맨위로가기

초행렬

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

초행렬은 블록 행렬의 일종으로, 행렬의 각 원소가 또 다른 행렬인 구조를 가진다. 수퍼대수, 수퍼행렬, 짝수 및 홀수 수퍼행렬, 균질적 수퍼행렬, 패리티 등의 개념을 포함하며, 일반 행렬의 연산을 확장하여 정의된다. 초행렬은 덧셈, 곱셈, 스칼라 곱셈을 수행할 수 있으며, 초대각합, 초행렬식, 슈퍼전치, 패리티 전치와 같은 고유한 성질을 갖는다. 또한 초벡터 공간 간의 선형 사상을 나타내며, 양자역학, 초대칭 이론 등 다양한 분야에 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 초대칭 - 양성자 붕괴
    양성자 붕괴는 대통일 이론에서 예측하는 가설적인 현상으로, 양성자가 더 가벼운 입자들로 붕괴하며 중입자수 보존 법칙을 위반하는 현상이나, 아직 실험적으로 관측되지는 않았지만, 슈퍼-카미오칸데 실험 등을 통해 양성자의 최소 수명 하한선을 설정하고 이론 모델을 제한하는 데 사용된다.
  • 초대칭 - 최소 초대칭 표준 모형
    최소 초대칭 표준 모형(MSSM)은 계층 문제를 해결하기 위해 도입된 표준 모형의 초대칭 확장으로, 게이지 결합 상수의 대통일, 암흑 물질 후보 제공, R-패리티를 통한 양성자 붕괴 안정성 설명, 연성 초대칭 깨짐 연산자 도입 등의 특징을 갖는다.
  • 행렬 - 스핀 (물리학)
    스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
  • 행렬 - 파울리 행렬
    파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.
초행렬

2. 정의

초행렬은 행렬을 블록 행렬을 이용하여 더 작은 블록으로 나누어 다루는 방법이다.

하위 섹션인 "표기법"에서는 초행렬의 표기법을, "종류"에서는 여러 종류의 초행렬을 설명한다.

2. 1. 표기법

(m|n)\times(p|q) '''초행렬''' M은 다음과 같은 구조로 이루어진 블록 행렬이다.

:M=\begin{pmatrix}

X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}

\end{pmatrix}

여기서 X_{00}은 m\times p, X_{01}은 m\times q, X_{10}은 n\times p, X_{11}은 n\times q 행렬이다. (p|q)\times(p|q) 행렬을 '''정사각초행렬'''(square supermatrix영어)이라고 한다.

''R''을 고정된 수퍼대수(단위원을 갖는 단위 결합 대수이며, 결합적이라고 가정)라고 하자. ''R''이 수퍼가환일 것을 요구하는 경우가 많다.

(''r''|''s'')×(''p''|''q'') 차원의 '''수퍼행렬'''은 ''R''의 원소를 갖는 행렬로서 다음과 같은 2×2 블록 행렬 구조로 분할된다.

:X = \begin{bmatrix}X_{00} & X_{01} \\ X_{10} & X_{11}\end{bmatrix}

전체 행의 수는 ''r''+''s'', 전체 열의 수는 ''p''+''q''개이다 (따라서 부분 행렬 ''X''00은 ''r''×''p'' 차원이고, ''X''11은 ''s''×''q'' 차원을 갖는다). 일반 (비등급) 행렬은 ''q''와 ''s''가 모두 0인 수퍼행렬로 생각할 수 있다.

'''정사각''' 수퍼행렬은 (''r''|''s'') = (''p''|''q'')인 행렬이다. 이는 분할되지 않은 행렬 ''X''가 정사각 행렬일 뿐만 아니라, 대각 블록 ''X''00과 ''X''11도 정사각 행렬임을 의미한다.

'''짝수 수퍼행렬'''은 대각 블록 (''X''00과 ''X''11)이 오직 ''R''의 짝수 원소(즉, 패리티가 0인 균일 원소)로만 구성되고, 비대각 블록 (''X''01과 ''X''10)이 오직 ''R''의 홀수 원소로만 구성된 행렬이다.

