유수 (복소해석학)

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1. 개요
2. 유수의 정의
3. 유수 계산
4. 유수 정리
5. 유수 정리의 응용
참조

1. 개요

유수(residue)는 복소함수 f(z)가 고립 특이점 z=a에서 정의될 때, z=a에서의 적분값을 나타내는 값이다. 유수는 로랑 급수 전개에서 (z-a)^-1 항의 계수와 같으며, 제거 가능 특이점에서는 0의 값을 갖는다. 유수는 유수 정리, 편각의 원리, 실수 함수의 적분, 바젤 문제, 라그랑주 역정리 등 다양한 문제 해결에 활용된다.

2. 유수의 정의

고립 특이점 ''z'' = ''a''에서 정의된 복소함수 ''f''(''z'')에 대해, ''z'' = ''a''에서의 유수 $\operatorname{Res}(f,a)$ 또는 $\operatorname{Res}_a(f)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Res}\limits_{z = a}\,f(z) := \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)\mathit{dz}$

여기서 ''i''는 허수 단위이며, 적분 경로 γ는 점 ''z'' = ''a''를 중심으로 하는 충분히 작은 원을 양의 방향으로 회전하는 단순 폐곡선이다. (실제로는 적분 경로는, 가우스 평면에서 잘라낸 유계 영역이 ''z'' = ''a'' 이외에 ''f''(''z'')의 특이점을 포함하지 않으면 어떤 단순 폐곡선이라도 좋다).

로랑 급수 전개를 통해 유수를 계산할 수도 있으며, 이 경우 유수는 로랑 급수의 계수 ''a''₋₁으로 정의된다.^[1]

(''z'' = ''a''가 정칙점인 경우에도 이 적분과 유수를 생각할 수 있지만, 코시 적분 정리에 의해 그 경우 유수의 값은 0이 된다).

3. 유수 계산

주어진 점에서의 유수를 계산하는 방법은 특이점의 종류에 따라 달라진다. 고립특이점의 경우, 다음과 같은 세 가지 경우가 있다.

'''제거가능 특이점''': 유수는 정의에 따라 0이다.
'''극''': $z_0$ 가 위수가 $n$ 인 극이라면, 함수 $g(z)=(z-z_0)^{n}f(z) (z\ne z_0); =b_n (z= z_0)$ 을 이용하여, 유수는 다음 식으로 결정될 수 있다. : $\operatorname{Res}(f,z_0)= \frac{g^{(n-1)}(z)}{(n-1)!}$
'''진성특이점''': 유수는 각각의 경우마다 달리 계산해야 한다.

유수는, 종종

\operatorname{Res}(f,a)

,

\operatorname{Res}_a(f)

,

\mathop{\operatorname{Res}}_{z=a}f(z)

또는

\mathop{\operatorname{res}}_{z=a}f(z)

로 표기된다.

유수 정리에 따르면, 메로모픽 함수

f

에 대해, 점

a_k

에서의 유수는 다음과 같다.

:

\operatorname{Res}(f,a_k) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz \, .

여기서

\gamma

는

a_k

를 둘러싸는 양의 방향의 단순 닫힌 곡선이며, 곡선 안이나 위에 다른 특이점을 포함하지 않는다.

또는, 로랑 급수 전개를 찾아 유수를 계산할 수 있으며, 유수를 로랑 급수의 계수 ''a''₋₁으로 정의할 수 있다.

함수의 일부분 또는 전체를 테일러 급수 또는 로랑 급수로 전개할 수 있다면, 함수가 표준 급수 전개를 가지는 경우일 수 있으며, 다른 방법보다 유수를 계산하는 것이 훨씬 간단해진다. 함수의 유수는 함수의 로랑 급수 전개에서

(z-c)^{-1}

의 계수로 주어진다.

예시로, 다음의 경로 적분을 고려해 보자.

:

\oint_C {e^z \over z^5}\,dz

여기서 ''C''는 0을 둘러싼 어떤 단순 폐곡선이다.

