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수학 상수

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목차

1. 개요

수학 상수는 수학적 정의에 의해 결정되며, 측정이나 단위계에 의존하지 않는 불변의 값을 갖는 수이다. 주요 수학 상수로는 지수적 성장의 밑 e, 원의 둘레와 지름의 비율 π, 허수 단위 i, 0, 1, 2의 제곱근, 황금비, 오일러-마스케로니 상수, 란다우-라마누잔 상수, 브룬 상수, 르장드르 상수, 카탈랑 상수, 페이겐바움 상수, 아페리 상수 등이 있다. 이러한 상수들은 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 물리 상수와의 관계, 무리수, 초월수 여부 등 다양한 측면에서 연구되고 있다.

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  • 수학 상수 - 허수 단위
    허수 단위 i는 i² = −1을 만족하는 수로, 실수 체계에서는 정의되지 않는 음수의 제곱근을 나타내며 복소수 체계의 기본 구성 요소로서 복소평면에서 90° 회전하는 효과를 가지며 1, i, -1, -i를 주기적으로 순환하는 특징을 가진다.
  • 수학 상수 - 실베스터 수열
    실베스터 수열은 각 항이 이전 항들의 곱에 1을 더한 값으로 정의되는 정수 수열로서, 재귀적으로 정의되며 이중 지수 함수적으로 증가하고, 이집트 분수 및 탐욕 알고리즘과 관련이 있으며, 역수 합은 1로 수렴한다.
수학 상수
개요
정의수학적인 상수란 통상적으로 실수 또는 복소수인 값으로, 고정된 수치를 가지는 수를 말한다.
예시π
e
추가 정보
외부 링크Wolfram MathWorld - Constant

2. 주요 수학 상수

1874년8,010B_2≈ 1.90216 05782 4쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수수론1919년11B_4≈ 0.87058 83800소수 쿼드러플릿에 대한 브룬 상수수론??\Lambda– 1.1·10-12드 브루인-뉴먼 상수수론1950년??G≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411카탈란 상수조합론?15,510,000,000K≈ 0.76422 36535 89220 66란다우-라마누잔 상수수론?30,010K≈ 1.13198 82487 943비슈바나트 상수수론?13L≈0.54325 89653 42976 70695 27282 95300 61323란다우 상수해석학?>1,000B'_L≈ 1.08366르장드르 상수수론??\mu≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027라마누잔-솔드너 상수수론?75,500E_B≈ 1.60669 51524 15291 763에르되시-보와인 상수수론??\Lambda ≈ 1.09868 58055렝겔 상수수론1992년?≈ 0.80939 40205알라디-그린스테드 상수조합론??


2. 1. 0 (영)

0은 정수, 유리수, 실수, 복소수 등 다양한 수 체계에서 덧셈에 대한 항등원 역할을 한다. 아무것도 없는 상태를 나타내는 수로, 기원전 500년경 인도에서 처음으로 수로 사용되기 시작했다.[28]

기호값이름분류알려진 때알려진 소수점 자릿수
00영일반기원전 500년경∞


2. 2. 1 (일)

1(일)은 자연수의 기본 단위로, 모든 정수는 1의 곱셈으로 표현될 수 있다. 1은 고대부터 수로 사용되었으며, 곱셈에 대한 항등원이다.[28]

기호값이름분류N알려진 때알려진 소수점 자릿수
11일, 하나일반정수고대∞


2. 3. 허수 단위 (i)

허수 단위는 imaginary unit|이매지너리 유닛영어로 표기하며, 제곱하여 -1이 되는 수이다. 즉, 이다. 실수 체계 \R를 복소수 체계 \Complex로 확장하는 핵심 요소이며, 16세기에 처음 도입되어 방정식의 해를 구하는 과정에서 중요한 역할을 한다. 대한민국에서는 '아이'라고 읽는다.[28]

허수 단위 를 복소 평면에 나타낸 그림. 실수 값은 수평축에, 허수 값은 수직축에 위치한다.


i|아이영어 기호가 모호하거나 문제가 있는 경우, j|제이영어 또는 그리스 문자 ι가 사용되기도 한다. 특히 i|아이영어가 전류를 나타내는 데 일반적으로 사용되기 때문에 허수 단위를 j|제이영어로 표기하는 전기 공학 및 제어 시스템 공학에서 이런 경우가 많다.

