유수 (복소해석학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

유수(residue)는 복소함수 f(z)가 고립 특이점 z=a에서 정의될 때, z=a에서의 적분값을 나타내는 값이다. 유수는 로랑 급수 전개에서 (z-a)^-1 항의 계수와 같으며, 제거 가능 특이점에서는 0의 값을 갖는다. 유수는 유수 정리, 편각의 원리, 실수 함수의 적분, 바젤 문제, 라그랑주 역정리 등 다양한 문제 해결에 활용된다.

유수 (복소해석학)

📚 더 읽어볼만한 페이지

유리형 함수 - 감마 함수
감마 함수는 양의 실수부를 갖는 복소수 z에 대해 오일러 적분으로 정의되고 해석적 연속을 통해 복소평면 전체로 확장된 팩토리얼 함수의 일반화로서, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용되며 여러 표현과 성질을 가진다.
유리형 함수 - 리만 제타 함수
리만 제타 함수는 복소수 s의 함수로, 실수부가 1보다 큰 영역에서 무한급수로 정의되고 s ≠ 1인 모든 복소수에서 유리형 함수로 해석적 연속이 가능하며 함수 방정식과 오일러 곱 공식을 만족하고, 영점 분포는 소수 분포와 관련이 있으며, 비자명 영점이 임계선 상에 있다는 리만 가설은 중요한 미해결 문제이다.

1. 개요
2. 유수의 정의
3. 유수 계산
4. 유수 정리
5. 유수 정리의 응용

2. 유수의 정의

고립 특이점 z = a에서 정의된 복소함수 f(z)에 대해, z = a에서의 유수 $\operatorname{Res}(f,a)$ 또는 $\operatorname{Res}_a(f)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Res}\limits_{z = a}\,f(z) := \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)\mathit{dz}$

여기서 i는 허수 단위이며, 적분 경로 γ는 점 z = a를 중심으로 하는 충분히 작은 원을 양의 방향으로 회전하는 단순 폐곡선이다. (실제로는 적분 경로는, 가우스 평면에서 잘라낸 유계 영역이 z = a 이외에 f(z)의 특이점을 포함하지 않으면 어떤 단순 폐곡선이라도 좋다).

로랑 급수 전개를 통해 유수를 계산할 수도 있으며, 이 경우 유수는 로랑 급수의 계수 a₋₁으로 정의된다.

(z = a가 정칙점인 경우에도 이 적분과 유수를 생각할 수 있지만, 코시 적분 정리에 의해 그 경우 유수의 값은 0이 된다).

3. 유수 계산

주어진 점에서의 유수를 계산하는 방법은 특이점의 종류에 따라 달라진다. 고립특이점의 경우, 다음과 같은 세 가지 경우가 있다.

* 제거가능 특이점: 유수는 정의에 따라 0이다.
* 극: $z_0$ 가 위수가 $n$ 인 극이라면, 함수 $g(z)=(z-z_0)^{n}f(z) (z\ne z_0); =b_n (z= z_0)$ 을 이용하여, 유수는 다음 식으로 결정될 수 있다. : $\operatorname{Res}(f,z_0)= \frac{g^{(n-1)}(z)}{(n-1)!}$
* 진성특이점: 유수는 각각의 경우마다 달리 계산해야 한다.

유수는, 종종 $\operatorname{Res}(f,a)$ , $\operatorname{Res}_a(f)$ , $\mathop{\operatorname{Res}}_{z=a}f(z)$ 또는 $\mathop{\operatorname{res}}_{z=a}f(z)$ 로 표기된다.

유수 정리에 따르면, 메로모픽 함수 $f$ 에 대해, 점 $a_k$ 에서의 유수는 다음과 같다.

: $\operatorname{Res}(f,a_k) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz \, .$

여기서 $\gamma$ 는 $a_k$ 를 둘러싸는 양의 방향의 단순 닫힌 곡선이며, 곡선 안이나 위에 다른 특이점을 포함하지 않는다.

또는, 로랑 급수 전개를 찾아 유수를 계산할 수 있으며, 유수를 로랑 급수의 계수 a₋₁으로 정의할 수 있다.

