이산화

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1. 개요
2. 선형 상태 공간 모델의 이산화
3. 연속형 특징의 이산화
4. 일반화 함수 이론에서의 이산화
참조

1. 개요

이산화는 연속적인 미분 방정식을 수치 해석에 적합한 이산 차분 방정식으로 변환하는 과정이다. 선형 상태 공간 모델의 이산화는 연속 시간 모델을 이산 시간 모델로 변환하는 것을 의미하며, 이는 제어 시스템 설계 및 분석에 중요한 역할을 한다. 또한, 통계학과 기계 학습에서는 연속형 변수를 이산형 변수로 변환하는 것을 의미하며, 일반화 함수 이론에서는 템퍼링 분포에 대한 합성곱 정리와 관련하여 나타난다.

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이산화
개요
분야	수학 신호 처리 제어 이론 디지털 신호 처리 컴퓨터 과학
상세 정보
정의	연속 함수를 이산 함수로 변환하는 과정
유형	양자화 표본화
적용 분야	아날로그-디지털 변환 디지털 제어 시스템 수치 해석 데이터 압축
관련 개념
그래뉼러 컴퓨팅	그래뉼러 컴퓨팅
오일러-마루야마 방법	오일러-마루야마 방법 (Euler-Maruyama method)
영차 홀드	영차 홀드 (Zero-order hold)

2. 선형 상태 공간 모델의 이산화

이산화는 연속 시간 선형 상태 공간 모델을 이산 시간 모델로 변환하는 과정이다.

연속 시간 모델은 다음과 같이 표현될 수 있다.^[1]

: $\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)$

: $\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)$

여기서,

$\mathbf{x}(t)$ : 상태 벡터
$\mathbf{u}(t)$ : 입력 벡터
$\mathbf{y}(t)$ : 출력 벡터
$\mathbf{A}$ : 시스템 행렬
$\mathbf{B}$ : 입력 행렬
$\mathbf{C}$ : 출력 행렬
$\mathbf{D}$ : 피드포워드 행렬
$\mathbf{w}(t)$ : 프로세스 잡음 (평균 0, 공분산 Q)
$\mathbf{v}(t)$ : 측정 잡음 (평균 0, 공분산 R)

연속 시간 모델에 0차 홀드를 적용하고, 잡음에 대한 연속 적분을 수행하면, 다음과 같은 이산 시간 모델을 얻을 수 있다.^[1]^[2]

:

\mathbf{x}[k+1] = \mathbf{A_d x}[k] + \mathbf{B_d u}[k] + \mathbf{w}[k]

:

\mathbf{y}[k] = \mathbf{C_d x}[k] + \mathbf{D_d u}[k] + \mathbf{v}[k]

여기서,

$\mathbf{A_d} = e^{\mathbf A T}$ : 이산화된 시스템 행렬
$\mathbf{B_d} = \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B$ : 이산화된 입력 행렬
$\mathbf{C_d} = \mathbf C$ : 출력 행렬 (연속 시간 모델과 동일)
$\mathbf{D_d} = \mathbf D$ : 피드포워드 행렬 (연속 시간 모델과 동일)
$\mathbf{w}[k]$ : 이산화된 프로세스 잡음 (평균 0, 공분산 Q_d)
$\mathbf{v}[k]$ : 이산화된 측정 잡음 (평균 0, 공분산 R_d)
$T$ : 샘플 시간

\mathbf{A}

가 비특이 행렬인 경우,

\mathbf{B_d} = \mathbf A^{-1}(\mathbf{A_d} - \mathbf{I})\mathbf B

로 계산할 수 있다.

이산화된 잡음 공분산은 다음과 같이 계산된다.^[1]

$\mathbf{Q_d} = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau} d\tau$
$\mathbf{R_d} = \mathbf R \frac{1}{T}$

이산화된 측정 잡음에 대한 방정식은 전력 스펙트럼 밀도로 정의된 연속적인 측정 잡음의 결과이다.^[1]

\mathbf{A_d}

와

\mathbf{B_d}

를 한 번에 계산하는 효율적인 방법은 다음 성질을 이용하는 것이다.^[2]

:

e^{\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix}\mathbf{A_d} & \mathbf{B_d} \\\mathbf{0} & \mathbf{I}\end{bmatrix}

연속 시간 모델에서 이산 시간 모델로의 변환 과정과 잡음의 이산화는 각각 '===이산화 과정 유도==='와 '===구동 잡음(Process Noise)의 이산화==='에서 다룬다.

