진폭 편이 방식

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1. 개요
2. 부호화
3. 오류 확률
참조

1. 개요

진폭 편이 방식(ASK)은 반송파의 진폭을 여러 단계로 변화시켜 데이터를 표현하는 변조 방식이다. 가장 단순한 형태인 온오프 변조는 반송파 유무로 0과 1을 나타내며, 여러 비트를 그룹으로 묶어 진폭 차이로 표현하는 다치 ASK도 사용된다. ASK 시스템은 송신기, 전송 경로, 수신기로 구성되며, 송신 신호는 여러 변수를 통해 표현된다. ASK는 오류 확률을 가지며, 이는 신호 진폭, 시스템 증폭, 레벨 수, 잡음 전력 등 다양한 요인에 의해 영향을 받는다. 오류 확률은 가우스 함수로 모델링되며, 상보 오차 함수를 사용하여 계산할 수 있다.

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진폭 편이 방식
개요
이름	진폭 편이 변조
영어 이름	Amplitude-shift keying
약자	ASK
종류	디지털 변조
신호	디지털 신호 아날로그 신호 (반송파)
설명	디지털 데이터를 반송파의 진폭 변화를 통해 전송하는 변조 방식.
원리
반송파	반송파의 진폭을 디지털 신호에 따라 변화시킴.
이진 ASK (OOK)	'1' 전송 시: 반송파 전송 '0' 전송 시: 반송파 미전송
다중 ASK	여러 진폭 레벨을 사용하여 한 번에 여러 비트 전송.
특징
장점	구현이 간단함.
단점	잡음에 취약함. 전력 효율이 낮음.
활용
예시	무선 통신 시스템 데이터 전송
참고	온-오프 키잉 (OOK): 가장 간단한 형태의 ASK. 직교 진폭 변조 (QAM): ASK와 PSK를 결합한 변조 방식.

2. 부호화

ASK는 반송파의 진폭을 조절하여 데이터를 표현하는 방식이다. 가장 간단한 형태는 온오프 변조(OOK)이며, 더 복잡한 방식으로는 여러 비트를 묶어 진폭 차이로 나타내는 다치 ASK가 있다. 다치 ASK는 전송 효율을 높일 수 있지만, 높은 S/N비가 필요하다.

ASK 시스템은 송신기, 전송 경로, 수신기로 구성된다. 송신된 신호는 전송 경로에서 잡음과 심볼 간 간섭의 영향을 받으며, 수신기에서는 필터링을 통해 이를 줄이고 신호를 복원한다. 각 심볼은 서로 다른 전압으로 표시되며, 최대 전압 ''A''일 때 모든 전압은 ''[-A, A]'' 범위에 속한다. 진폭 레벨 수가 ''L''일 때, 레벨 간 전압 차이($\Delta$)는 $\Delta = \frac{2 A}{L - 1}$이다.

2. 1. 온-오프 변조 (OOK)

가장 단순하고 일반적인 ASK 사용 형태는 반송파의 존재 유무로 1과 0을 나타내는 방식이다. 즉, 스위치로 반송파가 존재하는 경우를 바이너리 1, 존재하지 않는 경우를 바이너리 0으로 나타낸다. 이러한 형태의 변조 방식을 온오프 변조라고 하며, 모스 부호를 무선 주파수로 전송할 때도 사용된다(CW: 연속파 참조).^[1]

2. 2. 다치 ASK

여러 단계의 진폭을 사용하여 한 번에 여러 비트를 전송하는 방식이다. 예를 들어, 4-ASK는 4단계의 진폭 차이를 이용하여 각 변조 파형으로 2비트를 나타내며(4값 ASK), 8-ASK는 8단계의 진폭 차이를 이용하여 3비트를 나타낸다(8값 ASK). 이는 PSK에서의 QPSK나 8PSK와 유사한 기법이다.

다치 ASK는 신호에 많은 비트를 담아 전송 효율을 높일 수 있지만, 정확하게 복호화하기 위해서는 높은 S/N비가 필요하다.

2. 3. 송수신 시스템

ASK 송수신 시스템은 송신기, 전송 경로, 수신기로 구성된다. 송신기에서 만들어진 신호는 전송 경로를 지나면서 잡음과 심볼 간 간섭(ISI)의 영향을 받는다. 수신기에서는 필터링을 통해 잡음과 ISI를 줄이고 원래 신호를 복원한다.

각 심볼은 서로 다른 전압으로 나타내며, 최대 전압값을 ''A''라고 할 때, 모든 전압값은 ''[-A, A]'' 범위에 있게 된다. 각 레벨 간 전압 차이($\Delta$)는 $\Delta = \frac{2 A}{L - 1}$로 주어지며, 여기서 ''L''은 진폭 레벨의 수이다. 송신기에서는 신호원(S)에서 생성된 심볼에 따라 파형 생성기가 임펄스 파형을 만들고, 이 파형은 송신 필터를 거쳐 채널로 전송된다. 수신기에서는 필터링을 거친 후 신호는 심볼 간 간섭이 없을 경우 노이즈의 영향만 받게 된다.

