음함수 정리

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1. 개요

음함수 정리는 주어진 방정식으로부터 명시적으로 표현하기 어려운 음함수의 존재와 성질에 대한 정리이다. 19세기 코시와 디니에 의해 발전되었으며, 원의 방정식과 같이 명시적인 해를 구하기 어려운 경우에도 특정 조건 하에 음함수가 존재함을 보장한다. 이 정리는 좌표 변환, 특히 극좌표와 데카르트 좌표 간의 변환과 같은 다양한 수학적 문제에 응용되며, 바나흐 공간 및 미분 불가능 함수에 대한 일반화도 존재한다.

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음함수 정리
개요
분야	수학, 해석학
하위 분야	다변수 미적분학
관련 항목	함수, 미분, 연속 함수
내용
설명	여러 변수 사이의 관계를 함수로 표현하기 위한 정리
관련 정리	역함수 정리

2. 역사

오귀스탱 루이 코시는 음함수 정리의 최초의 엄밀한 형태를 제시한 것으로 여겨진다. 울리세 디니는 실수 변수 버전의 음함수 정리를 임의의 개수의 실수 변수의 함수 맥락으로 일반화했다.^[2]

3. 도입 예시 및 설명

2차원 유클리드 공간 $\mathbb R^2$에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 방정식은 $x^2 + y^2 - 1 = 0$이다. 이 방정식은 $y = \sqrt{1 - x^2}$ ($x \in [-1, 1]$) 또는 $y = -\sqrt{1 - x^2}$ ($x \in [-1, 1]$)와 같이 두 가지 함수와 동치이다. 그러나 $[-1, 1] \times \mathbb{R}$에서는 이 방정식을 만족하는 연속 함수가 유일하지 않다.

$z = x^2 + y^2 - 1$ ($x, y \in \mathbb{R}$)로 정의된 함수 $F$를 생각해보자. 이 함수의 그래프는 $\mathbb{R}^3$에 놓인 곡면이며, 위에서 언급한 원은 이 곡면과 평면 $z = 0$의 교선이다.

$ (0, 1) $ 주변에서 $x'^2 + y'^2 - 1 = 0$인 점 $(x', y')$을 생각해보자. $x = x'$가 고정되었을 때, $z = {x'}^2 + y^2 - 1$는 $y = y'$ 주변에서 $y$에 대한 순증가 함수이다. 따라서 $z = x^2 + y^2 - 1$의 영점 집합은 $(0, 1)$에서 국소적으로 어떤 함수 $y = y(x)$의 그래프와 일치한다.

$z$가 $y$에 대한 순단조 함수가 되기 위한 충분 조건은 $\partial z / \partial y \ne 0$이다. 이 조건을 만족하지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일하지 않을 수 있다. 예를 들어, $(1, 0)$을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리는 이 조건을 가정하여 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 보장한다.

일반적으로, 여러 개의 방정식의 연립에서 $ (y_1, \dots, y_m) $가 국소적으로 $ (x_1, \dots, x_n) $의 함수인지를 판단하기 위해 야코비 행렬식을 이용한 비퇴화 조건($\det\frac{\partial(z_1,\dots,z_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\ne 0$)을 사용한다.

3. 1. 단위 원

2차원 유클리드 공간에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원(단위 원)의 방정식은 다음과 같다.

:

x^2+y^2-1=0

이 방정식은 y에 대해서 다음과 같은 두 가지 함수 형태로 나타낼 수 있다.

$[-1,1]\times[0,\infty)$ 에서: $y=\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1]$
$[-1,1]\times(-\infty,0]$ 에서: $y=-\sqrt{1-x^2}\qquad\forall x\in[-1,1]$

하지만, 이 방정식 자체로는 y를 x의 함수로 명시적으로 나타내기 어렵다.

단위 원은 함수

f(x, y) = x^2 + y^2

의 등위선

f(x, y) = 1

로 나타낼 수 있다.