2. 1. 연속 시간 모델

이산화는 연속적인 미분 방정식을 수치해석에 적합한 이산 차분 방정식으로 변환하는 과정이다.

다음과 같은 연속 시간 상태 공간 모델을 생각해보자.

\begin{align}\dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t) + \mathbf{w}(t) \\[2pt]\mathbf{y}(t) &= \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t) + \mathbf{v}(t)\end{align}

여기서 v^영어와 w^영어는 전력 스펙트럼 밀도를 갖는 연속적인 영 평균 백색 잡음 소스이다.

\begin{align}\mathbf{w}(t) &\sim N(0,\mathbf Q) \\[2pt]\mathbf{v}(t) &\sim N(0,\mathbf R)\end{align}

입력 u^영어에 0차 홀드를 가정하고, 잡음 v^영어에 대한 연속적 적분을 수행하면 다음과 같이 이산화할 수 있다.

\begin{align}\mathbf{x}[k+1] &= \mathbf{A_d x}[k] + \mathbf{B_d u}[k] + \mathbf{w}[k] \\[2pt]\mathbf{y}[k] &= \mathbf{C_d x}[k] + \mathbf{D_d u}[k] + \mathbf{v}[k]\end{align}

공분산은 다음과 같다.

\begin{align}\mathbf{w}[k] &\sim N(0,\mathbf{Q_d}) \\[2pt]\mathbf{v}[k] &\sim N(0,\mathbf{R_d})\end{align}

여기서

\begin{align}\mathbf{A_d} &= e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1} \Bigl\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1} \Bigr\}_{t=T} \\[4pt]\mathbf{B_d} &= \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B \\[4pt]\mathbf{C_d} &= \mathbf C \\[8pt]\mathbf{D_d} &= \mathbf D \\[2pt]\mathbf{Q_d} &= \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau}  d\tau \\[2pt]\mathbf{R_d} &= \mathbf R \frac{1}{T}\end{align}

T^영어는 샘플 시간이다. 만약 A^영어가 비특이 행렬이면,

\mathbf{B_d} = \mathbf A^{-1}(\mathbf{A_d} - \mathbf{I})\mathbf B.

이다.

이산화된 측정 잡음에 대한 방정식은 전력 스펙트럼 밀도로 정의된 연속적인 측정 잡음의 결과이다.^[1]

A_d^영어와 B_d^영어를 한 단계로 계산하는 방법은 다음과 같은 속성을 이용하는 것이다.^[2]

e^{\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix}\mathbf{A_d} & \mathbf{B_d} \\\mathbf{0} & \mathbf{I}\end{bmatrix}

여기서 A_d^영어와 B_d^영어는 이산화된 상태 공간 행렬이다.

연속 모델에서 시작하면

:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)

행렬 지수 함수는 다음과 같다.

:

\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A

모델에 왼쪽에서 곱하면 다음 식을 얻는다.

:

e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)

여기서

:

\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)

이며, 적분하면

:

e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau

:

\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

가 된다. 이것이 연속 모델에 대한 해석적 해법이다.

이제 위의 식을 이산화한다. 각 시간 단계의 상수 u^영어는 일정하다고 가정한다.

:

\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf x(kT)

:

\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

:

\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

:

\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[  e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

이것은

\mathbf x[k]

의 괄호로 둘러싸인 표현이며, 제2항은 함수

v(\tau) = kT + T - \tau

로 대체하여 간략하게 할 수 있다.

d\tau=-dv

이다. 또한, 적분 중, u^영어가 상수라고 가정하면 다음과 같다.

:

\begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_{v(kT)}^{v((k+1)T)} e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_T^0 e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\&=&e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \mathbf A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-\mathbf I \right) \mathbf B\mathbf u[k] \end{matrix}

이것은 이산화 문제의 엄밀해이다.

2. 2. 이산 시간 모델

이산화는 연속적인 미분 방정식을 수치해석에 적합한 이산 차분 방정식으로 변환하는 과정이다.

다음과 같은 연속 시간 상태 공간 모델을 생각해보자.

:

\begin{align}\dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t) + \mathbf{w}(t) \\[2pt]\mathbf{y}(t) &= \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t) + \mathbf{v}(t)\end{align}

여기서

\mathbf{w}(t)

와

\mathbf{v}(t)

는 전력 스펙트럼 밀도를 갖는 연속적인 영 평균 백색 잡음 신호이다.