2. 4. 원주율 (π)

원의 둘레와 지름의 비율로 정의되는 수학 상수이다. 기하학, 삼각함수, 해석학 등 다양한 분야에서 사용된다.

원의 면적은 π 곱하기 음영 처리된 면적과 같다. 단위 원의 면적은 π이다.


π는 무리수이자 초월수이며, 대수적 주기이다.

값은 대략 다음과 같다.

: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...

유난히 좋은 근사값은 분수 22/7과 355/113으로 주어지며, 원주율 암기뿐만 아니라 원주율의 더 많은 자릿수 계산은 세계 기록 도전이다.[28]

기호값이름분류알려진 때알려진 소수점 자릿수
\pi≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288원주율일반초월수고대1,241,177,300,000


2. 5. 자연로그의 밑 (e)

e영어는 지수 함수와 로그 함수의 밑으로 사용되는 수학 상수이다. 미적분학, 확률론, 통계학 등에서 중요한 역할을 한다. 17세기에 존 네이피어가 처음 사용하였으며,[2] 무리수이자 초월수임이 증명되었다. 대한민국에서는 '자연로그의 밑' 또는 '오일러의 수'로 불린다.

야코프 베르누이는 e영어가 복리에서 나타나는 것을 발견했다. 만약 계좌가 1달러로 시작하고 연간 R의 이자를 얻는다면, 연간 복리 기간의 횟수가 무한대에 가까워질 때(연속 복리) 1년 말의 금액은 e영어R 달러에 가까워진다.

e영어는 확률론에도 적용되는데, 지수적 성장과 관련이 없는 방식으로 나타난다. 예를 들어, 당첨 확률이 1/n인 슬롯 머신을 n번 돌릴 때, n이 매우 크면(예: 100만) 아무것도 당첨되지 않을 확률은 n이 무한대로 갈 때 1/e영어에 가까워진다.

야코프 베르누이와 프랑스 수학자 피에르 레이몽 드 몽모르는 '모자 확인 문제'라고도 알려진 교란 문제에서 e영어의 또 다른 응용을 발견했다.[2]

e영어의 근삿값은 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... 이다.

기호값이름유리수대수적 수주기분야알려진 자릿수최초 기술
e영어
2.7182818284...e, 오일러의 수일반, 분석3.5 × 1013[28]1618년


2. 6. 2의 제곱근 (√2)

2의 제곱근은 종종 '''루트 2''' 또는 '''피타고라스 상수'''라고 불리며, \sqrt{2}로 표기된다. 이 수는 자기 자신과 곱했을 때 2가 되는 유일한 양의 실수이다. 음수와 구별하기 위해 '''2의 주 제곱근'''이라고도 한다.

2의 제곱근은 길이가 1인 변을 갖는 직각 삼각형의 빗변의 길이와 같다.


기하학적으로 2의 제곱근은 단위 정사각형의 대각선의 길이이며, 이는 피타고라스 정리에서 비롯된다. 2의 제곱근은 무리수이며, 아마도 최초로 알려진 무리수이자 대수적 수이다. 50자리 소수점으로 절사된 수치 값은 다음과 같다.

: 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694...

2의 제곱근에 대한 빠른 근사값인 99/70 (≈ 1.41429)은 전자 계산기와 컴퓨터가 널리 사용되기 전에 자주 사용되었다. 분모가 70에 불과함에도 불구하고, 정확한 값과 1/10,000 미만(약 7.2 × 10−5)으로 차이가 난다.

