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이십일각형

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목차

1. 개요

정이십일각형은 21개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형이다. 정이십일각형의 내각은 약 162.857°이며, 한 변의 길이가 a일 때 면적은 약 34.83147a²이다. cos(2π/21) 값은 제곱근과 세제곱근으로 표현 가능하며, 삼각함수와 관련된 여러 수식을 통해 값을 구할 수 있다. 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 것은 불가능하지만, 종이접기를 이용하면 작도가 가능하다.

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2. 정이십일각형의 성질

정이십일각형은 다각형의 일종으로, 몇 가지 독특한 수학적 성질을 가진다. 중심각, 외각, 내각은 특정 값을 가지며, 면적 또한 한 변의 길이를 이용하여 계산할 수 있는 공식이 존재한다. 특히, 정이십일각형과 관련된 삼각함수 값인 \cos(2\pi/21)은 제곱근과 세제곱근을 사용하여 대수적으로 표현할 수 있다는 중요한 특징이 있다.

2. 1. 각

정이십일각형의 중심각과 외각은 약 17.142…° (\frac{120^\circ}{7})이며, 내각은 약 162.857…° (\frac{1140^\circ}{7})이다.

2. 2. 면적

한 변의 길이가 a인 정이십일각형의 면적 S는 다음과 같다.

:S = \frac{21}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{21} \simeq 34.83147 a^2

이 공식에 사용되는 \cot \frac{\pi}{21} 값은 \cos\frac{2\pi}{21} 값을 통해 유도할 수 있으며, 이 \cos\frac{2\pi}{21} 값은 제곱근과 세제곱근을 이용하여 나타낼 수 있다.

2. 3. 대수적 표현

\cos (2\pi/21)의 값은 제곱근과 세제곱근을 사용하여 나타낼 수 있다.

:\cos\frac{2\pi}{21} = \cos \left(\frac{2\pi}{3}-\frac{4\pi}{7}\right)

실수 근호로 표현된 삼각 상수에 따르면, \cos(2\pi/21)는 다음과 같이 표현된다.

:\cos\frac{2\pi}{21} = \frac{1+\sqrt{21}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(42\sqrt{3}-18\sqrt{7}\right)i}+\sqrt[3]{154-30\sqrt{21}+\left(18\sqrt{7}-42\sqrt{3}\right)i}}{12}

또한, \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2k\pi}{2n+1} = -\frac{1}{2} 라는 관계식을 이용하여 \cos(2\pi/21)에 대한 식을 유도할 수 있다. n=10일 때,

:2\cos\frac{2\pi}{21}+2\cos\frac{4\pi}{21}+2\cos\frac{6\pi}{21}+2\cos\frac{8\pi}{21}+2\cos\frac{10\pi}{21}+2\cos\frac{12\pi}{21}+2\cos\frac{14\pi}{21}+2\cos\frac{16\pi}{21}+2\cos\frac{18\pi}{21}+2\cos\frac{20\pi}{21}=-1

여기서 다음 관계식을 이용한다.

:\begin{align}

& 2\cos\frac{14\pi}{21}=2\cos\frac{2\pi}{3}=-1 \,\\

& 2\cos\frac{6\pi}{21}+2\cos\frac{12\pi}{21}+2\cos\frac{18\pi}{21}=2\cos\frac{2\pi}{7}+2\cos\frac{4\pi}{7}+2\cos\frac{6\pi}{7}=-1 \\

\end{align}

위 식들을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

:2\cos\frac{2\pi}{21}+2\cos\frac{4\pi}{21}+2\cos\frac{8\pi}{21}+2\cos\frac{10\pi}{21}+2\cos\frac{16\pi}{21}+2\cos\frac{20\pi}{21}=1

만약 다음과 같이 \alpha와 \beta를 정의하면,

:\begin{align}

& \alpha=2\cos\frac{2\pi}{21}+2\cos\frac{8\pi}{21}+2\cos\frac{10\pi}{21} \\

& \beta=2\cos\frac{4\pi}{21}+2\cos\frac{16\pi}{21}+2\cos\frac{20\pi}{21}

\end{align}

다음과 같은 값을 구할 수 있다.

:\begin{align}

& \alpha+\beta=1 \,\\

& (\alpha-\beta)^2 = 21 \\

& \alpha-\beta=\sqrt{21} \\

\end{align}

이 결과와 근과 계수의 관계를 이용하여 삼차 방정식을 세우고 풀면 \cos (2\pi/21)의 값을 구할 수 있다.

3. 정이십일각형의 작도

(내용 없음)

3. 1. 작도 불가능성

정21각형은 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 불가능한 도형이다. 하지만 종이접기로는 작도가 가능하다.

3. 2. 종이접기를 이용한 작도

정이십일각형은 자와 컴퍼스만으로는 작도할 수 없는 도형이다. 하지만 종이접기를 이용하면 작도가 가능하다.


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