점 A 주변에서 y는 함수 $g_1(x)=\sqrt{1-x^2}$ 로 표현될 수 있다.
점 B 주변에는 그러한 함수가 존재하지 않는다. 그러나 B에서는 해 집합을 국소적으로 설명하는 함수 $x(y)$ 를 작성할 수 있다.

음함수 정리를 이용하면,

(0,1)

과 같이 특정 점 근방에서 y를 x의 함수로 나타낼 수 있다. 예를 들어,

y = \sqrt{1 - x^2}

또는

y = -\sqrt{1 - x^2}

와 같이 표현할 수 있다.

y에 대한 x의 음함수 미분, 그리고 x에 대한 y의 음함수 미분은 음함수

x^2+y^2-1

을 전미분하고 0과 같게 하여 찾을 수 있다.

:

2x\, dx+2y\, dy = 0

따라서

:

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

:

\frac{dx}{dy} = -\frac{y}{x}

3. 2. 케플러 방정식

케플러 방정식 x = y - εsin(y)는 닫힌 형식으로 해를 나타낼 수 없지만, 음함수 정리를 통해 해의 존재성과 미분 가능성을 보일 수 있다.

어떤 0^영어<ε<1^영어에 대하여, 케플러 방정식

:x=y-εsin(y)

을 생각하자. 다음과 같은 함수 f를 정의한다.

:f(x,y)=y-x-εsin(y)

그렇다면, 임의의 x에 대하여,

:lim_y→-∞f(x,y)=-∞, lim_y→∞f(x,y)=∞

:f_y(x,y)=1-εcos(y)>0

이므로, f(x,g(x))=0인 유일한 g(x)가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 g는 무한번 미분가능한 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 (무한번 미분가능한) 함수를 정의한다. 그러나 이러한 함수 g는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.

4. 음함수 정리의 공식적 서술

유클리드 공간 $\mathbb R^2$에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원의 방정식 $x^2 + y^2 - 1 = 0$을 생각해 보자. 이 방정식은 $[-1, 1] \times [0, \infty)$에서 $y = \sqrt{1 - x^2}$ ($\forall x \in [-1, 1]$)라는 유일한 함수와 같고, $[-1, 1] \times (-\infty, 0]$에서는 $y = -\sqrt{1 - x^2}$ ($\forall x \in [-1, 1]$)라는 유일한 함수와 같다.

이 방정식을 만족하는 연속 함수는 $[-1, 1] \times \mathbb R$에서 두 가지가 있으므로 유일하지 않지만, $(0, 1)$을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이를 기하학적으로 설명하면, 함수 $z = x^2 + y^2 - 1$ ($\forall x, y \in \mathbb R$)의 그래프는 $\mathbb R^3$에 놓인 곡면이고, 원은 이 곡면과 평면 $z = 0$의 교선이다. $(0, 1)$ 주변에서 $x'^2 + y'^2 - 1 = 0$인 점 $(x', y')$( $(0, 1)$ 포함)을 잡으면, $x = x'$가 고정될 때 $z = {x'}^2 + y^2 - 1$는 $y = y'$ 주변에서 $y$에 대한 순증가 함수이므로, 국소적으로 $y < y'$이면 $z < 0$, $y > y'$이면 $z > 0$이다. 따라서 $z = x^2 + y^2 - 1$의 영점 집합은 $(0, 1)$에서 국소적으로 $y = y(x)$의 그래프와 일치한다.

$z$가 $y$에 대한 순단조 함수가 되기 위한 충분 조건은 $\partial z / \partial y \ne 0$이다. 이 조건을 만족하지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일하지 않다. 예를 들어 $(1, 0)$을 지나는 연속 함수는 대역적, 국소적으로 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정하여 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론짓는다. $\partial z / \partial y \ne 0$은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다.

여러 개의 방정식

: $z_1(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0$

: $\vdots$

: $z_m(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0$

에서 $ (y_1, \dots, y_m) $가 국소적으로 $ (x_1, \dots, x_n) $의 함수인지를 다루려면 비퇴화 조건 $\det\frac{\partial(z_1,\dots,z_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\ne 0$을 사용해야 한다. 이 좌변은 $ z_1, \dots, z_m $의 $ y_1, \dots, y_m $에 대한 야코비 행렬식이다.