2의 제곱근의 단순 연분수는 주기적이며 다음과 같이 주어진다.

:\sqrt2 = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac1\ddots}}}

기호값이름유리수대수적 수주기분야알려진 자릿수최초 기술
\sqrt2
1.4142135623...2의 제곱근, 피타고라스의 상수일반2.0 × 1013[28]기원전 800년경


2. 7. 황금비 (φ)

는 황금비라고도 불리며, 특히 오각형 대칭을 가진 도형에서 기하학에 자주 등장한다. 실제로 정오각형의 대각선 길이는 변의 배이다. 정이십면체의 꼭짓점은 서로 직교하는 세 개의 황금 직사각형의 꼭짓점이다.[3] 또한, 재귀에 의한 성장에 관련된 피보나치 수열과 관련이 있다. 케플러는 황금비가 연속된 피보나치 수의 비율의 극한값임을 증명했다.[4] 황금비는 모든 무리수 중에서 가장 느리게 수렴한다.[5] 이러한 이유로, 라그랑주의 근사 정리의 최악의 경우 중 하나이며, 디오판토스 근사에 대한 후르비츠 부등식의 극단적인 경우이다. 이러한 이유로, 황금비에 가까운 각도가 엽서 (식물의 성장)에 자주 나타날 수 있다.[6]

정십이면체 속의 황금 직사각형


다음 값과 근사적으로 같다.

: 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...

또는 더 정확하게는 \frac{1+\sqrt{5}}{2} 이다.

기호값이름분류알려진 때알려진 소수점 자릿수
style="text-align: center;" |≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811황금비일반, 피보나치 수열고대3,141,000,000


3. 특정 분야 관련 상수

1874년8,010B_2≈ 1.90216 05782 4쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수수론1919년11B_4≈ 0.87058 83800소수 쿼드러플릿에 대한 브룬 상수수론??\Lambda– 1.1·10-12드 브루인-뉴먼 상수수론1950년??G≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411카탈란 상수조합론?15,510,000,000K≈ 0.76422 36535 89220 66란다우-라마누잔 상수수론?30,010K≈ 1.13198 82487 943비슈바나트 상수수론?13L≈0.54325 89653 42976 70695 27282 95300 61323란다우 상수해석학?>1,000B'_L≈ 1.08366르장드르 상수수론??\mu≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027라마누잔-솔드너 상수수론?75,500E_B≈ 1.60669 51524 15291 763에르되시-보와인 상수수론??\Lambda ≈ 1.09868 58055렝겔 상수수론1992년?style="background: #d0f0d0; text-align: center;" |≈ 0.80939 40205알라디-그린스테드 상수조합론??K_0≈ 2.68545 20010...힌친 상수수론1934년?



각 상수에 대한 자세한 내용은 하위 섹션을 참고할 수 있다.

3. 1. 수론 관련 상수

1874년8,010B_2≈ 1.90216 05782 4쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수수론1919년11B_4≈ 0.87058 83800소수 쿼드러플릿에 대한 브룬 상수수론??\Lambda– 1.1·10-12드 브루인-뉴먼 상수수론1950년??K≈ 0.76422 36535 89220 66란다우-라마누잔 상수수론무리수 (?)?30,010K≈ 1.13198 82487 943비슈바나트 상수수론?13B'_L≈ 1.08366르장드르 상수수론??\mu≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 027라마누잔-솔드너 상수수론?75,500E_B≈ 1.60669 51524 15291 763에르되시-보와인 상수수론무리수??\Lambda ≈ 1.09868 58055렝겔 상수수론1992년?style="text-align: center;" |≈ 0.80939 40205알라디-그린스테드 상수조합론??
K_0
2.6854520010...힌친 상수수론1934년



이 외에도 밀스 상수, 골롬-딕맨 상수, 빽하우스 상수, 니븐 상수, 로크스 상수, 해프너-사낙크-맥컬리 상수, 알틴 상수, 글레이셔-킨켈린 상수, 포터 상수, 가우스-쿠즈민-비어징 상수 등 다양한 수론 관련 상수들이 존재한다.

