조화수열

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1. 개요
2. 정의 및 예시
- 2.1. 정의
- 2.2. 예시
3. 조화 평균 (조화 중항)
4. 조화 수열의 합과 곱
5. 점화식
6. 기하학에서의 활용
- 6.1. 사영 조화 공액점
- 6.2. 삼각형의 수선과 변
7. 기타 응용
- 7.1. 블록 쌓기 문제 (피사의 사탑)
참조

1. 개요

조화수열은 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열이다. 조화수열의 일반항은 첫째항과 상수를 사용하여 나타낼 수 있으며, 각 항은 인접한 두 항의 조화 평균이 된다. 조화수열의 극한은 0이며, 기하학에서는 사영 조화 공액점, 삼각형의 수선과 변의 관계에서 활용된다. 또한, 블록 쌓기 문제, 특히 피사의 사탑에서 블록을 쌓아 최대 측면 거리를 확보하는 데 사용된다.

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조화수열
정의
정의	수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열.
특징
일반항	등차수열의 역수로 표현됨.
조화평균	조화수열에서 각 항은 이웃하는 두 항의 조화평균임.
예시	"1, , "는 조화수열의 예시임.
발산	조화수열은 0으로 수렴하지만, 조화급수는 발산함.
수렴 조건	조화수열은 분모의 등차수열이 0으로 수렴하지 않아야 함.
관련 개념
조화평균	조화수열과 관련된 평균의 한 종류.
조화함수	조화수열의 개념이 확장된 함수.
조화진동자	물리학에서 조화수열과 관련된 진동 현상.

2. 정의 및 예시

조화수열은 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열을 말한다. 즉, 어떤 등차수열의 각 항에 역수를 취하면 조화수열을 얻을 수 있다.

가장 대표적인 예시는 자연수의 역수로 이루어진 다음과 같은 수열이며, 이를 특별히 '''조화수열'''이라고 부르기도 한다.

$1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{6}, \dots, \tfrac{1}{n}, \dots$

이 외에도 역수를 취했을 때 등차수열이 되는 다양한 형태의 수열이 조화수열에 해당한다. 예를 들어 다음과 같은 수열들이 있다.

$12, 6, 4, 3, \tfrac{12}{5}, 2, \dots, \tfrac{12}{n}, \dots$
$-1, -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{7}, \dots$

2. 1. 정의

조화수열은 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열이다. 즉, 어떤 등차수열의 각 항에 역수를 취하면 조화수열을 얻을 수 있다. 일반항

h_n

은 그 역수가 되는 등차수열의 첫째항을

a

, 공차를

d

라고 할 때 다음과 같이 표현된다. (단,

a+(n-1)d \ne 0

이다.)

:

h_n = \frac{1}{a + (n-1)d}

다음은 조화수열의 예시이다 (

n = 1, 2, 3, \dots

).

$1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{6}, \dots, \tfrac{1}{n}, \dots$ : 이 수열은 가장 기본적인 형태로 조화수열이라고도 불린다.
$12, 6, 4, 3, \tfrac{12}{5}, 2, \dots, \tfrac{12}{n}, \dots$
$30, -30, -10, -6, -\tfrac{30}{7}, \dots, \tfrac{30}{3 - 2n}, \dots$
$10, 30, -30, -10, -6, \dots, \tfrac{30}{5 - 2n}, \dots$
$1, 1, 1, 1, 1, \dots$ : 역수 수열의 공차가 0인 경우이다.
$\tfrac{1}{23461234}, \tfrac{1}{23843963}, \tfrac{1}{24226692}, \tfrac{1}{24609421}, \dots$
$-1, -\tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{5}, -\tfrac{1}{7}, \dots$

조화수열의 각 항은 자신의 양 옆에 이웃한 두 항의 조화 평균이 되며, 이를 조화 중항이라고 한다. 조화수열의 극한은

0

이다. (단, 공차

d \ne 0

인 경우)

n

번째 항과

m

번째 항의 관계를 나타내는 점화식은 다음과 같다. (단,

d

는 위 일반항 공식에서의 공차와 동일)

:

h_n = \frac{h_m}{1 + (n-m)d \cdot h_m}

인접한 두 항 사이의 점화식은 다음과 같다. (단,

d

는 위 일반항 공식에서의 공차와 동일)

:

\frac{1}{h_{n+1}} = \frac{1}{h_n} + d \quad (n \ge 1)

2. 2. 예시

적당한 등차수열을 취해서 각 항의 역수를 구하면 간단히 조화수열을 만들 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 수열들이 있다.

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
1, 1, 1, 1, 1, ... (모든 항이 0이 아닌 상수인 수열은 등차수열이자 등비수열이며, 조화수열이기도 하다)
1/23461234, 1/23843963, 1/24226692, 1/24609421, ...
-1, -1/3, -1/5, -1/7, ...

