기수법은 숫자를 나타내는 체계로, 크게 단항, 명수, 위치값 기수법으로 나뉜다. 단항 기수법은 가장 단순한 형태로, 숫자를 기호의 반복으로 표현하며, 명수법은 특정 수에 대한 기호를 사용하여 큰 수를 간결하게 나타낸다. 위치값 기수법은 숫자의 위치에 따라 값을 달리하며, 0의 개념을 포함하여 현대적인 숫자 표기법의 기반이 되었다. 10진법은 널리 사용되며, 2진법은 컴퓨터 과학에서, 12진법과 60진법은 특정 단위에서 활용된다. 각 문명의 기수법은 독자적인 특징을 가지며, 0의 발명과 위치값 기수법의 발전은 현대적인 숫자 체계의 중요한 진전을 이루었다.
3자 이상의 단위는 인도에서 유래한 것이 많다. 항하사는 원래 불교 경전에서 무한히 큰 수를 나타내는 데 사용되었던 자릿수로, 갠지스 강/गङ्गाsa에서 유래한다. 아승기는 불가산/असंख्येयsa에서, 나유타는 नयुतः/नयुतsa에서 유래한다. 그보다 큰 수의 단위는 불교의 단어가 중국어로 번역되고, 후에 단위가 부여된 것이다.
서양 여러 언어의 명수법에는 long scale(롱 스케일)과 short scale(숏 스케일)이라는 두 종류가 있다. 이는 한자 문화권에서 말하는 만만진과 만진의 관계와 비슷하다. 19세기부터 20세기 대부분까지, 영국에서는 전자만, 미국에서는 후자만 사용되었다. 1948년, 국제도량형총회는 long scale의 보편적인 사용을 제안했지만, 현재는 일반적으로 short scale이 사용되고 있다. 영어의 경우에는 천진법(千進法)이 사용된다.
1475년 장 아담(Jean Adam)이 1012, 1018을 bymillion, trimillion으로 사용했고, 1484년 프랑스 수학자 니콜라 슈케(Nicolas Chuquet)는 1012, 1018, 1024, 1030, 1036, 1042, 1048, 1054를 각각 byllion, tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion, nonyllion으로 표기했다. 17세기 6자리(백만)마다 이름이 바뀌는 전통적인 방식(long scale)에서 3자리(천)마다 이름이 바뀌는 새로운 방식(short scale)으로 나뉘어 프랑스와 이탈리아에서 billion을 109(10억)의 의미로 사용하는 과학자가 나타났다. 19세기 초 프랑스가 short scale로 광범위하게 전환하고 미국이 그 뒤를 이었다. 1948년 국제도량형총회는 long scale의 보편적인 사용을 제안했다. 1974년 영국 수상 해럴드 윌슨(Harold Wilson)은 정부 통계에서 short scale을 사용한다고 말했다.
당나라의 실차난다 번역의 『화엄경(팔십화엄)』 제45권 「아승기품 제30」에는, 10⁵을 낙차라 하고, 100낙차(10⁷)를 구지(俱胝)라 하며, 구지 이상을 상수(上數)로 하여 123개의 명수가 열거되어 있다. 최대 명수인 불가설불가설전은 이다.
고유어(和語)를 사용하여 거대한 수를 나타내는 방식으로는 히후미 계산법이 있으며, 1038자리까지 나타낼 수 있다.
고유어(和語) 계산법
명칭
수
하나(ひ)
1 (一)
둘(ふ)
2 (二)
셋(み)
3 (三)
넷(よ)
4 (四)
다섯(い)
5 (五)
여섯(む)
6 (六)
일곱(な)
7 (七)
여덟(야)
8 (八)
아홉(こ)
9 (九)
열(と)
10 (十)
백(も)
100 (百)
천(ち)
1,000 (千)
만(ろ)
10,000 (万)
십만(ら)
100,000 (十万)
백만(네)
1,000,000 (百万)
천만(し)
10,000,000 (千万)
억(키)
100,000,000 (一億)
십억(루)
109 (十億)
백억(유)
1010 (百億)
천억(이)
1011 (千億)
조(쓰)
1012 (一兆)
십조(와)
1013 (十兆)
백조(누)
1014 (百兆)
천조(소)
1015 (千兆)
경(오)
1016 (一京)
십경(타)
1017 (十京)
백경(하)
1018 (百京)
천경(쿠)
1019 (千京)
해(메)
1020 (一垓)
십해(카)
1021 (十垓)
백해(우)
1022 (百垓)
천해(오)
1023 (千垓)
자(에)
1024 (一𥝱)
십자(니)
1025 (十𥝱)
백자(사)
1026 (百𥝱)
천자(리)
1027 (千𥝱)
양(헤)
1028 (一穣)
십양(테)
1029 (十穣)
백양(노)
1030 (百穣)
천양(마)
1031 (千穣)
구(스)
1032 (一溝)
십구(아)
1033 (十溝)
백구(세)
1034 (百溝)
천구(에)
1035 (千溝)
간(호)
1036 (一澗)
십간(레)
1037 (十澗)
백간(케)
1038 (百澗)
'''위치값 기수법'''은 숫자의 위치에 따라 값이 달라지는 기수법으로, 현대에 가장 널리 사용된다. 예를 들어 1524는 ('''1'''×103) + ('''5'''×102) + ('''2'''×101) + ('''4'''×100)으로 표현할수 있다.
일반적으로 위치값 기수법으로 나타낸 수 ''z''는 다음과 같이 표현된다.
#
#
위 식에서 x는 등급화된 기수를 의미하며, 기수의 거듭제곱들, 즉 를 기수 x에 대한 '''계수(階數)'''라고 한다. 등급화된 기수 x에 따라 ''x진법''이라고 하며, 2이면 2진법, 10이면 10진법, 60이면 60진법이라고 한다.
계수(係數) 는 해당 위치의 계수(階數) 의 개수를 나타내는 숫자이다. 로서 가능한 수는 항상 기수 1, 2, 3, ... , (x-1)까지 x로 등급화된 기수 체계에서 x-1개가 존재한다. 위치값 기수법으로 수를 표현하는 경우 특정한 위치가 수의 표현에서 필요하지 않는 경우가 생기는데, 이때 0의 개념이 필요하다.
아라비아 숫자를 사용한 10진법이 대표적이며, 2진법, 16진법 등도 컴퓨터 과학 분야에서 널리 사용된다. 5세기에 쿠수마푸라의 아리아바타는 위치 표기법을 개발했고, 한 세기 후 브라마굽타는 0을 나타내는 기호를 도입했다. 중동 수학자들은 10의 음의 거듭제곱(분수)을 포함하도록 이 체계를 확장했으며, 소수점 표기법은 신드 이븐 알리에 의해 도입되었다.
힌두-아라비아 숫자 체계는 유럽으로 퍼져 나갔고, 유럽에서 사용되는 숫자는 아랍인들로부터 배웠기 때문에 아라비아 숫자라고 불린다.
산술 연산은 이전의 가산 시스템보다 위치 시스템에서 훨씬 쉽다. 또한 가산 시스템은 10의 다양한 거듭제곱에 대해 많은 수의 다른 기호가 필요하지만, 위치 시스템은 (밑수 10을 사용한다고 가정하면) 열 가지 기호만 필요하다.
컴퓨터에서는 이진법을 기반으로, 두 개의 이진수 0과 1을 사용한다. 이진수를 세 개씩( 팔진법) 또는 네 개씩( 십육진법) 그룹화하여 얻은 위치 체계가 일반적으로 사용된다.
특정 생물 시스템에서는 일진 부호화 시스템이 사용된다. 새소리 생성을 담당하는 신경 회로에서 사용되는 일진수. 새소리의 학습과 생성 모두에 관여하는 새의 뇌에 있는 핵은 HVC(고음역 중추)이다. 새소리에서 서로 다른 음표에 대한 명령 신호는 HVC의 서로 다른 지점에서 나온다.
b진법(b는 1보다 큰 자연수이며, 기수 또는 밑수라고 함)에서는 0을 포함한 처음 b개의 자연수에 해당하는 b개의 기본 기호(또는 자릿수)를 사용한다. 나머지 수를 생성하기 위해서는 기호의 위치를 사용하며 왼쪽으로 이동할 때마다 그 값은 b를 곱한다.
소수점을 사용하여 자릿수를 두 그룹으로 나누면 위치 표기법으로 분수를 쓸 수도 있다.
어떤 수가 유한 소수 또는 순환 소수로 표현될 수 있는지 여부는 필요충분조건으로 유리수 여부이며, 이것은 밑수에 의존하지 않는다. 어떤 밑수에서 유한 소수로 표현되는 수는 다른 밑수에서는 순환 소수가 될 수 있다. 무리수는 모든 정수 밑수에서 비순환 소수(무한히 많은 비반복 자릿수)로 남는다.
2. 1. 단항 기수법(1진법)
'''단항 기수법'''은 가장 원시적인 기수 체계로, 단위 수를 나타내는 기호 (예: 수직선, 원, 점)를 반복하여 숫자를 표현한다. 예를 들어, '|' 기호가 1을 나타낸다면, 5는 '|||||'로, 10은 '||||||||||'로 표기한다.[32] 초기에는 단위 기호를 한 줄에 나열했지만, 숫자를 쉽게 인식하기 어렵다는 문제가 있었다.[32] 이후 한 줄에 특정 개수(주로 4개) 이상의 기호가 있으면 다음 줄로 넘기는 방식으로 개선되었다.[32] 학자들은 사람이 일렬로 나열된 단위 기호를 4개 이상 인지하기 어렵기 때문에, 한 줄에 최대 4개의 기호를 표기하는 것이 일반적이라고 설명한다.[32] 이집트, 크레타, 바빌로니아, 페니키아 등 고대 문명에서 이러한 '4의 법칙' 또는 '3분 원칙'을 사용한 사례를 확인할 수 있다.[32] 일부 문명에서는 숫자 5에 대한 별도 기호를 만들어 숫자 인식의 어려움을 해결하기도 했다.
단항 기수법으로 나타낸 숫자 8.
2. 2. 명수법
단위 수뿐만 아니라 더 큰 특정 수들에 대한 기호를 사용하여 큰 수를 간결하게 표현하는 방법을 명수법이라고 한다.[13] 고대 이집트 숫자와 로마 숫자는 명수법을 바탕으로 한 대표적인 기수 체계이다.