3. 1. 1. 오일러-마스케로니 상수 (γ)

오일러 상수 또는 오일러-마스케로니 상수는 조화 급수와 자연 로그 사이의 극한 차이로 정의된다.

:\begin{align}

\gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(- \ln n+\sum_{k=1}^n \frac1{k} \right)\\[5px]

\end{align}

이는 특히 메르텐스의 세 번째 정리 또는 약수 함수의 성장률과 같은 수론적 맥락에서 수학에서 자주 나타난다. 감마 함수 및 그 도함수뿐만 아니라 제타 함수와 관련이 있으며, \gamma와 관련된 다양한 적분 및 급수가 존재한다.

오일러-마스케로니 상수가 널리 사용됨에도 불구하고, 많은 속성이 여전히 알려지지 않았다. 여기에는 이것이 유리수인지 무리수인지, 대수적인지 초월적인지에 대한 주요 미해결 문제가 포함된다. 실제로 \gamma는 수학 상수로 "\pi와 e에 버금가는 중요성"을 지닌다고 묘사되었다.[12]

두 곡선(빨간색) 사이의 면적은 극한으로 수렴하며, 이는 오일러-마스케로니 상수이다.

3. 1. 2. 란다우-라마누잔 상수 (K)

란다우-라마누잔 상수는 주어진 수 이하의 제곱수와 소수의 합으로 표현될 수 있는 정수의 개수와 관련된 상수이다.[18] 이 상수의 값은 대략 0.76422 36535 89220 66이다.[18]

3. 1. 3. 브룬 상수 (B₂, B₄)

브룬 상수(Brun's constant)는 수론에서 다루는 특별한 상수이다. 이 상수는 쌍둥이 소수(3과 5, 5와 7, 11과 13, 17과 19처럼 차이가 2인 소수 쌍)와 관련이 있다. 1919년 비고 브룬은 쌍둥이 소수의 역수들의 합이 수렴한다는 것을 증명하고, 그 수렴값을 B₂로 나타냈다.[14]

B₂ ≈ 1.90216 05782 4[14]

이 값은 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다.[14]

또한, 소수 쿼드러플릿(연속하는 네 개의 홀수가 모두 소수인 경우. (5, 7, 11, 13)이 유일하며, 그 외에는 (p, p+2, p+6, p+8) 꼴)에 대한 브룬 상수도 있는데, 이는 소수 쿼드러플릿의 역수들의 합으로 정의되며, B₄로 나타낸다.[15]

B₄ ≈ 0.87058 83800[15]

3. 1. 4. 르장드르 상수 (B'L)

르장드르 상수는 소수 계량 함수의 근사식에 등장하는 상수이다. 현재는 그 값이 1임이 알려져 있다.[19]

기호값이름분류알려진 때알려진 소수점 자릿수
B'_L≈ 1.08366르장드르 상수수론??


3. 2. 조합론 관련 상수

조합론에서 나타나는 상수로는 카탈란 상수와 알라디-그린스테드 상수 등이 있다.

기호값이름분류알려진 때알려진 소수점 자릿수
G≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411카탈란 상수조합론?15,510,000,000
style="background: #d0f0d0; text-align: center;" |≈ 0.80939 40205알라디-그린스테드 상수조합론??



카탈란 상수에 대해서는 하위 섹션에서 자세히 다루고 있다.

3. 2. 1. 카탈란 상수 (G)

카탈란 상수(Catalan's constant)는 조합론, 수론 등에서 등장하는 상수로, 다양한 조합론적 문제의 해에 나타난다. 샤를 외젠 카탈랑의 이름을 따서 명명되었다.