다음 예시들에서 ''n''은 수열의 항 번호를 나타내는 자연수이며,

n = 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\

이다.

$1, \tfrac{\ 1\ }{2},\ \tfrac{\ 1\ }{3},\ \tfrac{\ 1\ }{4},\ \tfrac{\ 1\ }{5},\ \tfrac{\ 1\ }{6},\ \ldots \ , \ \tfrac{\ 1\ }{n},\ \ldots \$ : 이 수열은 특히 '조화수열'이라고 불린다. 각 항은 조화평균과 관련이 깊다.
12, 6, 4, 3, $\ \tfrac{12}{\ 5\ },\ 2,\ \ldots\ ,\ \tfrac{12}{\ n\ },\ \ldots\$
30, −30, −10, −6, $\ -\tfrac{30}{\ 7\ },\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 3\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\$
10, 30, −30, −10, −6, $\ \ldots\ ,\ \tfrac{30}{\ \left( 5\ -\ 2 n \right)\ },\ \ldots\$

3. 조화 평균 (조화 중항)

세 수 ''a'', ''b'', ''c''가 이 순서로 조화수열을 이룰 때, 가운데 항 ''b''는 ''a''와 ''c''의 조화 중항이라고 하며, 이는 ''a''와 ''c''의 조화 평균과 같다.

3. 1. 조화 평균의 정의

세 수

a

,

b

,

c

가 이 순서대로 조화수열을 이룰 때, 가운데 항인

b

는

a

와

c

의 조화 중항이라고 한다. 이때,

b

는

a

와

c

의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

b = \frac{2ac}{a+c}

두 수

a

,

b

가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 또한, 기하 평균은 산술 평균보다 항상 작거나 같으므로, 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

a

,

b

두 수가 모두 양수일 때,

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}

3. 2. 조화 평균 공식

세 수

a

,

b

,

c

가 이 순서로 조화수열을 이룰 때,

b

는

a

와

c

의 조화 중항이라고 한다. 이때

b

는

a

와

c

의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

b = \frac{2ac}{a+c}

두 수

a

,

b

가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 기하 평균은 산술 평균보다 작거나 같으므로, 다음과 같은 연쇄적인 부등식(산술-기하-조화 평균 부등식)이 성립한다.

:

a

,

b

두 수가 모두 양수일 때,

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}

가 성립한다.

3. 3. 조화 평균과 다른 평균과의 관계

세 수

a

,

b

,

c

가 이 순서로 조화수열을 이룰 때,

b

는

a

와

c

의 조화 중항이라고 한다. 이때,

b

는

a

와

c

의 조화 평균이 된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:

b = \frac{2ac}{a+c}

두 수

a

,

b

가 모두 양수라면, 두 수의 조화 평균은 기하 평균보다 항상 작거나 같다. 기하 평균은 산술 평균보다 작거나 같으므로, 다음과 같은 연쇄적인 부등식이 성립한다.

:

a

,

b

두 수가 모두 양수일 때,

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b}

가 성립한다.

4. 조화 수열의 합과 곱

조화 수열의 항들을 더하거나 곱하는 것에 대한 내용이다. 조화 수열은 각 항의 역수를 취하면 등차수열이 된다는 특징이 있어, 등차수열의 성질을 이용하여 합이나 곱에 관련된 성질을 유도하기도 한다.

유한한 개수의 조화 수열 항들의 역수의 합은 등차수열의 합 공식을 통해 구할 수 있다. 반면, 무한 조화 수열의 항들을 모두 더한 조화급수는 항상 무한대로 발산한다. 또한, 서로 다른 단위 분수로 이루어진 조화 수열의 합이 정수가 되는 것은 특수한 경우를 제외하고는 불가능하다.^[1]

조화 수열의 항들을 모두 곱한 총곱은 감마 함수 등을 이용하여 나타낼 수 있다.

4. 1. 유한 조화 수열의 합

조화수열은 각 항의 역수를 취하면 등차수열이 된다는 성질을 이용하여, 등차수열의 관계로부터 조화수열의 관계를 얻을 수 있다.

일반항이

h_n=\frac{a}{1+(n-1)d}

이고 항수가 n인 조화수열

h_n

의 모든 항의 역수의 합은 다음과 같이 등차수열의 합 공식을 이용하여 구할 수 있다.

\frac{1}{h_1} +\frac{1}{h_2} +\cdots +\frac{1}{h_n} =\frac{n}{2} \left( \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_n} \right) =\frac{n\{2+(n-1)d \}}{2a}

4. 2. 무한 조화 수열의 합 (조화 급수)

무한 조화 수열의 합은 발산한다. 이는 적분판정법을 이용하여 간단하게 확인할 수 있다.

무한 조화 수열의 합은 무한대로 발산하므로 특정 값으로 합산될 수 없다.

