분수체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성
3. 성질
4. 예시
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

분수체는 정역 R로부터 구성되는 체로, R의 원소 a, b (b ≠ 0)를 사용하여 a/b 꼴로 나타낼 수 있다. 분수체는 정역의 일반적인 국소화보다 간단하게 구성되며, 정수환의 분수체는 유리수체, 다항식환의 분수체는 유리 함수체와 같이 특정 환에 대한 분수체는 널리 알려져 있다. 분수체는 대수기하학에서 스킴의 유리 함수층을 정의하는 데 사용되며, 컨볼루션 링의 분수체는 연산자 공간을 생성하여 라플라스 변환을 대체하는 표현을 제공하는 등 다양한 분야에 응용된다. 분수체 개념은 1927년 하인리히 그렐에 의해 도입되었고, 오레 조건과 골디 정리를 통해 분수체의 성질을 파악할 수 있다.

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분수체
정의
설명	정역 R의 원소로 이루어진 분수를 통해 구성된 체.
참고	R이 정수환일 경우, 분수체는 유리수체 Q가 됨.
구성
조건	R이 정역일 때만 구성 가능.
원소	R의 원소 a, b (단, b는 0이 아님)에 대해 a/b 형태의 분수로 표현.
연산	덧셈과 곱셈 연산이 체의 공리를 만족하도록 정의됨.
성질
임베딩	R은 분수체 K에 단사적으로 임베딩됨.
유일성	R을 부분환으로 포함하는 가장 작은 체임.
보편 성질	R에서 체 L로의 모든 단사 환 준동형은 K에서 L로의 유일한 체 준동형으로 확장됨.
예시
정수환	정수환 Z의 분수체는 유리수체 Q임.
다항식환	체 F에 대한 다항식환 F[x]의 분수체는 유리 함수체 F(x)임.
관련 개념
국소화	보다 일반적인 환에서 분수체를 구성하는 방법.
전체 분수환	정역이 아닌 환에서도 유사한 구성을 할 수 있음.

2. 정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$ 에 대하여, 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합 $S$ 를 정의한다. $(R, S)$ 가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족하면, $R$ 의 '''전분수환'''(total ring of fractions) $\operatorname{Frac}(R)$ 는 국소화 $S^{-1}R$ 이다. 이 경우, 오레 조건에 의해 단사 함수인 환 준동형 $R\to\operatorname{Frac}R$ 이 존재하며, $R$ 는 전분수환의 부분환을 이룬다.

$R$ 가 가환환이면 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, $R$ 가 (가환) 정역일 경우, 전분수환은 체를 이루며, 이를 $R$ 의 '''분수체'''라고 한다.

정역 $R$ 에 대해, $R^* = R \setminus \{0\}$ 로 정의하고, $R \times R^*$ 에서 $(n,d) \sim (m,b)$ ( $nb = md$ 일 때) 동치 관계를 정의한다. 이때 $(n,d)$ 의 동치류는 $\frac{n}{d}$ 로 나타낸다. 분수체는 집합 $\text{Frac}(R) = (R \times R^*)/\sim$ 이며, 덧셈은 $\frac{n}{d} + \frac{m}{b} = \frac{nb+md}{db}$ , 곱셈은 $\frac{n}{d} \cdot \frac{m}{b} = \frac{nm}{db}$ 와 같이 정의된다. $n,d \neq 0$ 일 때 $\frac{n}{d}$ 의 곱셈 역원은 $\frac{d}{n}$ 이다.^[1]

2. 1. 구성

정역

R

의 분수체는 다음과 같이 구성할 수 있다.

R

의 원소

a

와

b

(

b\ne0

)로 이루어진 순서쌍

(a,b)

에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의한다.

:

(a,b)\sim(ar,br)\forall r\in R\setminus\{0\}

이 순서쌍의 동치류를

a/b

라고 쓴다.

(n,d)

의 동치류는

\frac{n}{d}

로 나타낸다. 이러한 동치의 개념은 정수들의 밑을 이루는 환

\Z

에 관해 동일한 속성을 갖는 유리수

\Q

에 의해 동기 부여되었다.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다.

:

\frac ab\frac cd=\frac{ac}{bd}

:

\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd}

이는 분수체

\operatorname{Frac}R

이며, 표준적인 단사 환 준동형

:

R\to\operatorname{Frac}R

:

r\mapsto\frac r1

이 존재한다.

R

에서

\operatorname{Frac}(R)

로의 임베딩은

R

의 각

n

을 0이 아닌 모든

e\in R

에 대해 분수

\frac{en}{e}

로 매핑한다(동치류는

e

의 선택과 무관하다). 이것은 항등식

\frac{n}{1}=n

을 모델로 한다.

R

의 분수체는 다음의 보편 성질로 특징지어진다.

: 만약

h: R \to F

가

R

에서 체

F

로의 단사 환 준동형사상이면,

h

를 확장하는 고유한 환 준동형사상

g: \operatorname{Frac}(R) \to F

가 존재한다.