:\begin{bmatrix}\mathrm{짝수} & \mathrm{홀수} \\ \mathrm{홀수}& \mathrm{짝수} \end{bmatrix}

'''홀수 수퍼행렬'''은 그 반대의 경우이다. 즉, 대각 블록은 홀수이고 비대각 블록은 짝수이다.

:\begin{bmatrix}\mathrm{홀수} & \mathrm{짝수} \\ \mathrm{짝수}& \mathrm{홀수} \end{bmatrix}

스칼라 ''R''이 순수 짝수이면 0이 아닌 홀수 원소가 없으므로, 짝수 수퍼행렬은 블록 대각 행렬이고, 홀수 수퍼행렬은 비대각 행렬이다.

수퍼행렬이 짝수 또는 홀수이면 '''균질적'''이라고 한다. 0이 아닌 균질 수퍼행렬 ''X''의 '''패리티''' |''X''|는 짝수 또는 홀수에 따라 0 또는 1이다. 모든 수퍼행렬은 짝수 수퍼행렬과 홀수 수퍼행렬의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

2. 2. 종류

''p'', ''q'', ''r'', ''s''를 음이 아닌 정수로 하고, (''r''|''s'')×(''p''|''q'') 차원의 '''초행렬'''은 수퍼대수 ''R''의 원소를 갖는 행렬이며 다음과 같은 2×2 블록 행렬 구조로 분할된다.

:X = \begin{bmatrix}X_{00} & X_{01} \\ X_{10} & X_{11}\end{bmatrix}

전체 행의 수는 ''r''+''s'', 전체 열의 수는 ''p''+''q''개이다 (따라서 부분 행렬 ''X''00은 ''r''×''p'' 차원이고, ''X''11은 ''s''×''q'' 차원을 갖는다). 일반 (비등급) 행렬은 ''q''와 ''s''가 모두 0인 초행렬로 생각할 수 있다.

'''정사각 초행렬'''은 (''r''|''s'') = (''p''|''q'')인 행렬이다. 이는 분할되지 않은 행렬 ''X''가 정사각 행렬일 뿐만 아니라, 대각 블록 ''X''00과 ''X''11도 정사각 행렬임을 의미한다.

'''짝수 초행렬'''은 대각 블록 (''X''00과 ''X''11)이 오직 ''R''의 짝수 원소(즉, 패리티가 0인 균일 원소)로만 구성되고, 비대각 블록 (''X''01과 ''X''10)이 오직 ''R''의 홀수 원소로만 구성된 행렬이다.

:\begin{bmatrix}\mathrm{짝수} & \mathrm{홀수} \\ \mathrm{홀수}& \mathrm{짝수} \end{bmatrix}

'''홀수 초행렬'''은 그 반대의 경우이다. 즉, 대각 블록은 홀수이고 비대각 블록은 짝수이다.

:\begin{bmatrix}\mathrm{홀수} & \mathrm{짝수} \\ \mathrm{짝수}& \mathrm{홀수} \end{bmatrix}

스칼라 ''R''이 순수 짝수이면 0이 아닌 홀수 원소가 없으므로, 짝수 초행렬은 블록 대각 행렬이고, 홀수 초행렬은 비대각 행렬이다.

초행렬이 짝수 또는 홀수이면 '''균질적'''이라고 한다. 0이 아닌 균질 초행렬 ''X''의 '''패리티''' |''X''|는 짝수 또는 홀수에 따라 0 또는 1이다. 모든 초행렬은 짝수 초행렬과 홀수 초행렬의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

3. 연산

같은 크기의 초행렬은 서로 더하거나 곱할 수 있으며, 스칼라 곱셈도 가능하다. 이러한 연산은 일반 행렬의 연산과 유사하지만, 블록의 차원이 호환되어야 한다는 제약 조건이 있다.

''M''''r''|''s''×''p''|''q''(''R'')은 차원이 (''r''|''s'')×(''p''|''q'')인 ''R'' 위의 모든 초행렬의 집합으로, 초행렬 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 ''R'' 위의 초가군을 형성한다. 특히 ''R''이 체 ''K'' 위의 초대수이면, ''M''''r''|''s''×''p''|''q''(''R'')은 ''K'' 위의 초벡터 공간을 형성한다.