이 적분을 급수를 이용한 적분에 관한 표준 수렴 결과를 사용하여 평가해 보면, 피적분 함수에

e^z

의 테일러 급수를 대입할경우,

:

\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

와 같이 되고,

\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz= {1 \over 4!} \oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.

가 된다.

따라서, 값 1/4!는 ''z'' = 0에서 ''e''^''z''/''z''⁵의 ''유수''이며,

\operatorname{Res}_0 {e^z \over z^5}

,

\operatorname{Res}_{z=0} {e^z \over z^5}

, 또는

\operatorname{Res}(f,0)

(

f={e^z \over z^5}

일 때) 와 같이 표기한다.

3. 1. 제거 가능 특이점

z=a가 f(z)의 제거 가능 특이점이면, 유수는 정의에 따라 0이다. 예를 들어 함수 f(z) = sin z|사인 z^영어 / (z² - z)는 z = 0에서 특이점을 갖는 것처럼 보이지만, 분모를 인수분해하여 f(z) = sin z|사인 z^영어 / (z(z - 1))로 작성하면 z = 0에서의 특이점은 제거 가능한 특이점이므로 z = 0에서의 유수는 0이다.^[1]

3. 2. 단순 극점

''c''가 ''f''의 단순 극점이면, ''f''의 유수는 다음과 같이 주어진다.

:

\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).

만약 그 극한이 존재하지 않는다면, ''f''는 ''c''에서 본질적 특이점을 가진다. 만약 극한이 0이라면, ''f''는 ''c''에서 해석적이거나 제거 가능한 특이점을 가진다. 만약 극한이 무한대와 같다면, 극점의 차수는 1보다 크다.

함수 ''f''가 두 함수

f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}

의 몫으로 표현될 수 있는데, 여기서 ''g''와 ''h''는 ''c''의 근방에서 정칙 함수이며, ''h(c)'' = 0이고 ''h'(c)'' ≠ 0이다. 이러한 경우, 로피탈의 정리를 사용하여 위의 공식을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:

\begin{align}\operatorname{Res}(f,c) & =\lim_{z\to c}(z-c)f(z) = \lim_{z\to c}\frac{z g(z) - cg(z)}{h(z)} \\[4pt]& = \lim_{z\to c}\frac{g(z) + z g'(z) - cg'(z)}{h'(z)} = \frac{g(c)}{h'(c)}.\end{align}

3. 3. 고차 극점

z=a가 f(z)의 n차 극점이면, 유수는 다음 공식으로 계산할 수 있다.

:

\operatorname{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z-c)^n f(z) \right).

이 공식은 낮은 차수의 극점에 대한 유수를 결정하는 데 매우 유용할 수 있다. 고차 극점의 경우 계산이 다루기 어려워질 수 있으며, 일반적으로 급수 전개가 더 쉽다.

고립 특이점 z=a가 f(z)의 n차 극점이라면, (z-a)^n f(z)는 정칙이고, 특히 다음과 같이 테일러 전개된다.

:

(z-a)^n f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k-n}(z-a)^k

따라서,

:

a_{-1} = {1\over (n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{\mathit{dz}^{n-1}}[(z-a)^n f(z)]

로 계산할 수 있다.

3. 4. 진성 특이점

z = a가 f(z)의 진성 특이점이면, 유수는 각각의 경우마다 다르게 계산해야 한다. 함수의 일부분 또는 전체를 테일러 급수 또는 로랑 급수로 전개할 수 있다면, 함수가 표준 급수 전개를 가지는 경우일 수 있으며, 다른 방법보다 유수를 계산하는 것이 훨씬 간단해진다. 함수의 유수는 함수의 로랑 급수 전개에서

(z-c)^{-1}

의 계수로 주어진다.

