공선점

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1. 개요
2. 기하학적 정의 및 기본 성질
3. 유클리드 기하학에서의 예시
4. 대수적 표현
- 4.1. 좌표를 이용한 공선점 판별
- 4.2. 거리를 이용한 공선점 판별
5. 통계학 및 기타 분야에서의 응용
참조

1. 개요

공선점은 기하학에서 한 선 위에 놓인 점들의 집합을 의미한다. 유클리드 기하학에서는 직선 위에 일렬로 놓인 점으로 시각화되지만, 구면 기하학과 같은 다른 기하학에서는 다른 방식으로 해석된다. 공선성은 선형 맵과 호모그래피와 같은 공선 변환에 의해 보존된다. 유클리드 기하학에서 삼각형, 사각형, 육각형, 원뿔 곡선 등 다양한 도형의 특정 점들이 공선점을 이루는 예시가 존재한다. 또한, 좌표, 거리, 케일리-멩거 행렬식을 사용하여 공선점을 대수적으로 판별할 수 있다. 통계학에서는 설명 변수 간의 선형 관계를 나타내는 용어로 사용되며, 안테나 배열 및 사진 측량학에서도 활용된다.

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공선점

2. 기하학적 정의 및 기본 성질

어떤 기하학에서든, 한 선 위의 점들의 집합을 '''공선점'''이라고 한다. 유클리드 기하학에서 이러한 관계는 "직선" 위에 일렬로 놓인 점들로 직관적으로 시각화된다. 그러나 대부분의 기하학(유클리드 기하학 포함)에서 선은 일반적으로 기본(정의되지 않은) 객체 유형이므로, 이러한 시각화가 반드시 적절하지는 않다. 기하학의 모형은 점, 선 및 기타 객체 유형이 서로 어떻게 관련되는지에 대한 해석을 제공하며, 공선성과 같은 개념은 해당 모형의 맥락 내에서 해석되어야 한다. 예를 들어, 구면 기하학에서 선은 구의 대원으로 표준 모형에서 표현되는데, 공선점 집합은 동일한 대원 위에 놓인다. 이러한 점들은 유클리드적 의미에서 "직선" 위에 놓이지 않으며, "일렬로" 있는 것으로 간주되지 않는다.

선을 선으로 보내는 기하학의 자체에 대한 사상은 ''공선 변환''이라고 하며, 공선성 속성을 보존한다. 선형 맵(또는 선형 함수)은 기하학적 맵으로 간주되는 벡터 공간의 맵으로, 선을 선으로 매핑한다. 즉, 공선점 집합을 공선점 집합으로 매핑하므로 공선 변환이다. 사영 기하학에서 이러한 선형 매핑은 ''호모그래피''라고 하며, 이는 단지 한 유형의 공선 변환일 뿐이다.

3. 유클리드 기하학에서의 예시

삼각형에서 수심, 외심, 무게중심, 엑시터 점, 드 롱샹 점, 9점 원의 중심은 오일러 선에서 공선점을 이룬다.^[3]
삼각형의 어떤 꼭짓점, 맞은편 변의 방접원과의 접점, 나겔 점은 분할선에서 공선점을 이룬다.
삼각형 변의 중점, 삼각형의 경계를 따라 양쪽 방향으로 거리가 같은 점 및 슈피커 원의 중심은 클리버에서 공선점을 이룬다.
삼각형의 어떤 꼭짓점, 맞은편 변의 내접원과의 접점, 게르곤 점은 공선점을 이룬다.
삼각형의 외접원 위의 어떤 점에서, 삼각형의 세 연장된 변 각각에 가장 가까운 점들은 외접원 위의 점의 심슨 선에서 공선점을 이룬다.
수선의 발을 연결하는 선은 맞은편 변과 공선점에서 만난다.^[3]
삼각형의 내심, 수선의 중점, 해당 변에 상대적인 방접원과의 접점은 공선점을 이룬다.^[4]
메넬라우스 정리는 세 점 $P_1, P_2, P_3$ 가 꼭짓점 $A_1, A_2, A_3$ 의 맞은편 삼각형의 변(일부 연장된 변) 위에 있을 때, 다음 선분 길이의 곱이 같을 때 공선점을 이룬다고 한다.^[3]

::

P_1A_2 \cdot P_2A_3 \cdot P_3A_1=P_1A_3 \cdot P_2A_1 \cdot P_3A_2.