또한, 서로 다른 단위 분수로 이루어진 조화 수열의 합이 정수가 되는 것은 불가능하다. 단, 첫 항 ''a'' = 1이고 ''k'' = 0인 자명한 경우(즉, 수열이 1 하나로만 이루어진 경우)는 제외된다. 그 이유는 수열에 포함된 분수 중 적어도 하나의 분모는, 다른 모든 분모와 서로소인 소수 인수를 반드시 포함하기 때문이다.^[1]

조화수열의 항들을 무한히 더한 급수는 일반 조화급수라고 하며, 다음과 같이 표현된다.

:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a}{1+(n-1)d} =\frac{a}{d} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1+\frac{1}{d}}

이 급수는 항상 발산한다.

4. 3. 조화 수열의 곱

일반항

h_n =\frac{a}{1+(n-1)d}

, 항의 수 n인 조화 수열 ''h_n''의 총곱은 다음과 같이 표현된다.

:

h_1 h_2 \cdots h_n =\frac{\left(\frac{a}{d}\right)^n }{\left(\frac{1}{d}\right)^{\overline{n}}} = \left(\frac{a}{d}\right)^n  \frac{\Gamma \left( \frac{1}{d} \right) }{\Gamma \left(\frac{1}{d} + n\right) }

여기서

x^{\overline{n}}

는 상승 계승멱 (x에서 1씩 증가시키면서 ''x'' + ''n'' - 1까지의 n개 항의 총곱, 팩토리얼과 유사한 개념이다),

\Gamma

는 감마 함수를 나타낸다.

5. 점화식

''n''번째 항과 ''m''번째 항의 관계를 나타내는 점화식은 다음과 같다.

: $h_n =\frac{h_m}{1+(n-m)d}$

이 수열의 인접한 두 항 사이의 점화식은 다음과 같다.

: $\frac{1}{h_{n+1}} =\frac{1}{h_n} +\frac{d}{h_1} \quad (n\ge 1)$

6. 기하학에서의 활용

조화 수열은 기하학의 여러 분야에서 나타난다. 예를 들어, 특정 조건을 만족하는 공선점들 사이의 거리나, 수선의 길이가 등차 수열을 이루는 삼각형의 변의 길이 등에서 조화 수열의 성질을 찾아볼 수 있다.^[2]^[3]

6. 1. 사영 조화 공액점

공선점인 네 점 A, B, C, D가 있을 때, 만약 점 D가 두 점 A, B에 대한 점 C의 조화 공액점이라면, 이 네 점 중 어떤 한 점을 기준으로 나머지 세 점까지의 거리를 측정하면, 그 거리들은 조화수열을 이룬다.^[2]^[3] 예를 들어, 점 A에서 C, B, D까지의 거리인 AC, AB, AD는 조화수열을 이루고, 점 B에서 C, A, D까지의 거리인 BC, BA, BD도 조화수열을 이룬다. 마찬가지로 CA, CD, CB와 DA, DC, DB도 각각 조화수열이다. 이때 각 거리는 직선 위의 한 방향을 양(+)으로 정했을 때 그에 따른 부호를 가진다.

6. 2. 삼각형의 수선과 변

삼각형에서, 수선이 등차 수열을 이룬다면, 변들은 조화 수열을 이룬다.

7. 기타 응용

조화수열은 물리학이나 공학 문제 해결에도 응용될 수 있다. 대표적인 예로 블록 쌓기 문제를 들 수 있는데, 이는 동일한 블록들을 최대한 옆으로 멀리 내밀어 쌓는 방법을 다루며 조화수열과 관련된 원리가 적용된다.

7. 1. 블록 쌓기 문제 (피사의 사탑)

조화수열의 한 예시로 블록 쌓기 문제를 들 수 있으며, 이는 피사의 사탑과 비유되기도 한다. 이 문제에서는 동일한 모양의 블록들을 최대한 옆으로 멀리 내밀어 쌓는 방법을 다룬다. 블록을 쌓을 때는 각 블록을 바로 아래 블록보다 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, ... 만큼 옆으로 이동시켜 쌓는다. 이 방식은 각 단계에서 블록을 내미는 거리가 1/(2n) 형태를 따르는데, 이는 조화수열과 관련이 있다. 이렇게 쌓으면 전체 구조물의 무게 중심이 항상 맨 아래 블록의 밑면 안에 위치하게 되어 구조물이 무너지지 않는다. 하지만 이론적으로는 무한히 옆으로 내밀 수 있음에도 불구하고, 실제로는 약간의 추가 무게나 외부 힘에도 구조물이 쉽게 불안정해져 무너질 수 있다.

참조

_[1] 논문 Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása https://www.renyi.hu[...]
_[2] 서적 Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II
_[3] 서적 Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise https://books.google[...]

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