카탈란 상수 G는 홀수 제곱수의 역수의 교대합으로 정의된다.

:G = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots

이는 디리클레 베타 함수 \beta(s)의 s=2일 때의 특수한 값이다. 카탈랑 상수는 조합론과 정수론에서 자주 나타나며, 나선 은하의 질량 분포 계산과 같이 수학 외 분야에서도 사용된다.[9]

G의 값은 대략 다음과 같다.

: 0.91596559417721901505460351493238411077414937428167...

이 상수가 유리수인지 무리수인지, 또는 초월수인지는 아직 밝혀지지 않았다. G는 "아마도 무리수성과 초월성이 증명되지 않은 가장 기본적인 상수"라고 불린다.[10] 카탈랑 상수를 나타내는 많은 적분 표현과 급수 표현이 존재한다.

3. 3. 카오스 이론 관련 상수

카오스 이론은 혼돈, 비선형 동역학계에서 나타나는 현상을 연구하는 분야이다. 파이겐바움 상수는 이 분야의 대표적인 상수이다.

기호값이름분류알려진 때알려진 소수점 자릿수
\delta≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161파이겐바움 상수혼돈 이론1975년?
\alpha≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578파이겐바움 상수혼돈 이론??



파이겐바움 상수에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3. 3. 1. 파이겐바움 상수 (δ, α)

파이겐바움 상수는 혼돈계에서 나타나는 분기 현상과 관련된 상수이다. 이 상수는 미첼 파이겐바움이 발견하였으며, 로지스틱 맵과 같은 특정 비선형 동역학계에서 나타나는 주기 배가 분기 현상에서 중요한 역할을 한다.

파이겐바움 상수는 두 가지로, 첫 번째 파이겐바움 상수 δ는 주기 배가가 일어나는 간격의 비율과 관련되어 있다. δ의 값은 대략 다음과 같다.

: 4.66920160910299067185320382046620161725818557747576...

두 번째 파이겐바움 상수 α는 분기 다이어그램에서 갈래의 폭과 관련된 비율을 나타낸다. α의 값은 대략 다음과 같다.

: 2.50290787509589282228390287321821578638127137672714...

이 상수들은 기하학의 ''π''나 미적분학의 ''e''처럼, 특정 수학적 시스템에서 보편적으로 나타나는 중요한 값으로 여겨진다.[14] 그러나 이 상수들이 무리수인지 초월수인지는 아직 밝혀지지 않았다.

3. 4. 해석학 관련 상수

원주율 애니메이션


미적분학과 복소해석학 등 해석학 분야에서 자주 사용되는 상수들은 다음과 같다.

기호값이름성질알려진 때알려진 소수점 자릿수
i\sqrt{-1} 허수 단위 , 아이(i)복소수1500년경∞
\pi≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288원주율초월수고대1,241,177,300,000
e≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249네이피어 수, 자연로그의 밑초월수1618년12,884,901,000
L≈0.54325 89653 42976 70695 27282 95300 61323란다우 상수??>1,000
\zeta (3)≈ 1.20205 69031...아페리 상수?1780년2,000,000,000,000[28]
\varpi2.6220575542...레므니스케이트 상수초월수1700년대1,200,000,000,000[28]
A1.2824271291...글레이셔-킨켈린 상수?1860년500,000[29]

3. 4. 1. 아페리 상수 (ζ(3))

아페리 상수는 자연수의 세제곱수의 역수의 합으로 정의된다.

:

리만 제타 함수(Riemann zeta function영어) ζ(s)의 s=3일 때의 특수한 값이다. 오일러가 ζ(2) = 1/6π² 임을 제시하며 바젤 문제를 해결했을 때, 이 상수를 다른 알려진 상수와 초등 함수를 사용하여 정확한 값을 찾으려는 시도가 시작되었다. 현재까지 이러한 값은 발견되지 않았으며, 존재하지 않을 것이라고 추측된다.[7] 하지만, ζ(3)을 무한 급수로 나타내는 많은 표현들이 존재한다.