:

\begin{align}\mathbf{w}(t) &\sim N(0,\mathbf Q) \\[2pt]\mathbf{v}(t) &\sim N(0,\mathbf R)\end{align}

입력

\mathbf{u}(t)

에 0차 홀드를 가정하고, 잡음

\mathbf{v}(t)

에 대한 연속적 적분을 수행하면, 다음과 같은 이산 시간 모델을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\mathbf{x}[k+1] &= \mathbf{A_d x}[k] + \mathbf{B_d u}[k] + \mathbf{w}[k] \\[2pt]\mathbf{y}[k] &= \mathbf{C_d x}[k] + \mathbf{D_d u}[k] + \mathbf{v}[k]\end{align}

이에 대한 공분산은 다음과 같다.

:

\begin{align}\mathbf{w}[k] &\sim N(0,\mathbf{Q_d}) \\[2pt]\mathbf{v}[k] &\sim N(0,\mathbf{R_d})\end{align}

이때, 각 변수는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\mathbf{A_d} &= e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1} \Bigl\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1} \Bigr\}_{t=T} \\[4pt]\mathbf{B_d} &= \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B \\[4pt]\mathbf{C_d} &= \mathbf C \\[8pt]\mathbf{D_d} &= \mathbf D \\[2pt]\mathbf{Q_d} &= \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau}  d\tau \\[2pt]\mathbf{R_d} &= \mathbf R \frac{1}{T}\end{align}

\mathbf{T}

는 샘플 시간이다. 만약

\mathbf{A}

가 비특이 행렬이면,

\mathbf{B_d} = \mathbf A^{-1}(\mathbf{A_d} - \mathbf{I})\mathbf B

로 표현 가능하다.

이산화된 측정 잡음에 대한 방정식은 전력 스펙트럼 밀도로 정의된 연속적인 측정 잡음의 결과이다.^[1]

\mathbf{A_d}

와

\mathbf{B_d}

를 한 번에 계산하는 효율적인 방법은 다음 성질을 이용하는 것이다.^[2]

:

e^{\begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\\mathbf{0} & \mathbf{0}\end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix}\mathbf{A_d} & \mathbf{B_d} \\\mathbf{0} & \mathbf{I}\end{bmatrix}

여기서

\mathbf{A_d}

와

\mathbf{B_d}

는 이산화된 상태 공간 행렬이다.

2. 3. 이산화 과정 유도

연속 시간 모델을 이산 시간 모델로 변환하는 과정을 유도한다. 이 과정은 행렬 지수 함수를 이용한다.

연속 모델은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)

행렬 지수 함수의 성질은 다음과 같다.

:

\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A

위 식을 모델에 곱하면 다음과 같다.

:

e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)

이를 정리하면 다음과 같다.

:

\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)

양변을 적분하면 다음과 같다.

:

e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau

:

\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

이는 연속 모델의 해석적 해이다.

이제 위 식을 이산화한다. 각 시간 단계에서

\mathbf u

는 수학 상수라고 가정한다.

:

\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf x(kT)

:

\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

:

\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

:

\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[  e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

위 식에서 대괄호 안의 표현은

\mathbf x[k]

이다. 두 번째 항은

v(\tau) = kT + T - \tau

로 치환하여 단순화할 수 있다. 이때,

d\tau=-dv

이다. 또한, 적분 과정에서

\mathbf u

는 상수라고 가정한다.

:

\begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_{v(kT)}^{v((k+1)T)} e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_T^0 e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\&=&e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \mathbf A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-\mathbf I \right) \mathbf B\mathbf u[k] \end{matrix}

이것이 이산화 문제의 정확한 해이다.^[1]

2. 4. 구동 잡음(Process Noise)의 이산화

연속 시간 모델에서의 구동 잡음은 이산 시간 모델에서 다음과 같이 처리된다. 우선, 연속 시간 시스템을 다음과 같이 표현한다.^[1]

:

\mathbf{w}(t) \sim N(0,\mathbf Q)

여기서

\mathbf{w}(t)

는 평균이 0이고 공분산이 '''Q'''인 백색 잡음이다. 이를 이산 시간 모델로 변환하면 다음과 같다.

:

\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf{Q_d})

여기서

\mathbf{w}[k]

는 평균이 0이고 공분산이 '''Q_d'''인 이산 백색 잡음이다. 이산화된 공분산 '''Q_d'''는 다음과 같이 계산된다.^[3]

:

\mathbf{Q_d} = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau}  d\tau

여기서

T

는 샘플 시간이다. 이 적분은 행렬 지수 적분을 포함하기 때문에 계산이 복잡할 수 있다. 이를 해결하기 위해 다음과 같은 행렬을 구성한다.