: $z_1=a_{11}x_1+\cdots a_{1n}x_n+b_{11}y_1+\cdots+b_{1m}y_m$

: $\vdots$

: $z_m=a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n+b_{m1}y_1+\cdots+b_{mm}y_m$

일 경우, 야코비 행렬식은 $x_1, \dots, x_n$을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 $\det(b_{ij})_{m \times m}$이다.

음함수 정리는 일반적인 경우와 간단한 경우로 나누어 설명할 수 있다.

4. 1. 정리 (일반적인 경우)

n+m 차원 유클리드 공간에서 정의된 연속 미분 가능 함수 f: ℝⁿ⁺ᵐ → ℝᵐ에 대해, f(a, b) = 0이고, y에 대한 편미분 행렬(D_yf)(a, b)의 행렬식이 0이 아니면, a의 열린 근방 U와 b의 열린 근방 V, 그리고 U에서 V로 가는 연속 미분 가능 함수 g가 유일하게 존재하여 f(x, g(x)) = 0을 만족한다. g의 도함수는 Dg(x) = -(D_yf(x, g(x)))⁻¹D_xf(x, g(x))로 주어진다.^[3]

좀 더 구체적으로 설명하면, 열린 집합 Ω ⊂ ℝⁿ⁺ᵐ 위의 연속 미분 가능 함수 f: Ω → ℝᵐ를 생각한다. 정의역 Ω를 데카르트 곱 ℝⁿ × ℝᵐ의 부분집합으로 간주하고, 이 곱집합에 속하는 원소를 (x, y) = (x₁, …, xₙ, y₁, …, yₘ)로 쓴다. 이러한 함수 f가 주어졌을 때, 최종적으로 함수 g: ℝⁿ → ℝᵐ로, 그 그래프 (x, g(x))가 f(x, y) = 0 (영점 집합)과 일치하는 것을 찾는 것을 생각한다.

이것은 항상 가능한 것은 아니므로, f(x, y) = 0인 점 (a, b) = (a₁, …, aₙ, b₁, …, bₘ)를 고정하고, 그 근처에서 목적에 맞는 g를 찾는 데 초점을 맞춘다. 즉, U × V ⊂ Ω를 만족하는 점 a의 열린 근방 U와 점 b의 열린 근방 V, 그리고 함수 g: U → V의 세 묶음 U, V, g로, g의 그래프가 U × V 상에서 관계 f = 0을 만족하는 것, 식으로 쓰면 U × V 내의 각 점 (x, y)에서 f(x, y) = 0 ⇔ y = g(x)를 만족하는 것을 찾고 싶다.

음함수 정리를 기술하기 위해서는, f = (f₁, …, fₘ)의 야코비 행렬(함수 행렬)이 필요하다. 그것은 f의 모든 편미분에 의해 형성되는 행렬이며, (a, b)에서의 값은 다음과 같다.

:

Df(a, b) = \left(\begin{array}{ccc|ccc}\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(a, b) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(a, b)& \dfrac{\partial f_1}{\partial y_1}(a, b) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial y_m}(a, b)\\\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(a, b) & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(a, b) & \dfrac{\partial f_m}{\partial y_1}(a, b) & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial y_m}(a, b)\end{array}\right) = (X\mid Y)

여기서 X는 변수 xᵢ들에 관한 편미분으로 이루어진 행렬이고, Y는 변수 yⱼ에 관한 편미분으로 이루어진 행렬이다. 음함수 정리는 이때의 행렬 Y가 가역 행렬이라면, 소기의 U, V, g가 존재한다고 말한다.