내심, 무게중심, 슈피커 원의 중심은 공선점을 이룬다.
외심, 브로카 중점, 삼각형의 르모인 점은 공선점을 이룬다.^[5]
삼각형의 수심에서 교차하는 두 개의 수직선은 각각 삼각형의 각 연장된 변과 교차한다. 이 교차점의 세 변 위의 중점은 드로즈-파니 선에서 공선점을 이룬다.
뉴턴 선: 볼록 사각형에서 마주보는 변의 연장선의 교점과 두 대각선의 중점은 공선점을 이룬다. 접선 사각형의 경우, 내심도 뉴턴 선 위에 놓인다.^[6]
원내접 사각형에서, 외심, 꼭짓점 중심, 반중심은 공선점이다.^[8] 원내접 사각형에서, 면적 중심, 꼭짓점 중심, 대각선의 교차점은 공선점이다.^[9]
접선 사다리꼴에서, 내접원이 두 밑변과 접하는 접점들은 내심과 공선점이다.
파스칼의 정리(육각의 신비의 정리라고도 함)는 원뿔 곡선(타원, 포물선, 쌍곡선) 위에 있는 임의의 여섯 점을 선분으로 연결하여 육각형을 만들 때, 마주보는 변을 연장하여 만나는 세 교점은 한 직선 위에 있다는 정리이다. 이 때 생기는 직선을 파스칼 선이라고 한다.
브레이켄리지-맥클로린 정리는 육각형에서 마주보는 변을 연장하여 만나는 세 교점이 한 직선 위에 있으면, 육각형의 여섯 꼭짓점은 하나의 원뿔 곡선 위에 있다는 정리이다.
몽주 정리에 따르면, 평면 상의 세 원이 서로 다른 원 안에 완전히 포함되지 않는 경우, 세 쌍의 원에 각각 외접하는 세 쌍의 직선의 세 교점은 공선상에 있다.^[1]
타원에서 중심, 두 초점, 그리고 가장 작은 곡률반경을 가진 두 꼭짓점은 공선상에 있으며, 중심과 가장 큰 곡률반경을 가진 두 꼭짓점도 공선상에 있다.^[2]
쌍곡선에서 중심, 두 초점 및 두 꼭짓점은 공선상에 있다.^[3]

3. 1. 삼각형

수심, 외심, 무게중심, 엑시터 점, 드 롱샹 점, 9점 원의 중심은 오일러 선에서 공선점을 이룬다.^[3]
어떤 꼭짓점, 맞은편 변의 방접원과의 접점, 그리고 나겔 점은 삼각형의 분할선에서 공선점을 이룬다.
어떤 변의 중점, 삼각형의 경계를 따라 양쪽 방향으로 거리가 같은 점(따라서 이 두 점은 둘레를 이등분) 및 슈피커 원의 중심은 삼각형의 클리버에서 공선점을 이룬다.
어떤 꼭짓점, 맞은편 변의 내접원과의 접점, 그리고 게르곤 점은 공선점을 이룬다.
삼각형의 외접원 위의 어떤 점에서, 삼각형의 세 연장된 변 각각에 가장 가까운 점들은 외접원 위의 점의 심슨 선에서 공선점을 이룬다.
수선의 발을 연결하는 선은 맞은편 변과 공선점에서 만난다.^[3]
삼각형의 내심, 수선의 중점, 그리고 해당 변에 상대적인 방접원과의 접점은 공선점을 이룬다.^[4]
메넬라우스 정리는 세 점 $P_1, P_2, P_3$ 가 꼭짓점 $A_1, A_2, A_3$ 의 맞은편 삼각형의 변(일부 연장된 변) 위에 있을 때, 다음 선분 길이의 곱이 같을 때 공선점을 이룬다고 한다.^[3]

:

P_1A_2 \cdot P_2A_3 \cdot P_3A_1=P_1A_3 \cdot P_2A_1 \cdot P_3A_2.

내심, 무게중심, 그리고 슈피커 원의 중심은 공선점을 이룬다.
외심, 브로카 중점, 그리고 삼각형의 르모인 점은 공선점을 이룬다.^[5]
삼각형의 수심에서 교차하는 두 개의 수직선은 각각 삼각형의 각 연장된 변과 교차한다. 이 교차점의 세 변 위의 중점은 드로즈-파니 선에서 공선점을 이룬다.

3. 2. 사각형

뉴턴 선: 볼록 사각형에서 마주보는 변의 연장선의 교점과 두 대각선의 중점은 공선점을 이룬다. 접선 사각형의 경우, 내심도 뉴턴 선 위에 놓인다.^[6]

원내접 사각형에서, 외심, 꼭짓점 중심, 반중심은 공선점이다.^[8] 원내접 사각형에서, 면적 중심, 꼭짓점 중심, 대각선의 교차점은 공선점이다.^[9]

접선 사다리꼴에서, 내접원이 두 밑변과 접하는 접점들은 내심과 공선점이다.