해석 함수 f(z)는 그 고립 특이점 z = a 주위에서 로랑 전개

:

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-a)^n

를 가진다. 이는 γ를 포함하고 z = a를 중심으로 하는 적당한 환상 영역 위에서 균등 수렴하므로, γ 위에서 항별 적분 가능하고

:

\oint_\gamma f(z){dz} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \oint_\gamma (z-a)^n {dz}

가 되지만, 코시의 적분 정리에 의해 대부분의 항은 사라지고

:

a_{-1} = \operatorname{Res}\limits_{z=a}\,f(z)

가 됨을 알 수 있다. 마찬가지로, 무한원점 z = ∞에서의 유수는, g(ζ) := f(1/ζ)의 ζ에 관한 로랑 전개가

:

g(\zeta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n \zeta^n

로 주어지면,

\operatorname{Res}_{z=\infty}\, -b_{-1}

을 얻는다. 따라서, 로랑 전개가 이미 알려져 있거나 쉽게 계산할 수 있는 함수에 대해서는, 적분을 계산하지 않고 즉시 유수를 구할 수 있다.

3. 5. 무한대에서의 유수

무한대에서의 유수는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{Res}(f(z), \infty) = -\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2} f\left(\frac 1 z \right), 0\right).

다음 조건을 만족하면,

:

\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0,

무한대에서의 유수는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\operatorname{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z).

만약,

:

\lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0,

이면, 무한대에서의 유수는 다음과 같다.

:

\operatorname{Res}(f, \infty) = \lim_

4. 유수 정리

어떤 단순 닫힌 곡선 γ와 이 곡선이 둘러싸는 유계 영역 D를 생각하자. D 위에서 정의된 함수 f(z)가 D 내에 고립 특이점 a₁, a₂, ..., a_n을 가지고, 그 외에는 정칙이면 다음이 성립한다.:

\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i\sum_{i=1}^n \operatorname{Res}\limits_{z=a_i}f(z)

여기서 적분은 γ를 D의 내점으로부터 편각이 양의 방향(영역을 왼쪽에 두는 방향)으로 진행한다. 이를 '''유수 정리'''(residue theorem^영어)라고 부른다.

메로모픽 함수 f에 대해, 점 a_k에서의 유수는 다음과 같다.

:

\operatorname{Res}(f,a_k) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)dz

여기서 γ는 a_k를 둘러싸는 양의 방향의 단순 닫힌 곡선이며, 곡선 안이나 위에 다른 특이점을 포함하지 않는다.

메로모픽 함수 f에 대해, 어떤 특이점을 지나지 않는 양의 방향으로의 단순 닫힌 곡선 C 내에 유한한 특이점 집합을 갖는 경우, 적분 경로의 값은 유수 정리에 따라 다음과 같이 주어진다.

:

\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(C, a_k) \operatorname{Res}(f, a_k)

여기서 I(C, a_k)는 회전수로, a_k가 C의 내부에 있으면 1이고 그렇지 않으면 0이다. 이는 다음과 같이 단순화된다.

:

\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, a_k)

여기서 a_k는 컨투어 C 내의 모든 고립 특이점이다.

5. 유수 정리의 응용

메로모픽 함수 $f$ 에 대해, 어떤 특이점을 지나지 않는 양의 방향으로의 단순 닫힌 곡선 $C$ 내에 유한한 특이점 집합을 갖는 경우, 적분 경로의 값은 유수 정리에 따라 다음과 같이 주어진다.

: $\oint_C f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(C, a_k) \operatorname{Res}(f, a_k).$

여기서 회전수 $\operatorname{I}(C, a_k)$ 는 $a_k$ 가 $C$ 의 내부에 있으면 $1$ 이고 그렇지 않으면 $0$ 이다. 따라서 위 식은 다음과 같이 단순화된다.

: $\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, a_k)$

여기서 $a_k$ 는 컨투어 $C$ 내의 모든 고립 특이점이다.

단순 닫힌 곡선 $\gamma$ 와 $\gamma$ 가 둘러싸는 유계 영역 $D$ 를 생각한다. $D$ 위에서 정의된 함수 $f(z)$ 가 $D$ 내에 고립 특이점 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 을 가지고, 그 외에는 정칙이면 다음이 성립한다.