중국에서 유래한 한자에서는 일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경 등의 수사로 큰 수를 나타낸다. 후한의 서악(徐岳) 저서 『』나 북주의 진란(甄鸞) 저서 『』에는 큰 수의 단위가 기록되어 있는데, 당시에는 재까지였으며, 𥝱는 원래 자(秭)였고, 일본의 『진겁기』에서 자형이 변화하였다.[13] 이 문헌들에 따르면, 만(萬)보다 큰 수사가 나타내는 값에는 하수(下數), 중수(中數), 상수(上數)의 세 종류가 있었다.[13]
처음에는 만(104)을 구분으로 십만(105), 백만(106), 천만(107)까지 나타냈고, 만부터 1자릿수마다 억(105), 조(106)라고 명명하는 하수(下數)가 있었다. 한나라 무렵부터는 수사가 나타내는 자릿수의 2제곱이 다음 수사가 되는 상수(上數)가 문헌에 기록되기 시작했다. 만만이 억(108)인 것은 오늘날과 같지만, 억억이 조(1016), 조조가 경(1032)이 되는 방식이다. 이후 천만의 다음을 억으로 하고, 십억(109), 백억(1010)으로 이어 나가는 중수(中數)가 고안되었다. 초기 수학서에 나타난 중수는 만만(108)배마다 새로운 명칭을 붙이는 만만진(萬萬進) 방식이었으나, 후에 만 배마다, 즉 만만을 억, 만억을 조(1012)로 하는 만진(萬進, 만진법(萬進法))으로 바뀌었다.
원(元)의 주세걸(朱世傑)의 《산학계몽(算學啓蒙)》에서 처음으로 극 이상의 단위가 추가되었지만, 당시 불가사의(不可思議) 위에는 무량대수(無量大數)가 아니라 무량수(無量數)였다. 일본에서는 1627년 『진겁기』 초판에서 처음으로 큰 수가 등장했지만,[14] 극 이하는 하수, 恒河沙 이상을 만만진의 중수로 하고 있었다. 1631년 판에서는 극 이하가 만진으로 고쳐졌고, 무량수도 무량대수라는 명칭으로 통합되었다. 1634년 판에서는 모두 만진으로 통일되었고, 오늘날에도 만진만이 사용되고 있다.
큰 숫자가 한자로 표기될 때는, 대부분의 경우 0이 생략된다. 예를 들어 4002는 "사천령이(四千零二)"가 아니라 "사천이(四千二)"로 표기되는 경우가 많다. 결산서를 읽는 경우에는 읽지 않는 자릿수를 “토비(飛び)” 또는 “톤데(飛んで)”로 나타내는 경우가 있다.
중국에서는 근대까지 만만진과 만진이 혼용되었고, 미터법의 접두어인 메가(106)에 “조”(하수의 106)의 글자를 붙여 혼란이 있었다. 오늘날에는 “억”은 중수의 108, “조”는 하수의 106의 의미가 되어, 조보다 억이 더 커졌다. 일본에서 말하는 조(1012)는 “만억”이라고 하며, 경 이상에 대해서는, 예를 들어 1016은 “만만억” 또는 “억억”과 같이 부르고 있다. 대만(식민지 시대)과 한국(병합 시대)은 일본의 명수법(만진)이 도입되었으므로, 조는 1012이지만, 경 이상의 명수는 거의 사용되지 않는다.
베트남에서는 서양식으로 3자릿수마다 새로운 명칭이 사용되지만, 106을 “triệuvn”(조), 109를 “tỷvn”(자)라고 부른다.
3자 이상의 단위는 인도에서 유래한 것이 많다. 항하사는 원래 불교 경전에서 무한히 큰 수를 나타내는 데 사용되었던 자릿수로, 갠지스 강/गङ्गाsa에서 유래한다. 아승기는 불가산/असंख्येयsa에서, 나유타는 नयुतः/नयुतsa에서 유래한다. 그보다 큰 수의 단위는 불교의 단어가 중국어로 번역되고, 후에 단위가 부여된 것이다.
서양 여러 언어의 명수법에는 long scale(롱 스케일)과 short scale(숏 스케일)이라는 두 종류가 있다. 이는 한자 문화권에서 말하는 만만진과 만진의 관계와 비슷하다. 19세기부터 20세기 대부분까지, 영국에서는 전자만, 미국에서는 후자만 사용되었다. 1948년, 국제도량형총회는 long scale의 보편적인 사용을 제안했지만, 현재는 일반적으로 short scale이 사용되고 있다. 영어의 경우에는 천진법(千進法)이 사용된다.
1475년 장 아담(Jean Adam)이 1012, 1018을 bymillion, trimillion으로 사용했고, 1484년 프랑스 수학자 니콜라 슈케(Nicolas Chuquet)는 1012, 1018, 1024, 1030, 1036, 1042, 1048, 1054를 각각 byllion, tryllion, quadrillion, quyllion, sixlion, septyllion, ottyllion, nonyllion으로 표기했다. 17세기 6자리(백만)마다 이름이 바뀌는 전통적인 방식(long scale)에서 3자리(천)마다 이름이 바뀌는 새로운 방식(short scale)으로 나뉘어 프랑스와 이탈리아에서 billion을 109(10억)의 의미로 사용하는 과학자가 나타났다. 19세기 초 프랑스가 short scale로 광범위하게 전환하고 미국이 그 뒤를 이었다. 1948년 국제도량형총회는 long scale의 보편적인 사용을 제안했다. 1974년 영국 수상 해럴드 윌슨(Harold Wilson)은 정부 통계에서 short scale을 사용한다고 말했다.[18]
당나라의 실차난다 번역의 『화엄경(팔십화엄)』 제45권 「아승기품 제30」에는, 10⁵을 낙차라 하고, 100낙차(10⁷)를 구지(俱胝)라 하며, 구지 이상을 상수(上數)로 하여 123개의 명수가 열거되어 있다.[24][25] 최대 명수인 불가설불가설전은 이다.
고유어(和語)를 사용하여 거대한 수를 나타내는 방식으로는 히후미 계산법이 있으며, 1038자리까지 나타낼 수 있다.
고유어(和語) 계산법
명칭
수
하나(ひ)
1 (一)
둘(ふ)
2 (二)
셋(み)
3 (三)
넷(よ)
4 (四)
다섯(い)
5 (五)
여섯(む)
6 (六)
일곱(な)
7 (七)
여덟(야)
8 (八)
아홉(こ)
9 (九)
열(と)
10 (十)
백(も)
100 (百)
천(ち)
1,000 (千)
만(ろ)
10,000 (万)
십만(ら)
100,000 (十万)
백만(ね)
1,000,000 (百万)
천만(し)
10,000,000 (千万)
억(き)
100,000,000 (一億)
십억(る)
109 (十億)
백억(ゆ)
1010 (百億)
천억(ゐ)
1011 (千億)
조(つ)
1012 (一兆)
십조(わ)
1013 (十兆)
백조(ぬ)
1014 (百兆)
천조(そ)
1015 (千兆)
경(を)
1016 (一京)
십경(た)
1017 (十京)
백경(は)
1018 (百京)
천경(く)
1019 (千京)
해(め)
1020 (一垓)
십해(か)
1021 (十垓)
백해(う)
1022 (百垓)
천해(お)
1023 (千垓)
자(ゑ)
1024 (一𥝱)
십자(に)
1025 (十𥝱)
백자(さ)
1026 (百𥝱)
천자(り)
1027 (千𥝱)
양(へ)
1028 (一穣)
십양(て)
1029 (十穣)
백양(の)
1030 (百穣)
천양(ま)
1031 (千穣)
구(す)
1032 (一溝)
십구(あ)
1033 (十溝)
백구(せ)
1034 (百溝)
천구(え)
1035 (千溝)
간(ほ)
1036 (一澗)
십간(れ)
1037 (十澗)
백간(け)
1038 (百澗)
2. 3. 위치값 기수법
위치값 기수법은 숫자의 위치에 따라 값이 달라지는 기수법으로, 현대에 가장 널리 사용된다.[9] 예를 들어 1524는 ('''1'''×103) + ('''5'''×102) + ('''2'''×101) + ('''4'''×100)으로 표현할수 있다.[10]
일반적으로 위치값 기수법으로 나타낸 수 ''z''는 다음과 같이 표현된다.
#
#
위 식에서 x는 등급화된 기수를 의미하며, 기수의 거듭제곱들, 즉 를 기수 x에 대한 '''계수(階數)'''라고 한다. 등급화된 기수 x에 따라 ''x진법''이라고 하며, 2이면 2진법, 10이면 10진법, 60이면 60진법이라고 한다.
계수(係數) 는 해당 위치의 계수(階數) 의 개수를 나타내는 숫자이다. 로서 가능한 수는 항상 기수 1, 2, 3, ... , (x-1)까지 x로 등급화된 기수 체계에서 x-1개가 존재한다. 위치값 기수법으로 수를 표현하는 경우 특정한 위치가 수의 표현에서 필요하지 않는 경우가 생기는데, 이때 0의 개념이 필요하다.
아라비아 숫자를 사용한 10진법이 대표적이며, 2진법, 16진법 등도 컴퓨터 과학 분야에서 널리 사용된다. 5세기에 쿠수마푸라의 아리아바타는 위치 표기법을 개발했고, 한 세기 후 브라마굽타는 0을 나타내는 기호를 도입했다.[9] 중동 수학자들은 10의 음의 거듭제곱(분수)을 포함하도록 이 체계를 확장했으며, 소수점 표기법은 신드 이븐 알리에 의해 도입되었다.
힌두-아라비아 숫자 체계는 유럽으로 퍼져 나갔고, 유럽에서 사용되는 숫자는 아랍인들로부터 배웠기 때문에 아라비아 숫자라고 불린다.
산술 연산은 이전의 가산 시스템보다 위치 시스템에서 훨씬 쉽다. 또한 가산 시스템은 10의 다양한 거듭제곱에 대해 많은 수의 다른 기호가 필요하지만, 위치 시스템은 (밑수 10을 사용한다고 가정하면) 열 가지 기호만 필요하다.[10]
컴퓨터에서는 이진법을 기반으로, 두 개의 이진수 0과 1을 사용한다. 이진수를 세 개씩( 팔진법) 또는 네 개씩( 십육진법) 그룹화하여 얻은 위치 체계가 일반적으로 사용된다.
특정 생물 시스템에서는 일진 부호화 시스템이 사용된다. 새소리 생성을 담당하는 신경 회로에서 사용되는 일진수.[11] 새소리의 학습과 생성 모두에 관여하는 새의 뇌에 있는 핵은 HVC(고음역 중추)이다. 새소리에서 서로 다른 음표에 대한 명령 신호는 HVC의 서로 다른 지점에서 나온다.
b진법(b는 1보다 큰 자연수이며, 기수 또는 밑수라고 함)에서는 0을 포함한 처음 b개의 자연수에 해당하는 b개의 기본 기호(또는 자릿수)를 사용한다. 나머지 수를 생성하기 위해서는 기호의 위치를 사용하며 왼쪽으로 이동할 때마다 그 값은 b를 곱한다.
소수점을 사용하여 자릿수를 두 그룹으로 나누면 위치 표기법으로 분수를 쓸 수도 있다.
어떤 수가 유한 소수 또는 순환 소수로 표현될 수 있는지 여부는 필요충분조건으로 유리수 여부이며, 이것은 밑수에 의존하지 않는다. 어떤 밑수에서 유한 소수로 표현되는 수는 다른 밑수에서는 순환 소수가 될 수 있다. 무리수는 모든 정수 밑수에서 비순환 소수(무한히 많은 비반복 자릿수)로 남는다.