''M''''p''|''q''(''R'')은 차원이 (''p''|''q'')×(''p''|''q'')인 ''R'' 위의 모든 정사각 초행렬의 집합으로, 초행렬 덧셈과 곱셈에 대해 초환을 형성한다. ''R''이 가환 초대수이면 초행렬 곱셈은 쌍선형 연산이 되므로, ''M''''p''|''q''(''R'')은 ''R'' 위의 초대수를 형성한다.

3. 1. 덧셈

호환되는 차원의 초행렬은 일반 행렬과 마찬가지로 더할 수 있다. 이 연산은 블록이 호환되는 차원을 가질 때에만 정의된다는 제한을 제외하고는 일반 행렬 연산과 정확히 동일하다.

(''r''|''s'')×(''p''|''q'') 차원의 두 초행렬은 등급이 없는 경우와 마찬가지로 더하여 동일한 차원의 초행렬을 얻을 수 있다. 블록들은 호환 가능한 크기를 가지므로 블록 단위로 덧셈을 수행할 수 있다. 두 짝수 초행렬의 합은 짝수이고, 두 홀수 초행렬의 합은 홀수이다.

3. 2. 곱셈

(m|n)\times(p|q) 초행렬과 (p|q)\times(r|s) 초행렬을 곱하여 (m|n)\times(r|s) 초행렬을 얻을 수 있다. 그 곱은 다음과 같다.

:\begin{pmatrix}

X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}

\end{pmatrix}=

\begin{pmatrix}

X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{01}Y_{11}+X_{00}Y_{01}\\

X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}

\end{pmatrix}



호환되는 차원의 초행렬은 일반 행렬과 마찬가지로 더하거나 곱할 수 있다. 이 연산은 블록이 호환되는 차원을 가질 때에만 정의된다는 제한을 제외하고는 일반 행렬 연산과 정확히 동일하다.

(r|s)×(p|q) 차원의 초행렬을 (p|q)×(k|l) 차원의 초행렬과 등급이 없는 경우와 마찬가지로 곱하여 (r|s)×(k|l) 차원의 행렬을 얻을 수 있다. 곱셈은 블록 수준에서 다음과 같이 수행할 수 있다.

:\begin{bmatrix}X_{00} & X_{01} \\ X_{10} & X_{11}\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}Y_{00} & Y_{01} \\ Y_{10} & Y_{11}\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00} + X_{01}Y_{10} & X_{00}Y_{01} + X_{01}Y_{11} \\

X_{10}Y_{00} + X_{11}Y_{10} & X_{10}Y_{01} + X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}.



곱 초행렬 Z = XY의 블록은 다음과 같다.

:Z_{ij} = X_{i0}Y_{0j} + X_{i1}Y_{1j}.\,

X와 Y가 패리티 |X|와 |Y|로 균질하면 XY는 패리티 |X| + |Y|로 균질하다. 즉, 두 개의 짝수 초행렬 또는 두 개의 홀수 초행렬의 곱은 짝수이며, 짝수와 홀수 초행렬의 곱은 홀수이다.

3. 3. 스칼라 곱셈

''R''의 원소(왼쪽 또는 오른쪽)로 초행렬을 곱할 수 있다. ''R''에 홀수 원소가 존재하기 때문에 이 연산은 등급이 없는 경우와 다르다.

초행렬의 스칼라 곱셈은 ''R''에 홀수 원소가 존재하기 때문에 등급이 없는 경우와 다르다. ''X''를 초행렬, α ∈ ''R''이라 할 때, α에 의한 왼쪽 스칼라 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:\alpha\cdot X = \begin{bmatrix}

\alpha\,X_{00} & \alpha\,X_{01}\\

\hat\alpha\,X_{10} & \hat\alpha\,X_{11}

\end{bmatrix}

여기서 내부 스칼라 곱셈은 일반적인 등급이 없는 곱셈이며, \hat\alpha는 ''R''에서의 등급 대합을 나타낸다. 이는 균질 원소에 대해 다음과 같이 주어진다.

:\hat\alpha = (-1)^

\alpha.

α에 의한 오른쪽 스칼라 곱셈은 유사하게 정의된다.