만약 f가 U × V 상에서 k계 연속 미분 가능하다면, 음함수 g도 U 상에서 k계 연속 미분 가능하다. 또한, f가 U × V의 내부에서 해석 함수라면, g도 U의 내부에서 해석적이다.^[12]

4. 2. 정리 (간단한 경우)

두 열린구간 $a \in U \subseteq \mathbb{R}$와 $b \in V \subseteq \mathbb{R}$ 및 연속 함수 $f \colon U \times V \to \mathbb{R}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$\partial f / \partial y$ 역시 연속 함수이다.
$f(a,b) = 0$
$(\partial f / \partial y)(a, b) \ne 0$

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 $a \in W \subseteq U$ 및 유일한 연속 함수 $g \colon W \to \mathbb{R}$가 존재한다.

$g(W) \subseteq V$
$b = g(a)$
임의의 $x \in W$에 대하여, $f(x, g(x)) = 0$

또한, $k \in \{1, 2, \dots \}$에 대하여, 만약 $f$가 $\mathcal{C}^k$ 함수라면, $g$ 역시 $\mathcal{C}^k$ 함수이며, $g$의 도함수 $g'$는 다음과 같다.

:$g'(x) = - \frac{(\partial f / \partial x)(x, g(x))}{(\partial f / \partial y)(x, g(x))} \qquad \forall x \in W$

이는 음함수 정리에서 $n=m=1$을 취한 가장 간단한 경우이다.

4. 3. 추가적인 조건

만약

f

가

(\mathbf{a}, \mathbf{b})

의 근방에서 해석적이거나

k

번 연속 미분 가능하다면,

g

도

U

내에서 동일한 조건을 만족하도록

U

를 선택할 수 있다.^[4] 이를 '''해석적 음함수 정리'''라고 한다.^[12]

5. 증명

열린 근방 $\mathbf a\in U\subseteq\mathbb R^n$ 와 $\mathbf b\in V\subseteq\mathbb R^m$ 및 연속 함수 $\mathbf f\colon U\times V\to\mathbb R^m$ , $(\mathbf x,\mathbf y)\mapsto\mathbf f(\mathbf x,\mathbf y)$ ( $\mathbf x\in U$ , $\mathbf y\in V$ )가 다음을 만족시킨다고 하자.

$\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f$ 역시 연속 함수이다. 여기서 $(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial y_j$ 이다.
$\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)=\mathbf 0$
$\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf a,\mathbf b)\ne 0$

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방

\mathbf a\in W\subseteq U

및 유일한 연속 함수

\mathbf g\colon W\to\mathbb R^m

가 존재한다.

$\mathbf g(W)\subseteq V$
$\mathbf b=\mathbf g(\mathbf a)$
임의의 $\mathbf x\in W$ 에 대하여, $\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=\mathbf 0$

또한,

k\in\{1,2,\dots\}

에 대하여, 만약

\mathbf f

가

\mathcal C^k

함수라면,

\mathbf g

역시

\mathcal C^k

함수이며,

\mathbf g

의 도함수

\mathrm D\mathbf g

는 다음과 같다.

:

\mathrm D\mathbf g(\mathbf x)=-(\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x)))^{-1}\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))\qquad\forall\mathbf x\in W

여기서

(\mathrm D_{\mathbf x}\mathbf f)_{ij}=\partial f_i/\partial x_j

이다. 이를 '''음함수 정리'''라고 한다.

\mathbf f

가

\mathcal C^k

함수임을 가정하지 않을 경우,

\mathbf g

의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

음함수 정리는 수학적 귀납법이나 바나흐 고정점 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

5. 1. 수학적 귀납법을 통한 증명

수학적 귀납법을 사용하여 증명할 수 있다.

m>1

인 경우를 증명해 보자.

V

의 원소를

\mathbf y=(y_1,\tilde\mathbf y)

로 쓰고,

\mathbf f=(f_1,\tilde\mathbf f)

와 같이 표기하자. 또한 편의상

\det(\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f\!(\mathbf a,\mathbf b))\ne 0

이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수

\tilde\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^{m-1}

가 존재하게 되는

\delta_1>0

가 존재한다.