함수의 일부분 또는 전체를 테일러 급수 또는 로랑 급수로 전개할 수 있다면, 함수가 표준 급수 전개를 가지는 경우일 수 있으며, 다른 방법보다 유수를 계산하는 것이 훨씬 간단해진다. 함수의 유수는 함수의 로랑 급수 전개에서 $(z-c)^{-1}$ 의 계수로 주어진다.

예시로, 다음의 경로 적분을 고려해 보자.

: $\oint_C {e^z \over z^5}\,dz$

여기서 C는 0을 둘러싼 어떤 단순 폐곡선이다.

이 적분을 급수를 이용한 적분에 관한 표준 수렴 결과를 사용하여 평가해 보면, 피적분 함수에 $e^z$ 의 테일러 급수를 대입할경우,

: $\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.$

와 같이 되고,

$\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz= {1 \over 4!} \oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.$

가 된다.

따라서, 값 1/4!는 z = 0에서 e^z/z⁵의 유수이며, $\operatorname{Res}_0 {e^z \over z^5}$ , $\operatorname{Res}_{z=0} {e^z \over z^5}$ , 또는 $\operatorname{Res}(f,0)$ ( $f={e^z \over z^5}$ 일 때) 와 같이 표기한다.

3.1. 제거 가능 특이점

z=a가 f(z)의 제거 가능 특이점이면, 유수는 정의에 따라 0이다. 예를 들어 함수 f(z) = sin z^영어 / (z² - z)는 z = 0에서 특이점을 갖는 것처럼 보이지만, 분모를 인수분해하여 f(z) = sin z^영어 / (z(z - 1))로 작성하면 z = 0에서의 특이점은 제거 가능한 특이점이므로 z = 0에서의 유수는 0이다.

3.2. 단순 극점

c가 f의 단순 극점이면, f의 유수는 다음과 같이 주어진다.

: $\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).$

만약 그 극한이 존재하지 않는다면, f는 c에서 본질적 특이점을 가진다. 만약 극한이 0이라면, f는 c에서 해석적이거나 제거 가능한 특이점을 가진다. 만약 극한이 무한대와 같다면, 극점의 차수는 1보다 크다.

함수 f가 두 함수 $f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}$ 의 몫으로 표현될 수 있는데, 여기서 g와 h는 c의 근방에서 정칙 함수이며, h(c) = 0이고 h'(c) ≠ 0이다. 이러한 경우, 로피탈의 정리를 사용하여 위의 공식을 다음과 같이 단순화할 수 있다.

: $\begin{align}\operatorname{Res}(f,c) & =\lim_{z\to c}(z-c)f(z) = \lim_{z\to c}\frac{z g(z) - cg(z)}{h(z)} \\[4pt]& = \lim_{z\to c}\frac{g(z) + z g'(z) - cg'(z)}{h'(z)} = \frac{g(c)}{h'(c)}.\end{align}$

3.3. 고차 극점

z=a가 f(z)의 n차 극점이면, 유수는 다음 공식으로 계산할 수 있다.

: $\operatorname{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z-c)^n f(z) \right).$

이 공식은 낮은 차수의 극점에 대한 유수를 결정하는 데 매우 유용할 수 있다. 고차 극점의 경우 계산이 다루기 어려워질 수 있으며, 일반적으로 급수 전개가 더 쉽다.

고립 특이점 z=a가 f(z)의 n차 극점이라면, (z-a)^n f(z)는 정칙이고, 특히 다음과 같이 테일러 전개된다.

: $(z-a)^n f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k-n}(z-a)^k$

따라서,

: $a_{-1} = {1\over (n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{\mathit{dz}^{n-1}}[(z-a)^n f(z)]$

로 계산할 수 있다.

3.4. 진성 특이점

z = a가 f(z)의 진성 특이점이면, 유수는 각각의 경우마다 다르게 계산해야 한다. 함수의 일부분 또는 전체를 테일러 급수 또는 로랑 급수로 전개할 수 있다면, 함수가 표준 급수 전개를 가지는 경우일 수 있으며, 다른 방법보다 유수를 계산하는 것이 훨씬 간단해진다. 함수의 유수는 함수의 로랑 급수 전개에서 $(z-c)^{-1}$ 의 계수로 주어진다.

