문제들이 컴퍼스와 자 작도로 풀 수 없는 이유이다.

--
xy 평면상의 두 포물선을 나타내는 식
:

x^2\, = py (p > 0)

y^2\, = qx (q > 0)

에서 y를 소거하면,
:

x^4\, = p^2\, qx

가 되며, 이 두 포물선의 교점의 x 좌표는
:

x = 0, \sqrt[3]{p^2 q}

가 된다. 이 아닌 쪽의 교점의 위치에 따라
:

x^3\, = p^2\,q

라는 형태의 삼차 방정식의 해를 얻게 된다. 특히 로 놓으면, 입방체 배적 문제와 동치인 삼차 방정식
:

x^3\, = 2 p^3\,

의 실수 해를 선분의 길이로서 얻게 된다.

--
포물선과 원을 나타내는 식
:

x^2\, = p y (p > 0)

x^2\, + y^2\, = q x (q > 0)

에서 y를 소거하면
:

p^2\, x^2\, + x^4\, =p^2\, q x

이며, 이외의 교점을 구하는 것은
:

x^3\, + p^2\, x =p^2\, q

라는 삼차 방정식의 실수 해를 구하는 것과 같다.

일반적으로,
: a x + a x + a x + a = 0 (a ≠ 0)
라는 삼차 방정식은
:

x^2\, = py (p > 0)

: a p y + a p x y + a x + a x = 0 (a ≠ 0)
와 같이, 포물선과 또 하나의 원뿔 곡선의 조합으로도 쓸 수 있고
:

x^2\, = py

(a_{3} x + a_{2}) py + a_{1} x + a_{0} = 0

처럼, 포물선과 쌍곡선의 교점으로도 나타낼 수 있다.

7. 근의 기하학적 해석

삼차 방정식의 세 실근은 정삼각형의 꼭짓점을 x축에 투영한 점으로 표현될 수 있다. 하나의 실근과 두 복소근을 갖는 경우, 이들은 복소 평면에서 이등변삼각형의 꼭짓점으로 표현될 수 있으며, 삼차함수 도함수의 근은 슈타이너 내접 타원의 초점과 관련된다.

세 실근을 갖는 경우에 대한 근의 비에트 삼각 표현은 원에 대한 기하학적 해석으로 이어진다. 삼차 방정식이 압축된 형태, 즉 $t^3 + pt + q = 0$ 으로 쓰여질 때, 해는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $t_k=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)-k\frac{2\pi}{3}\right) \quad \text{for} \quad k=0,1,2 \,.$

여기서 $\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{\frac{-3}{p}}\right)$ 는 단위 원의 각도이다. 이 각도의 1/3을 취하는 것은 복소수의 세제곱근을 취하는 것에 해당한다. $-k\frac{2\pi}{3}$ 를 $k=1, 2$ 에 대해 더하면 다른 세제곱근을 얻는다. 그리고 이 결과 각도의 코사인에 $2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ 를 곱하면 스케일이 수정된다.

세 실근을 갖는 삼차 방정식의 경우, 근은 정삼각형의 꼭짓점 A, B, C를 x축에 투영한 것이다. 삼각형의 중심은 변곡점과 동일한 x좌표를 갖는다.

일반적인 삼차 방정식(첨부된 그래프)의 경우, 압축된 형태는

x = t - \frac{b}{3a}

(즉,

t = x + \frac{b}{3a}

)로 정의하여 얻을 수 있다. 그래프적으로 이는 변수

t

와

x

사이를 변경할 때 그래프를 수평으로 이동하는 것에 해당하며, 각도 관계는 변하지 않는다. 이 이동은 변곡점과 원의 중심을 y축으로 이동시킨다. 결과적으로,

t

에 대한 방정식의 근의 합은 0이다.

카르테시안 좌표계에서 삼차 함수의 그래프를 그릴 때, 실근이 하나만 존재하면, 그 실근은 곡선의 수평 절편(그림에서 점 R)의 x좌표([가로 좌표]])이다. 복소 켤레근을

g \pm hi

로 나타낼 때, 실수부

g

는 삼차 방정식의 x절편 R을 지나는 접선의 접점 H의 가로 좌표이다(그림에서 음수인 길이 OM). 허수부

\pm h

는 이 접선과 수평축 사이 각도의 탄젠트의 제곱근이다.

하나의 실근과 두 복소근을 갖는 경우, 세 근과 도함수의 두 근은 복소 평면 상의 점으로 표현될 수 있으며, 이들 사이에는 흥미로운 기하학적 관계가 존재한다.

세 근을 나타내는 점들은 이등변삼각형의 꼭짓점을 이룬다. 한 근은 실수 축 위에 있고, 다른 두 근은 복소 켤레근이므로 실수 축 위와 아래에 대칭적으로 위치하기 때문이다. 마든의 정리에 따르면, 삼차 함수 도함수의 근은 이 삼각형 변의 중점에서 삼각형에 접하는 유일한 타원인 슈타이너 내접 타원의 초점이다. 실수 축 위 꼭짓점의 각도가

\frac{\pi}{3}

보다 작으면 타원의 장축은 실수 축 위에 놓이고, 초점과 도함수의 근도 마찬가지이다. 각도가

\frac{\pi}{3}

보다 크면 장축은 수직이고, 초점인 도함수의 근은 복소 켤레이다. 각도가

\frac{\pi}{3}

이면 삼각형은 정삼각형이 되고, 슈타이너 내접 타원은 삼각형의 내접원이 되며, 초점은 내심과 일치하고, 내심은 실수 축 위에 있으므로 도함수는 중복된 실근을 갖는다.