$\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\subseteq U$
$\operatorname B(b_1,\delta_1)\times\tilde\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1))\subseteq V$
$\mathbf b'=\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1)$
임의의 $\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)$ 및 $y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)$ 및 $i\in\{2,\dots,m\}$ 에 대하여, $f_i(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))=0$

다음과 같은 함수

F\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)\times\operatorname B(b_1,\delta_1)\to\mathbb R^m

를 정의하자.

:

F(\mathbf x,y_1)=f_1(\mathbf x,y_1,\tilde\mathbf g(\mathbf x,y_1))\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1),\;y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)

그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의

\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_1)

및

y_1\in\operatorname B(b_1,\delta_1)

에 대하여 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\frac{\partial F}{\partial y_1}&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\sum_{j=2}^m\frac{\partial f_1}{\partial y_j}\frac{\partial h_{j-1}}{\partial y_1}\\&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\mathrm D_{\tilde\mathrm y}f_1(\mathrm D_{\tilde\mathrm y}\tilde f)^{-1}\mathrm D_{y_1}\tilde f\\&=\frac{\partial f_1}{\partial y_1}+\sum_{i=2}^m\sum_{j=2}^m(-1)^{i+j}\frac 1{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f}\frac{\partial f_i}{\partial y_1}\frac{\partial f_1}{\partial y_j}\det\mathrm D_{(y_2,\dots,y_{j-1},y_{j+1},\dots,y_m)}(f_2,\dots,f_{i-1},f_{i+1},\dots,f_m)\\&=\frac{\det\mathrm D_{\mathbf y}\mathbf f}{\det\mathrm D_{\tilde\mathbf y}\tilde\mathbf f}\end{align}

따라서

(\partial F/\partial y_1)(\mathbf a,b_1)\ne 0

이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수

g_1\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R

가 존재하게 되는

0<\delta_2<\delta_1

가 존재한다.

$g_1(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq\operatorname B(b_1,\delta_1)$
$b_1=g_1(\mathbf a)$
임의의 $\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)$ 에 대하여, $F(\mathbf x,g_1(\mathbf x))=0$

이제

\mathbf g\colon\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)\to\mathbb R^m

를 다음과 같이 정의하자.

:

\mathbf g(\mathbf x)=(g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)

그렇다면,

\mathbf g

는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.

:

\mathbf g(\operatorname B(\mathbf a,\delta_2))\subseteq V

:

f_1(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=F(\mathbf x,g_1(\mathbf x))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2)

:

f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=f_i(\mathbf x,g_1(\mathbf x),\tilde\mathbf g(\mathbf x,g_1(\mathbf x)))=0\qquad\forall\mathbf x\in\operatorname B(\mathbf a,\delta_2),\;i\in\{2,\dots,m\}

:

\mathbf g(\mathbf a)=(g_1(\mathbf a),\tilde\mathbf g(\mathbf a,b_1))=\mathbf b

이러한

\mathbf g

의 유일성은

m=1

의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약

\mathbf f

가

\mathcal C^k

함수라면, 각

i\in\{1,\dots,m\}

및

j\in\{1,\dots,n\}

에 대하여,

f_i(\mathbf x,\mathbf g(\mathbf x))=0

의 양변에

\partial/\partial x_j

를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

:

\frac{\partial f_i}{\partial x_j}+\sum_{k=1}^m\frac{\partial f_i}{\partial y_k}\frac{\partial g_k}{\partial y_j}=0

이를 행렬로 표기하면

\mathrm D\mathbf g

의 공식을 얻으며, 따라서

\mathbf g

역시

\mathcal C^k

함수이다.

5. 2. 바나흐 고정점 정리를 통한 증명

바나흐 고정점 정리를 사용하여 음함수 정리를 증명할 수 있다. 우선 다음과 같은 함수

\mathbf{F}

를 정의한다.

:

\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{y} - (\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{b}))^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y})

여기서

\mathbf{x} \in U

,

\mathbf{y} \in V

이며,

U

와

V

는 각각

\mathbb{R}^n

과

\mathbb{R}^m

의 열린 근방이다.