해석 함수 f(z)는 그 고립 특이점 z = a 주위에서 로랑 전개
: $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-a)^n$
를 가진다. 이는 γ를 포함하고 z = a를 중심으로 하는 적당한 환상 영역 위에서 균등 수렴하므로, γ 위에서 항별 적분 가능하고
: $\oint_\gamma f(z){dz} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \oint_\gamma (z-a)^n {dz}$
가 되지만, 코시의 적분 정리에 의해 대부분의 항은 사라지고
: $a_{-1} = \operatorname{Res}\limits_{z=a}\,f(z)$
가 됨을 알 수 있다. 마찬가지로, 무한원점 z = ∞에서의 유수는, g(ζ) := f(1/ζ)의 ζ에 관한 로랑 전개가
: $g(\zeta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n \zeta^n$
로 주어지면, $\operatorname{Res}_{z=\infty}\, -b_{-1}$ 을 얻는다. 따라서, 로랑 전개가 이미 알려져 있거나 쉽게 계산할 수 있는 함수에 대해서는, 적분을 계산하지 않고 즉시 유수를 구할 수 있다.

3.5. 무한대에서의 유수

무한대에서의 유수는 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname{Res}(f(z), \infty) = -\operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2} f\left(\frac 1 z \right), 0\right).$

다음 조건을 만족하면,

: $\lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0,$

무한대에서의 유수는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

: $\operatorname{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z).$

만약,

: $\lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0,$

이면, 무한대에서의 유수는 다음과 같다.

: $\operatorname{Res}(f, \infty) = \lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z).$

유한 개의 특이점을 갖는 정칙함수의 경우, 모든 특이점에서의 유수와 무한대에서의 유수의 합은 0이다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.

: $\operatorname{Res}(f(z), \infty) = -\sum_k \operatorname{Res} (f(z), a_k).$

4. 유수 정리

어떤 단순 닫힌 곡선 γ와 이 곡선이 둘러싸는 유계 영역 D를 생각하자. D 위에서 정의된 함수 f(z)가 D 내에 고립 특이점 a₁, a₂, ..., a_n을 가지고, 그 외에는 정칙이면 다음이 성립한다.

: $\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i\sum_{i=1}^n \operatorname{Res}\limits_{z=a_i}f(z)$

여기서 적분은 γ를 D의 내점으로부터 편각이 양의 방향(영역을 왼쪽에 두는 방향)으로 진행한다. 이를 유수 정리(residue theorem^영어)라고 부른다.

메로모픽 함수 f에 대해, 점 a_k에서의 유수는 다음과 같다.

: $\operatorname{Res}(f,a_k) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)dz$

여기서 γ는 a_k를 둘러싸는 양의 방향의 단순 닫힌 곡선이며, 곡선 안이나 위에 다른 특이점을 포함하지 않는다.

--

메로모픽 함수 f에 대해, 어떤 특이점을 지나지 않는 양의 방향으로의 단순 닫힌 곡선 C 내에 유한한 특이점 집합을 갖는 경우, 적분 경로의 값은 유수 정리에 따라 다음과 같이 주어진다.

: $\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(C, a_k) \operatorname{Res}(f, a_k)$

여기서 I(C, a_k)는 회전수로, a_k가 C의 내부에 있으면 1이고 그렇지 않으면 0이다. 이는 다음과 같이 단순화된다.

: $\oint_\gamma f(z)dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, a_k)$

여기서 a_k는 컨투어 C 내의 모든 고립 특이점이다.

5. 유수 정리의 응용

메로모픽 함수 $f$ 에 대해, 어떤 특이점을 지나지 않는 양의 방향으로의 단순 닫힌 곡선 $C$ 내에 유한한 특이점 집합을 갖는 경우, 적분 경로의 값은 유수 정리에 따라 다음과 같이 주어진다.

: $\oint_C f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(C, a_k) \operatorname{Res}(f, a_k).$

여기서 회전수 $\operatorname{I}(C, a_k)$ 는 $a_k$ 가 $C$ 의 내부에 있으면 $1$ 이고 그렇지 않으면 $0$ 이다. 따라서 위 식은 다음과 같이 단순화된다.

: $\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}(f, a_k)$

여기서 $a_k$ 는 컨투어 $C$ 내의 모든 고립 특이점이다.