:

\mathbf{F} = \begin{bmatrix}

\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\

\mathbf{0} & \mathbf{A}^\top\end{bmatrix} T

이후, 행렬 지수 함수를 계산한다.

:

\mathbf{G} = e^\mathbf{F} = \begin{bmatrix}\dots & \mathbf{A_d}^{-1}\mathbf{Q_d} \\\mathbf{0} & \mathbf{A_d}^\top\end{bmatrix}

그러면 이산화된 공분산 '''Q_d'''는 '''G'''의 오른쪽 아래 부분의 전치 행렬과 오른쪽 위 부분을 곱하여 계산할 수 있다.^[5]

:

\mathbf{Q_d} = (\mathbf{A_d}^\top)^\top (\mathbf{A_d}^{-1}\mathbf{Q_d}) = \mathbf{A_d} (\mathbf{A_d}^{-1}\mathbf{Q_d}).

2. 5. 이산화 근사

정확한 이산화는 관련된 무거운 행렬 지수 및 적분 연산으로 인해 때때로 다루기 어려울 수 있다. 작은 시간 단계에 대해

e^{\mathbf{A}T} \approx \mathbf I + \mathbf A T

를 기반으로 하는 근사 이산 모델을 계산하는 것이 훨씬 쉽다. 그러면 근사 해는 다음과 같다.^[1]

:

\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf{A}T) \mathbf x[k] + T \mathbf{Bu}[k]

이것은 오일러 방법으로 알려져 있으며, 전진 오일러 방법이라고도 한다. 다른 가능한 근사값은

e^{\mathbf{A}T} \approx (\mathbf I - \mathbf{A}T)^{-1}

이며, 이는 후진 오일러 방법이라고도 하며,

e^{\mathbf{A}T} \approx (\mathbf I +\tfrac{1}{2} \mathbf{A}T) (\mathbf I - \tfrac{1}{2} \mathbf{A}T)^{-1}

는 쌍선형 변환 또는 Tustin 변환이라고 한다.^[2] 이러한 각 근사값은 서로 다른 안정성 특성을 가지고 있다. 쌍선형 변환은 연속 시간 시스템의 안정성을 보존한다.

3. 연속형 특징의 이산화

통계학이나 기계 학습에서 이산화는 연속형 특징 또는 변수를 이산화된 또는 명목형 특징으로 변환하는 것을 의미한다. 이는 확률 질량 함수를 만들 때 유용할 수 있다.

4. 일반화 함수 이론에서의 이산화

일반화 함수 이론에서 '''이산화'''는 템퍼링 분포에 대한 합성곱 정리의 특별한 경우로 나타난다.

: $\mathcal{F}\{f*\operatorname{III}\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \operatorname{III}$

: $\mathcal{F}\{\alpha \cdot \operatorname{III}\}= \mathcal{F}\{\alpha\}*\operatorname{III}$

여기서 $\operatorname{III}$ 는 디랙 콤이고, $\cdot \operatorname{III}$ 은 이산화, $* \operatorname{III}$ 은 주기 합산을 나타낸다. $f$ 는 빠르게 감소하는 템퍼링 분포(예: 디랙 델타 함수 $\delta$ 또는 기타 컴팩트하게 지지된 함수)이며, $\alpha$ 는 매끄러운, 느리게 증가하는 일반 함수(예: 항상 $1$ 인 함수 또는 기타 대역 제한된 함수)이다. 그리고 $\mathcal{F}$ 는 (단위, 일반 주파수) 푸리에 변환이다. 매끄럽지 않은 함수 $\alpha$ 는 이산화 전에 몰리파이어를 사용하여 매끄럽게 만들 수 있다.

예를 들어, 항상 $1$ 인 함수의 이산화는 수열 $[..,1,1,1,..]$ 을 생성하며, 이는 디랙 델타 함수의 선형 결합의 계수로 해석되어 디랙 콤을 형성한다. 추가로 절단이 적용되면, 예를 들어 $[1,1,1,1]$ 과 같은 유한 수열을 얻는다. 이들은 시간과 주파수 모두에서 이산적이다.

참조

_[1] 서적 Applied optimal estimation. https://archive.org/[...] M.I.T. Press 1974
_[2] 서적 Linear Systems: A State Variable Approach with Numerical Implementation Prentice Hall 1989
_[3] 논문 Computing integrals involving the matrix exponential 1978
_[4] 서적 Linear Systems: A State Variable Approach with Numerical Implementation Prentice Hall 1989
_[5] 논문 Computing integrals involving the matrix exponential 1978

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