3. 고대 문명의 기수법
3. 1. 바빌로니아 문명의 기수법
3. 1. 1. 바빌로니아식 60진법
바빌로니아 기수법에서 사용된 기호
바빌로니아 문명에서 기수법이 고안된 것은 함무라비 왕 직전이라고 전해지고 있으며, 비슷한 시기에 발전하였던 기수 체계들과 달리 위치적 기수법을 사용하였다. 바빌로니아 기수법은 오늘날 가장 널리 사용되는 10진법이 아닌 60진법을 토대로 하여 한 자리에 올 수 있는 계수(係數)는 1부터 59까지였다.
바빌로니아 기수 체계에서는 59개의 계수를 단위 수 1을 나타내는 '못' 모양의 문자와 10에 해당하는 '서까래' 두 가지 기호의 조합으로 나타내는데, 그 형태들이 못과 쐐기에서 따왔다고 하여 '''설형문자'''라고 한다. 1부터 59까지의 수는 이 '못'과 '서까래'를 반복하여 표시하였다. 예를 들어 55는 못 5개와 서까래 5개로 표기하고 14는 못 4개의 서까래 1개로 나타낸다. 그러나 60을 넘어서면 위치값 기수법에 근거하여 두 자리 이상으로 수를 표시하였다.[33]
3. 1. 2. 바빌로니아 기수법의 한계
바빌로니아 문명은 위치적 기수법을 사용하였지만, 오늘날 0의 역할처럼 특정한 위치가 수의 표현에서 의미가 없음을 나타내는 기호가 특별히 존재하지 않아 숫자 표기의 애매모호함을 피할 수 없었다. 예컨데 바빌로니아 기수법에 의하면 2는 (못 2개), 61은 (못 1개;못 1개)로 표시하지만, 두 숫자 모두 못 2개의 연속적인 배열로 표현되기 때문에 혼동을 일으킨다. 이런 문제점을 인식한 일부 바빌로니아의 서기들은 혼동을 피하고자 자릿수 사이의 띄어쓰기를 명확하게 하여 수를 표기하기도 하였지만, 종종 신중하지 못한 서기들이 띄어쓰기를 제대로 하지 못해 숫자 표기에서 모호함은 계속되었다. 이처럼 초기 바빌로니아 기수법의 근본적인 한계는 바로 '없음'을 나타내는 기호 자체가 없었다는 것이다. 하지만 현대 학자들은 바빌로니아 학자들이 그들의 애매한 위치적 기수 체계에 별다른 불편함을 느끼지 않았다고 생각하고 있으며, 이 체계는 바빌로니아 문명이 존재했던 오랜 시간동안 지속되었다.
바빌로니아 기수법에서 '없음'(특정 위치의 무의미성)의 기호가 나타난 것은 기원전 3세기 경으로, 이는 역사에서 가장 오래된 '없음'의 개념이다. 그러나 없다는 것을 의미하는 바빌로니아식 기호와 오늘날 우리가 사용하는 0의 의미에는 약간의 차이가 있다. 바빌로니아 사람들은 그들이 만든 '없음'의 기호를 양이 아무것도 없는 것을 표현하는 데 쓰지 않고 단지 특정 위치에서의 공백을 나타낼 때만 사용하였다. 현대적으로 표현하면, 0이라는 기호를 102, 4006 등 숫자를 표기하는 과정에서는 썼지만 30-30이라는 연산에 대한 답으로서 0을 쓰지는 않았다는 것이다.(대신 "다 떨어졌다", "없어졌다" 등의 문장 표현을 사용했다고 한다.) 이처럼 바빌로니아 사람들은 위치에서의 공백과 양적으로 없는 것을 다르게 간주하였다. 비록 완전하지는 않지만, 바빌로니아의 기수 체계는 최초로 위치적 기수법을 도입하고 공백을 나타내는 기호를 처음으로 발명했다는 점에서 충분히 수학사적 가치를 가진다.
3. 2. 고대 이집트 문명의 기수법
3. 2. 1. 고대 이집트의 10진법
고대 이집트 문명에서 기수법이 고안된 것은 약 기원전 3000년부터라고 전해지고 있으며, 이 기수법은 기원후 1000년 초까지 고대 이집트에서 사용되어왔다. 고대 이집트 기수법은 현대인들이 주로 쓰는 10진법을 사용하였으며, 표기 방법으로는 명수법을 기초로 하고 있다. 10진법을 사용함에 따라 1, 10, 100, 1000 등의 숫자들을 특정한 기호로 표기하였는데, 이러한 기호들에는 모두 특정 사물을 본 따서 만든 상형문자가 사용되었다. 1은 막대기, 10은 발뒤꿈치 뼈, 100은 감아 놓은 밧줄, 1000은 연꽃 줄기, 10000은 손가락, 10만은 개구리 혹은 올챙이, 100만은 두 손을 위로 올린 사람 등의 모습으로부터 상형문자를 고안했는데, 기호 관념을 갖추고 있었던 이집트 문화 속에서 이들 기호가 어떤 신비주의적 중요성을 띄었던 것이라고 추측하는 이들도 있다.[34] 예를 들어 100만의 경우, 당시 고대 이집트에서 100만이란 숫자는 어마어마하게 크고 거대한 수였기에 100만에서 느껴지는 경외감을 사람이 두 손을 위로 들어 신을 경배 하는듯한 모습으로 표현한 것이라고 할 수 있다는 것이다. 이러한 상형문자를 이용한 기수법은 자리마다 다른 기호가 필요하므로 모든 수를 표현하려면 상형문자 기호가 무한히 많아야 했겠지만, 실질적으로 고대 이집트에서 10만보다 큰 수가 필요한 경우는 드물었기에 이러한 기수법이 오랜 기간 유지되었던 것이다.
3. 2. 2. 신관서체의 숫자 기호
행정 및 회계 문서들은 상형문자처럼 돌에 새겨지는 것이 아니라 파피루스 또는 도편에 기록되었는데, 이 경우 고대 이집트인들은 '신관서체'라는 필기체를 사용하였다. 신관서체의 숫자 기호는 기존에 사용되던 숫자 기호와는 사뭇 다른데, 이를 사용한 흔적은 이집트 초기왕조 시기에 발견된 문서들에서 찾아 볼 수 있다. 특히, 이집트 고 왕국 시대 때의 아부시르에서 발견된 파피루스들은 신관서체의 숫자 기호가 사용된 중요한 문서들이다.
신관서체에서의 기수법은 기존의 기수법과는 다르게 1부터 9, 10부터 90까지의 10의 배수, 100부터 900까지의 100의 배수, 1000부터 9000까지의 1000의 배수 등에 각기 다른 기호를 붙여서 사용하였다. 예를 들어 9999의 경우, 기존의 기수법으로는 36개의 기호(1 9개, 10 9개, 100 9개, 1000 9개)가 필요하지만 신관서체로 9999를 기록할 때는 오로지 4개의 기호(9 1개, 90 1개, 900 1개, 9000 1개)만이 필요하다.
3. 3. 중국 문명의 기수법
중국의 숫자체계는 특정 숫자들을 발음할 때 쓰이던 중국의 문자들로 구성되어 있는데, 이 숫자 체계는 과거 한자 문화권에 포함되어있던 일본, 한국에서도 사용되었다. 이러한 숫자 체계는 영어처럼 발음에 쓰이던 문자들로 구성되어있기 때문에 아라비아 숫자 등에서 쓰이던 위치 기수법이 사용되지 않았다. 중국에서 숫자를 나타낼 때 쓰였던 문자들은 다음과 같이 크게 4가지로 나눌 수 있다; 상 왕조 시대의 숫자, 청동기 시대의 숫자, 막대 숫자(산가지), 표준 숫자.[5]
기원전 14세기의 상 왕조 시대 때 쓰였던 숫자
상 왕조 시대 이후의 중국 숫자들은 대부분이 기원전 14세기인 상 왕조 시대 때 쓰이던 숫자에서부터 비롯되었다. 갑골 문자로 알려진 상 왕조 시대의 숫자는 거북이의 등껍질과 동물의 뼈에서 처음 발견이 되었다.
청동기 시대의 숫자들 중 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13 등의 숫자들에 쓰이던 기호들이 이후의 중국 숫자인 산가지에도 그대로 쓰였다.
산가지는 각 숫자들을 막대기로 표현하였는데, 혼란을 방지하기 위해 수직과 수평을 번갈아 가면서 사용하였다. 일반적으로, 수직 막대는 한 자리 수, 백의 자리 수, 만의 자리 수 등을 표현하는데 사용되었고, 수평 막대는 십의 자리 수, 천의 자리 수, 십만의 자리 수 등을 표현하는데 사용되었다. 산가지 숫자 체계는 전국 시대부터 16세기까지 쓰였는데 주로 상인, 수학자, 천문학자들에 의해 사용되었다.
산가지의 서면 형태인 산가지 숫자는 십진법 계산을 수행하는 데 사용되는 십진법 위치 기수법이다. 산가지는 계산판에 놓고 앞뒤로 움직여 소수점 자리를 변경했다. 서기 3세기에서 5세기 사이로 거슬러 올라가는 수학 논문인 ''손자산경(孫子算經)''은 기원전 4세기 이후로 사용되었을 것으로 추정되는 이 체계에 대한 자세한 설명을 제공한다.[5] 처음에는 0이 숫자로 취급되지 않았고, 빈 자리로 취급되었다.[6] 후대의 자료에는 0과 음수를 표현하는 규칙이 소개되었다. 0을 나타내는 둥근 기호 링/〇중국어의 사용은 1247년의 ''구장산술(九章算術)''에서 처음으로 확인된다.[7] 이 기호의 기원은 알려져 있지 않으며, 정사각형 기호를 수정하여 만들어졌을 수 있다.[8] 산가지 숫자에서 유래한 수주 숫자는 오늘날에도 일부 상업적인 목적으로 사용되고 있다.
0123456789
-0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
중국의 표준 숫자는 크게 두 가지로 나뉜다. 일반적인 생활에서 쓰이는 숫자와, '''갖은자'''라 불리는 경제 관련 문서에서 쓰이는 숫자가 바로 그것이다. 경제 관련 문서에는 일반적인 생활에서 쓰이는 숫자와 다른 숫자를 썼는데, 그 이유는 일부 중국 숫자의 특성 상 획을 몇 개 추가하거나 수정하면 다른 수를 뜻하는 문자가 되어버리기 때문이다. 예를 들어, 三十(30)의 경우, 三에 두 획을 그으면 五, 十에 한 획을 그으면 千이 되어 三十(30)이 五千(5000)으로 바뀌어 버린다. 일반적인 생활에서는 이와같이 숫자를 바꿀 필요가 없지만, 경제 관련 문서에서는 위조가 될 가능성이 매우 높아지게 된다. 따라서, 중국 표준 숫자에서 경제 관련 문서에 쓰이는 숫자는 일상 생활에서 쓰이는 숫자에서 수정 가능한 숫자들을 몇 개 바꾼 것을 사용한다.