그러면 다음이 성립한다.

:

\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 1_{m \times m} - (\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{b}))^{-1}\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y})

따라서

\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{F}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = 0_{m \times m}

이다. 또한

\det \mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{f}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \ne 0

이므로, 적절한

0 < c < 1

과

\delta_1 > 0

을 선택하면 다음을 만족시킨다.

$\bar{\operatorname{B}}(\mathbf{a}, \delta_1) \subseteq U$
$\bar{\operatorname{B}}(\mathbf{b}, \delta_1) \subseteq V$
임의의 $\mathbf{x} \in \bar{\operatorname{B}}(\mathbf{a}, \delta_1)$ 및 $\mathbf{y} \in \bar{\operatorname{B}}(\mathbf{b}, \delta_1)$ 에 대하여, $\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) < c$ 이며 $\det \mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \ne 0$

또한

\mathbf{F}(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \mathbf{b}

이므로, 다음을 만족시키는

0 < \delta_2 < \delta_1

가 존재한다.

임의의 $\mathbf{x} \in \operatorname{B}(\mathbf{a}, \delta_2)$ 에 대하여, $||\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{b}) - \mathbf{b}|| < (1 - c)\delta_1$

이제 임의의

\mathbf{x}' \in \operatorname{B}(\mathbf{a}, \delta_2)

에 대하여,

\mathbf{F}(\mathbf{x}', \cdot)

가

\bar{\operatorname{B}}(\mathbf{b}, \delta_1)

위의

c

-립시츠 연속 함수임을 보일 수 있다. 이를 통해

\mathbf{F}(\mathbf{x}', \cdot)

는 완비 거리 공간

(\bar{\operatorname{B}}(\mathbf{b}, \delta_1), ||\cdot||)

에서 유일한 고정점

\mathbf{g}(\mathbf{x}') \in \bar{\operatorname{B}}(\mathbf{b}, \delta_1)

를 갖는다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\mathbf{f}(\mathbf{x}', \mathbf{g}(\mathbf{x}')) = \mathbf{0}

이렇게 정의된 함수

\mathbf{g} \colon \bar{\operatorname{B}}(\mathbf{a}, \delta_2) \to \mathbb{R}^m

는 연속 함수이며, 고정점의 유일성에 따라 유일하다.

\mathbf{f}

가

\mathcal{C}^k

함수일 때,

\mathbf{g}

역시

\mathcal{C}^k

함수이며,

\mathbf{g}

의 도함수는 다음과 같다.

:

\mathrm{D}\mathbf{g}(\mathbf{x}') = -(\mathrm{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{f}(\mathbf{x}', \mathbf{g}(\mathbf{x}')))^{-1}\mathrm{D}_{\mathbf{x}}\mathbf{f}(\mathbf{x}', \mathbf{g}(\mathbf{x}'))

6. 응용

음함수 정리는 좌표 변환, 역함수 정리 등 다양한 분야에 응용될 수 있다.

6. 1. 좌표 변환

극좌표와 데카르트 좌표계 사이의 변환처럼, 새로운 좌표계를 도입하고 이전 좌표계와의 관계를 분석하는 데 음함수 정리가 사용될 수 있다.

m차원 공간에서 좌표 집합으로 표현되는 좌표계에 함수 h를 적용하여 새로운 좌표계 x'를 도입할 수 있다.

:

x'_1=h_1(x_1,\ldots,x_m), \ldots,  x'_m=h_m(x_1,\ldots,x_m)

이때, x'와 x는 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

f(x'_1,\ldots,x'_m,x_1,\ldots x_m)=(h_1(x_1,\ldots x_m)-x'_1,\ldots , h_m(x_1,\ldots, x_m)-x'_m)

여기서 ''f''의 야코비 행렬은 다음과 같다.