: $\oint_\gamma f(z){dz} = 2\pi i\sum_{i=1}^n \operatorname{Res}\limits_{z=a_i}\,f(z)$

단, 적분은 $\gamma$ 를 $D$ 의 내점으로부터 편각이 양의 방향(영역을 왼쪽에 두는 방향)으로 진행한다. 이를 '''유수 정리''' (residue theorem)^영어라고 부른다.^[1]

5. 1. 실수 함수의 적분

유수 정리를 사용하면, 다음과 같은 실수 함수의 정적분 값을 계산할 수 있다.

:

\int_{-\infty}^\infty {\frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}}

먼저,

f(x) = \frac{1}{(1 + x^2)^{n + 1}}

을 복소 영역으로 확장한

f(z)

를 생각하면, 이것은

z = \pm i

에 극점을 갖는다. 충분히 큰

R > 0

을 취하고, 구간

[-R, R]

을 지름으로 하는 원점을 중심으로 하는 반원판으로

z = i

를 포함하는 쪽의 둘레를

C_0

라고 하고,

C_0

에서 지름

[-R, R]

을 제외한 부분을

C

라고 한다. 실축 위를 양의 방향으로 진행하는 것으로 하여

C_0

위에서

f(z)

를 적분하면

:

\int_{C_0} \frac{dz}{(1+z^2)^{n+1}} = \int_{-R}^R \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}} + \int_{C} \frac{dz}{(1+z^2)^{n+1}}

이다. 이 때

C

가 충분히 크면

R

에 의존하지 않고,

C_0

가 둘러싸는 영역 내에서

f(z)

는

(n+1)

-위의 극

z = i

를 가지며, 그 외에는 특이점을 갖지 않으므로, 유수 정리에 의해 좌변은

:

\begin{align}2\pi i \operatorname{Res}_{z=i} f(z)& = \frac{2\pi i}{n!} \lim_{z \to i} \frac{d^n}{dz^n} \left( \frac{(z-i)^{n+1}}{(1+z^2)^{n+1}} \right) \\& = \frac{2\pi i}{n!} \left. \frac{d^n}{dz^n} \frac{1}{(z+i)^{n+1}} \right|_{z=i} \\& = \frac{\pi(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\end{align}

가 된다. 한편, 우변 두 번째 항은

R \to \infty

일 때

0

으로 수렴하므로, 결국

:

\frac{\pi(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}

을 얻는다.

5. 2. 편각의 원리

'''편각의 원리'''(또는 '''편각 정리''')는 유수 정리의 결과로 얻어지는 정리이다. 단순 폐곡선 γ가 둘러싼 유계 영역 D의 폐포를 E라 하고, E 위에서 정의된 유리형 함수 f(z)가 γ 위에 극점이나 영점을 갖지 않는다고 가정한다. 이때, f(z)의 D 내에서의 영점과 극점은 유한 개이다. 중복도를 포함한 영점의 개수를 n, 극점의 개수를 m이라 하면 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma d\!\log f(z) = n-m

더욱 일반화하면, 중복도를 포함하여 영점이 a₁, a₂, …, a_n이고, 극점이 b₁, b₂, …, b_m일 때, E 위의 임의의 정칙 함수 g(z)에 대해 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma g(z)\,d\!\log f(z) = \sum_{j=1}^n g(a_j) - \sum_{k=1}^m g(b_k)

5. 3. 바젤 문제

여접 함수를 사용한 함수 πcot(πz)는 모든 정수 n이 1위의 극이고, 그 유수는 모두 1이다(이것들이 특이점의 전부이다). 이것을 이용하여,

:

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)

과 같은 무한 합을 계산할 수 있다.

예를 들어 f(z) = z^-2로 둔다. N을 정수로 하고, Γ_N을 정사각형 [−N − 1/2, N + 1/2] × [−N − 1/2, N + 1/2]의 주위에 반시계 방향으로 방향을 지정한 폐로(閉路)로 한다.