상 왕조 시대 이후의 중국 숫자들은 대부분이 기원전 14세기인 상 왕조 시대 때 쓰이던 숫자에서부터 비롯되었다. 갑골 문자로 알려진 상 왕조 시대의 숫자는 거북이의 등껍질과 동물의 뼈에서 처음 발견이 되었다.
3. 3. 2. 청동기 시대의 숫자
청동기 시대의 숫자들 중 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13 등의 숫자들에 쓰이던 기호들이 이후의 중국 숫자인 산가지에도 그대로 쓰였다.
3. 3. 3. 산가지
산가지는 각 숫자들을 막대기로 표현하였는데, 혼란을 방지하기 위해 수직과 수평을 번갈아 가면서 사용하였다. 일반적으로, 수직 막대는 한 자리 수, 백의 자리 수, 만의 자리 수 등을 표현하는데 사용되었고, 수평 막대는 십의 자리 수, 천의 자리 수, 십만의 자리 수 등을 표현하는데 사용되었다. 산가지 숫자 체계는 전국 시대부터 16세기까지 쓰였는데 주로 상인, 수학자, 천문학자들에 의해 사용되었다.
산가지의 서면 형태인 산가지 숫자는 십진법 계산을 수행하는 데 사용되는 십진법 위치 기수법이다. 산가지는 계산판에 놓고 앞뒤로 움직여 소수점 자리를 변경했다. 서기 3세기에서 5세기 사이로 거슬러 올라가는 수학 논문인 ''손자산경(孫子算經)''은 기원전 4세기 이후로 사용되었을 것으로 추정되는 이 체계에 대한 자세한 설명을 제공한다.[5] 처음에는 0이 숫자로 취급되지 않았고, 빈 자리로 취급되었다.[6] 후대의 자료에는 0과 음수를 표현하는 규칙이 소개되었다. 0을 나타내는 둥근 기호 링/〇중국어의 사용은 1247년의 ''구장산술(九章算術)''에서 처음으로 확인된다.[7] 이 기호의 기원은 알려져 있지 않으며, 정사각형 기호를 수정하여 만들어졌을 수 있다.[8] 산가지 숫자에서 유래한 수주 숫자는 오늘날에도 일부 상업적인 목적으로 사용되고 있다.
산가지 숫자 (세로)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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–0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
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–9
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3. 3. 4. 표준 숫자
중국의 표준 숫자는 크게 두 가지로 나뉜다. 일반적인 생활에서 쓰이는 숫자와, '''갖은자'''라 불리는 경제 관련 문서에서 쓰이는 숫자가 바로 그것이다. 경제 관련 문서에는 일반적인 생활에서 쓰이는 숫자와 다른 숫자를 썼는데, 그 이유는 일부 중국 숫자의 특성 상 획을 몇 개 추가하거나 수정하면 다른 수를 뜻하는 문자가 되어버리기 때문이다. 예를 들어, 三十(30)의 경우, 三에 두 획을 그으면 五, 十에 한 획을 그으면 千이 되어 三十(30)이 五千(5000)으로 바뀌어 버린다. 일반적인 생활에서는 이와같이 숫자를 바꿀 필요가 없지만, 경제 관련 문서에서는 위조가 될 가능성이 매우 높아지게 된다. 따라서, 중국 표준 숫자에서 경제 관련 문서에 쓰이는 숫자는 일상 생활에서 쓰이는 숫자에서 수정 가능한 숫자들을 몇 개 바꾼 것을 사용한다.
고대 그리스에 알파벳이 만들어지기 전에 사용되던 숫자 체계를 '에게 숫자'라고 부르는데, 이 숫자 체계에는 1, 10, 100, 1000 그리고 10000에 해당하는 기호들이 존재하여 그 기호들의 조합으로 숫자를 표현하였다.
| = 1, – = 10, ◦ = 100, ¤ = 1000, ☼ = 10000
'에게 숫자' 이후 고대 그리스인들은 두 가지의 숫자 체계를 사용했는데, 둘 중 먼저 만들어진 것은 수를 순서대로 배열한 뒤 로마 숫자처럼 무리를 지어 사용하는 숫자 체계이었다. 이를 '열(列) 숫자' 혹은 '아티카 숫자'라고 부르는데, 이 숫자 체계에는 1, 10, 100, 1000 그리고 10000의 계수를 나타내는 개별적인 기호들이 존재한다. 또한, 위와 같이 10진법의 집단화를 나타내는 기호들 외에, 5에 의한 집단화를 나타내는 기호들도 존재하는데, 여기서 1을 제외한 나머지 계수들(10, 100, 1000, 10000)을 나타내는 기호들은 각 계수를 나타내는 수 단어의 첫 글자들이며, 5에 의한 집단화를 뜻하는 기호들은 5를 나타내는 수 단어 ''pente''의 첫 글자인 <Π>를 사용하여 나타내어졌다.[35]
'열(列) 숫자' 혹은 '아티카 숫자'에 이어서 그리스에 알파벳으로 이루어지고 유사십진법을 사용하는 학문적인 숫자 체계가 등장하였는데, 바로 '이오니아 숫자'이다. 기원전 5세기에 처음으로 등장한 '이오니아 숫자'는 기원전 1세기부터 그리스의 도시 중 하나인 아테네의 공식 숫자 체계로 사용되었는데, 이 숫자 체계는 각 일의 자리(1, 2, ..., 9)와 십의 자리(10, 20, ..., 90), 백의 자리(100, 200, ..., 900)를 나타내기 위해 각각에 별도의 문자를 할당하였다. 여기에는 총 27개의 문자가 필요한데, 그리스 문자인 24자 이외에 지금은 쓰이지 않는 옛 문자인 디감마 혹은 (6), (90), (900)이 사용되었다.[36]
기호
값
기호
값
기호
값
αʹ
1
ιʹ
10
ρʹ
100
βʹ
2
κʹ
20
σʹ
200
γʹ
3
λʹ
30
τʹ
300
δʹ
4
μʹ
40
υʹ
400
εʹ
5
νʹ
50
φʹ
500
ϝʹ/ϝʹgrc 혹은 ϛʹ/ϛʹgrc 혹은 στʹ/στʹgrc
6
ξʹ
60
χʹ
600
ζʹ
7
οʹ
70
ψʹ
700
ηʹ
8
πʹ
80
ωʹ
800
θʹ
9
ϟʹ/ϟʹgrc
90
ϡʹ/ϡʹgrc
900
3. 4. 2. 매우 큰 수의 표기
그리스인들은 매우 큰 수를 표기하기 위해 '만' 단위의 묶음을 이용했는데, '만'을 나타내는 기호로 (Mʹ)을 사용하여 큰 수를 표기하였다. 예를 들어, 45,820,709의 경우에는 아래와 같이 표기를 하였다.
:
Mʹ을 사용하여도 나타낼 수 없을 만큼 큰 수를 표현할 때에는, '억'을 나타내는 기호인 (ΜΜʹ)가 사용되었다. 아르키메데스의 논문인 '모래알을 세는 사람'에서 아르키데메스는 우주를 모두 모래로 채울 때 모래알의 개수는 몇 개가 될 것인가에 대해 다루었다. 아르키메데스는 그 모래알의 개수보다 큰 수는 다룰 필요가 없다고 하여 그 모래알의 개수를 수에 있어서의 위쪽 경계선으로 지정하였는데, 그 모래알의 개수를 표현하기 위해 그는 새로운 수 표현 체계를 만들어야 했다.
조는 MMMʹ과 같이 쓸 수 있다.
3. 5. 마야 문명의 기수법
마야 기수법에서 사용된 기호
마야 문명은 중앙아메리카에서 번성하였으며 독자적인 기수법 체계를 발전시켰다. 5-6세기경 천문학과 점성술에 관련된 마야 인들의 기록인 '드레스드 처방전'(Codex de Dresde)에는 마야 승려 사회에서 20으로 등급화된 위치적 기수 체계(20진법)가 존재했음을 알 수 있는 기록이 남아있으며,[37] 이들은 0에 대한 개념도 가지고 있었다. 마야 문명의 기수법에서는 총 19개의 수가 점과 선 등의 단순한 상징들로 표상되며, 점은 단위 수 1을 나타내고 가로선 또는 세로선은 5를 의미한다. 점 5개는 선 한 개로 대체되어서 5를 나타내고, 따라서 한 자릿수에서 나타날 수 있는 점은 최대 4개가 되는 것이다. 또한 마야 숫자는 가로와 세로 두 방향으로 쓸 수 있다.(가로의 경우 왼쪽에서 오른쪽으로, 세로의 경우 위쪽에서 아래쪽으로 읽는다.)
그러나 마야 문명의 기수법은 일반적인 위치적 기수법과 부분적으로 차이를 보인다. 마야의 기수법은 20진법을 기반으로 하고 있기 때문에 원칙적으로 끝자리부터 3번째 숫자의 계수(階數)는 202=400 가 되어야 하지만, 마야의 학자들에게 세 번째 숫자는 360을 의미하는 것이었다. 그리고 4번째의 숫자의 계수(階數)부터는 다시 20진법의 정의대로 계수가 20의 거듭제곱의 형태로 나타난다. 예를 들어 (13;1;5;14)라는 마야 숫자를 그들의 위치적 기수법에 따라서 분석하면 13*203+1*360+5*201+14 가 된다. 이런 변칙은 마야 숫자가 모든 수를 나타낼 수 없게 되는 원인이 되었다.
마야 숫자의 정확한 기원은 불분명하지만, 힌두-아라비아 숫자 체계보다 오래되었을 가능성이 있다. 이 체계는 20진법(20을 기수로 하는)이었으므로 20개의 숫자가 있었다. 마야인들은 0을 나타내는 데 조개껍데기 기호를 사용했다. 숫자는 아래쪽에 일의 자리가 오도록 세로로 기록되었다. 마야인들은 현대의 소수점과 같은 것이 없었으므로, 마야 숫자 체계는 분수를 나타낼 수 없었다.
3. 5. 1. 마야 인들의 20진법
중앙아메리카에서 번성하였던 마야 문명은 독자적으로 기수법 체계를 발전시켜왔다. 5-6 세기 경 천문학과 점성술에 관련된 마야 인들의 기록인 '드레스드 처방전'(Codex de Dresde)에는 마야 승려 사회에서는 20으로 등급화된 위치적 기수 체계(20진법)가 존재했음을 알 수 있는 기록이 남아있으며,[37] 이들은 0에 대한 개념도 가지고 있었다. 마야 문명의 기수법에서는 총 19개의 수가 점과 선 등의 단순한 상징들로 표상되며, 점은 단위 수 1을 나타내고 가로선 또는 세로선은 5를 의미한다. 점 5개는 선 한 개로 대체되어서 5를 나타내고, 따라서 한 자릿수에서 나타날 수 있는 점은 최대 4개가 되는 것이다. 또한 마야 숫자는 가로와 세로 두 방향으로 쓸 수 있다.(가로의 경우 왼쪽에서 오른쪽으로, 세로의 경우 위쪽에서 아래쪽으로 읽는다.)