3. 3. 육각형

파스칼의 정리(육각의 신비의 정리라고도 함)는 원뿔 곡선(타원, 포물선, 쌍곡선) 위에 있는 임의의 여섯 점을 선분으로 연결하여 육각형을 만들 때, 마주보는 변을 연장하여 만나는 세 교점은 한 직선 위에 있다는 정리이다. 이 때 생기는 직선을 파스칼 선이라고 한다. 브레이켄리지-맥클로린 정리는 이 정리의 역으로, 육각형에서 마주보는 변을 연장하여 만나는 세 교점이 한 직선 위에 있으면, 육각형의 여섯 꼭짓점은 하나의 원뿔 곡선 위에 있다는 정리이다. 이 때, 원뿔 곡선은 파푸스 육각형 정리에서와 같이 퇴화될 수 있다.

3. 4. 원뿔 곡선

몽주 정리에 따르면, 평면 상의 세 원이 서로 다른 원 안에 완전히 포함되지 않는 경우, 세 쌍의 원에 각각 외접하는 세 쌍의 직선의 세 교점은 공선상에 있다.^[1] 타원에서 중심, 두 초점, 그리고 가장 작은 곡률반경을 가진 두 꼭짓점은 공선상에 있으며, 중심과 가장 큰 곡률반경을 가진 두 꼭짓점도 공선상에 있다.^[2] 쌍곡선에서 중심, 두 초점 및 두 꼭짓점은 공선상에 있다.^[3]

4. 대수적 표현

어떤 기하학에서든, 한 선 위의 점들의 집합을 '''공선점'''이라고 한다. 유클리드 기하학에서 이러한 관계는 "직선" 위에 일렬로 놓인 점들로 직관적으로 시각화된다. 그러나 대부분의 기하학(유클리드 기하학 포함)에서 선은 일반적으로 기본(정의되지 않은) 객체 유형이므로, 이러한 시각화가 반드시 적절하지는 않다. 기하학의 모형은 점, 선 및 기타 객체 유형이 서로 어떻게 관련되는지에 대한 해석을 제공하며, 공선성과 같은 개념은 해당 모형의 맥락 내에서 해석되어야 한다. 예를 들어, 구면 기하학에서 선은 구의 대원으로 표준 모형에서 표현되는데, 공선점 집합은 동일한 대원 위에 놓인다.

선을 선으로 보내는 기하학의 자체에 대한 사상은 ''공선 변환''이라고 하며, 공선성 속성을 보존한다. 선형 맵(또는 선형 함수)은 벡터 공간의 맵으로, 선을 선으로 매핑한다. 즉, 공선점 집합을 공선점 집합으로 매핑하므로 공선 변환이다. 사영 기하학에서 이러한 선형 매핑은 ''호모그래피''라고 한다.

4. 1. 좌표를 이용한 공선점 판별

좌표 기하학에서

n

차원 공간의 3개 이상의 점들이 공선점일 필요충분조건은 점들의 좌표로 이루어진 행렬의 계수가 1 이하인 것이다. 예를 들어, 세 점

:

\begin{align}X &= (x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n), \\Y &= (y_1,\ y_2,\ \dots,\ y_n), \\Z &= (z_1,\ z_2,\ \dots,\ z_n),\end{align}

이 주어졌을 때, 행렬

:

\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & \dots & x_n  \\y_1 & y_2 & \dots & y_n \\z_1 & z_2 & \dots & z_n\end{bmatrix}

의 계수가 1 이하이면, 이 점들은 공선점이다.

또는,

X, Y, Z

의 모든 부분 집합에 대해, 행렬

:

\begin{bmatrix}1 & x_1 & x_2 & \dots & x_n  \\1 & y_1 & y_2 & \dots & y_n \\1 & z_1 & z_2 & \dots & z_n\end{bmatrix}

의 계수가 2 이하이면, 이 점들은 공선점이다.

특히 평면(

n=2

)에서 세 점의 경우, 위의 행렬은 정사각 행렬이며, 이 점들이 공선점일 필요충분조건은 그 행렬식이 0인 것이다. 3 × 3 행렬식은 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 면적의 두 배(플러스 또는 마이너스)이기 때문에, 이는 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 면적이 0일 때와 오직 그 때만 공선점이라는 것과 같다.

4. 2. 거리를 이용한 공선점 판별

세 점 이상이 공선점일 필요충분조건은, 임의의 세 점 A, B, C에 대해 케일리-멩거 행렬식이 0인 것이다. d^영어(AB)를 A와 B 사이의 거리라고 하면, 케일리-멩거 행렬식은 다음과 같다.

:

\det \begin{bmatrix}0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & 1 \\d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & 1 \\1 &       1 &       1 & 0\end{bmatrix} = 0.

