준마팅게일

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 실수 값의 준마팅게일
- 2.2. 다양체 값의 준마팅게일
3. 성질
4. 분해
5. 예시
6. 다양체 위에서의 준마팅게일
참조

1. 개요

준마팅게일은 필터링된 확률 공간에서 정의되는 실수 값을 갖는 확률 과정으로, 국소 마팅게일과 국소적으로 유계 변동을 갖는 적응 과정의 합으로 표현될 수 있는 과정을 의미한다. 준마팅게일은 이토 적분을 정의할 수 있는 가장 큰 클래스의 과정이며, 다양한 성질과 분해를 가진다. 예를 들어, 연속 준마팅게일은 연속 국소 마팅게일과 연속 유한 변동 과정으로 고유하게 분해된다. 준마팅게일은 마팅게일, 이토 과정, 레비 과정 등을 포함하며, 분수 브라운 운동과 같은 일부 과정은 준마팅게일이 아니다. 또한, 준마팅게일의 개념은 미분 다양체 값을 갖는 확률 과정으로 확장될 수 있다.

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준마팅게일

2. 정의

준마팅게일은 주어진 여과 확률 공간 위에서 정의되는 실수 값 또는 다양체 값을 갖는 확률 과정이다.

2. 1. 실수 값의 준마팅게일

여과 확률 공간

(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in[0,\infty]}

위의 과정

(X_t)_{t\in[0,\infty)}

이 다음과 같은 꼴을 갖는다면, '''준마팅게일'''이라고 한다.

어떤 국소 마팅게일 $(M_t)_{t\in[0,\infty)}$ 과 거의 확실하게 국소 유계 변동 함수이자 카들라그 함수인 확률 과정 $(A_t)_{t\in[0,\infty)}$ 의 합 $X=M+A$ 으로 표현될 수 있다. (즉, 임의의 $0\le T<\infty$ 에 대하여, $(A_t)_{t\in[0,T]}$ 는 거의 확실하게 유계 변동 함수이다.)

2. 2. 다양체 값의 준마팅게일

임의의 매끄러운 다양체

M

값의 확률 과정

(X_t\colon\Omega\to M)_{t\in[0,\infty)}

이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 매끄러운 함수

f\colon M\to\mathbb R

에 대하여

f(X_t)

가 준마팅게일이라면,

X_t

를 '''준마팅게일'''이라고 한다.

3. 성질

임의의 전단사 증가 함수 $f\colon[0,\infty) \to [0,\infty)$ 가 주어졌을 때, $X_t$ 가 준마팅게일이면 $X_{f(t)}$ 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 임의의 정지 시간에 대한 정지화 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 합과 곱 역시 준마팅게일이다. 보다 일반적으로, 준마팅게일의 $\mathcal C^2$ 함수에 대한 값은 준마팅게일이다.

준마팅게일은 이토 적분을 정의할 수 있는 가장 큰 클래스의 과정이다.
준마팅게일의 선형 결합은 준마팅게일이다.
준마팅게일의 곱은 준마팅게일이며, 이는 이토 적분에 대한 부분 적분 공식의 결과이다.
모든 준마팅게일에 대해 2차 변동이 존재한다.
준마팅게일 클래스는 선택적 멈춤, 국소화, 시간 변경 및 절대적으로 연속적인 확률 측도 변경 (기르사노프 정리 참조)에 대해 닫혀 있다.
만약 ''X''가 '''R'''^''m'' 값의 준마팅게일이고, ''f''가 '''R'''^''m''에서 '''R'''^''n''으로의 두 번 연속 미분 가능한 함수라면, ''f''(''X'')는 준마팅게일이다. 이는 이토 보조정리의 결과이다.
준마팅게일이라는 성질은 여과를 축소해도 유지된다. 더 정확하게 말하면, 만약 ''X''가 여과 ''F''_t에 대해 준마팅게일이고, 부분 여과 ''G''_t에 대해 적응된다면, ''X''는 ''G''_t-준마팅게일이다.
(자코의 가산 확장) 준마팅게일이라는 성질은 가산 개의 서로소 집합으로 여과를 확대해도 유지된다. ''F''_t가 여과이고, ''G''_t가 ''F''_t와 가산 개의 서로소 측정 가능한 집합에 의해 생성된 여과라고 가정하자. 그러면 모든 ''F''_t-준마팅게일은 또한 ''G''_t-준마팅게일이다.

4. 분해

모든 준마팅게일은 국소 마팅게일과 유한 변동 과정의 합으로 분해될 수 있지만, 이러한 분해는 유일하지 않다.^[1]

4. 1. 연속 준마팅게일

연속 세미마팅게일은 ''X'' = ''M'' + ''A''로 유일하게 분해되며, 여기서 ''M''은 연속 국소 마팅게일이고 ''A''는 0에서 시작하는 연속 유한 변동 과정이다.^[1]

예를 들어, ''X''가 확률 미분 방정식 d''X''_t = σ_t d''W''_t + ''b''_t dt를 만족하는 이토 과정이라면, 다음과 같다.

:

M_t=X_0+\int_0^t\sigma_s\,dW_s,\ A_t=\int_0^t b_s\,ds.

4. 2. 특수 준마팅게일

특별 준마팅게일은 실수 값을 갖는 과정

X

로,

M^X

가 국소 마팅게일이고

B^X

가 0에서 시작하는 예측 가능한 유한 변동 과정일 때,

X = M^X +B^X

로 분해될 수 있다. 이러한 분해가 존재한다면, P-영 집합을 제외하고 유일하다.