그러나 마야 문명의 기수법은 일반적인 위치적 기수법과 부분적으로 차이를 보인다. 마야의 기수법은 20진법을 기반으로 하고 있기 때문에 원칙적으로 끝자리부터 3번째 숫자의 계수(階數)는 202=400 가 되어야 하지만, 마야의 학자들에게 세 번째 숫자는 360을 의미하는 것이었다. 그리고 4번째의 숫자의 계수(階數)부터는 다시 20진법의 정의대로 계수가 20의 거듭제곱의 형태로 나타난다. 예를 들어 (13;1;5;14)라는 마야 숫자를 그들의 위치적 기수법에 따라서 분석하면 13*203+1*360+5*201+14 가 된다. 이런 변칙은 마야 숫자가 모든 수를 나타낼 수 없게 되는 원인이 되었다.
마야 숫자의 정확한 기원은 불분명하지만, 힌두-아라비아 숫자 체계보다 오래되었을 가능성이 있다. 이 체계는 20진법(20을 기수로 하는)이었으므로 20개의 숫자가 있었다. 마야인들은 0을 나타내는 데 조개껍데기 기호를 사용했다. 숫자는 아래쪽에 일의 자리가 오도록 세로로 기록되었다. 마야인들은 현대의 소수점과 같은 것이 없었으므로, 마야 숫자 체계는 분수를 나타낼 수 없었다.
3. 5. 2. 마야 문명의 기수 체계와 천문학
마야 문명의 기수법의 셋째 자리 숫자에서 나타나는 변칙의 원인은 마야의 천문학에서 찾을 수 있다. 마야의 천문학에서 발전된 날짜 체계는 그 단위가 '하루'였으며, 1년은 360일로 어림잡고 있었다. 마야인들은 보통 마야 기원 이후 흐른 시간을 (끝자리부터)kins('일'), unials(20일을 나타내는 '월'), tuns(360일로 구성된 '년'), katuns(20년 주기), baktuns(400년 주기)로 하여 총 다섯 개의 숫자로 표현하였다.[38] 마야 기수 체계의 발명된 목적은 일상 생활에서의 셈이 아니라 시간의 계산과 천문학적 관찰 과정에서의 필요성이었다. 그러므로 마야의 천문학에서 발전된 날짜와 시간 표시 체계는 마야의 기수법에 영향을 줄 수밖에 없었다. 마야 시간 표기법에서 세 번째 숫자는 360일로 구성된 1'년'을 나타내는 것이었고, 때문에 마야 문명의 기수 체계에서 세 번째 숫자의 계수(階數)는 400이 아닌 360이 되었다.
3. 6. 인도 문명의 기수법 체계
'''인도의 수치 표기법'''은 고대 인도에서부터 현대까지 인도, 파키스탄, 방글라데시, 네팔, 미얀마 등에서 사용되고 있다. 기본적으로는 서양에서 일반적인 3자릿수 단위 구분이나 일본이나 중국 등에서 일반적인 4자릿수 단위 구분이 아니라, 인도에서는 2자릿수 단위 구분에 기반한다.
이 수치 표기법에 의한 표기에서는, 기본적으로 2자릿수마다(하위 3자릿수는 예외) 단위 구분을 위해 점을 찍는다. 예를 들어 3카롤(3천만) 루피를 적는 경우 Rs. 30,000,000이 아니라 Rs. 3,00,00,000으로 하는 경우가 많다. 하자르/사하스트라(천), 락(십만), 카롤(천만)으로 구분하고 있다.
'''락'''(''lakh''), '''카롤'''(''crore'')이라는 단어는 후술하는 불경의 화엄경(팔십화엄 및 사십화엄)에 있는 락샤·구지에 해당한다. 또한 인도 영어에서는 오늘날에도 빈번하게 사용되고 있으며, 인도의 영자 신문 등에서도 보통 사용된다. 참고로, 영어 철자와 실제 발음은 크게 다른 경우가 많다.
기록에 의하면 북인도 지방에 살고 있던 초기 인도인들은 원시적인 기수법을 사용하였으며, 그 체계는 '명수법'을 따르고 있다.[39] 또한 이 시기에 사용된 기호들은 오늘날 사람들이 사용하고 있는 아라비아 숫자의 기원이 되었다. 인도 숫자는 개발된 지역에 따라서 그 표기에 어느 정도 차이가 있으며, 동아라비아 숫자(아라비아-인도식),이에 대한 변형인 동아라비아-인도식 숫자, 데바나가리(Devanagari) 숫자, 타밀 숫자 등의 종류가 있다.[39] 일반적으로 인도 기수 체계에서 존재하였던 기호가 나타내는 수는 아래와 같다.[39]
각각의 수는 위의 단위 수들을 나타내는 기호를 반복하여 나열하는 방식으로 표기되었다.[39] 그리고 이 중에서 1부터 9까지의 기호는 이후 '0'을 나타내는 기호의 발명과 함께 위치값 기수법에서 계수를 나타내는 숫자로 발전하게 된다.
3. 6. 2. 문자 표기법
원시적인 인도의 기수법은 큰 수를 나타내기 매우 어려웠기 때문에, 이후 인도인들은 산스크리트어로 수를 나타냄으로써 표기의 번거러움을 줄이고자 하였다.[40] 우선 1부터 9까지 9개의 숫자와 10의 거듭제곱수에 명칭을 붙이고, 작은 수에서 큰 수로 배열하였다.[40]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
eka
dvi
tri
catur
parica
sat
sapta
esta
nava
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
dasa
sata
sahasra
ayuta
laksa
prayuta
koti
vyarbuda
padma
[40]
예를 들어 4232는 ''dvi tri dasa dvi sata catur sahasra''(이, 삼십, 이백, 그리고 사천)와 같이 나타낼 수 있다.[40] 이 기수법은 오늘날의 구두 기수법과 달리 작은 단위수부터 읽는다.
인도의 문자 기수법은 인도 문명의 전통적, 신화적 관념을 반영하기도 하였다.[41] 숫자 하나를 나타나는데 특별한 의미들을 부여받은 여러 가지 문자들을 동시에 사용하였는데, 예를 들어 1을 의미하는 eka는 '시작', '몸통', '제일의 아버지' 등의 의미를 나타는 문자로 대체 가능했고, 2의 dvi는 '쌍둥이 신', '눈', '팔', '날개' 동의어들이 그 역할을 대신할 수 있었다.[41]
3. 6. 3. 위치값 기수법의 등장
산스크리트어 표기법이 발달한 이후에도 인도 학자들은 더 간단하게 수를 나타내기 위해서 노력하였고, 이는 그들로 하여금 계수를 나타내는 명칭을 제거하고 자릿수의 위치가 그 역할을 대신하는 위치값 기수법을 고안하게 하였다.[42] 또한 이러한 위치 기수 체계에서는 특정한 자릿수 단위가 '공백'임을 나타낼 수 있는 기호가 필요하였으며, 인도 학자들은 이에 대한 기호로 'sunya/शून्यsa'를 사용하기 시작하였다.[42] 이처럼 인도 숫자 체계는 위치값 기수법의 사용 및 '공백'을 나타내는 기호 확립 등 현대적인 기수법의 구성의 발판을 마련하기 시작하였다.
4. 0의 발명과 위치값 기수법의 발전
위치값 기수법은 한정된 숫자들만을 이용해서 모든 수를 나타낼 수 있는 매우 효율적인 기수법이었다. 바빌로니아 문명, 마야 문명, 중국 문명 등은 이 기수 체계를 사용할 줄 알았지만, 현대에 사용되고 있는 위치값 기수법과 비교했을 때 몇 가지 한계가 존재하였다. 바빌로니아 문명은 60진법을 1과 10을 나타내는 설형 문자의 조합으로 나타내어서 기록의 번거로움을 피할 수 없었고, 마야 문명도 비슷하게 20진법에서 숫자를 1과 5에 대한 기호의 조합으로 표기해 쓰기가 어려웠다. 또한 마야 인들은 기수법과 천문학의 밀접한 연관성으로 인해서 세 번째 숫자의 계수를 400이 아닌 360으로 나타내서 모든 수를 나타낼 수도 없었다. 중국 문명 또한 십진법 표기에 필요한 1에서 9까지의 단위를 각기 다른 기호로 표현한 것이 아니라 특정 단위의 반복으로 표현하였다.
위치값 기수 체계가 등장하면서 숫자의 위치가 갖는 의미는 매우 중요해졌지만, 공백을 나타내기 위해서 띄어쓰기를 하는 등의 기존의 방식으로는 표기의 애매모호함을 피할 수 없었다. 때문에 바빌로니아 문명과 마야 문명은 해당 위치의 '공백'을 의미하는 기호를 개발해 냈다. 하지만 이들은 양이 존재하지 않는 것과 위치의 공백을 서로 다른 개념으로 생각하였고, 그들의 기수 체계에서 산술적인 연산을 시행하는 것에도 한계가 있었다.
현대적인 위치적 기수법을 향한 발전의 발판을 마련한 것은 인도 문명이었다. 그들은 1에서 9까지의 단위 수들은 각기 다른 단순한 기호로 표현하였으며, 위치의 공백과 무의미한 양을 통합적으로 나타낸 기호 '0'을 발명해냈다. 이는 인도 숫자(아라비아 숫자)가 중국이나 마야, 바빌로니아 문명의 숫자와 달리 널리 퍼져 산술과 대수학의 발전을 가져왔으며, 오늘날 아라비아 숫자는 바탕으로 한 위치적 기수 체계는 편리함 및 우수성을 인정받아 전 세계적으로 통용되고 있다.
최초의 진정한 기수법은 힌두-아라비아 숫자로 여겨진다. 이 기수법은 7세기에 인도에서 확립되었지만,[1] 숫자 0의 사용이 아직 널리 받아들여지지 않았기 때문에 현대적인 형태는 아니었다. 0 대신에 때때로 자릿값을 나타내기 위해 점으로 숫자를 표시하거나, 자릿수를 나타내는 자리 표시자로 공백을 사용했다. 0의 최초로 널리 인정받는 사용은 876년이었다.[2] 원래의 숫자들은 숫자를 나타내는 글리프에 이르기까지 현대의 숫자들과 매우 유사했다.[1]
13세기까지 서아라비아 숫자는 유럽 수학계에서 받아들여졌다 (피보나치는 그의 에서 이것들을 사용했다). 이 숫자들은 15세기에 일반적으로 사용되기 시작했다.[3] 20세기 말까지 전 세계적으로 거의 모든 비컴퓨터 계산은 아라비아 숫자로 이루어졌으며, 이는 대부분의 문화권에서 기존의 숫자 체계를 대체했다.
5. 한국의 기수법 역사
한국은 고대부터 한자를 사용하였으며, 한문으로 된 숫자를 사용했다. 조선 시대에는 산가지와 주식 숫자를 계산에 사용했으며, 개화기 이후 아라비아 숫자가 도입되어 현재까지 사용되고 있다.