:

Df(a,b)  = \left(\begin{array}{ccc|ccc}

1 & \cdots & 0 & \frac{\partial h_1}{\partial x_1}(b) & \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial x_m}(b)\\

\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & \cdots & -1 & \frac{\partial h_m}{\partial x_1}(b) & \cdots & \frac{\partial h_m}{\partial x_m}(b)\\\end{array} \right) = (-1_m \mid J)

음함수 정리에 따르면, 야코비 행렬 ''J''가 정칙(det ''J'' ≠ 0)일 때, x는 국소적으로 x'의 함수로 표현될 수 있다. 즉, 새 좌표는 이전 좌표로 되돌릴 수 있다.

평면상의 극좌표계 에서 직교 좌표계로의 변환은 다음과 같다.

:

x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta)

반대로, 직교 좌표를 극좌표로 변환하기 위한 조건은 야코비 행렬의 행렬식이 0이 아니어야 한다.

:

J  =\begin{pmatrix}\frac{\partial x(r,\theta)}{\partial r} & \frac{\partial x(r,\theta)}{\partial \theta} \\[5pt]\frac{\partial y(r,\theta)}{\partial r} & \frac{\partial y(r,\theta)}{\partial \theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos \theta & -r \sin \theta \\\sin \theta & r \cos \theta\end{pmatrix}

:

det(J) = r

따라서

r \neq 0

일 때 극좌표로의 변환이 가능하다. 단,

r = 0

인 경우(원점)에는

\theta

의 값이 정의되지 않아 좌표 변환이 가역적이지 않다.

6. 2. 역함수 정리

역함수 정리는 음함수 정리의 특수한 경우로 볼 수 있으며, 함수의 국소적 역함수 존재 조건과 그 미분 가능성에 대한 정보를 제공한다.

어떤 좌표계 $ (x_1, \ldots, x_m) $로 표현된 $m$-차원 공간을 생각해보자. 여기에 함수 $ h_1, \ldots, h_m $를 적용하여 새로운 좌표계 $ (x'_1, \ldots, x'_m) $를 도입할 수 있다. 즉, 각 점의 새 좌표는 이전 좌표로부터 다음과 같이 계산된다.

: $ x'_1=h_1(x_1,\ldots,x_m), \ldots, x'_m=h_m(x_1,\ldots,x_m) $

이제 반대로 각 점의 새 좌표 $ (x'_1, \ldots, x'_m) $에서 이전 좌표 $ (x_1, \ldots, x_m) $로 되돌아갈 수 있는지, 즉 역변환이 가능한지 확인해 볼 수 있다.

새 좌표와 이전 좌표의 쌍 $ (x'_1, \ldots, x'_m, x_1, \ldots, x_m) $는 다음 관계를 갖는다.

: $f(x'_1,\ldots,x'_m,x_1,\ldots x_m)=(h_1(x_1,\ldots x_m)-x'_1,\ldots , h_m(x_1,\ldots, x_m)-x'_m)$

여기서 $f = (f_1, \ldots, f_m)$ 이다. $f$의 특정 점 $(a, b) = (x'_1, \ldots, x'_m, x_1, \ldots, x_m)$에서 야코비 행렬은 다음과 같다.

: $Df(a,b) = \left(\begin{array}{ccc|ccc}

1 & \cdots & 0 & \frac{\partial h_1}{\partial x_1}(b) & \cdots & \frac{\partial h_1}{\partial x_m}(b)\\

\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & \cdots & -1 & \frac{\partial h_m}{\partial x_1}(b) & \cdots & \frac{\partial h_m}{\partial x_m}(b)\\

\end{array} \right) = (-I_m \mid J)$

여기서 $I_m$은 $m$단위 행렬이고, $J$는 각 편미분의 $(a, b)$에서의 값으로 구성된 행렬이다. 음함수 정리에 따르면, 행렬 $J$가 정칙 (즉, 행렬식이 0이 아님)일 때, $ (x_1, \ldots, x_m) $는 국소적으로 $ (x'_1, \ldots, x'_m) $의 함수로 표현될 수 있다. 다시 말해, $J$의 행렬식이 0이 아니면 새 좌표에서 이전 좌표로 되돌릴 수 있다. 이러한 정리를 역함수 정리라고 한다.

