조건제시법

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1. 개요
2. 술어와 집합 생성 표기법
- 2.1. 정의역 지정
- 2.2. 예시
3. 표기법의 확장
- 3.1. 확장 예시
4. 동치 술어와 집합
5. 집합 존재 공리
6. 프로그래밍 언어에서의 활용
- 6.1. 프로그래밍 언어별 예시
7. 한국 수학 교육과정에서의 집합 생성 표기법
참조

1. 개요

조건제시법은 수학에서 특정 조건을 만족하는 원소들의 집합을 정의하는 방법이다. 술어와 집합 생성 표기법을 사용하여 표현하며, 중학교 수학 과정에서 처음 배우고 고등학교 및 대학 수학에서도 활용된다. 집합의 원소, 구분 기호, 술어로 구성되며, 프로그래밍 언어에서도 리스트 컴프리헨션 형태로 사용된다. 한국 수학 교육과정에서는 조건제시법이라는 용어로 중학교 1학년 과정에서 도입된다.

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조건제시법
집합-표기법
정의	집합의 원소를 지정하는 방법
유형	열거 표기법 집합-구성자 표기법
집합-구성자 표기법
정의	주어진 집합의 원소가 만족해야 하는 조건을 명시하여 집합을 정의하는 방법
형식	'{원소 \| 조건}' 또는 '{원소 : 조건}'
예시	'{n \| ∃k∈ℤ, n = 2k}' (짝수 정수의 집합)
구분 기호	'\|' 또는 ':'
한국어 번역	조건 제시법
조건 제시법
정의	집합의 원소가 만족하는 조건을 제시하여 집합을 나타내는 방법
형식	'{a \| a∈ℤ and ∃p ∈ ℤ (a=2p)}' (짝수 정수의 집합)
영어	Set-builder notation

2. 술어와 집합 생성 표기법

조건제시법은 변수, 구분 기호, 술어의 세 부분으로 구성되며, 다음과 같은 형식을 갖는다.^[2]

: $\{x \mid \Phi(x)\}$ 또는 $\{x : \Phi(x)\}$

여기서 수직선(또는 쌍점)은 "~인", "그것에 대해", "그 특성을 가진" 등으로 읽을 수 있는 구분 기호이다. `Φ(x)`는 '규칙' 또는 '술어'라고 불리며, 이 술어가 참이 되는 모든 `x` 값은 정의되는 집합에 속한다. 술어가 거짓인 `x` 값은 집합에 속하지 않는다. 따라서 $\{x \mid \Phi(x)\}$ 는 술어 `Φ`를 만족하는 모든 `x` 값의 집합을 의미한다.^[3] 만약 술어를 만족하는 `x` 값이 없으면 공집합이 된다.

예를 들어 집합 A = {3, 4, 5}를 조건제시법으로 나타내면 { $n$ | $n$ 은 자연수, 3≤ $n$ ≤5}와 같이 표현할 수 있다.

2. 1. 정의역 지정

술어로 정의된 집합에서 정의역은 수직선 왼쪽에 나타내거나,^[4]

:

\{x \in E  \mid  \Phi(x)\}

술어에 추가하여 나타낼 수 있다.

:

\{ x \mid x \in E \text{ and } \Phi(x)\}\quad\text{or}\quad\{ x \mid x \in E \land \Phi(x)\}.

여기서 ∈ 기호는 집합 포함 관계를 나타내고,

\land

기호는 논리적 결합으로 알려진 논리적 "and" 연산자를 나타낸다.

일반적으로 담론 영역을 정의하지 않고 집합을 고려하는 것은, 술어가 참인 "존재할 수 있는 모든 것"의 부분 집합을 나타내기 때문에 모순과 역설로 이어질 수 있다. 러셀의 역설은 이러한 정의역 설정의 중요성을 보여주는 대표적인 예시이다.^[5]

집합이 문맥상 명확한 경우 명시적으로 지정하지 않을 수 있다.