==== 한자로 된 숫자 ====
한반도에서는 고대부터 한자를 사용하였으며, 한문으로 된 숫자가 있었다. 이 기수법은 10진법을 기반으로 하였고, 1, 2, ..., 10, 100, 1000, ... 에 해당하는 한자를 숫자로 사용하였다.[13][14][15] 각 숫자를 나타내는 한자는 다음과 같다.
중국에서 유래한 한자에서는 일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경 등의 수사로 큰 수를 나타낸다.
만(萬)보다 큰 수사가 나타내는 값에는 하수(下數), 중수(中數), 상수(上數)의 세 종류가 있었다.[13]
하수(下數): 만부터 1자리수마다 억(105), 조(106) 등으로 명명하였다.
상수(上數): 수사가 나타내는 자릿수의 2제곱이 다음 수사가 된다. 만만이 억(108)이고, 억억이 조(1016), 조조가 경(1032)이 된다.
중수(中數): 천만의 다음을 억으로 하고, 십억(109), 백억(1010)으로 이어 나가는 방법이다. 초기에는 만만(108)배마다 새로운 명칭을 붙이는 만만진(萬萬進) 방식이었으나, 후에 만 배마다, 즉 만만을 억, 만억을 조(1012)로 하는 만진(萬進, 만진법(萬進法))으로 바뀌었다.
원(元)의 주세걸(朱世傑)의 《산학계몽(算學啓蒙)》에서 처음으로 극 이상의 단위가 추가되었고, 일본에서는 1627년 『진겁기』 초판에서 처음으로 큰 수가 등장했다.[14]
큰 숫자가 한자로 표기될 때는 대부분의 경우 0이 생략된다. 예를 들어, 4002는 사천령이(四千零二)가 아니라 사천이(四千二)로 표기되는 경우가 많다.
한국(병합 시대)은 일본의 명수법(만진)이 도입되었으므로, 조는 1012이다.
==== 주식 숫자 ====
산가지를 계산기로 사용하면서, 산가지의 수 표시를 그대로 옮겨 쓴 것이 '주식 숫자'이다.[45] 주식 숫자에서는 각 숫자 사이에 간격을 두지 않고 꼭 붙여서 써야 하고, 빈자리는 O으로 나타내야 하며, 음수는 마지막 자리의 숫자에 빗금을 그어야 했다.[45]
==== 호산 ====
호산(표산)이라 불리는 숫자들의 기호.
조선 후기에 대규모의 고리대 자본이 형성된 이후, 부기에는 '호산' 혹은 '표산'이라고 불리는 숫자가 쓰였다.[46] 이 표기법은 주로 중국 상인들이 사용하였던 표기법인데, 개성상인이 인삼 등의 무역을 통한 중국 상인과의 교류를 통해 이 표기법을 익힌 것이라고 생각된다.[46] '호산'은 주로 물건의 가격을 표시하기 위해 사용되었는데, 매매 및 교환물은 물론 물품의 단위 또한 이것으로 표시했으며 금액을 합계한 총액을 기재하는 데도 쓰였다.[46]
==== 아라비아 숫자 ====
개화기 이후, 국내에서 사용하는 숫자가 '아라비아 숫자'로 바뀌었으며 현재까지도 유지되어오고 있다. 이러한 '아라비아 숫자'를 읽는 방식에는 한국어의 한자어로 읽는 방법과 고유 한국어로 읽는 방법 두 가지가 있다.
중국에서 유래한 한자에서는 일, 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경 등의 수사로 큰 수를 나타낸다.
만(萬)보다 큰 수사가 나타내는 값에는 하수(下數), 중수(中數), 상수(上數)의 세 종류가 있었다.[13]
하수(下數): 만부터 1자리수마다 억(105), 조(106) 등으로 명명하였다.
상수(上數): 수사가 나타내는 자릿수의 2제곱이 다음 수사가 된다. 만만이 억(108)이고, 억억이 조(1016), 조조가 경(1032)이 된다.
중수(中數): 천만의 다음을 억으로 하고, 십억(109), 백억(1010)으로 이어 나가는 방법이다. 초기에는 만만(108)배마다 새로운 명칭을 붙이는 만만진(萬萬進) 방식이었으나, 후에 만 배마다, 즉 만만을 억, 만억을 조(1012)로 하는 만진(萬進, 만진법(萬進法))으로 바뀌었다.
원(元)의 주세걸(朱世傑)의 《산학계몽(算學啓蒙)》에서 처음으로 극 이상의 단위가 추가되었고, 일본에서는 1627년 『진겁기』 초판에서 처음으로 큰 수가 등장했다.[14]
아라비아 숫자가 사용되는 경우에는 영어처럼 3자릿수마다 콤마가 삽입되며, 아라비아 숫자와 한자가 동시에 사용되는 경우에는 1만 이하의 숫자에 대해 아라비아 숫자의 쓰는 방법이 사용되는 경우가 있다. (예: 25,000,000을 2,500만으로 표기)
큰 숫자가 한자로 표기될 때는 대부분의 경우 0이 생략된다. 예를 들어, 4002는 사천령이(四千零二)가 아니라 사천이(四千二)로 표기되는 경우가 많다.
중국에서는 근대까지 만만진과 만진이 혼용되었고, 미터법의 접두어인 메가(106)에 “조”(하수에서의 106)의 글자를 붙여 혼란이 있었다. 오늘날에는 “억”은 중수의 108, “조”는 하수의 106의 의미가 되어, 조보다 억이 더 커졌다. 일본에서 말하는 조(1012)는 “만억”이라고 하며, 경 이상에 대해서는 1016은 “만만억” 또는 “억억”과 같이 부르고 있다. 대만(식민지 시대)과 한국(병합 시대)은 일본의 명수법(만진)이 도입되었으므로, 조는 1012이다.
3자 이상의 단위는 인도에서 유래한 것이 많다. 항하사는 원래 불교 경전에서 무한히 큰 수를 나타내는 데 사용되었던 자릿수로, 강가/गङ्गाsa(갠지스 강)에서 유래한다. 아승기는 아승기/असंख्येयsa(불가산)에서, 나유타는 나유타/नयुत/नयुतःsa에서 유래한다.
현대 일본에서는 소수의 명수법이 야구 선수의 타율, 스포츠 팀의 승률, 환율 등을 나타낼 때 자주 사용된다. “36도 5분”(36.5℃)과 같이 온도를 나타낼 때에도 사용된다.
과거에는 척관법에서 기준이 되는 계량 단위(치 (단위), 문, 돈 (단위))와 함께 자주 사용되었다(분). 현대에는 36.5도로 표기하지만, 전통적으로는 36도 5분과 같이 기준 단위 뒤에 소수의 수사를 붙여 기록한다. 길이의 경우에는 2치 3분 4리와 같이 된다.
또한 할과 함께 사용되는 경우도 많다. 예를 들어, 2할 4분 7리는 분은 할의 1/10, 厘는 할의 1/100이므로, 현대식으로 쓰면 2.47할이 된다.
5. 2. 주식 숫자
산가지를 계산기로 사용하면서, 산가지의 수 표시를 그대로 옮겨 쓴 것이 '주식 숫자'이다.[45] 주식 숫자에서는 각 숫자 사이에 간격을 두지 않고 꼭 붙여서 써야 하고, 빈자리는 O으로 나타내야 하며, 음수는 마지막 자리의 숫자에 빗금을 그어야 했다.[45]
5. 3. 호산
조선 후기에 대규모의 고리대 자본이 형성된 이후, 부기에는 '호산' 혹은 '표산'이라고 불리는 숫자가 쓰였다.[46] 이 표기법은 주로 중국 상인들이 사용하였던 표기법인데, 개성상인이 인삼 등의 무역을 통한 중국 상인과의 교류를 통해 이 표기법을 익힌 것이라고 생각된다.[46] '호산'은 주로 물건의 가격을 표시하기 위해 사용되었는데, 매매 및 교환물은 물론 물품의 단위 또한 이것으로 표시했으며 금액을 합계한 총액을 기재하는 데도 쓰였다.[46]
5. 4. 아라비아 숫자
개화기 이후, 국내에서 사용하는 숫자가 '아라비아 숫자'로 바뀌었으며 현재까지도 유지되어오고 있다. 이러한 '아라비아 숫자'를 읽는 방식에는 한국어의 한자어로 읽는 방법과 고유 한국어로 읽는 방법 두 가지가 있다.
가장 일반적으로 사용되는 기수법은 십진법이다. 인도 수학자들이 정수 버전인 힌두-아라비아 숫자 체계를 개발한 것으로 알려져 있다.[9]쿠수마푸라의 아리아바타는 5세기에 위치 표기법을 개발했고, 한 세기 후 브라마굽타는 0을 나타내는 기호를 도입했다. 이 체계는 인도와의 상업 및 군사 활동으로 인해 아라비아와 같은 주변 지역으로 서서히 퍼져나갔다. 중동 수학자들은 시리아 수학자 아부 엘하산 알 우클리디시의 952~953년 논문에 기록된 것처럼 10의 음의 거듭제곱(분수)을 포함하도록 이 체계를 확장했으며, 소수점 표기법은 아라비아 숫자에 관한 최초의 논문을 쓴 신드 이븐 알리에 의해 도입되었다. 힌두-아라비아 숫자 체계는 그 후 상인들의 무역으로 유럽으로 퍼져 나갔고, 유럽에서 사용되는 숫자는 아랍인들로부터 배웠기 때문에 아라비아 숫자라고 불린다.
가장 간단한 기수법은 일진법으로, 모든 자연수는 해당하는 수의 기호로 표시된다. 일진법은 작은 숫자에만 유용하지만, 이론 컴퓨터 과학에서 중요한 역할을 한다.
더 유용한 것은 기호 반복에 대한 특수 약어를 사용하는 시스템이다. 예를 들어, 이러한 약어에 알파벳의 처음 아홉 글자를 사용하여 A가 "한 번 발생", B가 "두 번 발생" 등을 나타내는 경우, 숫자 304는 C+ D/로 쓸 수 있다(이러한 약어의 수를 시스템의 ''밑수''라고 부르기도 한다). 이 시스템은 중국 숫자와 중국을 기반으로 한 다른 동아시아 숫자를 쓸 때 사용된다. 영어의 숫자 체계는 이러한 유형("three hundred [and] four")이고, 다른 구어에도 해당된다.
더욱 우아한 것은 ''위치 체계''(위치값 표기법이라고도 함)이다. 위치 체계는 시스템에서 사용되는 ''자릿수''라고 하는 기호의 수인 ''밑수'' 또는 ''진수''에 의해 분류된다. 10진수에서는 0, ..., 9의 열 가지 다른 자릿수가 사용되며, 자릿수의 위치는 자릿수에 곱해야 할 10의 거듭제곱을 나타내는 데 사용된다. 예를 들어 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1이다.
산술 연산은 이전의 가산 시스템보다 위치 시스템에서 훨씬 쉽다. 또한 가산 시스템은 10의 다양한 거듭제곱에 대해 많은 수의 다른 기호가 필요하지만, 위치 시스템은 (밑수 10을 사용한다고 가정하면) 열 가지 기호만 필요하다.[10]
10진수 위치 체계는 현재 인간의 글쓰기에 보편적으로 사용된다.