:X\cdot\alpha = \begin{bmatrix}

X_{00}\,\alpha & X_{01}\,\hat\alpha \\

X_{10}\,\alpha & X_{11}\,\hat\alpha

\end{bmatrix}.

만약 α가 짝수라면, \hat\alpha = \alpha이고 이 두 연산은 등급이 없는 버전과 동일하다. 만약 α와 ''X''가 균질하다면, α⋅''X''와 ''X''⋅α는 모두 패리티 |α| + |''X''|를 갖는 균질이다. 또한, ''R''이 초가환적이라면 다음이 성립한다.

:\alpha\cdot X = (-1)^

X\cdot\alpha.

4. 성질

초행렬은 초대각합, 초행렬식, 슈퍼전치, 패리티 전치 등 다양한 성질을 가진다. 이러한 성질들은 기존 행렬의 성질을 확장하거나, 초행렬 고유의 새로운 성질을 나타낸다.


  • 초대각합(Supertrace): 초행렬의 초대각합은 일반 행렬의 대각합과 유사하게 정의되지만, 부호가 추가되어 Z2-등급의 특성을 반영한다.
  • 초행렬식(Superdeterminant, Berezinian): 초행렬식은 일반 행렬의 행렬식과 유사하게 정의되지만, 가역 행렬에 대해서만 정의되는 등 Z2-등급의 특성을 반영한다. 베레지니언이라고도 한다.
  • 슈퍼전치(Supertranspose): 슈퍼전치는 일반 행렬의 전치 행렬과 유사하게 정의되지만, Z2-등급에 따라 부호가 추가되어 차수가 4인 연산이 된다.
  • 패리티 전치(Parity Transpose): 패리티 전치는 초행렬에서 새롭게 정의되는 연산으로, 블록의 위치를 교환하는 방식으로 정의된다.


이러한 성질들은 서로 연관되어 있으며, 특히 초대각합과 초행렬식은 다음 수식과 같이 지수 함수를 통해 연결된다.

:\operatorname{sdet}\exp X=\exp\operatorname{str}X

4. 1. 초대각합 (Supertrace)

정사각초행렬 X의 '''초대각합'''(超對角合, supertrace영어) \operatorname{str}X는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{str}

\begin{pmatrix}

X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}

\end{pmatrix}=\operatorname{tr}X_{00}-\operatorname{tr}X_{11}



여기서 \operatorname{tr}은 일반적인 대각합을 나타낸다. 초대각합은 대각합의 '''Z'''2-등급 아날로그이며, 균질 초행렬에 대해서는 다음과 같이 표현된다.

:\mathrm{str}(X) = \mathrm{tr}(X_{00}) - (-1)^

\mathrm{tr}(X_{11})\,

''R''이 초가환적일 때, 균질 초행렬 ''X''와 ''Y''에 대해 초대각합은 다음 항등식을 만족한다.

:\mathrm{str}(XY) = (-1)^

\mathrm{str}(YX)\,

4. 2. 초행렬식 (Superdeterminant, Berezinian)

정사각 초행렬의 초행렬식(超行列式, superdeterminant영어) 또는 베레지니언(Berezinian영어)은 행렬식의 Z2-등급 아날로그이다. 베레지니언은 가환 초대수 ''R'' 위의 짝수 가역 초행렬에 대해서만 잘 정의된다. 이 경우, 다음 공식으로 주어진다.

:\mathrm{Ber}(X) = \det(X_{00} - X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.

여기서 det는 (가환 대수 ''R''0의 원소를 갖는 정사각 행렬의) 일반적인 행렬식을 나타낸다.

정사각 초행렬 X 의 초행렬식은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{sdet}

\begin{pmatrix}

X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}

\end{pmatrix}=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11}^{-1})



베레지니언은 일반적인 행렬식과 유사한 성질을 만족한다. 특히 곱셈적이며 초전치에 대해 불변이다. 초대각합과는 다음 공식으로 관련이 있다.

:\operatorname{sdet}\exp X=\exp\operatorname{str}X

:\mathrm{Ber}(e^X) = e^{\mathrm{str(X)}}.\,

4. 3. 슈퍼전치 (Supertranspose)

슈퍼행렬의 '''슈퍼전치'''는 전치 행렬의 Z2-등급 아날로그이다. 균질 (''r''|''s'')×(''p''|''q'') 슈퍼행렬은 다음과 같이 정의한다.