2. 2. 예시

x ∈ ℝ | x > 0^영어는 모든 엄밀히 양수 실수의 집합으로, 구간 표기법으로 (0, ∞)^영어로 쓸 수 있다.
x ∈ ℝ | |x| = 1^영어은 집합 {-1, 1^영어}입니다. 이 집합은 x ∈ ℝ | x² = 1^영어로도 정의할 수 있다.
각 정수 m^영어에 대해, }으로 정의할 수 있다. 예를 들어, }이고 G_-2 = { -2, -1, 0, …^영어}이다.
{(x,y) ∈ ℝ × ℝ | 0 < y < f(x)^영어}는 주어진 함수 f^영어에 대해 ''y''가 0보다 크고 f(x)^영어보다 작은 실수 쌍의 집합이다. 여기서 데카르트 곱 ℝ×ℝ^영어는 실수 순서쌍의 집합을 나타낸다.
{n ∈ ℕ | (∃ k) [k∈ ℕ ∧ n = 2k]^영어}는 모든 짝수 자연수의 집합이다. ∧^영어 기호는 "그리고"를 나타내며, 이는 논리곱으로 알려져 있다. ∃^영어 기호는 "존재한다"를 나타내며, 이는 존재 한정으로 알려져 있다. 예를 들어, (∃ x) P(x)^영어는 "P(x)^영어를 만족하는 x^영어가 존재한다"로 읽는다.
{n | (∃ k ∈ ℕ ) [n = 2k]^영어}는 동일한 짝수 자연수의 집합에 대한 표기법 변형이다. 오른쪽 공식에 의해 암시되므로 n^영어이 자연수임을 명시할 필요는 없다.
{a ∈ ℝ | (∃ p∈ ℤ )(∃ q∈ ℤ ) [ q ≠ 0 ∧ aq=p]^영어}는 유리수의 집합이다. 즉, 두 정수의 비율로 쓸 수 있는 실수이다.

3. 표기법의 확장

집합 구성 표기법은 단일 변수 대신 식을 포함하도록 확장될 수 있다. 즉, $\{ x \mid \Phi(x)\}$ 대신 $\{ f(x) \mid \Phi(x)\}$ 형태를 사용할 수 있으며, 이는 $\{ f(x) \mid \Phi(x)\}=\{y\mid\exists x (y=f(x)\wedge\Phi(x))\}$ 와 같이 읽는다.

3. 1. 확장 예시

확장된 집합 생성 표기법의 예시는 다음과 같다.

'''N'''|'''N'''^영어이 모든 자연수의 집합일 때, $\{2n \mid n \in \mathbb{N}\}$ 는 모든 짝수 자연수의 집합이다.
'''Z'''|'''Z'''^영어가 모든 정수의 집합일 때, $\{p/q \mid p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \}$ 는 모든 유리수의 집합인 '''Q'''|'''Q'''^영어이다.
$\{ 2t + 1 \mid t \in \mathbb{Z}\}$ 는 홀수 정수의 집합이다.
$\{(t, 2t + 1) \mid t \in \mathbb{Z}\}$ 는 정수를 홀수 정수에 대응시키는 쌍의 집합을 생성한다.

역함수를 명시적으로 나타낼 수 있는 경우, 왼쪽의 식은 간단한 대체를 통해 제거할 수 있다. 예시 집합

\{ 2t + 1 \mid t \in \mathbb{Z}\}

를 생각해 보자.

u = 2t + 1

을 대입하면

t = (u - 1) / 2

이다. 그런 다음 집합 구성 표기법에서 ''t''를 대체하여 다음을 얻는다.

:

\{ 2t + 1 \mid t \in \mathbb{Z}\} = \{u \mid (u - 1) / 2 \in \mathbb{Z}\}

4. 동치 술어와 집합

두 집합은 그 구성 요소가 동일할 때, 그리고 오직 그 때에만 같다. 조건제시법에 의해 정의된 집합들은 집합 구성 규칙, 즉 영역 지정자를 포함하여, 서로 동치일 때, 그리고 오직 그 때에만 같다.

예를 들어,

: $\{ x \in \mathbb{R}\mid x^2 = 1 \} = \{ x \in \mathbb{Q} \mid |x| = 1 \}$

는 두 규칙 술어들이 논리적으로 동치이기 때문에 성립한다.

: $(x \in \mathbb{R} \land x^2 = 1) \Leftrightarrow (x \in \mathbb{Q} \land |x| = 1).$

이 동치는, 임의의 실수 ''x''에 대해, $x^2 = 1$ 일 때, 그리고 그 때에만 ''x''가 $|x|=1$ 인 유리수이기 때문에 성립한다. 특히, 두 집합 모두 $\{-1,1\}$ 집합과 같다.