컴퓨터에서는 주요 기수법이 밑수 2(이진법)의 위치 체계를 기반으로 하며, 두 개의 이진수 0과 1을 사용한다. 이진수를 세 개씩(팔진법) 또는 네 개씩( 십육진법) 그룹화하여 얻은 위치 체계가 일반적으로 사용된다. 매우 큰 정수의 경우, 예를 들어 GMP에서와 같이 밑수 232 또는 264(이진수를 32 또는 64개씩 그룹화, 머신 워드의 길이)가 사용된다.
특정 생물 시스템에서는 일진 부호화 시스템이 사용된다. 새소리 생성을 담당하는 신경 회로에서 사용되는 일진수.[11] 새소리의 학습과 생성 모두에 관여하는 새의 뇌에 있는 핵은 HVC(고음역 중추)이다. 새소리에서 서로 다른 음표에 대한 명령 신호는 HVC의 서로 다른 지점에서 나온다.
숫자를 자릿수나 기호로 쓸 때 사용되는 숫자는 산술 숫자(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)와 기하 숫자(1, 10, 100, 1000, 10000 ...)라고 할 수 있는 두 가지 유형으로 나눌 수 있다. 부호값 시스템은 기하 숫자만 사용하고, 위치 시스템은 산술 숫자만 사용한다.
컴퓨터 과학의 일부 분야에서는 전단사 번호 매기기가 사용된다.
6. 1. 2진법
LED로 2진수를 나타내는 2진법 시계. 이 시계의 LED에서 각각의 열은 60진법의 시간을 나타내는 이진화 십진법의 수를 보여준다.
2진법은 두 종류의 숫자만을 이용하여 수를 나타내는 수 체계이다. 관습적으로 0과 1의 기호를 쓰며 이들로 이루어진 수를 2진수라고 한다. 2진법이 정확히 언제부터 사용되었는지는 아무도 모르지만, 인도 학자인 핀갈라(약 기원전 5세기 ~ 2세기)가 시의 운율을 수학적으로 표현하기 위해 음절의 길고 짧음을 구분해서 마치 모스 부호처럼 표현을 했는데 이것이 여태까지 알려진 2진법이 사용된 표현들 중 최초라고 알려져 있다.[47] 2진법은, 두 가지의 숫자만을 이용한다는 특징 때문에 논리적인 이분법과 잘 맞아떨어져 논리와 관련된 상당 부분의 수학적 표현이 2진법으로 이루어질 수 있다. 현대의 컴퓨터도 이러한 2진법의 특성을 잘 이용한 예이다. 2진법을 사용하면 논리의 조립이 간단해지고 컴퓨터 내부에 사용되는 소자가 그 특성상(켜지고 꺼짐) 2진법의 수를 나타내는데 편리하기 때문에 컴퓨터에서 보내는 디지털 신호는, 비록 신호의 길이가 길어지더라도 기본적으로 2진법 수들의 나열로 이루어져 있으며 컴퓨터 내부에서 처리하는 모든 숫자들도 기본적으로 2진법을 사용하고 있다.[47]
6. 1. 1. 2진법을 이용한 계산
2진법은 2로 등급화된 위치값 기수법 체계로, 계수(階數)는 2의 거듭제곱으로 나타내며 해당 위치의 계수(係數)는 0과 1 두 가지 종류의 숫자이다. 예를 들어서 11101의 2진법 숫자는 10진수로 29와 같고 110은 10진수 6을 의미한다. 또한 2진법은 소수점 아래의 숫자까지 표기할 수 있도록 확장되었다. 즉, 소숫점 n번째 자리가 나타내는 계수(階數)는 이다. 확장 정의에 따른 2진수 110.11은 소수점 왼쪽에 있는 숫자를 십진수 6으로 나타낸 것에다 소숫점 이하의 숫자를 10진수로 변환한 를 더한 6.75와 같은 수가 된다. 이처럼 2진법은 0과 1 두 가지의 간단한 기호만으로 소수점 아래의 연산까지 포함하는 사칙연산을 비교적 단순한 방법으로 수행할 수 있기 때문에 컴퓨터나 논리 회로 등에서 유용하게 이용된다.
6. 1. 2. 2진법과 논리 연산
표기 숫자가 0과 1 두 가지밖에 없다는 특징 때문에 2진법은 참(True)과 거짓(False)을 나타내는 방식으로도 사용된다. 일반적으로 참(True)는 1로, 거짓(False)은 0으로 표시한다. 논리 연산은 몇 개의 2진수로 표기된 참과 거짓을 입력으로 받아들인 다음 특정한 방식의 연산을 수행하여 하나의 결과를 다시 참과 거짓을 의미하는 이진수 0 또는 1로 출력하는 것을 의미하며, 대표적인 연산으로는 AND, OR, NOT 연산 등이 있다. 아래의 그림은 AND, OR, NOT 연산의 표기와 진리표(Truth table)를 나타낸 것이다.
{| class="wikitable"
! 유형 !! 논리 회로 표현 방식 !! 논리 회로 표현 방식(직사각형) !! 논리 연산 표기 방식 !! 진리표(Truth table)
이 외에도 NAND, NOR, XOR 회로 등 위의 세 논리 연산을 응용한 연산 방식들이 존재한다. 이와 같은 2진법에 근거한 논리 연산은 신호 전압이나 전류를 수치화된 논리 부호(참과 거짓)로 처리하는 디지털 회로(Digital circuit, 디지털 논리 회로)등에 유용하게 응용되고 있다.
6. 2. 10진법
10진법은 사람의 손가락이 10개인 것에서 유래하여 현재 세계에서 가장 널리 사용되는 진법이다. 고대 이집트의 상형문자, 로마의 기수법, 중국의 기수법, 초기 인도 카로시의 기수법, 인도 브라미의 기수법 등 고대의 수많은 문화들이 10진법을 사용하였다. 고대 이집트의 상형문자는 크레타섬의 상형문자에 큰 영향을 끼쳤고, 이것은 다시 그리스의 청동기 시대의 수 체계 형성에도 영향을 끼쳤다. 우리가 물건을 세거나, 계산을 하거나, 기초적인 수학문제를 푸는 등의 일상생활에서 사용하는 숫자들의 대부분이 10진법이다. 초기의 컴퓨터인 에니악, IBM 650 등에서도 2진법 대신 10진법을 사용하였으며, 현대의 컴퓨터에서도 사람에게 보이는 화면이나 사람에 의해 입력되는 부분의 상당수가 10진법으로 행해진다. 거리를 나타내는 단위인 킬로미터, 미터, 센티미터, 밀리미터, 무게의 단위인 킬로그램, 그램, 밀리그램, 시간의 단위인 초, 밀리초, 마이크로초 등등의 수많은 단위들도 모두 10진법을 바탕으로 한 단위들이다.
가장 일반적으로 사용되는 기수법은 십진법이다. 인도 수학자들이 정수 버전인 힌두-아라비아 숫자 체계를 개발한 것으로 알려져 있다.[9]쿠수마푸라의 아리아바타는 5세기에 위치 표기법을 개발했고, 한 세기 후 브라마굽타는 0을 나타내는 기호를 도입했다.[9] 중동 수학자들은 시리아 수학자 아부 엘하산 알 우클리디시의 952~953년 논문에 기록된 것처럼 10의 음의 거듭제곱(분수)을 포함하도록 이 체계를 확장했으며, 소수점 표기법은 아라비아 숫자에 관한 최초의 논문을 쓴 신드 이븐 알리에 의해 도입되었다. 힌두-아라비아 숫자 체계는 그 후 상인들의 무역으로 유럽으로 퍼져 나갔고, 유럽에서 사용되는 숫자는 아랍인들로부터 배웠기 때문에 아라비아 숫자라고 불린다.
산술 연산은 이전의 가산 시스템보다 위치 시스템에서 훨씬 쉽다. 또한 가산 시스템은 10의 다양한 거듭제곱에 대해 많은 수의 다른 기호가 필요하지만, 위치 시스템은 (밑수 10을 사용한다고 가정하면) 열 가지 기호만 필요하다.[10]
10진수 위치 체계는 현재 인간의 글쓰기에 보편적으로 사용된다. 밑수 1000도 (보편적이지는 않지만) 자릿수를 그룹화하고 세 개의 십진수 자릿수의 시퀀스를 하나의 자릿수로 간주하여 사용된다. 이것은 매우 큰 숫자에 사용되는 일반적인 표기법 1,000,234,567의 의미이다.
12진법은 1, 2, 3, 4, 6 등 약수를 많이 가지고 있기 때문에 과거 상거래에서 주요하게 사용되었으며, 현재에도 그 관습이 남아 일부 단위에서 사용되고 있다. 예를 들어 연필이나 펜을 세는 단위 다스는 12자루를 묶어서 나타내는 단위이며, 12다스는 다시 묶여서 1그로스라고 나타낸다.[48]로마인들은 화폐나 무게의 단위인 아스(As)라는 단위를 하부 단위인 12개의 온스(once)라고 나누어 사용하였고, 13세기까지 유럽인들도 화폐의 단위로서 투르(tournois)와 1/12 단위인 드니(denier)를 썼다. 12길이의 단위 중 하나인 1 피트(feet)는 12인치(inch)를 일컬으며, 프랑스 혁명 이전의 유럽인들은 12진법을 바탕으로 한 길이 단위를 사용하는 등 12진법은 길이의 표현에도 자주 사용되었다.[48]
12구간으로 나뉘어 있는 아날로그 시계.
또한 한국과 중국 등 동양에서는 하루를 24시간으로 근거하여 동일하게 12개의 시간으로 나누었고, 수메르 인들도 하루를 12시간으로 나누어 1 단위를 '단나(Danna)'라고 하였다. 오늘날에도 오전과 오후가 각각 12시간으로 나뉘어 있으며, 1년도 12월로 구성되어 있는 등 시간 속에서 12진법을 확인할 수 있다.[48] 이러한 12진법의 유용성 때문에 일부 학자들은 12진법이 10진법보다 더 우수한 기수법이라고 평가하기도 한다.[48]
6. 5. 60진법
60진법은 숫자를 표현하기에는 다소 복잡한 기수 체계이지만, 일부 민족들은 실제로 60진법을 사용하였다. 60진법을 처음 사용한 민족은 수메르 인으로, 그들이 어떠한 이유로 60진법을 사용하게 되었는지에 대한 기원은 아직까지도 학자들 사이에서 논쟁이 되고 있다. 이에 대해서는 엄지손가락을 제외한 네 손가락의 12마디에 비롯된 12진법과 10진법이 융합하여 두 수의 최소공배수인 60진법이 탄생하게 되었다는 것과 12진법에 나머지 손의 5개의 손가락에서 나온 5진법이 합해져 이들의 곱인 60진법이 생겨났다는 것 등 다양한 가설이 존재한다.[49]
현대의 문화에서도 60진법의 흔적을 찾을 수 있는데, 1시간은 60분, 1분은 다시 60초로 구성되어 있는 현대의 시간 체계는 60진법을 기초로 한 것이다.[49] 이뿐만 아니라 기하학이나 천문학에서 사용되는 1도가 60분이고 1분이 60초인 각도 체계에서도 60진법을 확인할 수 있다.[49]
7. 진수
진법들의 숫자 또는 연산된 숫자를 진수 또는 진수값이라고 한다.