:X = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}

''X''의 슈퍼전치는 (''p''|''q'')×(''r''|''s'') 슈퍼행렬로 다음과 같다.

:X^{st} = \begin{bmatrix}A^t & (-1)^

C^t \\ -(-1)^

B^t & D^t\end{bmatrix}

여기서 ''A''''t''는 ''A''의 일반적인 전치를 나타낸다. 이 정의는 선형성을 통해 임의의 슈퍼행렬로 확장될 수 있다. 일반적인 전치와 달리, 슈퍼전치는 일반적으로 대합이 아니라 차수가 4이다. 슈퍼전치를 슈퍼행렬 ''X''에 두 번 적용하면 다음과 같다.

:(X^{st})^{st} = \begin{bmatrix}A & -B \\ -C & D\end{bmatrix}

''R''이 슈퍼가환적이라면, 슈퍼전치는 다음 항등식을 만족한다.

:(XY)^{st} = (-1)^

Y^{st}X^{st}

4. 4. 패리티 전치 (Parity Transpose)

초행렬의 '''패리티 전치'''는 기존에 없던 새로운 연산이다.

:X = \begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}

가 (''r''|''s'')×(''p''|''q'') 초행렬이라고 할 때, ''X''의 패리티 전치는 (''s''|''r'')×(''q''|''p'') 초행렬이며 다음과 같이 정의된다.

:X^\pi = \begin{bmatrix}D & C \\ B & A\end{bmatrix}.

즉, 패리티 전치 행렬의 (''i'',''j'') 블록은 원래 행렬의 (1-''i'',1-''j'') 블록이다.

패리티 전치 연산은 다음 항등식을 만족한다.

  • (X+Y)^\pi = X^\pi + Y^\pi\,
  • (XY)^\pi = X^\pi Y^\pi\,
  • (\alpha\cdot X)^\pi = \hat\alpha\cdot X^\pi
  • (X\cdot\alpha)^\pi = X^\pi\cdot\hat\alpha


그리고

  • \pi^2 = id\,
  • \pi\circ st \circ \pi = (st)^3


여기서 ''st''는 초전치(supertranspose) 연산을 나타낸다.

5. 선형 변환과의 관계

초행렬은 초벡터 공간 (또는 자유 초가군) 사이의 선형 사상을 나타내는 데 사용될 수 있다. 일반 행렬이 벡터 공간 사이의 선형 사상을 좌표로 표현하는 것과 유사하다.

하나의 초벡터 공간에서 다른 초벡터 공간으로의 준동형 사상은 등급을 보존한다. 즉, 짝수 원소는 짝수 원소로, 홀수 원소는 홀수 원소로 사상한다. 이러한 등급 보존 변환은 "짝수" 초행렬로 표현된다. 반면, 홀수 초행렬은 등급을 반전시키는 선형 변환에 대응된다. 일반 초행렬은 등급에 관계없는 선형 변환을 나타낼 수 있지만, 등급이 매겨진 변환만큼 중요하게 다루어지지는 않는다.

5. 1. 자유 초가군과 초행렬

일반 행렬은 벡터 공간 (또는 자유 가군) 사이의 선형 사상을 좌표로 나타낸 것이다. 마찬가지로, 초행렬은 초벡터 공간 (또는 자유 초가군) 사이의 선형 사상을 좌표로 나타낸 것이다.

초대수 ''R'' 위의 초가군 ''M''이 자유 균질 기저를 가지면 "자유"라고 한다. 이 기저가 ''p''개의 짝수 원소와 ''q''개의 홀수 원소로 구성되면, ''M''은 랭크 ''p''|''q''를 갖는다고 한다. ''R''이 초가환적이면, 랭크는 기저 선택과 무관하다.

''R''''p''|''q''를 열 초벡터 공간, 즉 (''p''|''q'')×(1|0) 차원인 초행렬 공간이라고 하자. 이것은 자연스럽게 오른쪽 ''R''-초가군이며, "오른쪽 좌표 공간"이라고 불린다. 차원이 (''r''|''s'')×(''p''|''q'')인 초행렬 ''T''는 다음과 같은 오른쪽 ''R''-선형 사상으로 생각할 수 있다.