이 행렬식은 헤론의 공식에 의해 변의 길이가 d^영어(AB), d^영어(BC), d^영어(AC)인 삼각형의 넓이의 제곱의 -16배와 같다. 따라서 이 행렬식이 0인지 확인하는 것은 꼭짓점 A, B, C를 갖는 삼각형의 넓이가 0인지(따라서 꼭짓점들이 공선점인지) 확인하는 것과 같다.

또는, 세 점 A, B, C에 대해 삼각 부등식에서 등호가 성립하는 것이다. 즉, d^영어(AC)가 d^영어(AB)와 d^영어(BC) 각각보다 크거나 같을 때, d^영어(AC) ≤ d^영어(AB) + d^영어(BC)에서 등호가 성립해야 한다.

5. 통계학 및 기타 분야에서의 응용

통계학에서 다중공선성은 둘 이상의 설명 변수 간에 강한 선형 관계가 나타나는 현상을 의미하며, 이는 여러 분야에서 응용된다.^[10]

5. 1. 통계학

통계학에서 '''공선성'''(collinearity)은 두 설명 변수 간의 선형 관계를 의미한다. 두 변수 간에 정확한 선형 관계가 있어 상관 관계가 1 또는 -1과 같을 때 두 변수는 ''완벽하게 공선형''이라고 한다. 즉, 모든 관측값 i^영어에 대해 다음이 존재하면 X과 X는 완벽하게 공선형이다.

:

X_{2i} = \lambda_0 + \lambda_1 X_{1i}.

이는 다양한 관측값 (X)}}가 (X)}} 평면에 표시될 때 점들이 공선형임을 의미한다.

완벽한 '''다중공선성'''(multicollinearity)은 다중 회귀 모형에서 k^영어 (k ≥ 2)개의 설명 변수가 다음 식에 따라 완벽하게 선형적으로 관련되어 있는 상황을 의미한다.

:

X_{ki} = \lambda_0 + \lambda_1 X_{1i} + \lambda_2 X_{2i} + \dots + \lambda_{k-1} X_{(k-1),i}

모든 관측값 i^영어에 대해. 실제로 데이터 집합에서 완벽한 다중공선성에 직면하는 경우는 드물다. 더 일반적으로 다중공선성 문제는 둘 이상의 독립 변수 간에 "강한 선형 관계"가 있을 때 발생하며, 이는 다음과 같음을 의미한다.

:

X_{ki} = \lambda_0 + \lambda_1 X_{1i} + \lambda_2 X_{2i} + \dots + \lambda_{k-1} X_{(k-1),i} + \varepsilon_i

여기서

\varepsilon_i

의 분산은 비교적 작다.

''측면 공선성''의 개념은 이러한 전통적인 관점을 확장하며, 설명 변수와 기준(즉, 설명된) 변수 간의 공선성을 의미한다.^[10]

5. 2. 안테나 배열

통신에서 공선형 안테나 배열은 각 안테나의 해당 소자가 평행하고 정렬되도록 장착된 배열이다. 즉, 공통선 또는 축을 따라 위치한다.^[1]

5. 3. 사진 측량

사진 측량학 및 컴퓨터 스테레오 비전에서 공선점 방정식은 3차원 공간의 점과 2차원 이미지 평면의 점 사이의 관계를 나타낸다.^[11] 이 방정식은 이미지(센서) 평면의 좌표 (2차원)를 객체 좌표(3차원)와 관련시킨다.^[11] 사진 촬영 환경에서 이 방정식은 객체의 한 점이 카메라의 광학 중심을 통해 이미지(센서) 평면의 이미지로 중앙 투영되는 것을 고려하여 파생된다.^[11] 객체 점, 이미지 점 및 광학 중심의 세 점은 항상 공선점에 있다.^[11] 달리 말하면, 객체 점과 해당 이미지 점을 연결하는 선분은 모두 광학 중심에서 교차한다.^[11]

참조

_[1] 서적 The concept applies in any geometry
_[2] 웹사이트 Colinear (Merriam-Webster dictionary) http://www.merriam-w[...]
_[3] 서적 Advanced Euclidean Geometry Dover Publ.
_[4] 서적 College Geometry https://archive.org/[...] Barnes & Noble
_[5] 간행물 Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry 1999-11
_[6] 서적 The IMO Compendium Springer
_[7] 논문 On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral http://forumgeom.fau[...]
_[8] 서적 Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry Cambridge University Press
_[9] 논문 Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral http://people.bath.a[...]
_[10] 논문 Lateral collinearity and misleading results in variance-based SEM: An illustration and recommendations http://www.scriptwar[...]
_[11] 문서 It's more mathematically natural to refer to these equations as concurrency equations, but photogrammetry literature does not use that terminology.
_[12] 웹사이트 Colinear (Merriam-Webster dictionary) http://www.merriam-w[...]

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