:의 진법표기는 또는 또는 으로 표기한다. 이것의 진수값은 다음과 같이 구해진다.
:
:
:의 진법표기는 또는 또는 으로 표기한다. 이것의 진수값은 다음과 같다.
:
:
:의 진법표기는 또는 또는 으로 표기한다.
:
:따라서 의 진법의 진수는 이므로,
:
:
:따라서 의 진수는 이고,
:의 진수는 이다.
이때, 지수법칙에 의해서,
:의 밑은 이고, 지수는 이다.
:의 밑은 이고, 지수는 이다.
:
:따라서 일때,
:의 밑은 이고, 지수는 , 진수는 이다.
== 진법간의 변환 ==
b진법(b는 1보다 큰 자연수)에서는 0을 포함한 처음 b개의 자연수에 해당하는 b개의 기본 기호(또는 자릿수)를 사용한다. 나머지 수를 생성하기 위해서는 기호의 위치를 사용하며, 왼쪽으로 이동할 때마다 그 값은 b를 곱한다. 예를 들어, 십진법(10진법)에서 4327이라는 수는 ('''4'''×103) + ('''3'''×102) + ('''2'''×101) + ('''7'''×100)을 의미한다.
일반적으로, 밑수가 b일 때, b진법으로 수를 나타내는 것은 ''a''''n''''b''''n'' + ''a''''n'' − 1''b''''n'' − 1 + ''a''''n'' − 2''b''''n'' − 2 + ... + ''a''0''b''0 형태로 표현하고, 열거된 자릿수 ''a''''n''''a''''n'' − 1''a''''n'' − 2 ... ''a''0를 내림차순으로 쓴다. 자릿수는 0 이상 ''b'' − 1 이하의 자연수이다.
10진수를 다른 진법으로 변환하는 방법은 다음과 같다. 예를 들어 10진수 21은 나머지 연산인 mod에 의해 2진법으로 변환된다.
:21 / 2 = 10 … 1
:10 / 2 = 5 … 0
:5 / 2 = 2 … 1
:2 / 2 = 1 … 0
:따라서 21은 2진법으로 10101이다.
10진수 151은 다음과 같이 3진법으로 변환된다.
:151 / 3 = 50 … 1
:50 / 3 = 16 … 2
:16 / 3 = 5 … 1
:5 / 3 = 1 … 2
:따라서 151은 3진법으로 12121이다.
소수점을 사용하여 자릿수를 두 그룹으로 나누면 위치 표기법으로 분수를 쓸 수도 있다. 예를 들어, 2진법 수 10.11은 1×21 + 0×20 + 1×2−1 + 1×2−2 = 2.75를 나타낸다. 일반적으로 b진법의 수는 다음과 같은 형태를 가진다.
:(anan-1…a1a0.c1c2c3…)b = akbk + ckb-k.
숫자 ''b''''k'' 와 ''b''−''k''는 해당 자릿수의 가중치이다. 위치 ''k''는 해당 가중치 ''w''의 로그이며, 즉 k = logbw = logbbk이다. 가장 높게 사용되는 위치는 수의 차수에 가깝다.
어떤 수가 유한 소수 또는 순환 소수로 표현될 수 있는지 여부는 필요충분조건으로 유리수 여부이며, 이것은 밑수에 의존하지 않는다. 어떤 밑수에서 유한 소수로 표현되는 수는 다른 밑수에서는 순환 소수가 될 수 있다(0.310 = 0.0100110011001...2). 무리수는 모든 정수 밑수에서 비순환 소수(무한히 많은 비반복 자릿수)로 남는다. 윗줄, ''n'', 또는 점 ''ṅ''을 공통 자릿수 위에 표시하는 것은 순환하는 유리수 확장을 나타내는 데 사용되는 관례이다.
소수점에는 지역(언어)에 따라 마침표(.) 또는 쉼표(,)가 사용된다(소수점#두 가지 방식). 일본에서는 마침표가 사용되는 경우가 대부분이다. 3자리 구분에 대해서는, 국제기구에서는 소수점을 기준으로 3자리마다 쉼표(,)나 마침표(.)를 넣는 것을 '''금지'''하고 있으며, 그 대신 공백(보통은 반각 공백)을 넣도록 규정하고 있다.
[[File:https://cdn.onul.works/wiki/source/195013726a3_76ce5f2f.svg|right|thumb|각국의 소수점 표기
중국에서 유래한 한자에서는 소수에 대해 0.1배(10-1)마다 새로운 이름을 붙이는 하수법(下數法)이 사용되었다. 반면 유럽 언어나 인도에서는 분수 표기로 half나 quarter, 로마 숫자와 같은 표현은 있지만, 10진법 소수에 대해 자릿수마다 명칭을 붙이는 방식은 사용되지 않았다. 한자의 경우, 자릿수가 작은 것의 명칭은 시대나 지역, 그리고 서적에 따라 차이가 있다. 예를 들어 주세걸의 『산학계몽/算学启蒙중국어』에서는 사(沙) 이하는 만만(萬萬)으로 진행하는 등, “허공(虚空)” “청정(清浄)”을 “허(虛)” “공(空)” “청(清)” “정(淨)”의 네 가지 다른 명칭으로 하는 등의 차이가 있다.
“허공”, “청정”을 “허”, “공”, “청”, “정”으로 나눈 경우, “허” 10−20, “공” 10−21
청정 (せいじょう)
10−21
“허공”, “청정”을 “허”, “공”, “청”, “정”으로 나눈 경우, “청” 10−22, “정” 10−23
이 중에서 『진겁기(塵劫記)』에는 애(埃) 이상만 소개되어 있다.[30]
실제로 사용되는 것은 모(毛) 또는 사(絲) 정도이며, 그 이하는 이름만 있을 뿐 실제로는 거의 사용되지 않는다. 참고로 “육덕(六徳)”은 “덕(徳)”의 6배라는 의미가 아니라, “육덕” 자체가 하나의 단위이다.
실제로 자릿수를 나열할 때는 “이'''촌'''삼분사리(二寸三分四厘)”처럼 1의 자리 뒤에 “기준 단위”(여기서는 “촌”)를 붙인다. 현대적인 표현인 “2.34'''촌'''”처럼 마지막에 “기준 단위”를 붙이는 것과는 다르다.
7. 1. 진법간의 변환
b진법(b는 1보다 큰 자연수)에서는 0을 포함한 처음 b개의 자연수에 해당하는 b개의 기본 기호(또는 자릿수)를 사용한다. 나머지 수를 생성하기 위해서는 기호의 위치를 사용하며, 왼쪽으로 이동할 때마다 그 값은 b를 곱한다. 예를 들어, 십진법(10진법)에서 4327이라는 수는 ('''4'''×103) + ('''3'''×102) + ('''2'''×101) + ('''7'''×100)을 의미한다.
일반적으로, 밑수가 b일 때, b진법으로 수를 나타내는 것은 ''a''''n''''b''''n'' + ''a''''n'' − 1''b''''n'' − 1 + ''a''''n'' − 2''b''''n'' − 2 + ... + ''a''0''b''0 형태로 표현하고, 열거된 자릿수 ''a''''n''''a''''n'' − 1''a''''n'' − 2 ... ''a''0를 내림차순으로 쓴다. 자릿수는 0 이상 ''b'' − 1 이하의 자연수이다.
10진수를 다른 진법으로 변환하는 방법은 다음과 같다. 예를 들어 10진수 21은 나머지 연산인 mod에 의해 2진법으로 변환된다.
:21 / 2 = 10 … 1
:10 / 2 = 5 … 0
:5 / 2 = 2 … 1
:2 / 2 = 1 … 0
:따라서 21은 2진법으로 10101이다.
10진수 151은 다음과 같이 3진법으로 변환된다.
:151 / 3 = 50 … 1
:50 / 3 = 16 … 2
:16 / 3 = 5 … 1
:5 / 3 = 1 … 2
:따라서 151은 3진법으로 12121이다.
소수점을 사용하여 자릿수를 두 그룹으로 나누면 위치 표기법으로 분수를 쓸 수도 있다. 예를 들어, 2진법 수 10.11은 1×21 + 0×20 + 1×2−1 + 1×2−2 = 2.75를 나타낸다. 일반적으로 b진법의 수는 다음과 같은 형태를 가진다.
:(anan-1…a1a0.c1c2c3…)b = akbk + ckb-k.
숫자 ''b''''k'' 와 ''b''−''k''는 해당 자릿수의 가중치이다. 위치 ''k''는 해당 가중치 ''w''의 로그이며, 즉 k = logbw = logbbk이다. 가장 높게 사용되는 위치는 수의 차수에 가깝다.
어떤 수가 유한 소수 또는 순환 소수로 표현될 수 있는지 여부는 필요충분조건으로 유리수 여부이며, 이것은 밑수에 의존하지 않는다. 어떤 밑수에서 유한 소수로 표현되는 수는 다른 밑수에서는 순환 소수가 될 수 있다(0.310 = 0.0100110011001...2). 무리수는 모든 정수 밑수에서 비순환 소수(무한히 많은 비반복 자릿수)로 남는다. 윗줄, ''n'', 또는 점 ''ṅ''을 공통 자릿수 위에 표시하는 것은 순환하는 유리수 확장을 나타내는 데 사용되는 관례이다.
소수점에는 지역(언어)에 따라 마침표(.) 또는 쉼표(,)가 사용된다(소수점#두 가지 방식). 일본에서는 마침표가 사용되는 경우가 대부분이다. 3자리 구분에 대해서는, 국제기구에서는 소수점을 기준으로 3자리마다 쉼표(,)나 마침표(.)를 넣는 것을 '''금지'''하고 있으며, 그 대신 공백(보통은 반각 공백)을 넣도록 규정하고 있다.
[[File:https://cdn.onul.works/wiki/source/195013726a3_76ce5f2f.svg|right|thumb|각국의 소수점 표기
중국에서 유래한 한자에서는 소수에 대해 0.1배(10-1)마다 새로운 이름을 붙이는 하수법(下數法)이 사용되었다. 반면 유럽 언어나 인도에서는 분수 표기로 half나 quarter, 로마 숫자와 같은 표현은 있지만, 10진법 소수에 대해 자릿수마다 명칭을 붙이는 방식은 사용되지 않았다. 한자의 경우, 자릿수가 작은 것의 명칭은 시대나 지역, 그리고 서적에 따라 차이가 있다. 예를 들어 주세걸의 『산학계몽/算学启蒙중국어』에서는 사(沙) 이하는 만만(萬萬)으로 진행하는 등, “허공(虚空)” “청정(清浄)”을 “허(虛)” “공(空)” “청(清)” “정(淨)”의 네 가지 다른 명칭으로 하는 등의 차이가 있다.
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