2. 3. 1. 송신기

신호원(S)은 전송할 심볼 ''v[n]''을 무작위로 생성한다. 파형 생성 장치는 이 심볼에 해당하는 면적 ''v[n]''의 임펄스 파형을 만든다. 생성된 임펄스 파형은 송신 필터 ''h_t(t)''를 거쳐 반송파에 실려 채널을 통해 전송된다. 즉, 각 심볼마다 해당 진폭을 가진 반송파가 전송되는 것이다.

송신기에서 출력되는 신호 ''s(t)''는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

s (t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} v[n] \cdot h_t (t - n T_s)

2. 3. 2. 전송 경로

임펄스 응답(h_c(t))은 전송 경로의 특성을 나타내며, 전송 경로에서 발생하는 잡음은 n(t)로 표기한다.^[1]

2. 3. 3. 수신기

수신기에서 h_r(t)^영어를 통해 필터링된 신호는 다음 형태가 된다.

: z(t)^영어 = n_r(t)^영어 + ∑_n=-∞^∞ v[n]^영어 · g(t - nT_s)^영어

여기서,

: n_r(t)^영어 = n(t)^영어 * h_r(t)^영어

: g(t)^영어 = h_t(t)^영어 * h_c(t)^영어 * h_r(t)^영어

는 두 신호의 컨볼루션을 나타낸다. 아날로그-디지털 변환 후, 신호 z(k)^영어는 다음 형태로 나타난다.

: z[k]^영어 = n_r[k]^영어 + v[k]^영어 · g[0]^영어 + ∑_n≠kv[n]^영어 · g[k-n]^영어

이 식에서 두 번째 항은 복호화되는 심볼을 나타낸다. 나머지 항은 불필요한 항으로, 첫 번째 항은 노이즈의 영향이며 세 번째 항은 심볼 간 간섭에 의한 것이다.

만약 심볼 간 간섭(ISI)의 나이퀴스트 기준을 만족하는 g(t)^영어를 가진 필터를 선택하면, 심볼 간 간섭은 0이 된다. 따라서, 다음 식을 얻는다.

: z[k]^영어 = n_r[k]^영어 + v[k]^영어 · g[0]^영어

이 경우, 수신 신호는 노이즈의 영향만 받게 된다.

3. 오류 확률

진폭 편이 방식(ASK) 시스템에서 오류 발생 확률은 여러 요인에 의해 결정된다. 전송 신호의 최대 진폭을 늘리거나 시스템 증폭을 높이면 오류 확률을 줄일 수 있다. 반면, 심볼 내 비트 수(진폭 레벨 수 L)를 늘리거나 노이즈 전력이 증가하면 오류 확률이 높아진다. 이러한 관계는 심볼 간 간섭이 없는, 즉 ''g(t)''가 나이퀴스트 함수인 경우에 유효하다.^[1]

3. 1. 오류 확률 밀도 함수

오류 발생 확률 밀도 함수는 가우스 함수로 모델링되며, 평균값은 상대적인 전송 값이고 분산은 다음과 같다.^[1]

:

\sigma_N^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_N (f) \cdot |H_r (f)|^2 df

여기서

\Phi_N (f)

는 대역 내 노이즈의 스펙트럼 밀도이고, ''H_r(f)''는 필터 ''h_r(f)''의 임펄스 응답의 연속 푸리에 변환이다.^[1]

오류 발생 확률은 다음과 같다.^[1]

:

P_e = P_{e|H_0} \cdot P_{H_0} + P_{e|H_1} \cdot P_{H_1} + \cdots + P_{e|H_{L-1}} \cdot P_{H_{L-1}} = \sum^{L-1}_{k=0} P_{e|H_{k}} \cdot P_{H_{k}}

예를 들어

P_{e|H_0}

는 기호 v₀이 전송되었을 때 오류가 발생할 조건부 확률이고,

P_{H_0}

는 기호 v₀을 전송할 확률이다.^[1]

어떤 기호를 전송할 확률이 동일하다면 다음과 같다.^[1]

:

P_{H_i} = \frac{1}{L}

전송할 수 있는 전압 값에 대한 모든 확률 밀도 함수를 같은 그림에 표시하면 다음 그림과 같다(

L = 4

인 경우).^[1]

단일 기호가 전송된 후 오류가 발생할 확률은 다른 기호에 대한 함수 아래에 있는 가우스 함수의 면적이다. 그중 하나에 대해서만 청록색으로 표시되어 있다.