7. 일반화

바나흐 공간에서의 역함수 정리를 바탕으로 음함수 정리를 바나흐 공간 값 매핑으로 확장할 수 있다.^[5]^[6]

함수 ''f''가 미분 가능하지 않은 경우를 위한 다양한 형태의 음함수 정리가 존재한다. 1차원에서는 국소적 엄격 단조성이 충분하다는 것이 일반적이다.^[7]

서스턴의 기하화 추측 증명의 정점인 페렐만의 3차원 다양체 붕괴 정리는 음함수 정리의 확장으로 이해할 수 있다.^[10]

7. 1. 바나흐 공간에서의 음함수 정리

바나흐 공간에서의 역함수 정리를 바탕으로 음함수 정리를 바나흐 공간 값 매핑으로 확장하는 것이 가능하다.^[5]^[6]

''X'', ''Y'', ''Z''를 바나흐 공간이라고 하자. 매핑 ''f'' : ''X'' × ''Y'' → ''Z''|f : X × Y → Z^영어가 연속적으로 프레셰 미분 가능하다고 하자. 만약

(x_0,y_0)\in X\times Y

,

f(x_0,y_0)=0

이고,

y\mapsto Df(x_0,y_0)(0,y)

가 ''Y''에서 ''Z''로의 바나흐 공간 동형사상이라면, ''x''₀의 근방 ''U''와 ''y''₀의 근방 ''V'', 그리고 ''f''(''x'', ''g''(''x'')) = 0이고 ''f''(''x'', ''y'') = 0 if and only if ''y'' = ''g''(''x'')를 만족하는 프레셰 미분 가능한 함수 ''g'' : ''U'' → ''V''가 존재한다. 이는 모든

(x,y)\in U\times V

에 대해 성립한다.^[13]

7. 2. 미분 불가능 함수에 대한 음함수 정리

함수 ''f''가 미분 가능하지 않은 경우를 위해 음함수 정리의 다양한 형태가 존재한다. 1차원에서는 국소적 엄격 단조성이 충분하다는 것이 일반적이다.^[7] 다음은 Jittorntrum의 관찰을 바탕으로 Kumagai가 증명한 보다 일반적인 형태이다.^[8]^[9]

연속 함수

f : \R^n \times \R^m \to \R^n

에 대해

f(x_0, y_0) = 0

을 만족한다고 가정하자. 만약 ''x''₀와 ''y''₀의 열린 근방

A \subset \R^n

와

B \subset \R^m

이 존재하여, ''B''의 모든 ''y''에 대해

f(\cdot, y) : A \to \R^n

이 국소적으로 일대일 함수라면, ''x''₀와 ''y''₀의 열린 근방

A_0 \subset \R^n

와

B_0 \subset \R^m

이 존재하여, 모든

y \in B_0

에 대해 방정식 ''f''(''x'', ''y'') = 0은 유일한 해

x = g(y) \in A_0

를 가지며, 여기서 ''g''는 ''B''₀에서 ''A''₀로 가는 연속 함수이다.

7. 3. 붕괴 다양체 (Collapsing Manifolds)

서스턴의 기하화 추측 증명의 정점인 페렐만의 3차원 다양체 붕괴 정리는 음함수 정리의 확장으로 이해될 수 있다.^[10]

참조

_[1] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 The Implicit Function Theorem https://archive.org/[...] Birkhauser
_[3] 논문 The Implicit and Inverse Function Theorems: Easy Proofs
_[4] 서적 From Holomorphic Functions to Complex Manifolds https://books.google[...] Springer
_[5] 서적 Fundamentals of Differential Geometry https://archive.org/[...] Springer
_[6] 서적 Advanced Calculus of Several Variables Dover Publications
_[7] 간행물 Implicit function springer
_[8] 논문 An Implicit Function Theorem
_[9] 논문 An implicit function theorem: Comment
_[10] 논문 A simple proof of Perelman's collapsing theorem for 3-manifolds 2011
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서

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