--

단순 닫힌 곡선 $\gamma$ 와 $\gamma$ 가 둘러싸는 유계 영역 $D$ 를 생각한다. $D$ 위에서 정의된 함수 $f(z)$ 가 $D$ 내에 고립 특이점 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 을 가지고, 그 외에는 정칙이면 다음이 성립한다.

: $\oint_\gamma f(z){dz} = 2\pi i\sum_{i=1}^n \operatorname{Res}\limits_{z=a_i}\,f(z)$

단, 적분은 $\gamma$ 를 $D$ 의 내점으로부터 편각이 양의 방향(영역을 왼쪽에 두는 방향)으로 진행한다. 이를 유수 정리 (residue theorem)^영어라고 부른다.

5.1. 실수 함수의 적분

유수 정리를 사용하면, 다음과 같은 실수 함수의 정적분 값을 계산할 수 있다.

: $\int_{-\infty}^\infty {\frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}}$

먼저, $f(x) = \frac{1}{(1 + x^2)^{n + 1}}$ 을 복소 영역으로 확장한 $f(z)$ 를 생각하면, 이것은 $z = \pm i$ 에 극점을 갖는다. 충분히 큰 $R > 0$ 을 취하고, 구간 $[-R, R]$ 을 지름으로 하는 원점을 중심으로 하는 반원판으로 $z = i$ 를 포함하는 쪽의 둘레를 $C_0$ 라고 하고, $C_0$ 에서 지름 $[-R, R]$ 을 제외한 부분을 $C$ 라고 한다. 실축 위를 양의 방향으로 진행하는 것으로 하여 $C_0$ 위에서 $f(z)$ 를 적분하면

: $\int_{C_0} \frac{dz}{(1+z^2)^{n+1}} = \int_{-R}^R \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}} + \int_{C} \frac{dz}{(1+z^2)^{n+1}}$

이다. 이 때 $C$ 가 충분히 크면 $R$ 에 의존하지 않고, $C_0$ 가 둘러싸는 영역 내에서 $f(z)$ 는 $(n+1)$ -위의 극 $z = i$ 를 가지며, 그 외에는 특이점을 갖지 않으므로, 유수 정리에 의해 좌변은

: $\begin{align}2\pi i \operatorname{Res}_{z=i} f(z)& = \frac{2\pi i}{n!} \lim_{z \to i} \frac{d^n}{dz^n} \left( \frac{(z-i)^{n+1}}{(1+z^2)^{n+1}} \right) \\& = \frac{2\pi i}{n!} \left. \frac{d^n}{dz^n} \frac{1}{(z+i)^{n+1}} \right|_{z=i} \\& = \frac{\pi(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\end{align}$

가 된다. 한편, 우변 두 번째 항은 $R \to \infty$ 일 때 $0$ 으로 수렴하므로, 결국

: $\frac{\pi(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{(1+x^2)^{n+1}}$

을 얻는다.

5.2. 편각의 원리

편각의 원리(또는 편각 정리)는 유수 정리의 결과로 얻어지는 정리이다. 단순 폐곡선 γ가 둘러싼 유계 영역 D의 폐포를 E라 하고, E 위에서 정의된 유리형 함수 f(z)가 γ 위에 극점이나 영점을 갖지 않는다고 가정한다. 이때, f(z)의 D 내에서의 영점과 극점은 유한 개이다. 중복도를 포함한 영점의 개수를 n, 극점의 개수를 m이라 하면 다음이 성립한다.

: $\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma d\!\log f(z) = n-m$

더욱 일반화하면, 중복도를 포함하여 영점이 a₁, a₂, …, a_n이고, 극점이 b₁, b₂, …, b_m일 때, E 위의 임의의 정칙 함수 g(z)에 대해 다음이 성립한다.

: $\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma g(z)\,d\!\log f(z) = \sum_{j=1}^n g(a_j) - \sum_{k=1}^m g(b_k)$

5.3. 바젤 문제

여접 함수를 사용한 함수 πcot(πz)는 모든 정수 n이 1위의 극이고, 그 유수는 모두 1이다(이것들이 특이점의 전부이다). 이것을 이용하여,

: $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty f(n)$

과 같은 무한 합을 계산할 수 있다.