8. 역사

고대 바빌로니아에서는 수표를 이용하여 삼차 방정식의 근삿값을 구하였다. 고대 바빌로니아의 점토판(기원전 20세기~16세기)에는 세제곱과 세제곱근을 계산하는 표가 발견되었다.

고대 그리스에서는 입방 배적 문제를 해결하기 위해 삼차 방정식을 연구했다. 키오스의 히포크라테스는 이 문제를 두 수의 비율 관계를 이용해 표현했다. 메나이크모스는 원뿔 곡선을 이용하여 입방 배적 문제를 기하학적으로 해결하였다. 이는 삼차 방정식의 기하학적 해법 중 하나로 여겨진다. 그러나 원뿔 곡선은 자와 컴퍼스 작도로는 해결할 수 없다는 문제가 있었다.

셀주크 제국 시대 페르시아의 오마르 하이얌은 원뿔 곡선을 이용하여 다양한 형태의 삼차 방정식의 해를 연구했다. 그는 삼차 방정식이 둘 이상의 해를 가질 수 있으며, 자와 컴퍼스 작도를 사용하여 풀 수 없다는 것을 밝혔다.

16세기에 이르러 볼로냐 대학교의 시피오네 델 페로가 최초로 삼차 방정식의 대수적 해법을 발견하였다. 델 페로는 다음과 같은 형태의 방정식을 풀었다.
:math>x^3 + a_1 x = a_0 (math>a_1 및 math>a_0는 양수)
당시에는 음수를 잘 사용하지 않았기 때문에 계수를 양수로 한정했다.

델 페로는 자신의 해법을 공개하지 않고 1526년에 사망했는데, 제자 중 한 명인 안토니오 마리아 피올은 이 방법을 이용해 계산 시합에서 승리했다. 타르탈리아는 독자적인 방법으로 다음과 같은 형태의 삼차 방정식을 푸는 데 성공하고, 델 페로의 해법에도 도달했다.
:math>x^3 + a_2 x^2 = a_0 (math>a_2 및 math>a_0는 양수)
피오레는 타르탈리아에게 계산 시합을 신청했지만 패배했다.

카르다노는 타르탈리아에게 삼차 방정식의 해법을 알려달라고 부탁하여 알아냈다. 이후 카르다노는 제자 루도비코 페라리가 발견한 사차 방정식의 해법과 함께 삼차 방정식의 해법을 1545년에 출판한 『아르스 마그나』에서 공표했다. 이 때문에 삼차 방정식의 해법은 카르다노의 방법이라고도 불린다.

19세기에는 아벨-루피니 정리에 의해 5차 이상의 일반적인 대수 방정식은 대수적으로 풀 수 없음이 증명되었고, 갈루아 이론이 발전되었다. 코시와 가우스는 복소수를 연구하여, 환원 불능의 경우를 해결하였다.

9. 응용

삼차 방정식은 다양한 분야에서 응용된다.

* 기하학:
* 각의 삼등분과 정육면체 배가 문제는 삼차 방정식을 푸는 것과 같기 때문에 자와 컴퍼스 작도로는 풀 수 없다.
* 마든의 정리는 삼각형의 세 꼭짓점을 근으로 하는 삼차 함수를 이용하여 슈타이너 내접 타원의 초점을 찾을 수 있다고 설명한다.
* 정칠각형의 넓이는 삼차 방정식의 근으로 표현할 수 있다.
* 삼각법: 주어진 각도의 코사인 값을 알 때, 그 각도의 3분의 1에 해당하는 각도의 코사인은 삼차 방정식의 근이 된다.
* 사차 방정식: 일반적인 사차 방정식의 해는 분해 삼차 방정식의 해를 통해 구할 수 있다.
* 행렬: 3×3 행렬의 고윳값은 삼차 특성 다항식의 근이다.
* 미분 방정식: 3차 상수 계수 또는 코시-오일러 선형 미분 방정식의 특성 방정식은 삼차 방정식이다.
* 베지어 곡선: 삼차 베지어 곡선과 직선의 교점은 삼차 방정식을 통해 계산할 수 있다.
* 해석 화학: 완충 용액의 pH를 계산하는 샤를로 방정식은 삼차 방정식을 이용하여 풀 수 있다.
* 열역학: 반 데르 발스 상태 방정식과 같은 상태 방정식은 부피에 대한 삼차 방정식이다.
* 운동학: 선형 가속도율을 포함하는 운동학적 방정식은 삼차 방정식이다.
* 지진학: 레일리파의 속도는 레일리파 삼차 방정식의 해이다.
* 케플러의 세 번째 법칙은 장반경에 대한 삼차 방정식이다.

차수	3차
변수	한 개의 변수
일반 형식	ax^3 + bx^2 + c*x + d = 0 (여기서 a ≠ 0)
해법	카르다노의 방법 근의 공식 수치 해석

종류

대수 방정식	삼차 방정식

방정식
함수
이차 방정식
사차 방정식
오차 방정식
갈루아 이론