P^+

를 가우스의 한쪽 아래 면적이라고 하면 모든 면적의 합은

2 L P^+ - 2 P^+

가 된다. 오류 발생 총 확률은 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

:

P_e = 2 \left( 1 - \frac{1}{L} \right) P^+

이제

P^+

의 값을 계산해야 한다. 이를 위해 참조 원점을 원하는 곳으로 이동할 수 있다. 함수 아래의 면적은 변경되지 않는다. 다음은 그 உதாரण이다.^[1]

어떤 가우스 함수를 고려하든 계산하려는 면적은 동일하다. 우리가 찾고 있는 값은 다음 적분으로 주어진다.^[1]

:

P^+ = \int_{\frac{A g(0)}{L-1}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_N} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma_N^2}} d x = \frac{1}{2} \operatorname{erfc} \left( \frac{A g(0)}{\sqrt{2} (L-1) \sigma_N} \right)

여기서

\operatorname{erfc}(x)

는 상보 오차 함수이다. 이 모든 결과를 함께 넣으면 오류 발생 확률은 다음과 같다.^[1]

:

P_e = \left( 1 - \frac{1}{L} \right) \operatorname{erfc} \left( \frac{A g(0)}{\sqrt{2} (L-1) \sigma_N} \right)

이 공식에서 전송된 신호의 최대 진폭 또는 시스템의 증폭이 커지면 오류 발생 확률이 감소한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 반면에 레벨 수 또는 노이즈 전력이 커지면 오류 발생 확률이 증가한다.^[1]

이 관계는 심볼 간 간섭이 없을 때, 즉

g(t)

가 나이퀴스트 함수일 때 유효하다.^[1]

3. 2. 오류 확률 계산

오류 발생 확률 밀도 함수는 주어진 크기의 오류를 갖는 가우스 함수로 모델링할 수 있다. 평균값은 상대적인 전송 값이며 분산은 다음과 같다.

:

\sigma_N^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi_N (f) \cdot |H_r (f)|^2 df

여기서

\Phi_N (f)

는 대역 내 노이즈의 스펙트럼 밀도이고,

H_r(f)

는 필터

h_r(f)

의 임펄스 응답의 연속 푸리에 변환이다.

오류 발생 확률은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

P_e = \sum^{L-1}_{k=0} P_{e|H_{k}} \cdot P_{H_{k}}

예를 들어

P_{e|H_0}

는 기호

v_0

이 전송되었을 때 오류가 발생할 조건부 확률이고,

P_{H_0}

는 기호

v_0

을 전송할 확률이다.

각 기호를 전송할 확률이 동일하다면, 다음과 같다.

:

P_{H_i} = \frac{1}{L}

전송 가능한 전압 값에 대해 모든 확률 밀도 함수를 같은 그림에 표시하면 다음과 같다 (

L = 4

인 경우).

단일 기호가 전송된 후 오류가 발생할 확률은 다른 기호에 대한 함수 아래에 있는 가우스 함수의 면적이다. 위 그림에서 청록색으로 표시된 부분이 그 예시이다.

P^+

를 가우스 함수의 한쪽 아래 면적이라고 하면, 모든 면적의 합은

2 L P^+ - 2 P^+

가 된다. 따라서 오류가 발생할 총 확률은 다음과 같다.

:

P_e = 2 \left( 1 - \frac{1}{L} \right) P^+

이제

P^+

의 값을 계산해야 한다. 이를 위해 참조 원점을 변경하면 아래 그림과 같이 나타낼 수 있다.

어떤 가우스 함수를 고려하든 계산하려는 면적은 동일하다. 이 값은 다음 적분으로 주어진다.

:

P^+ = \int_{\frac{A g(0)}{L-1}}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_N} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma_N^2}} d x = \frac{1}{2} \operatorname{erfc} \left( \frac{A g(0)}{\sqrt{2} (L-1) \sigma_N} \right)

여기서

\operatorname{erfc}(x)

는 상보 오차 함수이다. 위 결과들을 종합하면 오류 발생 확률은 다음과 같다.

:

P_e = \left( 1 - \frac{1}{L} \right) \operatorname{erfc} \left( \frac{A g(0)}{\sqrt{2} (L-1) \sigma_N} \right)

이 공식에서 전송 신호의 최대 진폭이나 시스템 증폭이 커지면 오류 발생 확률이 감소하고, 레벨 수(

L

) 또는 노이즈 전력이 커지면 오류 발생 확률이 증가함을 알 수 있다.

이 관계는 심볼 간 간섭이 없을 때, 즉

g(t)

가 나이퀴스트 함수일 때 유효하다.

3. 3. 오류 확률에 영향을 미치는 요인

진폭 편이 방식(ASK)에서 오류 확률은 여러 요인에 의해 영향을 받는다. 전송된 신호의 최대 진폭이 커지거나 시스템의 증폭이 커지면 오류 확률은 감소한다. 반면, 신호의 레벨 수(L)가 증가하거나 잡음 전력이 커지면 오류 확률은 증가한다.^[1]

이러한 관계는 심볼 간 간섭(ISI)이 없을 때, 즉

g(t)

가 나이퀴스트 함수일 때 유효하다.^[1]

오류 확률에 영향을 미치는 요인을 요약하면 다음과 같다.

신호 진폭: 신호 진폭이 커질수록 오류 확률이 감소한다.
증폭: 시스템 증폭이 클수록 오류 확률이 감소한다.
레벨 수 (L): 레벨 수가 증가할수록 오류 확률이 증가한다.
잡음 전력: 잡음 전력이 클수록 오류 확률이 증가한다.
심볼 간 간섭 (ISI): ISI가 없을 때 (나이퀴스트 함수) 오류 확률 계산이 유효하다.

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