아페리 상수는 양자 전기역학을 사용하여 계산된 전자의 자이로 자기비율의 2차 및 3차 항을 포함하여, 여러 물리적 문제에서 자연스럽게 나타난다.[8]

ζ(3)은 무리수임이 알려져 있으며, 1979년 프랑스 수학자 로제 아페리에 의해 증명되었다. 그러나 대수적인지 초월수인지는 알려져 있지 않다.

아페리 상수의 수치 값은 대략 다음과 같다.

: 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049...

4. 수학 상수 관련 논쟁

수학 상수로 불리는 것 외에도 물리 상수가 존재한다. 하지만 물리 상수는 '수'보다는 '양'에 가까우며, 단위계 선택에 따라 값이 변한다. 예를 들어 빛의 속도는 물리 상수이지만, 단위를 바꾸면 299792.458km/s, 299792458m/s 등으로 수치가 달라진다.

미세 구조 상수처럼 무차원량인 물리 상수는 단위 선택에 영향을 받지 않는다. 그러나 다른 물리 상수와 마찬가지로 그 값은 '''물리적 측정'''으로 결정된다. 이는 어떤 수식으로 '''수학적으로 결정'''되는 수학 상수와는 근본적으로 다르다.

물리 상수는 측정 조건(예: 중력 차이에 따른 '무게' 변화)이나 결과에 따라 수학 상수보다 큰 오차(불확실성)를 가질 수 있다. 하지만, 미래에 수학적으로 결정되어 수학 상수로 판명될 가능성도 존재한다.

"1인치를 센티미터로 나타낸 값(2.54cm)"이나, "원주율을 3, 3.14, 3.1415 등으로 표현한 수학 상수의 근사값"처럼 인위적으로 정해진 수나, 특정 장소에서 측정되어 편의상 "표준 중력 가속도()"로 정해진 중력 가속도 등은 수학 상수가 아니다.

이름에 '상수'가 붙어 있어도 수학 상수가 아닌 경우도 있다. 예를 들어 차이틴 상수는 계산 모형을 지정해야만 값이 결정되므로 수학 상수가 아니다.[1]

4. 1. 물리 상수와의 관계

수학 상수와 마찬가지로 상수로 불리는 것에 물리 상수가 있지만, 물리 상수는 "수"라기보다는 "양"이며, 단순한 단위계의 선택에 따라 수치가 변한다. 예를 들어, 빛의 속도는 물리 상수이지만, 단위를 바꾸면 299792.458km/s, 299792458m/s와 같이 수치가 변화한다.

미세 구조 상수와 같은 무차원량의 물리 상수는 단위 선택에 의존하지 않지만, 다른 물리 상수와 마찬가지로 그 값은 '''물리적인 측정'''으로 결정되며, 어떤 수식으로 '''수학적으로 결정'''되는 수학 상수와는 근본적으로 다르다.

물리 상수의 경우, 측정 조건 (중력의 차이에 따른 "무게"의 변화 등)이나 결과에 따라 수학 상수보다 큰 오차 (불확실성)도 발생하지만, 장래에 수학적으로 결정되어 수학 상수임이 판명될 가능성은 있다.

"1인치를 센티미터로 나타낸 값 (2.54cm)"이나 "원주율을 3이나 3.14, 3.1415 등으로 한 수학 상수의 대략적인 값"과 같이, 인위적으로 정해진 수나, 특정 장소에서 측정되어 편의상 "표준 중력 가속도 ()"로 된 중력 가속도 등은 수학 상수가 아니다.

이름에 상수라고 붙어 있어도 수학 상수가 아닌 것도 있다. 예를 들어, 차이틴 상수는, 계산 모형을 지정하지 않으면 값이 결정되지 않으므로, 수학 상수가 아니다.[1]

참조

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