5. 집합 존재 공리

체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 형식적 집합론에서는 집합 생성 표기법 대신 집합 존재 공리 체계를 사용한다. 집합 존재 공리 체계는 ''E''가 집합이고 Φ(''x'')가 집합론의 언어에 있는 공식이라면, Φ를 만족하는 ''E''의 원소인 ''Y'' 집합이 존재한다고 말한다.^[4]

: $(\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x \in Y \Leftrightarrow x \in E \land \Phi(x)].$

이 공리에서 얻은 집합 ''Y''는 집합 구성 표기법으로 $\{ x \in E \mid \Phi(x)\}$ 로 설명된 집합과 정확히 같다.

6. 프로그래밍 언어에서의 활용

리스트 컴프리헨션은 파이썬이나 하스켈 등 여러 프로그래밍 언어에서 사용되는 기능이다. 이는 하나 이상의 리스트에 대해 map과 filter 연산을 결합하여 간결하게 새로운 리스트를 생성하는 방법으로, 집합 생성 표기법과 유사한 형태를 가진다.^[6]

6. 1. 프로그래밍 언어별 예시

여러 프로그래밍 언어(특히 파이썬 및 하스켈)에서 사용 가능한 리스트 컴프리헨션은 하나 이상의 리스트에 대한 map 및 filter 연산을 결합한 것입니다.

파이썬에서는 집합 생성자의 중괄호가 대괄호, 소괄호 또는 중괄호로 대체되어 각각 리스트, 생성기, 집합 객체를 제공합니다. 파이썬은 영어 기반 구문을 사용합니다. 하스켈은 집합 생성자의 중괄호를 대괄호로 대체하고 표준 집합 생성자 세로 막대를 포함한 기호를 사용합니다.

스칼라에서는 "for" 키워드가 "yield" 키워드를 사용하여 산출된 변수의 리스트를 반환하는 시퀀스 컴프리헨션을 사용하여 동일한 작업을 수행합니다.^[6]

일부 프로그래밍 언어에서 이러한 집합 생성자 표기법의 예시는 다음과 같습니다.

	예제 1	예제 2
집합 생성자	\{l\>\ l \in L\}	\{(k, x)\>\ k \in K \wedge x \in X \wedge P(x) \}
파이썬	{l for l in L}	{(k, x) for k in K for x in X if P(x)}
하스켈	l <- ls]	k <- ks, x <- xs, p x]
스칼라	for (l <- L) yield l	for (k <- K; x <- X if P(x)) yield (k,x)
C#	from l in L select l	from k in K from x in X where P(x) select (k,x)
SQL	SELECT l FROM L_set	SELECT k, x FROM K_set, X_set WHERE P(x)
프롤로그	setof(L,member(L,Ls),Result)	setof((K,X),(member(K,Ks),member(X,Xs),call(P,X)),Result)
Erlang	[L	L <- Ls]	[{K,X}	K <- Ks, X <- Xs, p(X)]
줄리아	[l for l ∈ L]	[(k, x) for k ∈ K for x ∈ X if P(x)]
Mathematica	-> l) /@ L	Cases[Tuples[{K, X}], {k_, x_} /; P[x]]

집합 생성자 표기법과 리스트 컴프리헨션 표기법은 모두 제로 요소가 있는 모든 모나드에 대해 map/filter와 유사한 연산을 허용하는 ''모나드 컴프리헨션''이라고 하는 보다 일반적인 표기법의 인스턴스입니다.

7. 한국 수학 교육과정에서의 집합 생성 표기법

집합 A = {n|n은 자연수, 3≤n≤5} 등으로 표기할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Discrete Mathematics and its Applications https://books.google[...] McGraw-Hill
_[2] 서적 A Transition to Mathematics with Proofs Jones & Bartlett
_[3] 웹사이트 Set https://mathworld.wo[...] 2020-08-20
_[4] 웹사이트 Set-Builder Notation https://www.mathsisf[...] 2020-08-20
_[5] 백과사전 Russell's Paradox http://plato.stanfor[...] 2016-10-09
_[6] 웹사이트 Sequence Comprehensions http://docs.scala-la[...] Scala 2017-08-06
_[7] 서적 Discrete Mathematics and its Applications McGraw-Hill

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