:T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,

여기서 ''R''''p''|''q''에 대한 ''T''의 작용은 단지 초행렬 곱셈이다.

''M''을 랭크 ''p''|''q''의 자유 오른쪽 ''R''-초가군, ''N''을 랭크 ''r''|''s''의 자유 오른쪽 ''R''-초가군이라고 하자. (''e''''i'')를 ''M''의 자유 기저, (''f''''k'')를 ''N''의 자유 기저라고 하면, 이러한 기저 선택은 ''M''에서 ''R''''p''|''q''로, ''N''에서 ''R''''r''|''s''로의 동형 사상을 선택하는 것과 같다. 임의의 선형 사상

:T : M\to N\,

은 선택된 기저에 상대적인 (''r''|''s'')×(''p''|''q'') 초행렬로 쓸 수 있다. 연관된 초행렬 성분은 다음 공식으로 결정된다.

:T(e_i) = \sum_{k=1}^{r+s}f_k\,{T^k}_i.

초행렬 ''T''의 블록 분해는 ''M''과 ''N''의 짝수 및 홀수 부분 가군 분해에 해당한다.

:M = M_0\oplus M_1\qquad N = N_0\oplus N_1.

5. 2. 초행렬과 선형 사상

초벡터 공간 (또는 자유 초가군) 사이의 선형 사상은 초행렬을 사용하여 좌표로 표현할 수 있다. 초벡터 공간에서 다른 초벡터 공간으로의 준동형 사상은 등급을 보존한다. 즉, 짝수 원소를 짝수 원소로, 홀수 원소를 홀수 원소로 사상한다. 이러한 변환의 좌표 표현은 항상 "짝수" 초행렬이다. 홀수 초행렬은 등급을 반전시키는 선형 변환에 해당하며, 일반 초행렬은 임의의 비등급 선형 변환을 나타낸다.

초대수 ''R'' 위의 초가군 ''M''이 자유 균질 기저를 가지면 "자유"라고 하며, ''p''개의 짝수 원소와 ''q''개의 홀수 원소로 구성된 기저를 가지면 ''M''은 랭크 ''p''|''q''를 갖는다고 한다. ''R''이 초가환적이면, 랭크는 기저의 선택과 무관하다.

''R''''p''|''q''를 열 초벡터 공간, 즉 (''p''|''q'')×(1|0) 차원의 초행렬의 공간으로 정의하면, 이는 자연스럽게 오른쪽 ''R''-초가군이 되며 "오른쪽 좌표 공간"이라고 불린다. 차원이 (''r''|''s'')×(''p''|''q'')인 초행렬 ''T''는 다음과 같은 오른쪽 ''R''-선형 사상으로 생각할 수 있다.

:T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,

여기서 ''R''''p''|''q''에 대한 ''T''의 작용은 초행렬 곱셈이다.

''M''을 랭크 ''p''|''q''의 자유 오른쪽 ''R''-초가군, ''N''을 랭크 ''r''|''s''의 자유 오른쪽 ''R''-초가군이라고 하고, (''e''''i'')를 ''M''의 자유 기저, (''f''''k'')를 ''N''의 자유 기저라고 하자. 이러한 기저를 선택하면 ''M''에서 ''R''''p''|''q''로, ''N''에서 ''R''''r''|''s''로의 동형 사상을 선택하는 것과 같다. 다음과 같은 임의의 (비등급) 선형 사상

:T : M\to N\,

은 선택된 기저에 상대적인 (''r''|''s'')×(''p''|''q'') 초행렬로 쓸 수 있다. 연관된 초행렬의 성분은 다음 공식으로 결정된다.

:T(e_i) = \sum_{k=1}^{r+s}f_k\,{T^k}_i.

초행렬 ''T''의 블록 분해는 ''M''과 ''N''의 짝수 및 홀수 부분 가군으로의 분해에 해당한다.

:M = M_0\oplus M_1\qquad N = N_0\oplus N_1.

6. 응용

초행렬은 현재 양자 역학, 초대칭 이론 등 현대 물리학 분야에서 활발하게 활용되고 있다.


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com