모든 특별 준마팅게일은 준마팅게일이다. 반대로, 준마팅게일이 특별 준마팅게일이기 위한 필요충분조건은 과정 ''X''_t^* ≡ sup_{''s'' ≤ ''t''} |X_''s''|가 국소 적분 가능하다는 것이다.^[1]

예를 들어, 모든 연속 준마팅게일은 특별 준마팅게일이며, 이 경우 ''M''과 ''A''는 모두 연속 과정이다.

4. 3. 곱셈 분해

\mathcal{E}(X)

가 반마팅게일

X

의 확률적 지수를 나타낸다고 하자. 만약

X

가

\Delta B^X \neq -1

인 특수 반마팅게일이면,

\mathcal{E}(B^X)\neq 0

이고

\mathcal{E}(X)/\mathcal{E}(B^X)=\mathcal{E}\left(\int_0^\cdot \frac{M^X_u}{1+\Delta B^X_u}\right)

는 국소 마팅게일이다.^[1] 과정

\mathcal{E}(B^X)

는

\mathcal{E}(X)

의 "곱셈 보상자"라고 불리며, 등식

\mathcal{E}(X)=\mathcal{E}\left(\int_0^\cdot \frac{M^X_u}{1+\Delta B^X_u}\right)\mathcal{E}(B^X)

는

\mathcal{E}(X)

의 "곱셈 분해"라고 불린다.

4. 4. 순수 불연속 준마팅게일

세미마팅게일의 이차 변동 [''X'']가 유한 변동 순수 점프 과정, 즉 :

[X]_t=\sum_{s\le t}(\Delta X_s)^2

일 경우 ''순수 불연속적''이라고 불린다.^[1] 이 정의에 따르면, ''시간''은 전혀 점프가 나타나지 않더라도 순수 불연속 세미마팅게일이다. 순수 불연속 세미마팅게일에 대한 대안(및 선호되는) 용어인 ''이차 순수 점프'' 세미마팅게일은 순수 불연속 세미마팅게일의 이차 변동이 순수 점프 과정이라는 사실에 의해 동기 부여된다. 모든 유한 변동 세미마팅게일은 이차 순수 점프 세미마팅게일이다. 적응 연속 과정은 유한 변동일 경우에만 이차 순수 점프 세미마팅게일이다.

모든 세미마팅게일 X에 대해 0에서 시작하는 고유한 연속 국소 마팅게일

X^c

가 존재하며,

X-X^c

는 이차 순수 점프 세미마팅게일이다. 국소 마팅게일

X^c

는 ''X의 연속 마팅게일 부분''이라고 불린다.

X^c

는 측도 특정적임을 관찰하라. ''

P

''와 ''

Q

''가 두 개의 동치 측도이면

X^c(P)

는 일반적으로

X^c(Q)

와 다르지만,

X-X^c(P)

와

X-X^c(Q)

모두 이차 순수 점프 세미마팅게일이다. 기르사노프 정리에 의해

X^c(P)-X^c(Q)

는 연속 유한 변동 과정이며,

[X^c(P)]=[X^c(Q)] = [X]-\sum_{s\leq\cdot}(\Delta X_s)^2

를 얻는다.

4. 5. 준마팅게일의 연속 시간 및 이산 시간 성분

모든 준마팅게일

X

는 다음과 같은 고유한 분해를 갖는다.

:

X = X_0 + X^{\mathrm{qc}} +X^{\mathrm{dp}},

여기서

X^{\mathrm{qc}}_0=X^{\mathrm{dp}}_0=0

이고,

X^{\mathrm{qc}}

성분은 예측 가능한 시간에 점프하지 않으며,

X^{\mathrm{dp}}

성분은 준마팅게일 위상에서 예측 가능한 시간에 점프의 합과 같다. 그러면

[X^{\mathrm{qc}},X^{\mathrm{dp}}]=0

이다.^[2] "qc" 성분의 일반적인 예로는 이토 과정과 레비 과정이 있다. "dp" 성분은 종종 마르코프 체인으로 간주되지만, 일반적으로 예측 가능한 점프 시간은 고립된 점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 원칙적으로

X^{\mathrm{dp}}

는 모든 유리수 시간에 점프할 수 있다. 또한

X^{\mathrm{dp}}

는 점프의 합과 같더라도(준마팅게일 위상에서) 반드시 유한 변동은 아니다. 예를 들어, 시간 간격

[0,\infty)

에서

X^{\mathrm{dp}}

는 독립 증분을 가지며, 시간

\{\tau_n = 2-1/n\}_{n\in\mathbb{N}}

에서 점프는 값

\pm 1/n

을 동일한 확률로 갖는다고 가정한다.

5. 예시

위너 확률 과정 $W_t$ 에 대하여, 정지 시간

:

\tau = \inf \{t \colon W_t \ge 1\}

을 생각하자. 그렇다면,

:

X_t = \begin{cases}

W^

6. 다양체 위에서의 준마팅게일

준마팅게일 개념과 관련된 확률 미적분학 이론은 미분 다양체 값을 갖는 프로세스로 확장된다. 다양체 ''M'' 위의 프로세스 ''X''가 ''M''에서 '''R'''로 가는 모든 매끄러운 함수 ''f''에 대해 ''f''(''X'')가 준마팅게일이면, ''X''는 준마팅게일이다.^[1] 일반적인 다양체에 대한 준마팅게일의 확률 미적분학은 스트라토노비치 적분의 사용을 필요로 한다.

참조

_[1] 논문 Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles 1978
_[2] 논문 Pure-jump semimartingales https://projecteucli[...] 2021-11-01

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