예를 들어 f(z) = z^-2로 둔다. N을 정수로 하고, Γ_N을 정사각형 [−N − 1/2, N + 1/2] × [−N − 1/2, N + 1/2]의 주위에 반시계 방향으로 방향을 지정한 폐로(閉路)로 한다.

유수 정리에 의해,

: $\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz = \operatorname{Res}\limits_{z = 0} f(z) \pi \cot(\pi z) + \sum_{n = -N \atop n\ne 0}^N n^{-2}.$

좌변은 N → ∞일 때, 0으로 수렴한다. 왜냐하면 피적분 함수의 오더가 O(N⁻²)이기 때문이다.

한편,

: $\frac{z}{2} \cot\left(\frac{z}{2}\right) = 1 - B_2 \frac{z^2}{2!} + \cdots; \qquad B_2 = \frac{1}{6}$

이다。실제로 이것은 z/2 cot(z/2) = iz/(1 − e^−iz) − iz/2로 변형함으로써 알 수 있다(베르누이 수 참조). 이것으로부터, 유수 Res_{z = 0} f(z) π cot(πz)는 -π²/3에 해당한다.

이상으로부터

: $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

임을 알 수 있으며, 바젤 문제의 해법 중 하나를 얻었다.

5.4. 여접 함수의 부분 분수 전개

cotangent function^영어인 여접 함수는 유수 정리를 이용하여 다음과 같이 부분 분수로 전개할 수 있다.

정수가 아닌 임의의 복소수 z에 대해, 다음 식이 성립한다.

: $\pi \cot(\pi z) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^N (z - n)^{-1}$

w를 정수가 아닌 복소수라 하고, f(z) = (w − z)⁻¹로 두자. 그러면 다음을 얻는다.

: $\begin{align}\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz &= \operatorname{Res}\limits_{z = w} f(z) \pi \cot(\pi z) + \sum_{n = -N }^N \frac{1}{w-n} \\&= - \pi \cot(\pi w) + \sum_{n = -N }^N \frac{1}{w-n}\end{align}$

여기서 좌변의 복소선 적분이 0으로 수렴한다는 사실을 보일 수 있다.

: $\int_{\Gamma_N} \frac{\pi \cot(\pi z)}{z} \, dz = 0$

위 식이 성립하는 이유는 피적분 함수가 우함수이기 때문에 좌반평면 경로와 우반평면 경로의 적분값이 서로 상쇄되기 때문이다.

따라서,

: $\int_{\Gamma_N} f(z) \pi \cot(\pi z) \, dz = \int_{\Gamma_N} \left(\frac{1}{w - z} + \frac{1}{z}\right) \pi \cot(\pi z) \, dz$

는 N → ∞ 일 때 0으로 수렴한다.

이것과 유수 정리의 등식을 함께 사용하여, 변수를 w에서 z로 바꾸면, 다음의 부분 분수 전개 식을 얻는다.

5.5. 라그랑주 역정리

다음 예제는 급수 전개를 통해 유수를 계산할 때 라그랑주 역정리가 중요한 역할을 한다는 것을 보여준다.

u(z)^영어 := ∑k≥1^영어k^영어k^영어를 전체 함수라 하고, v(z)^영어 := ∑k≥1^영어k^영어k^영어를 양의 수렴 반경을 가지며, v^영어1^영어 ≠ 0 인 함수라고 하자.

따라서 v(z)^영어는 0에서 국소 역 V(z)^영어를 가지며, u(1/V(z))^영어는 0에서 유리형 함수이다. 그러면 다음이 성립한다.

:

실제로,

:

는 첫 번째 급수가 0 근처의 작은 원에서 균일하게 수렴하기 때문이다. 라그랑주 역정리를 사용하면

:

를 얻고, 따라서 위의 식을 얻는다.

예를 들어 u(z) = z + z^영어2^영어이고 v(z) = z + z^영어2^영어이면,

:}}

이고

:{2z} + \frac{1 + 2z + \sqrt{1 + 4z}}{2z^2}.}}

이다.

첫 번째 항은 유수에 1을 기여하고, 두 번째 항은 에 점근적이므로 2를 기여한다.

u(z)^영어와 v(z)^영어에 대한 더 강력한 대칭 가정을 사용하면 다음도 성립한다.

:

여기서 U(z)^영어는 0에서 u(z)^영어의 국소 역이다.