유수 정리에 의해,

:

\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz = \operatorname{Res}\limits_{z = 0} f(z) \pi \cot(\pi z) + \sum_{n = -N \atop n\ne 0}^N n^{-2}.

좌변은 N → ∞일 때, 0으로 수렴한다. 왜냐하면 피적분 함수의 오더가 O(N⁻²)이기 때문이다.

한편,

:

\frac{z}{2} \cot\left(\frac{z}{2}\right) = 1 - B_2 \frac{z^2}{2!} + \cdots; \qquad B_2 = \frac{1}{6}

이다^[1]。실제로 이것은 z/2 cot(z/2) = iz/(1 − e^−iz) − iz/2로 변형함으로써 알 수 있다(베르누이 수 참조). 이것으로부터, 유수 Res_{z = 0} f(z) π cot(πz)는 -π²/3에 해당한다.

이상으로부터

:

\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

임을 알 수 있으며, 바젤 문제의 해법 중 하나를 얻었다.

5. 4. 여접 함수의 부분 분수 전개

cotangent function^영어인 여접 함수는 유수 정리를 이용하여 다음과 같이 부분 분수로 전개할 수 있다.

정수가 아닌 임의의 복소수 z에 대해, 다음 식이 성립한다.

:

\pi \cot(\pi z) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N (z - n)^{-1}

w를 정수가 아닌 복소수라 하고, f(z) = (w − z)⁻¹로 두자. 그러면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz &= \operatorname{Res}\limits_{z = w} f(z) \pi \cot(\pi z) + \sum_{n = -N }^N \frac{1}{w-n} \\&= - \pi \cot(\pi w) + \sum_{n = -N }^N \frac{1}{w-n}\end{align}

여기서 좌변의 복소선 적분이 0으로 수렴한다는 사실을 보일 수 있다.

:

\int_{\Gamma_N} \frac{\pi \cot(\pi z)}{z} \, dz = 0

위 식이 성립하는 이유는 피적분 함수가 우함수이기 때문에 좌반평면 경로와 우반평면 경로의 적분값이 서로 상쇄되기 때문이다.

따라서,

:

\int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz = \int_{\Gamma_N} \left(\frac{1}{w - z} + \frac{1}{z}\right) \pi \cot(\pi z) \, dz

는 N → ∞ 일 때 0으로 수렴한다.

이것과 유수 정리의 등식을 함께 사용하여, 변수를 w에서 z로 바꾸면, 다음의 부분 분수 전개 식을 얻는다.^[1]

5. 5. 라그랑주 역정리

다음 예제는 급수 전개를 통해 유수를 계산할 때 라그랑주 역정리가 중요한 역할을 한다는 것을 보여준다.

u(z)^영어 := ∑k≥1|''u''^영어k|''z''^영어k|^영어를 전체 함수라 하고, v(z)^영어 := ∑k≥1|''v''^영어k|''z''^영어k|^영어를 양의 수렴 반경을 가지며, ''v''^영어1|^영어 ≠ 0 인 함수라고 하자.

따라서 v(z)^영어는 0에서 국소 역 V(z)^영어를 가지며, u(1/V(z))^영어는 0에서 유리형 함수이다. 그러면 다음이 성립한다.

:

실제로,

:

는 첫 번째 급수가 0 근처의 작은 원에서 균일하게 수렴하기 때문이다. 라그랑주 역정리를 사용하면

:

를 얻고, 따라서 위의 식을 얻는다.

예를 들어 u(z) = z + z^영어2|^영어이고 v(z) = z + z^영어2|^영어이면,

:}}

이고

:{2z} + \frac{1 + 2z + \sqrt{1 + 4z}}{2z^2}.}}

이다.

첫 번째 항은 유수에 1을 기여하고, 두 번째 항은 에 점근적이므로 2를 기여한다.

u(z)^영어와 v(z)^영어에 대한 더 강력한 대칭 가정을 사용하면 다음도 성립한다.

:

여기서 U(z)^영어는 0에서 u(z)^영어의 국소 역이다.

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