정역의 역할에는 곱셈 항등원이 필요하지 않다. 이 구성은 0이 아닌 모든 가환환

R

에 대해 적용될 수 있으며, 여기서 0이 아닌 영인자가 없다. 임베딩은 0이 아닌 모든

s\in R

에 대해

r\mapsto\frac{rs}{s}

로 주어진다.^[1]

3. 성질

충분조건	전분수환의 성질	비고
오른쪽 뇌터 반소환	반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형)	골디 정리^[9]
왼쪽 뇌터 반소환	반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형)	골디 정리^[9]
오른쪽 뇌터 소환	나눗셈환 위의 행렬환과 동형	골디 정리^[9]
왼쪽 뇌터 소환	나눗셈환 위의 행렬환과 동형	골디 정리^[9]
가환 뇌터 축소환	가환 반단순환 (즉, 유한 개의 체들의 직접곱과 동형)	^[8]
오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역	나눗셈환
왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역	나눗셈환
정역	체

'''골디 정리'''(Goldie’s theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.^[9]

오른쪽 뇌터 반소환 $R$ 는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, $\operatorname{Frac}(R)$ 는 반단순환이다.
* 특히, 만약 $R$ 가 오른쪽 뇌터 소환이라면 $\operatorname{Frac}(R)$ 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.
왼쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, $\operatorname{Frac}(R)$ 는 반단순환이다.
* 특히, 만약 $R$ 가 왼쪽 뇌터 소환이라면 $\operatorname{Frac}(R)$ 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

골디 정리에서, 만약

R

가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약

R

가 가환 뇌터 축소환인 경우,

\operatorname{Frac}R

는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로,

R

의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을

\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n

이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

:

\operatorname{Frac}(R)\cong\prod_{i=1}^n\operatorname{Frac}(R/\mathfrak p_i)

이다. 우변에서

R/\mathfrak p_i

는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다.

만약

R

가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면,

\operatorname{Frac}(R)

는 항상 나눗셈환이며,

R

는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약

R

가 정역이라면 물론

\operatorname{Frac}(R)

는 체이다.

4. 예시

Gaussian integer|가우스 정수^영어 링 $R:=\{a+b\mathrm{i} \mid a,b \in \mathbb{Z}\}$ 의 분수체 $\operatorname{Frac}(R)=\{c+d\mathrm{i}\mid c,d\in\mathbb{Q}\}$ 는 가우스 유리수의 체이다.

체의 분수체는 자연스럽게 체 자체와 동형이다.

체 $K$ 가 주어지면, 한 변수 $K[X]$ 의 다항식 링 (이는 정역이다)의 분수체를 '''유리 함수체''', ''유리 분수체'', 또는 ''유리식체''라고 하며^[2]^[3]^[4]^[5], $K(X)$ 로 표기한다.

정수 환 '''Z'''에 대한 분수체 Frac('''Z''')는 유리수 체 '''Q'''이다.

가우스 정수 환 ''R'' := {''a'' + ''bi'' | ''a'',''b'' ∈ '''Z'''}에 대한 분수체 Quot(''R'')는 가우스 유리수 전체 {''c'' + ''di'' | ''c'',''d'' ∈ '''Q'''}이다.

체(자신을 정역으로 볼 때)의 분수체는, 동형의 차이를 제외하고 원래의 체 자신이다.

주어진 체 ''K'' 상의 일변수 다항식 환 ''K''[''X'']는 정역이며, 그 분수체는 일변수 유리 함수 체라고 불리며 ''K''(''X'')로 표기된다.

일반적으로, 주어진 체 ''K'' 상의 다변수 다항식 환 ''K''[''X''₁, ..., ''X''_''n'']은 정역이며, 그 분수체는 다변수 유리 함수 체 ''K''(''X''₁, ..., ''X''_''n'')이다.

마찬가지로, 주어진 체 ''K'' 상의 일변수 형식적 멱급수 환 ''K''[[''X'']]도 정역이며, 그 분수체는 일변수 형식적 로랑 급수 체 또는 형식적 멱급수 체라고 불리며 ''K''((''X''))로 표기된다.

정수 링의 분수체는 유리수의 체이다: $\mathbb{Q} = \operatorname{Frac}(\mathbb{Z})$ .^[2]

5. 응용

대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

정수 링의 분수체는 유리수의 체이다.
R^영어:={a^영어+b^영어i^영어|a^영어,b^영어∈Z^영어}를 가우스 정수 링이라고 하자. 그러면 분수체(R)={c^영어+d^영어i^영어|c^영어,d^영어∈Q^영어}는 가우스 유리수의 체이다.
체의 분수체는 자연스럽게 체 자체와 동형이다.
체 K^영어가 주어지면, 한 변수 K^영어[X^영어]의 다항식 링(이는 정역이다)의 분수체를 ''유리 함수체'', ''유리 분수체'', 또는 ''유리식체''라고 하며^[2]^[3]^[4]^[5], K^영어(X^영어)로 표기한다.
반직선 함수의 컨볼루션 링의 분수체는 연산자 공간을 생성하며, 여기에는 디랙 델타 함수, 미분 연산자, 적분 연산자가 포함된다. 이 구성을 통해 적분 변환에 명시적으로 의존하지 않는 라플라스 변환의 대체 표현을 얻을 수 있다.^[6]

6. 역사

1927년에 하인리히 그렐(1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.^[10]^[9]^[11]

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.^[12] 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환을 도입하였다.^[13]^[14] (\[\[람짓윈]]은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.^[12])

앨프리드 윌리엄 골디(1920~2005)가 골디 정리를 도입하였다.^[15]^[16]^[9]

참조

_[1] 서적 Algebra Springer 1980
_[2] 서적 A course in algebra https://books.google[...] American Mathematical Society
_[3] 서적 Fundamental structures of algebra and discrete mathematics https://archive.org/[...] Wiley
_[4] 서적 Abstract algebra Springer
_[5] 서적 Intermediate Algebra 2e https://openstax.org[...] OpenStax 2020-05-06
_[6] 서적 Operational Calculus https://books.google[...] Elsevier 2014-07-14
_[7] 문서 Rings, Modules, and Linear Algebra 1970
_[8] 서적
_[9] 저널
_[10] 저널
_[11] 서적
_[12] 서적 Lectures on modules and rings Springer
_[13] 저널
_[14] 저널
_[15] 저널 The structure of prime rings under ascending chain conditions
_[16] 저널 Semi-prime rings with maximal conditions

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